числа (неокончено)

    Без лишних слов

    pre scriptum: Любые замечания, уточнени, требования изъсниться более чётко, конструктивное участие в обсуждении приветствуются всеми конечностями (конечностями, я сказал, для тех, кто на подумал не только о конечностях: ), хотя, если прекрасная… ну, да ладно).

    Числа бывают разные, но в физике используются действительные и комплексные. Для строгой последовательности построения которых требуются числа натуральные, целые, рациональные.

    Натуральные числа задаются аксиомами. Чаще всего, аксиомами Пеано

    1. 0 существует и это натуральное число.
    2. для каждого натурального числа n определено следующее натуральное число — s(n)
    3. нет такого натурального числа m, для которого s(m) = 0
    4. если a != b, тo s(a) != s(b)
    5. если для 0 верно свойство С, и если из того, что свойство C верно для n так же следует то, что оно верно для s(n), тогда свойство C верно для всех натуральных чисел.

    Заметьте, что обозначения пунктов аксиом — это не натуральные числа. Это просто значки, чтобы их различать. Никакая конечная система не может являться натуральными числами, для какого-то элемента x в ней не будет определён s(x), который так же лежит внутри этой системы.

    Пока натуральные числа выглядят так 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))),… И предлагают такой взгляд на природу.

    Существует 0 (впрочем, это просто обозначение). Просто существует нечто. Ну, нечто существует, в крайнем случае, существует ничто. Возьмом это нечто. Далее, сказано, но раз нечто взято, то существует и другое нечто. Можно это тоже взять, обозначить следующим к ранее взятому, нечто, но и этим наш мир не исчерпывается. Раз взяты первые несколько нечто, существует и отличное от всех них нечто', которое можно взять и обозначить следующим к последнему из нештрихованных нечто.

    В нас пытаются вселить веру в возможность бесконечно брать и брать отличные от предыдущих элементы. Является ли это интуитивной конструкцией? Так ли это в окружающем нас мире? Можно подумать, что да. Ведь, для каждого шага необходимо взять один элемент. Но… Тонкость в том, что этот элемент должен быть отличным от всех тех, что были взяты ранее. При достаточном количестве шагов, для определения этого понадобиться гигантское хранилище информации. А как его построить? И насколько оно будет разбухать при добавлении очередного элемента? Такая простая медитация над простыми аксиомами вполне может (?) привести к гипотезе постоянно расширяющейся вселенной.

    Казалось бы, можно не прибегать к динамической интерпретации этих аксиом. Например, можно сказать. Это множество N — просто существует. Натуральные числа есть, как Дао, и существуют. Но что с того, что они просто существуют? По меркам современной физики этого не достаточно. Нужно, например, чтобы электроны 'умели' считать интегралы Фейнмана и выделывать прочие трюки. А оперировать этим множеством ничуть не легче. Если нечто решиться найти следующий элемент для некоторого натурального числа n, то этому нечто придётся опять же проделывать громоздкую процедуру по поиску, сначала всех предыдущих элементов, а затем по поиску следующего, такого, который отличен от всех предыдущих.

    Естественно, вселенная проделывает это мгновенно (как нас убеждают физики, с лёгкостью приписывая любой точке пространства сложные математические качества), но информационные связи между парами натуральных чисел от этого никуда не деваются. Где они хранятся? Да, можно сказать: просто есть, и всё. Как Дао, в каждой точке. И мы, вместе со вселенной знаем, что будет следующим. Электроны знают, протоны знают. А вот компьютеры и вороны — не знают. Вороны не умеют считать до 8, а компьютеры до 2^n + 1 при достаточно большом n. Чем вороны хуже людей, а компьютеры проще протонов?

    Это всё странно, но из этой перепутанности сознания, возможно, есть выход. Ведь, аксиомоприменительная практика заключается в том, что нужно найти некоторую систему, в которой можно ткнуть пальцы на некоторые составляющие и состояния, увидеть, что они удовлетворяют нужной аксиоматике и торжественно объявить эту систему системой натуральных чисел, например. Но опять же не ясно, что в физике удовлетворяет этим свойствам? И вообще где бы то ни было. Уж очень требования к бесконечному продолжению жёсткие.

    Сами по себе натуральные числа никому не нужны. Естественно. Хочется их умножать и складывать. Что же, это можно сделать строго, определив операции так:

    1. n + 0 = n
    2. n + 1 = s(n)
    3. n + s(m) = s(n + m)

    4. n * 0 = 0
    5. n * 1 = n
    6. n * s(m) = n * m + n

    Номера по-прежнему — просто числа. Без доказательств (которые не трудно раздобыть) сразу скажу — из этого всего получается привычное нам умножение и сложение в столбик, и даже деление, и умение записывать числа в системах счисления. Вот теперь 1, 2, 3,… стали натуральными числами. При этом, очень интересна концепция, которая записана вторым правилом: оказывается, что понятие следующего можно заменить концепцией того, что все натуральные числа состоят из 1. То есть, можно теперь считать на палочках, а весь мир состоит из элементарных элементов.

