Как работает доказательство Гёделя

Original author: Natalie Wolchover
  • Translation

Его теоремы о неполноте разгромили поиск математической теории всего. Почти сто лет спустя мы всё ещё пытаемся осмыслить последствия этого.




В 1931 году австрийский логик Курт Гёдель провернул, вероятно, один из самых потрясающих интеллектуальных трюков в истории.

Математики той эпохи искали неколебимые основы математики: набор базовых фактов, аксиом, которые были бы непротиворечивыми и полными, играя роль строительных блоков всех математических истин.

Однако шокирующие теоремы Гёделя о неполноте, опубликованные им всего лишь в 25-летнем возрасте, разбили эту мечту. Он доказал, что любой набор аксиом, который вы можете предложить на роль основы математики, неизбежно будет неполным. Всегда найдутся истинные утверждения, касающиеся чисел, которые невозможно будет доказать при помощи этих аксиом. Он также показал, что ни один набор аксиом нельзя использовать для доказательства их собственной непротиворечивости.

Его теоремы о неполноте означают, что математической теории всего быть не может, и нельзя объединить множество доказуемых утверждений со множеством истинных. То, что математики могут доказать, зависит от начальных предположений, а не от какой-то фундаментальной истины, из которой происходят все ответы.

За 89 лет, прошедших с открытия Гёделя, математики уже натыкались на подобные вопросы без ответов, существование которых предсказывали его теоремы. К примеру, сам Гёдель помог установить, что континуум-гипотеза, касающаяся мощностей бесконечностей, неразрешима – как и проблема остановки, в которой требуется определить, завершится ли когда-нибудь выполнение компьютерной программы с определёнными входными данными, или она будет работать вечно. Неразрешимые вопросы возникали даже и в физике, что говорит о том, что гёделева неполнота влияет не только на математику, но и в каком-то (не совсем понятном) смысле, на реальность.

Далее идёт краткая, упрощённая и неформальная сводка того, как Гёдель доказал свои теоремы.

Нумерация Гёделя


Главным ходом Гёделя стало сопоставление утверждений, касающихся системы аксиом, с утверждениями, сделанными в рамках этой системы – с утверждениями, касающимися чисел. Такое сопоставление позволяет системе аксиом спокойно рассуждать о себе самой.

Первый шаг – сопоставить любое возможное математическое утверждение, или последовательность утверждений, с уникальным номером, который называется номером Гёделя.

Немного исправленная версия нумерации Гёделя, представленная в книге 1958 года «Доказательство Гёделя» за авторством Эрнеста Нагеля и Джеймса Ньюмена, начинается с 12 элементарных символов, служащих словарём для выражения набора базовых аксиом. К примеру, утверждение о существовании чего-либо можно выразить символом ∃, а сложение – символом +. Символ s, обозначающий «следующий элемент», даёт возможность обозначать числа: к примеру, ss0 обозначает двойку.

Затем этим двенадцати символам назначаются номера Гёделя с 1 по 12.

Обозначение константы Нумерация Гёделя Обычное значение
~ 1 не
2 или
3 если,… то..
4 существует
= 5 равняется
0 6 ноль
s 7 следующий элемент
( 8 знак препинания
) 9 знак препинания
, 10 знак препинания
+ 11 плюс
× 12 умножить


Затем буквы, обозначающие переменные, начиная с x, y и z, сопоставляются с простыми числами, большими 12 (13, 17, 19,..).

Затем каждая из комбинаций этих символов и переменных – то есть, любая арифметическая формула или последовательность формул, которые только можно составить – получает свой номер Гёделя.

Рассмотрим, к примеру, утверждение 0 = 0. Три её символа соответствуют номерам Гёделя 6, 5 и 6. Гёделю нужно заменить эту последовательность из трёх номеров одним уникальным – номером, который не выдаст ни одна другая последовательность символов. Для этого он берёт три первых простых числа (2, 3 и 5), возводит каждое из них в степень, равную соответствующему номеру в последовательности, и перемножает их. Таким образом 0 = 0 превращается в 26 × 35 × 56, или 243 000 000.

