Квадратичное уравнение с комплексными числами в 3D

Всем привет! Со школы, решая квадратичные уравнения ( КУ ), например $x^2+x+1=0$, получал корни обладающие мнимой составляющей, $x=-\frac{1}{2}\pm i \frac{\sqrt3}{2}$, и при желании увидеть как график пересекает ось $Y$ в точках $x=-\frac{1}{2}\pm i \frac{\sqrt3}{2}$, в интернете находил графики вроде:


Как график с мнимой частью выглядит ( по моим размышлениям ) в 3D ($X\bot Y\bot I$), и есть тема данной статьи.

PS: Под катом тяжёлые анимации

Как обычно, график ф-кции состоит из точек, а точки строятся по пересечению осей $X$ и $Y$.
График ф-ции с комплексной составляющей $Y_{complex}=F(X_{complex})$,

где $X_{complex}=X_{re}+X_{im}=$ $\begin{bmatrix}X_{re} \\X_{im}\end{bmatrix}$ — вектор


$Y_{complex}=Y_{re}+Y_{im}=\begin{bmatrix}Y_{re} \\Y_{im}\end{bmatrix}$ — вектор


$X_{complex}$ можно представить в виде 3-х мерного вектора $\begin{bmatrix}X_{re} \\ 0 \\X_{im}\end{bmatrix}$
$[X_{re}] - ось X$
$[0] - ось Y$
$[X_{im}] - ось I$
Аналогично $Y_{complex}\begin{bmatrix}0\\ Y_{re} \\Y_{im}\end{bmatrix}$
$[0] - ось X$
$[Y_{re}] - ось Y$
$[Y_{im}] - ось I$

Точка пересечения $X_{complex}$ и $Y_{complex}$ будет равна сумме векторов $X_{complex}$ и $Y_{complex}$

$\begin{bmatrix}X_{re} \\ 0 \\X_{im}\end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix}0\\ Y_{re} \\Y_{im}\end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix}X_{re} \\ Y_{re} \\X_{im}+Y_{im}\end{bmatrix}$

С пересечением разобрался.

Далее для построения графика нужно определиться с изменением $X_{re}$ и $X_{im}$ вдоль оси $X_{complex}$, для этого нужен корень КУ. Есть два варианта:

  1. Сделать $X_{im}$ константой и изменять только $X_{re}$ из корня КУ;
  2. Получить угол между $X_{re}$ и $X_{im}$ из корня КУ и перемещаться вдоль $X_{complex}$, наращивая $X_{re}$, $X_{im}$ вычислять с учётом угла и $X_{re}$.

Я выбрал второй вариант. Возьмём, для примера:

$x^2+x+1=0$

Корни КУ

$X_{1}=-0.5 + 0.866 i$
$angle=300°$
$X_{2}=-0.5 - 0.866 i$
$angle=60°$

Когда $angle=300°$


Когда угол равен 0, то график выглядит как привычно выглядел в школе:


Меняя угол, видим как меняется график:


PS: Представленные графики и их анимации были созданы в приложении «Quadratic Complex 3D Graph» из Google Apps.
  • +18
  • 7.5k
  • 8
Share post
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 8

    +1
    у меня часть статьи не отображается корректно. Скорей всего там какие то формулы. Как раз перед графиками.
    Не видно их.
      0
      попробуй поменять рендер по правой кнопке ??

      image
        0
        Видимо, у Вас выключен Javascript.
          0
          Либо через мобильное приложение. В нем отображаются исходные формулы.
            0
            У меня на телефоне формулы не работают в мобильной версии сайта, а в полной работает.
          0

          А сможете нарисовать график cos(x)? Ну или sin(x).
          Когда-то размышлял над этим, вроде где-то в каком-то разрезе экспонента должна получаться, в разных вариантах, но могу ошибаться.

            0
            Сейчас — нет, но формулы нашёл, дополню программу и выложу в другой статье
            http://www.abakbot.ru/online-16/303-sincos
              0
              Доделал, cos и кубические уравнения, Complex Func 3D Graph, github.com/vadimostanin/QuadraticEquationComplexNumber3D

            Only users with full accounts can post comments. Log in, please.