    То есть, нам показывают однородный мир. Электроны знают о том, что мир однородный? Странно. Кроме того, по прежнему сохраняется ситуация со всё возрастающей информационной сложностью. Можно взять n — натуральное число, которое, для того, чтобы отличаться от других, записано огромной цепочкой цифр, а потом попробовать взять s(n). По идее, теперь заранее известно, что взятие такого числа — это всего лишь добавление 1. Но все помнят сложение столбиком? Операция может затянуться на долго. Изменения могут быть нелокальными, информационные зависимости чудовищно длинными. Даже если природа делает это мгновенно. Даже если эта структура со сложениями существует в каждой точке. Да, кстати, если она существует в каждой точке, то вселенная уже решила все алгоритмические задачи, занятно. А вороны могут считать только до 7.

    Целые числа. Ладно, можно ли исправить этот казус с разбуханием сложности при отдалении от нуля? Чем 0 лучше, чем 2^65536 — 1, и чем это число лучше, чем в непонять сколько раз более длинное 2^654536798234235 — 1? Вслед за Эйнштейном скажем — а ничем. Не должно быть так, чтобы структура была бесконечно сложной, и значительно усложнялась при отдалении от нуля.

    Но это означает, что мы можем отцентроваться теперь в числе n, и все другие числа записать, считая, что n — пуп земли. Тогда, сложность конструкций может быть ограничена. Тогда, n — 1 станет числом -1, а n + 5 — числом +5. Нормально и достаточно согласовано, пока не делать попыток понять, а что же такое -1 для начала натуральных чисел? Хм… А вот не понятно.

    Поэтому, мы делаем очередное духовное усилие, свершаем акт веры и начинаем верить в то, что, а пусть 0 действительно не отличается от n. И -1 действительно существует. Это число, стоящее перед n. А перед -1 тоже должно быть нечто, ведь всё у нас равномерно. Во всех точках должна быть одинаковая структура. И получаем мы кольцо целых чисел.

    Напомню, всего лишь из трёх представлений о природе вещей.

    1. Всегда нечто существует.
    2. Всегда можно взять следующий элемент.
    3. Всё можно построить из единицы — чего-то элементарного и общего.
    4. Вокруг любого элемента должна быть одинаково сложная (на самом деле, хотелось одинаково простой, но она сложная, в каждой точке существует система целых чисел) структура.

    Вот и всё. Но дальше (очередной шаг в теории относительности), поверив в то, что всё состоит из 1, мы снова заставляем себя поверить в очередной факт. И единица тоже из чего-то состоит.

    Можно ли её разделить на n частей? Приходит, кажется, Фалес и говорит: естественно, ученики мои. Возьмите единичный отрезок, отложите его от точки A n раз вдоль одной прямой, получите число n (ну, да, Фалес прав, действительно, процесс откладывания отрезков на прямой — это в точности применение при помощи циркуля процедуры s(n), а раз она имеет место быть с нужными свойствами, то у нас есть натуральные числа). Теперь, из точки A нарисуй другую прямую, а она есть, сиё нам гарантирует Евклид. Теперь отложи на ней единичный отрезок, конец которого соедини с числом n на другой прямой, а теперь, параллельно этому соединению, построй n прямых, проходящих через точки 1, 2, 3,… n — 1. И ты узришь, что эти прямые пересекут единичный отрезок, расположенный под углом, на n равных частей. Ибо опять же, аксиомы Евклида.

    Но и на самом деле. А что такое единица сама по себе? Что такое 1? Генератор нашей вселенной натуральных чисел? Основная информационная структура? Что? Не понятно. Значит, следуя заветам Эйнштейна, скажем, что ничем 1 от прочих элементов концептуально не отличается, с ней можно заниматься всё той же физикой, что и с числом n, или 3, или 2^5679087 — 1, значит, как и эти числа можно разделить на соответсвующее число 1, то и 1 можно разделить на соответствующее число таких отрезков.

    Но вообще говоря, в алгебре 1 имеет вполне определённые уникальные свойства. Например, для любого числа x, x * 1 = x. Имеется ли в этом противоречие с ранее написанным? Нет. Потому что ранее написанное говорит лишь о том, что сама по себе 1 никогда не ходит. В 1 нет никакого смысла. Ну а на самом деле. Скажу я вам 1. И что это будет означать? Дальше можно конечно, предположить, что я вам назвал натуральное число 1 и обсудить его свойства.

    Греки не знали натуральных чисел. Зато они знали, что такое 1. 1 для них была общей мерой двух отрезков. Все помнят алгоритм Евклида по нахождению НОД? Так вот, Евклид не знал, что такое НОД, и алгоритм использовал для нахождения общей меры двух отрезков (просто вычитая (при помощи циркуля) каждый раз кратчайщий из них из более длинного, длины он определял на глазок, естественно). Но тем не менее, его интуиция не подводила, и это действительно давало общую меру отрезков.

    То, что пять минут назад считалось 1, могло быть соизмерено с отрезком длиной в 1/4 (два раза поделённый поплоам при помощи циркуля и линейки отрезок), и сразу становилось ясно, что новый масштаб измерений — это 1/4 = 1', а 1 — это теперь 4'.