Эта разметка работает потому, что никакие две формулы не дадут один и тот же номер Гёделя. Номера Гёделя – целые числа, а числа можно разложить на простые множители единственным способом. Поэтому единственный способ разложить 243 000 000 на множители — это 26 × 35 × 56, то есть, расшифровать этот номер Гёделя можно только одним способом: написав формулу 0 = 0.

Затем Гёдель пошёл ещё дальше. Математическое доказательство состоит из последовательности формул. Поэтому Гёдель назначил каждой последовательности формул свой номер Гёделя. В данном случае он также начинает с последовательности простых чисел – 2, 3, 5, и т.д. Затем он возводит каждое из них в степень, соответствующую номеру Гёделя для формулы, находящейся на том же порядковом месте в последовательности (допустим, 2243 000 000, если первой идёт формула 0 = 0), и перемножает всё вместе.

Арифметизация математики


Замечательно, что даже утверждения, касающиеся арифметических формул, т.н. метаматематические утверждения, можно перевести в формулы, и назначить им собственные номера Гёделя.

Рассмотрим сначала формулу ~(0 = 0), означающую «ноль не равен нулю». Она явно ложная. Тем не менее, у неё есть номер Гёделя: 2 в степени 1 (номер Гёделя для символа ~), умноженное на 3 в степени 8 (номер Гёделя для символа «левая скобка»), и так далее, что в итоге даёт 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139.

Поскольку мы можем генерировать номера Гёделя для всех формул, даже ложных, мы можем осмысленно рассуждать о них, используя их номера Гёделя.

Рассмотрим утверждение «Первый символ формулы ~(0 = 0) это тильда». Это истинное метаматематическое утверждение, касающееся ~(0 = 0), превращается в утверждение о номере Гёделя конкретной формулы – а именно, что его первая степень равняется 1, то есть, номеру Гёделя для тильды. Иначе говоря, наше утверждение говорит о том, что в 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139 есть только один множитель «2». Если бы ~(0 = 0) начиналась с любого другого символа, кроме тильды, в её номере ГЁ было бы, по меньшей мере, два множителя 2. Так что, если сформулировать точнее, 2 является множителем 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139, а 22 — не является.

Мы можем преобразовать последнее предложение в точную математическую формулу, и записать её при помощи элементарных символов. У этой формулы, естественно, будет свой номер Гёделя, который мы сможем подсчитать, сопоставив её символы степеням простых чисел.

Если вам интересно, то формулировка получается такая: существует такое целое х, что х, помноженное на 2, будет равно 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139, но не существует такого целого х, чтобы оно, помноженное на 4, давало 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139. Соответствующая формула выглядит так:

(∃x)(x × ss0 = sss … sss0) ⋅ ~(∃x)(x × ssss0 = sss … sss0)

Где sss … sss0 обозначает 21 × 38 × 56 × 75 × 116 × 139 копий символа следующего элемента s. Символ ⋅ означает «и», и представляет собой более краткую запись для фундаментального словаря: p ⋅ q означает ~(~p ∨ ~q).

Данный пример, как писали Нагель и Ньюмен, «иллюстрирует общую и глубокую идею, лежащую в основе открытия Гёделя: мы можем очень точно говорить о типографических свойствах длинных последовательностей символов, но не напрямую, а через свойства разложения на простые множители больших целых чисел.

Преобразовать в символы можно и метаматематические утверждения. „Существует некая последовательность формул с номером Гёделя х, доказывающая формулу с номером Гёделя k“ – или, короче говоря, „формула с номером Гёделя k доказуема“. Именно возможность „арифметизировать“ подобные заявления и заложила основы переворота.

G само по себе


Дополнительно Гёдель догадался о том, что можно подставить собственный номер Гёделя, обозначающий формулу, в саму формулу – а это уже ведёт к нескончаемым проблемам.

Чтобы понять, как работает эта подстановка, рассмотрим формулу (∃x)(x = sy). Она означает „существует переменная x, являющаяся следующим элементом для y“, или, проще говоря, „у ''y'' есть следующий элемент“. Как и у всех формул, у неё есть свой номер Гёделя – некое большое целое число, назовём его m.