    Полный нигилизм и отрицание наличия чего бы то ни было основательного. Мало того, что у нас существует бесконечно сложная структура в каждом элементе вселенной, так ещё более сложная структура существует между любой парой.

    Угу, а когда мы начнём задумываться над общей структурой, связывающей три элемента, куда мы попадём? Правильно, прямиком в комплексные числа. Пройдя перед этим действительные.

    Можно этот процесс расписать, указать, например по ходу на то, что sqrt(2) не существует без полного построения действительных чисел, без этого построения даже теорему Пифагора строго не доказать, так что, существование действительных чисел подобно существованию 0, в аксиомах Пеано. Они просто существуют и всё. Как данность, как Дао?

    И структуры там возникнут ещё более сложные. Ещё более навороченные, потому что sqrt(2) пресловутый содержит в себе бесконечно много информации, которая нужна, чтобы построить его при помощи простых движений в пространстве. Но, конечно же, его можно объявить единицей, и не беспокоиться, двигаясь по точкам sqrt(2) * N/M. Но так мы никогда не попадём в единицу.

    Отношения между числами ОЧЕНЬ сложные, если смотреть на них не в терминах аксиом, а пытаясь найти житейскую трактовку всего этого множества концепций. При этом, единственный способ принять их существование — это поверить в то, что они существуют все скопом, сразу же и безгранично, здесь и сейчас, во всей своей сложности и (вобщем-то) великолепии.

    Но при этом, ситуация сильно дуальная. Числа не могут сами себя складывать. Да, может существовать трёхмерное множество (x, y, z) с тем свойством, что z = x + y. Но… А зачем мы тогда вообще пыхтим и складываем числа столбиком? Где это множество? Как получить к нему доступ? Тут самое время уверовать в единое информационное пространство, в котором всё есть, и из которого индийские факиры черпают данные, когда складывают офигеннозначные числа в уме за пять секунд.

    Но знаете, это fake. И вот почему. Потому что сложение, даже через доступ к этому множеству — это всё-равно операция. Действие, более того, исполнение действия. Поэтому, единственная, предлагаемая математикой трактовка: это просто существует, несоответствует действительности.

    При этом, ситуация меняется, если мы начнём воспринимать математику, как язык (как и нужно её вобщем-то воспринимать). Это всего лишь способ описать (при этом даже не объекты, хотя выглядит всё именно как описание объектов) процесс. Например, аксиомы Пеано, показанные математикам сказали им о том, как они могут конструировать натуральные числа, а договорённость с определениями операций + и * позволила поднять эффективность конструирования на очень высокий уровень. Не существует натуральных чисел, существуют математики динамически интерпретирующие аксиоматику Пеано.

    Так же и со всем. Аксиомы нам просто говорят: если у тебя есть нечто, в чём ты видишь такие-то и такие-то свойства, то ты можешь делать с ним то-то и то-то, и при этом свойства эти сохранятся. Ну, на самом деле, процессор может выполнять операции с кольцами целых остатков (ну, операции по модулю какому-нибудь). Может. Но означает ли это, что множество существует для процессора? То, что для него существует математика в каждом из его состояний? А если процессор сломать, куда денется вся эта сложная структура?

    Вобщем вот. Всё это вызывает первую стадию когнитивного диссонанса при восприятии современных построений теоретической физики. Будь то теория относительности, которая движется по пути, намеченному для целых и рациональных чисел, и заявляет, что везде всё должно быть однообразным, одинаковым, и двигаться мы можем только со скоростью света, по заранее созданным траекториям. И всего этого чуда очень сложная структура.

    Или будь то квантовая физика, в которой очевидно делимые и дискретные вещи пытаются описывать бесконечно сложным и бесконечно делимым, бесконечно неспособным различить сосотояния, если они не сопоставлены извне системы с другими состояниями (хотя, эта формулировка очень важна, для понимания того, что же такое физический эксперимент). Хорошо, бесконечную и величественную сложность и предрешённость пространства-времени ещё можно принять. Но то, что электрон знает обо всём том же, о чём знаем мы, ставя над ним эксперимент… Хм. Звучит странновато, пока мы не примем то, что электрон (ну, или любое наблюдаемое явление) — это не элементарный элемент вселенной, а элементарная составляющая нашего эксперимента.

    Ладно. Я действительно не могу написать это точнее. Я пробовал четыре дня, и ничего не выходит, кроме такого вот потока сознания. Хотя, если без привязки к реальности, я запросто могу вам изложить основные концепции и выводы хоть теории чисел, хоть теории относительности, хоть квантовой хромодинамики (тут мне, впрочем, понадобиться подглядывать в учебник).

    Но связать всё с тем, что мы видим вокруг — очень сложно. И основной причиной после всех переживаний (я подчёркиваю, переживаний, а не анализа) связанных с этими размышлениями, я могу назвать только одну: математика оперируют статичными объектами. Вот, хоть тресни. Даже машина Тьюринга лучше всего представима, как некая траектория (о чём я напишу позже) в некотором пространстве состояний.

    Именно поэтому, вся математика разваливается, когда мы пишем программы, которые активно общаются со внешним миром. Внешний мир изменчив, а математика нет. Она должна работать в любой точки пространства и времени, с любой скоростью, с предельной точностью. Так бывает, если в этой точке пространства присутствует достаточно умный интерпретатор или интерпретаторы математического языка. Но что если там нет никакого интерпретатора?

    И ещё вопрос: так почему физика пытается оперировать только такими вневременными конструкциями, пытаясь описать очевидно динамичную систему? Уж не поэтому ли у физиков возникают парадоксы и 'антиинтуитивные' конструкции в теориях?

    Хотите пример? Всё тот же электрон. Для физиков было существенной перетряской представлений, когда появилось уравнение Шрёдингера, которое разрешало электрону жить только на определённых энергетических уровнях. А зачем это уравнение усердно искалось? Чтобы разрешить противоречие в классической электродинамике, которая предписывает болтающемуся вокруг протона электрону вскорости потерять всю энергию и рухнуть на этот протон, чего не происходит. А должно происходить, согласно анализу траекторий и прочих существующих вне времени математических конструкций.

    Но, ведь, всё очевидно… Надо только принять то, что электрон подвижен. И это основное его свойство: ни положение в точке, ни обладание энергией, а подвижность. Соответсвенно, он просто не может упасть на протон. Он не может быть в точке — это нонсенс. Собственно, любая элементарная частица этому нонсенсу и сопротивляется. Принцип неопределённости Гейзенберга как раз об этом — фига вы задавите электрон в точку, потому что вам энергии на это не хватит, чтобы сдержать его флуктуации. Это логично. Никакого нонсенса… Но про время я попишу позже. И, надеюсь, построже, потому что там не будет ковыряния в элементарных основаниях теорий.

    Similar posts

    Ads
    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More

    Comments 36

      0
      Без вводного слова никакого желания читать не возникло... А беглый-беглый взгляд почему-то родил в моем мозге мысль, что источник всего этого http://yandex.ru/cgi/vesna/
        0
        Хм... Ну, вы можете с лёгкостью убедиться, что наша весна не умеет генерировать столь длинные тексты : ). Кроме того, её знания математики явно не распространяются на основания математики, о чём несложно убедиться выковыряв за несколько запросов весь словарный системы. Так что... Зачем Вы тут нафлудили, если Вам не интересно? Подтверждаете своим постом тезис о том, что современному человеку не то, что хочется жить или хотя бы существовать, ему хочется просто быть?
          0
          Человек, вообще-то, достаточно четко выразил мысль — без краткого резюме в начале, читать этот поток слов большого желания нет. Хотя там может быть и интересно.
          Действительно ли статья не содержит лишних слов, как заявлено в начале?
            0
            Если вам не хочется - не читайте. Какие у Вас с этим проблемы? Или, разве Вы мне деньги заплатили, чтобы я у себя в личном блоге сделал Вам интересно? / Пошарил в пустых карманах / Вроде не заплатили. Следовательно... А чего собственно Вы от меня хотите?
              +3
              Проблемы в том, что на данном сайте одни люди пишут статьи, а другие в комментариях выражают своё мнение. Вы написали — вам его высказали. Если вы ищите в этом проблемы — ищите дальше.
        +1
        Эммм.. А такого вот глобального, цельного диссонанса-то и нет. Вот хоть ты тресни;) Возможно, я чего-то не понял в вашей статье или понял не так, но то, как я это понял (на основе того, чему учился на физ-мате) — у меня укладывается.. Вполне..

        Знаете, у меня даже появилось желание откомментировать статью. Но я убегаю праздновать день рождения знакомой.. :) Так что, «someday, maybe».. ;)
        +1
        О.о
        Жесть какая. На хабре ли место симу посту?..

        Вводного слова нет, текст ппппрросто не для чтения, смысл туманен. Однако надпись "неокончено" заставляет задумацо - либо все будет хорошо, но завтра, либо афтор любит наш моск.
          0
          Автор предлагает Вам не читать следующие несколько постов. И просит вас объяснить, от чего такое трепетное отношение к содержимому личных блогов людей?
            0
            Я даже специально посмотрел все RSS здесь. Ни в одном этот топик не проскочил... Вообще, не понимаю, от куда беруться такие заявления: что мол не место таким сообщениям на этом сайте... Почему?
          +2
          А мне, как инженеру-математику (в процессе), статья показалась очень интересной. Достаточно воды, мысли несколько сумбурные, но общий смысл угадывается довольно легко, и я с нетерпением буду ждать следующих изысканий.
            0
            Это у меня одного появилось ощущение, что автор пытается сперва показать "официальное строгое трактование", при это не доведя его до конца, заявляет, что оно слишком сложно для понимания, и вообще все что здесь описывалось ненужная фигня и в жизни мы это не так и не для того делаем.