Теперь введём число m в формулу вместо символа y. Получится новая формула (∃x)(x = sm), означающая „у m есть следующий элемент“. Как назвать номер Гёделя для этой формулы? Нам нужно передать три особенности: мы начали с формулы, имеющей номер Гёделя m. В ней мы заменили символ y на символ m. И, согласно ранее описанной схеме сопоставления, номер Гёделя у символа y равен 17. Давайте тогда обозначим номер Гёделя новой формулы sub(m, m, 17).

Подстановка формирует основу доказательства Гёделя.


Студент Курт Гёдель в Вене. Теоремы о неполноте он опубликовал в 1931 году, через год после получения диплома.

Он рассмотрел следующее математическое утверждение: „Формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“. Вспоминая только что принятые нами обозначения, мы знаем, что формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) мы получаем, взяв формулу с номером Гёделя y (некая неизвестная переменная) и подставив эту переменную y везде, где в формуле стоит символ с номером Гёделя, равным 17 (то есть, везде, где встречается y).

Голова уже начинает кружиться, но, тем не менее, мы определённо можем перевести наше метаматематическое утверждение, „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“, в формулу с уникальным номером Гёделя. Назовём его n.

И последний этап подстановок: Гёдель создаёт новую формулу, подставляя число n везде, где в предыдущей формуле стоит y. Его новая формула получается следующей: „Формулу с номером Гёделя sub(n, n, 17) нельзя доказать“. Назовём эту формулу G.

У G, естественно, есть номер Гёделя. Каков этот номер? Вуаля – он должен равняться sub(n, n, 17). По определению, sub(n, n, 17) – это номер Гёделя для формулы, которая получается путём взятия формулы с номером Гёделя n и подстановки n везде, где в формуле встречается символ с номером Гёделя, равным 17. И G именно такая формула и есть! Поскольку целые числа раскладываются на простые множители уникальным способом, нам становится понятно, что формула G говорит нам только о самой формуле G, и более ни о какой другой.

G говорит о том, что её саму нельзя доказать.

Но можно ли доказать G? Если бы это было возможно, это означало бы, что существует некая последовательность формул, доказывающих формулу с номером Гёделя, равным sub(n, n, 17). Но это противоположность формулы G, утверждающей, что такого доказательства не существует. Противоположные утверждения, G и ~G, в непротиворечивой системе аксиом не могут быть одновременно истинными. Поэтому G должна быть недоказуемой.

Однако, несмотря на то, что G доказать нельзя, она определённо правдива. G говорит, что „формулу с номером Гёделя sub(n, n, 17) нельзя доказать“, а именно это мы и установили! Поскольку G – истинное, но недоказуемое утверждение, существующее в рамках аксиоматической системы, которую мы использовали для его построения, эта система неполна.

Можно подумать, что мы можем просто добавить некую дополнительную аксиому, использовать её для доказательства G, и разрешить этот парадокс. Но это невозможно. Гёдель показал, что дополненная система аксиом позволит создать новую истинную формулу G' по той же схеме, что и ранее, которую нельзя будет доказать в рамках новой, дополненной системы. Пытаясь построить полную математическую систему, вы будете лишь безуспешно гоняться за собственным хвостом.

Отсутствие доказательства непротиворечивости


Теперь мы знаем, что если набор аксиом непротиворечив, он неполон. Это первая теорема Гёделя о неполноте. Из неё легко следует вторая – ни один набор аксиом не может доказать свою непротиворечивость.

Что означало бы, если бы набор аксиом мог доказать, что он никогда не вызовет противоречий? Это означало бы, что существует последовательность формул, построенных на этих аксиомах, доказывающих формулу, которая метаматематически означает „этот набор аксиом непротиворечив“. Но тогда, согласно первой теореме, этот набор аксиом обязательно был бы неполным.

Однако сказать, что „набор аксиом неполон“, это то же самое, что сказать „существует истинная формула, которую нельзя доказать“. А это равнозначно нашей формуле G. А мы знаем, что аксиомы не могут доказать G.