            Может я не понял чего-то, кто понял о чем здесь писалось, расскажите, что собственно хотел донести автор данного текста?
              0
              Оно не сложно для понимания. Числа - это очень простые конструкции, если трактовать их формально. Ну есть у каждого множества действительных чисел, ограниченного сверху, точная верхняя грань, и есть. Ну и что, что её нельзя представить, и что она может содержать или представлять бесконечно много информации. Теоремы всё-равно чисто формально доказываются, интегралы считаются, пределы сходятся, функции в ряды разлагаются. Всё делается просто, и иногда восхитительно изящно. Но...

              Сложно понять то, как эта нетривиальная структура возникает в связи с физической реальность. Почему это всё работает для описания электрона, если для того, чтобы вся эта математика работала нужен математик. Она вобщем-то работает исключительно в его мозгах.

              Можно предположить, что она вся засунута в этот самый электрон. Просто мироздание у нас таково, что вся математика живёт в электроне, но тогда совершенно непонятно, почему вороны не додумались до математики.

              Я понимаю, конечно, что это очень нестрогие вопросы, и даже в своей формулировке спорные... Но они у меня возникают.
                0
                Если у вас была цель показать связь абстрактных математических понятий с физической реальностью, то вы это сделали наихудшим образом.

                А ворона не додумалась до математик потому, что вы пытаетесь построить модель шара кубиками. Не каждая постройка из кирпичей ведет себя как кирпич. Можно построить такой большооой кирпич из элементарных кирпичей, но он будет похож на элементарный только издали, в определенной абстракции. Это мы и наблюдаем в нашей жизни. Ворона состоящая из атомов не может описать из работу.

                Я могу тут написать кучу еще всего, но уже хочу спать и нет сил спорить.

                П.С. Про связь с действительностью, подумайте о такой же связи между языком и реальным миром....Лингвисты, откликнитесь!
                  0
                  Хм. А почему человек, состоящий из атомов на это способен? Потому что он придумал язык? Но почему язык не придумала ворона, если атомы везде одинаковые и одинаково математически сложные и крутые?

                  Я как раз и говорю, что математика используется физиками слишком формально... Без осознания (по крайней мере в учебниках) в чём же причины возможности построить такое описание. Поэтому это и выглядит так, как приписывание сложных констркций с сотнями умозаключений каждой точке пространства.
              +1
              Этот текст вызвал довольно смешанные чувства, но самое сильное - это недоумение. Возникает ощущение, что вы играете словами, подменяя простые и понятные вещи какой-то извращенной логикой, и задаете вопросы совершенно не там где надо. А множество неточностей усиливают это впечатление. Некоторых рассуждений, затрагивающих физику, не понял... горе мне))

              Далее, некоторые вопросы и замечания:
              1) Вроде бы в отечественной науке не принято считать "0" натуральным числом)) (но это не суть важно).
              2) Когда вы определяете операции сложения, откуда-то появляется 1, а его определения не дается. Нужно писать s(0).
              После определения операций вы пишите: "Вот теперь 1, 2, 3, ... стали натуральными числами." Это откуда следует? Вообще, числа {2,3,4...} здесь являются просто обозначениями, упрощяющими запись, т.е. 2=s(1), 3=s(2)...

              Ваши рассуждения про существует/ не существует ли данный объект без определения другого или без наличия особого знания у электрона не понятны.
              Я предлагаю подойти к этому вопросу по-другому. Возьмем поизвольный математический объект, например, Алгебры Ли. Любой может с уверенностью заявить, что они существовали ВСЕГДА. Именно всегда, а не были "созданы" в конце 19 века. Человек всего лишь дал им название, описал, но тем не менее, как объект, Алгебры Ли существовали и до этого.

              Я бы мог продолжить, но интересно сначала узнать ваше мнение по моим вопросам...
                0
                "Я предлагаю подойти к этому вопросу по-другому" - на самом деле, очень старая песня, еще в древние греки спорили, у них там тоже регулярные раздоры было. Дай бы бог не переврать - кажись, Платонисты активно придерживались вашей точки зрения, последователи другой из крупных школ (кто именно - уже не скажу), утверждали, что, описывая ваш случай, "человек именно создает Алгебры Ли". Тут на самом деле палка о двух концах. В указанном вами случае получается, что существует некое бесконечное пространство информационных идей, которые человек реализует. И всем идеям, которые уже существуют в этом пространстве, человек "лишь дает название, описывает". Но, вообще говоря, так как существование любого подобного объекта определяется аксиоматикой, в которой мы работает, а аксиоматика ничем фактически не ограничена (любая фраза может быть элементом аксиоматики), то получается, что, грубо говоря, все значие человека уже существсует зарание. И, мало того, все произведения искусства существуют (например - литературное творчество, там совсем просто с наборами букв и словами - ведь раз существуют буквы, то, по такой логике, существуют уже и все наборы букв), да и вообще вся информация на свете уже существует, а мы ее лишь реализуем. Но звучит как-то не очень правдоподобно )
                  0
                  я с вами полностью согласен, о правдоподобности тут говорить не приходится, но и опровергнуть эту точку зрения, на мой взгляд, невозможно
                  0
                  Ну, да... Поправка верная, s(0) символом 1 я забыл обозначить. А потом про то и речь, что только после введения операций сложения и умножения, мы можем иметь известную нам арабскую запись натуральных чисел. Ну, и любую другую систему счисления.

                  А вот про алгебры Ли очень интересный вопрос. Что означает, 'они существовали'? Действительно ведь не понятно. Максимум, что можно, по моему, сформулировать, так это вот что: в любой момент времени, в любом состоянии вселенной (а вот это уже под вопоросом) можно было, и можно будет сформулировать теорию алгебр Ли.

                  Хм... Но такое описание даёт что? То, что должен быть тот, кто теорию формулирует. А всегда ли присутсвует тот, кто на это способен?

                  При этом, даже если эта теория всегда существует в неком абстрактном пространстве идей, то должен быть тот, кто к этому пространству подключиться и вынет её от туда. Опять же действие...

                  А что по-вашему означает 'алгебры Ли существовали всегда'?
                    0
                    'алгебры Ли существовали всегда'=='эта теория всегда существует в неком абстрактном пространстве идей' - лучшего определения, чем ваше я не знаю))
                      0
                      Аксиомы Пеано можно строить от нуля и от еденицы. Это не важно. Просто ваш вариант строит ряд целых неотрицательных - видимо в вашем источнике был приведен такой, немного старомодный вариант демонстрации.

                      Кстати, строительством натурального ряда дело не ограничивается. Вы не ввели операции и не доказали их свойства, так что множество натуральных чисел недостроено...
                      Врочем, для вашего "когнитивного диссонанса") это не суть важно.
                    0
                    Я попробую пояснить этот мнимый парадокс (то, что вы назвали диссонансом).

                    Ошибки начинаются с фразы:
                    Никакая конечная система не может являться натуральными числами, для какого-то элемента x в ней не будет определён s(x), который так же лежит внутри этой системы.


                    Здесь вы уже начинаете путать термины. Вы либо пропустили слово множеством ('натуральных чисел'), либо заменили слово ряд (словом 'числа'). Но тут это еще пока неважно, лишь говорит о том, что материал не плотно усвоен. Хотя именно с терминами нельзя вообще ошибаться в математических рассуждениях, иначе они становятся псевдоматематическими.

                    Но это я скорее к изложению, а не к сути предъявляю претензию...

                    Основополагающая для вашего рассуждения ошибка имеет место дальше:

                    И предлагают такой взгляд на природу.

                    В нас пытаются вселить веру в возможность бесконечно брать и брать отличные от предыдущих элементы. Является ли это интуитивной конструкцией? Так ли это в окружающем нас мире? Можно подумать, что да.


                    НЕТ. Вы неверно поняли сам смысл аксиоматического построения арифметики.
                    Такой веры никто не пытается в нас вселить. Вся математика, абсолютно вся, от арифметики до функционального анализа - суть конструктор для построения символьных моделей. Любое прикладное применение любой части математического аппарата - это построение математической модели в особых (математических) символах. Ее основополагающее несоответствие реальности очевидно. Но те законы, по которым мы производим действия над этими символами должны обладать определенными свойствами, чтобы наши модели работали для любых реальных условий. Суть не в том найдем ли мы когда бы то нибыло что бы то ни было гарантированно бесконечное, бесконечно большое или в бесконечном количестве... А в том, что нам нужны система нумерации для НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ЛЮБОГО количества элементов. В том, что мы должны уметь так же легко производить символьные вычисления над множествами ЛЮБОЙ мощности, поэтому для каждого элемента N мы определяем следующий N+1. Это индуктивная аксиома для ряда (в данном случае натуральных чисел).

                    Все дальнейшие Ваши рассуждения лишь следствие этой онтологической ошибки.
                    Например:
                    Тонкость в том, что этот элемент должен быть отличным от всех тех, что были взяты ранее.


                    НЕТ. Не обязательно. Мы, например, можем считать шаги при выбирании поочередно двух элементов 0,1,0,1,0,1.. Вас не беспокоит конечность времени?

                    Натуральные числа есть, как Дао, и существуют. Но что с того, что они просто существуют? По меркам современной физики этого не достаточно. Нужно, например, чтобы электроны 'умели' считать интегралы Фейнмана и выделывать прочие трюки.
                    ...
                    Естественно, вселенная проделывает это мгновенно (как нас убеждают физики, с лёгкостью приписывая любой точке пространства сложные математические качества)


                    НЕТ. Телега впереди лошади. Приписывание математических качеств каждой точке пространства - это теория полей. Это лишь значит, что для решения данной задачи физик (на свой страх и риск) решил применить концепцию поля. Возможно он ошибся и его результат будет бессмысленен и в данных условиях следует строить конкретную математическую модель конкретного явления как-то по-другому. Поэтому он очень хочет проверить свою модель экспериментально (а это уже сложная тема, которая вобщем-то математики не касается вообще, а касается философии оснований).