Так Гёдель построил доказательство от противного: если бы набор аксиом мог доказать собственную непротиворечивость, тогда мы могли бы доказать G. Но мы этого сделать не можем. Следовательно, ни один набор аксиом не доказывает собственную непротиворечивость.

Доказательство Гёделя убило поиски непротиворечивой и полной математической системы. Математики „не смогли осознать всю глубину“ неполноты, писали Нагель и Ньюмен в 1958. И сегодня это утверждение остаётся истинным.

См. также:

AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 346

    +15
    Теперь я понимаю отношение Альфреда Нобеля к математике.
      +5
      Просто кривая статья, видать снова политика вмешалась. Я хорошо когда-то разбирался в этой теме, но из статьи сам бы в конец во всем запутался. Чтобы понять доказательство Геделя, нужно иметь небольшую культуру формальных логических рассуждений: остальное буде просто.
        +3
        А есть нормальное объяснение? а то эта игра слов приводит к разочарованию.
          0

          Надо раскуривать мат. логику. Без хорошего математического аппарата и умения жонглировать аксиоматиками, это так и останется игрой слов.
          К сожалению, не могу посоветовать конкретный учебник, но копать надо явно в эту сторону:)

            0
            я так понял, что это что-то типа рекурсивного парадокса есть утверждение А=«невозможно доказать невыводимость» и получается что невозможно доказать невыводимость А.
            0
            Есть такое объяснение (не совпадающее с оригинальным, если где-то нужно чуть подробнее описать — не стесняйтесь):
            1. Задача остановки не разрешима. То есть нету алгоритма, который берет на вход описание алгоритма и отвечает на вопрос остановится он на пустом входе или нет. В самом деле, если бы такой алгоритм существовал, то можно было бы построить «диагональную» функцию, которая с i-ой отличается на входе i.
            2. Утверждение «алгоритм останавливается» формализуется в любой достаточно богатой системе (и это самая технически сложная часть, если использовать «минимальный необходимый» формализм, но если взять чуть более богатый, чем необходимый минимум, то это довольно просто).
            3. Если есть перечислимая система аксиом, в которой были бы доказуемы все истинные утверждения этой модели, то проблема останова была бы разрешима. В самом деле — либо «эта программа останавливается на пустом входе», либо «эта программа не останавливается на пустом входе» — истинное утверждение. Если для любой программы доказуемо ровно одно из них — мы решили проблему остановки.

            PS forany.xyz/a-227 — еще один достаточно хороший материал, лекция для старших школьников (кроме другой ссылки на Успенского, которую я дал ниже по дискуссии)
              0
              1. Задача остановки не разрешима. То есть нету алгоритма, который берет на вход описание алгоритма и отвечает на вопрос остановится он на пустом входе или нет. В самом деле, если бы такой алгоритм существовал, то можно было бы построить «диагональную» функцию, которая с i-ой отличается на входе i.

              Вы не могли бы поподробнее по поводу невозможности алгоритма и диагональной функции? В русской вики-статье о проблеме остановки дано доказательство, но у меня сомнения в его корректности.

                0
                Да, конечно.

                1. Заметим, что если умеем решать проблему остановки на пустом входе, то умеем решать на любом входе. В самом деле: пусть мы хотим узнать останавливается ли А на входе х. Рассмотрим композицию двух алгоритмов — один берет пустой вход и выдает х, а второй наш алгоритм А (который читает выход первого алгоритма и выдает то, что считает нужным выдать). Это композиция останавливается тогда и только тогда, когда останавливается А на входе х.
                2. Построим диагональную всюду определенную функцию. f(A) = 1, если A не останавливается на входе А и f(A) = A(A) + 1, если останавливается.
                Это какая-то вычислимая функция (если проблема остановки разрешима). Посмотрим на f(f) — это какое-то значение (так как функция всюду определенная), но если f(f) определено, то f(f) = f(f) + 1, а так не бывает.
                  0

                  Но ведь это доказывает несуществование только этой специально выбранной функции. Почему принимается, что анализатор должен быть именно таким и только таким?
                  Почему не принять за анализатор другую функцию, которая выдает 1 если алгоритм не останавливается и 0 в противном случае?