                    Могу еще...)
                      0
                      Вы либо пропустили слово множеством ('натуральных чисел'), либо заменили слово ряд (словом 'числа'). Но тут это еще пока неважно, лишь говорит о том, что материал не плотно усвоен.


                      Пропустил слово множество.

                      Вы неверно поняли сам смысл аксиоматического построения арифметики.
                      Такой веры никто не пытается в нас вселить. Вся математика, абсолютно вся, от арифметики до функционального анализа - суть конструктор для построения символьных моделей. Любое прикладное применение любой части математического аппарата - это построение математической модели в особых (математических) символах. Ее основополагающее несоответствие реальности очевидно.


                      Язык не бывает просто набором символов, в символы должны быть вложены смыслы. Смыслы вкладываются вполне определённые, и на мой взгляд, интересным методом (Ваше уточнение про суть натуральных чисел наткнуло на мысли, изложенные ниже). Но хорошо, теперь у нас есть модель, со своими строгими смыслами, но если она по своей природе не соответсвует реальности, как так выходит, что теоретическая физика способна предсказывать явления? Чтобы ответить на этот вопрос и нужно понимание того, модель чего конкретно выстраивается в физике при помощи математики.

                      Но те законы, по которым мы производим действия над этими символами должны обладать определенными свойствами, чтобы наши модели работали для любых реальных условий.


                      Что означает 'работали для реальных условий'? Собственно, все эти мысли вызваны поиском ответа на этот вопрос.

                      Все дальнейшие Ваши рассуждения лишь следствие этой онтологической ошибки.
                      Например:

                      Тонкость в том, что этот элемент должен быть отличным от всех тех, что были взяты ранее.

                      НЕТ. Не обязательно. Мы, например, можем считать шаги при выбирании поочередно двух элементов 0,1,0,1,0,1.. Вас не беспокоит конечность времени?


                      Да, обязательно. Когда вы выписываете такой ряд, или когда считаете его элементы мысленно, вы приписываете каждому элементу уникальную позицию или некоторую мысленную уникальную привязку. Это, так или иначе, множество уникальных пар. Связь с конечностью времени не увидел. Но она меня не беспокоит, потому что мы понятия не имеем, что такое время : ).
                        0
                        Теперь про числа, основное, можно сказать.

                        Суть не в том найдем ли мы когда бы то нибыло что бы то ни было гарантированно бесконечное, бесконечно большое или в бесконечном количестве... А в том, что нам нужны система нумерации для НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ЛЮБОГО количества элементов. В том, что мы должны уметь так же легко производить символьные вычисления над множествами ЛЮБОЙ мощности, поэтому для каждого элемента N мы определяем следующий N+1. Это индуктивная аксиома для ряда (в данном случае натуральных чисел).


                        Чтобы говорить так, нужно сначала определить понятия 'количество' и 'нумерация'. А чтобы это сделать строго, нужно множество натуральных чисел. Насколько мне известно, максимум, что можно сделать не имея этой конструкции - это определить понятие равномощность.

                        Хорошо. Будем считать, что натуральные числа - это часть способа, пронумеровать элементы. Часть, потому что, прежде чем пронумеровать, нужно доказать, что их пронумеровать возможно. Но нумерация должна обладать определёнными аксиомами, которые описывают натуральные числа, я так понимаю, Вы сами это сказали, но другими словами.

                        Значит, нумерация должна обладать всей той сложностью построения для всё возрастающего количества элементов, о которой говорил я. Перефразирую в терминах нумерации.

                        Если у нас есть подмножество уже пронумерованных элементов, то когда к нам попадает некий элемент из нумеруемого множества, то, чтобы присвоить ему номер, мы должны сначала определить то, что он уже не пронумерован. А затем присвоить ему уникальную метку, которая не использовалась ранее для нумерации. И, наконец, объявить его следующим за последним из пронумерованных элементов множества, которой тоже надо найти.

                        Привычная десятичная регулярная запись натуральных чисел облегчает только лишь задачу генерации следующей метки и хранения информации о той паре (номер, элемент нумеруемого множества), которая должна быть предыдущей. Но эта информация не даёт знаний о том, какой элемент был предыдущим. (Кроме этого, над самим множеством номеров висит сложный предикат бытьследующим(x, y), или функция y = s(x))

                        Но при этом, мы можем весьма просто оперировать уже пронумерованными множествами, например, последовательностями. Понятие предела для которых требует, чтобы все элементы уже были пронумерованы, и тогда всё хорошо. Хм... Но что в природе выстраивает эти нумерации? А они должны быть, если верить в то, что при помощи аппарата дифференциальных операторов можно построить модель Вселенной.

                        Вот. Вопрос: а какой тогда смысл стоит за натуральными числами? Возможно, вот какой. Натуральные числа - это не то, что позволяет нам нумеровать последовательности, а то, что позволяет устанавливать взаимосвязи между пронумерованными последовательностями. Но при этом, и для меня это достаточно убедительно звучит, нумерация - это очень сложная структура, в которой, вполне возможно, содержится бесконечно много информации. Если не бесконечно много, то сколько?