                    0
                    Я, вроде, нигде не пользовался явной формой анализатора.
                    Мне всего лишь было важно алгоритмически определить останавливается A(A) или нет.
                    Для Вашего анализатора алгоритм для f будет выглядеть вот так:
                    f(A):
                    Если Анализатор(А,А) = 1 { вернуть 1 }
                    Иначе { вернуть А(А) + 1 }
                    0
                    f(f) = f(f) + 1, а так не бывает.
                    конечно не бывает. у вас же f(f) = А(f) + 1, а не f(f) + 1.
                    Т.к. функция f — зацикливается сама на себе, то никакого противоречия нет.
                      0
                      конечно не бывает. у вас же f(f) = А(f) + 1, а не f(f) + 1.

                      f(A) = A(A) + 1, если подставить f в качестве аргумента: f(f) = f(f) + 1

                        0
                        если взять искомый оракул, и добавить ему зацикливание на самом себе, то никакого противоречия не будет.
                          0
                          если взять искомый оракул, и добавить ему зацикливание на самом себе, то никакого противоречия не будет.

                          Противоречие в том, что, согласно начальному предположению, никакого зацикливания нет. Но из того, что его нет, следует, что оно есть, т.к. f(f) = f(f) + 1 определенно зацикливается.

                            0
                            начальное положение относится к «оракулу на любых алгоритмах». Я же этот оракул модифицировал так, что мой оракул сам на себе выдает 1.
                            И этот оракул спокойно вашу задачу решает.
                              0
                              Если есть алгоритм, который решает проблему останова для всех программ кроме одной (как-то конкретно полученной из своего собственного кода?), то из него легко построить алгоритм, который решает проблему останова для всех возможных алгоритмов: достаточно проверять вход на равенство этому «exceptional» входу, если не равен вызывать ослабленный алгоритм проверки на остановку, если равен — давать ответ.
                                0
                                да я обеими руками за! Больше алгоритмов хороших и разных!
                                  0
                                  Так собственно предположив, что есть алгоритм, который решает проблему останова для почти всех программ (для всех кроме одной?) мы получили противоречие.
                                    0
                                    извините, но нет — противоречие получается только для алгоритма, который пытаются сделать самоприменимым.

                                    По-простому: в брадобреях — никаких парадоксов нет, они просто работают. Но если поставить определенные условия, то возникнет "парадокс брадобрея. То что из наличия такого парадокса — ктото строит отрицание брадобреев, это довольно странное явление ИМХО…
                                      0
                                      Программы, которые что-то делают с программами (не обязательно только с собой, обычно со всеми программами) — это часть жизни.

                                      Например, компиляторы или статические анализаторы — они ровно из этой серии.
                                        0

                                        Для доказательства неразрешимости проблемы останова используется приведение к противоречию, но парадоксов и противоречий в самой проблеме останова никаких нет.


                                        Для любой машины Тьюринга, пытающейся решить проблему остановки (назовём её H), существуют программы, которые не останавливаются, но H не может доказать, что они не останавливаются, и не может доказать, что они останавливаются, и не может определить когда нужно прекратить попытки доказательства. Всё. Парадоксов тут нет. Просто существуют такие странные программы для машины Тьюринга.


                                        И такие программы есть в явном виде. См. https://www.scottaaronson.com/blog/?p=2725


                                        Машина Тьюринга, о которой там говорится, работает вечно (если теория SRP непротиворечива), но доказать или опровергнуть это невозможно, если исходить только из ZFC.

                                  0

                                  Эм, и что? Это никак не устраняет противоречие. Какая разница, как вы модифицировали оракул? Нам важен оригинальный, немодифицированный. Возможности его модификации никак и ни на что не влияют в доказательстве.

                                    0
                                    ну вы же модифицируете оригинальный оракул, почему остальным нельзя модифицировать и делать выводы на основании своих модификаций?
                                      0

                                      Так модифицируйте на здоровье. Важно, можно ли из существования такой модификации сделать какой-то вывод. Из существования вашей модификации никакой вывод не делается. А из существования оригинальной модификации делается вывод, что оракула не может существовать.
                                      И наличие каких-либо других модификаций никак на этот результат не влияет — оракула не существует и существовать не может. Конец.


                                      извините, но нет — противоречие получается только для алгоритма, который пытаются сделать самоприменимым.

                                      Так если алгоритм, который решает проблему остановки, существует — то он гарантированно самоприменим, просто по определению. Если же он к себе неприменим — значит, он проблему остановки не решает.

                                        0
                                        единственного оракула которого не существует — самоприменимого.
                                        Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.
                                          0
                                          Так смотрите — если есть программа, которая умеет решать проблему остановки для всех программ кроме одной, то можно построить программу, которая уже для всех-всех программ дает правильный ответ: если вход совпадает с исключительным входом — просто написать ответ, если вход не совпадает — воспользоваться оракулом.
                                            0
                                            и что из этого?
                                            Парадоксами вы запретите только свою модификацию оракула, а не оригинал.
                                              0
                                              Я запрещаю оригинальному оракулу быть вычислимым.

                                              Потому что если оригинальный оракул вычислим, то и модифицированный (в силу того, что модификация вычислимая) — тоже вычислим.

                                              А модифицированный оракул уже никак не может быть вычислимым по обсужденным выше причинам.
                                                0
                                                стоп-стоп, модификацию вы сами сделали невычислимой (ну или у вас можно вычислять бесконечные циклы, я не знаю).

                                                для примера:
                                                1) вычислима ли f(х) = 1? да
                                                2) вычислима ли g(х) = while(х < 1){x = f(x);}? да
                                                3) вычислима ли h(х) = while(х < 1){x = f(x) — 1;} ??? ой

                                                и теперь из невычислимости (3) вы делаете выводы об (1)
                                                  0
                                                  В каком именно переходе появляется невычислимость?

                                                  Рассмотрим функцию двух строк S(f, x) = 1, если f (точнее, программа записанная строкой f) останавливается на входной строке x, и 0 иначе.

                                                  Это тот самый оракул, невычислимость которого мы хотим доказать.
                                                  Пусть он вычислим.
                                                  Тогда функция g(f) = f(f) + 1, если S(f,f)=1 и 0 иначе — тоже вычислимая. Алгоритм ее вычисления (с использованием оракула) очень простой:
                                                  1. Вычисли S(f,f).
                                                  2. Если S(f,f) = 1, то вычисли f(f) и верни f(f) + 1 (поскольку S(f,f) = 1 это вычисление заканчивается)
                                                  3. Если S(f,f) = 0, то верни 0.

                                                  Если оракул вычислим, то g — это тоже вычислимая функция (еще и всюду определенная). Значит, F(g,g) = 1. И g(g) = g(g) + 1. Откуда получается противоречие.
                                                    0
                                                    а можно у вас спросить определение F(x,y)?
                                                    S(f,x) — вижу
                                                    g(f) — вижу
                                                    F(x,y) — не вижу…

                                                    UPD: Заранее скажу, что оракул выдает S(f, f) = 0
                                                    UPD2: причем всегда выдает 0, независимо от того, что там в реальности вычисляет f — считайте это такой хитрой оптимизацией его работы.
                                                      0
                                                      UPD3: для интереса можно усилить f: «S(f,f) всегда равно 0 ТОЛЬКО если внутри f есть вызовы функции S(x,y)»
                                                        0
                                                        Опечатался, S(g,g) должно быть.

                                                        Откуда такое странное ограничение на оракул?
                                                        На самом деле, даже S(x, 0) не вычислимая функция, как обсуждалось раньше.

                                                        Потому что пользуясь только ею (как функцией одного аргумента) можно построить полный S(x, y): рассмотрим алгоритм x' устроенный следующим образом — он игнорирует свой вход и запускает x на входе y. Очевидно, что S(x,y) = S(x', 0). Т.е. умея вычислять S(x', 0) мы умеем вычислять полный S.
                                            0

                                            Как вы определяете вот это "кроме себя"? Это любой алгоритм который не содержит вызовы к самому себе, т.е. какие-то обертки тоже нельзя? А если такой же алгоритм но модифицированный так, что это не влияет на результат? это уже другой?