                        Кроме того, возникает вопрос, а чем уже пронумерованная последовательность {(a,n)}, о структуре элементов которой ничего не известно, отличается от последовательности, в которой мы задаём нумерацию при помощи выражений: (1 + 1/n)^n ? С математической точки зрения, второй случай является уточнением первого - дополнительная информация, которой можно воспользоваться в доказательстве. То есть, (1 + 1/n)^n существует, как уже бесконечная пронумерованная последовательность. Ну, в математике... Но искусство вычислений даёт нам возможность строить эту последовательность... Или строить то, что на определённых своих участках ведёт себя, как эта последовательность. Хм... Но тогда, существует ли сама последовательность, или только некоторые её участки, которые мы способны выразить на языке этой последовательности.

                        Ну и прочая цепочка рассуждений, которая может в очередной раз привести к мысли о том, что математика - это язык, на котором математики разговаривают между собой. При этом язык, который опирается на динамическое восприятие действительности, хотя сам при этом описывает только существующие и статичные объекты. Хм... Что же тогда описывают физики, строя свои математические модели?

                        Могу еще...)


                        Давайте, буду только рад.
                        0
                        Не кажется ли Вам, господа, что тема разговора несколько потерялась в высказываниях? Нельзя ли озвучить мораль и основные тезисы рассуждений и диалога?
                          0
                          Все дело в том, что автор не хочет интуитивно доверять приему из логики под названием индукция. ) Я же пытаюсь убедить его, что в ней нет ничего страшного.

                          В частности, он обнаружил индуктивное предположение в основании арифметики (основы основ численных методов) и теперь обеспокоен за всю математику в целом, а заодно и физику и всю естественно-научную модель мира.
                            0
                            Не в этом дело, совсем. И за математику я совершенно спокоен. За физику тоже.

                            Кроме того, я не обнаруживал никаких предположений, а просто выписал стандартную аксиому. Скорее меня волнует вот, что: множество натуральных чисел должно существовать, или не должно существовать целиком, оно не может возникать и меняться, это статичный объект (как и всё в математике, натуральные числа - лишь пример), как при помощи подобных объектов можно описывать подвижную Вселенную?
                              0
                              Суть рекуррентных соотношений, как раз в том, чтобы избавится от статичности.
                              Суть понятия натурального ряда - поставить в соответствие по уникальному символу для каждого элемента, сколько бы их ни оказалось.

                              Но присвоить, заметьте, не значит записать и сохранить соответствие каждого каждому. А значит, что, следуя определенным правилам, мы можем создать нужный нам и гарантированно уникальный символ (нет нужды перебирать все предыдущие!!). Вот такое правило нам дает рекурсия с индуктивным переходом.

                              Хм... Но тогда, существует ли сама последовательность, или только некоторые её участки, которые мы способны выразить на языке этой последовательности.

                              и
                              волнует вот, что: множество натуральных чисел должно существовать, или не должно существовать целиком, оно не может возникать и меняться, это статичный объект


                              Существует. Но это вовсе не статичный объект. Каждый следующий символ возникает на основе предыдущего. До того как нам известно N мы не можем получить N+1. Можно сказать что элемент не определен пока не определен его предшественник. Исключением является первый элемент последовательности (когда мы как бы начинаем счет). Такой элемент обозначается еденицей.

                              Ни в каком другом смысле она не существует. И описывать подвижную Вселенную таким образом оказалось очень удобно.
                                0
                                А как в виде рекурентных соотношений записать определение предела? Какой объект там конструируется из предыдущих, если само понятие 'предыдущий' для последовательности возникает как изоморфизм между бесконечным множеством значений и множеством натуральных чисел?

                                Вычисление и конструирование, да, можно записать именно так. Но не всё в математике вычислимо.

                                В чём я не прав?
                                  0
                                  Предел — это ответ на вопрос "в каком направлении идет эта рекуррентная функция (или порождаемая ею последовательность! эквивалентно) при стремлении аргумента вон в том направлении?"

                                  Его определение можно очень коротко и многими способами записать в терминах множеств, там рекурсия не нужна. А вот для вычисления пределов, постоянно приходится работать с системами рекуррентных равенств и неравенств.
                          +1
                          Настоятельно рекомендую вам прочитать книгу М. Клайна "Математика. Утрата определённости" (или созвучную ей "Математика. Поиск истины"). Эта популярная книга как раз посвящена философским проблемам в основании математики. В ней вы найдёте частичные ответы на ваши вопросы, а так же ещё больше вопросов.
                            0
                            Вот именно. Книжка хорошая, спасибо, что порекомендовали, но ответов в ней не нашлось, только более чёткие формулировки. Вот...
                            0
                            > 5. n * 1 = 1
                            ???

                            Это такая новая математика?
                            я всегда думал, что n*1=n
                              0
                              Нет, это такая опечатка.
                              0
                              Ну, теперь и я понял, почему математиков обделяют нобелевской премией =))
                              Не примите за оскорбление, но этот пост чересчур длинный и сложный…

                              Only users with full accounts can post comments. Log in, please.