                                              0
                                              так оракул же и определяет.
                                              модифицировать вы его можете как угодно.
                                              +1
                                              Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.

                                              Уточню. Оракул — это черный ящик с магией внутри, который решает алгоритмически неразрешимую проблему. Например, оракул, решающий проблему остановки машин Тьюринга. Подать этот оракул на вход самому себе невозможно, потому что он принимает на вход машины Тьюринга, но сам машиной Тьюринга не является.


                                              Существование такого оракула непротиворечиво, но неизвестно можно-ли реализовать его в нашей вселенной. Так что "Все остальные оракулы [...] существуют" означает существование в платоническом мире математических идей, а не в виде реального устройства.

                                                0

                                                Тогда, как я понимаю, мы приходим к Гёделю. Т.к. это и есть тот самый объект про который нельзя ничего доказать в рамках нашей теории.

                                                0
                                                единственного оракула которого не существует — самоприменимого.
                                                Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.

                                                Совсем нет. Тот факт, что программа не применяется к самой себе, сразу гарантирует, что она не применяется к огромному классу программ, с ней не совпадающих.


                                                При этом определить применяется или нет — нельзя, это тоже алгоритмически неразрешимая задача. Соответственно, толку от такого оракула нет, он указанной задачи не решает.

                          +5
                          я ребенку объяснял так:
                          берем листок в клетку, обводим квадрат 2х2 клетки.
                          Ставим в левом нижнем квадрате точку, из точки проводим три луча так, чтобы они пересекали остальные 3 квадрата.
                          Квадраты — это какие-то утверждения, лучи — это наши аксиомы и то что мы с их помощью можем доказать, а луч, пересекающий квдрат — значит «доказывает» это утверждение. (повторяю — это всё аналогия для младшего школьного возраста. Не пытайтесь применить в реальной математике :) )
                          Теперь смотрим — что у нас есть? В нашем квадрате 2х2 все утверждения «доказаны». Красота.
                          Также мы можем видеть, что куча других утверждений вне этого квадрата тоже могут быть «доказаны».
                          Обведем вокруг нашего квадрата квадрат 5х5. Мда, не во все клеточки этого квадрата попадают наши лучи — т.е. «существуют утверждения, про которые мы не можем доказать ни их ложь, ни их справедливость». Добавим лучей так, чтобы они проходили через эти квадраты. Снова будет красота.
                          Однако для квадрата 20х20 снова появятся «дырки»… в общем — я думаю не нужно быть семи пядей во лбу, чтобы понять, что какбы мы плотно не рисовали свои линии, если отойти достаточно далеко, то всегда найдется такая предательская клеточка, по которой наши линии не пройдут.
                          Вот Гедель это самое про аксиомы и доказал. Только строго математически.
                            0
                            Только бывают нетривиальные исчисления в которых все истины доказываются :)

                            Например, натуральные числа только с нулем и операцией +1, если я правильно помню, ровно такие.
                              +1
                              Насколько я понимаю всё, что включает в себя арифметику Пеано (аксиоматика натуральных чисел) попадает под условия Геделя. И её полноту и непротиворечивость долго пытались доказать.
                                +1

                                На самом деле достаточно даже более слабой арифметики Робинсона для неполноты.

                                  0
                                  Арифметику Пеано не полна, но это не значит, что нельзя доказать ее непротиворечивость используя при помощи большего набора аксиом, что в принципе и сделали с помощью теории множеств — iphras.ru/uplfile/logic/log08/Li8__Nagorniy.pdf
                                    0
                                    Логика второго порядка не полна по Геделю, а первого порядка — полна.
                                    0

                                    Из более интересного такова арифметика Пресбургера, например. Или какая-нибудь QF-EUFLA.

                                    0
                                    Здравствуйте. А нет ли в условиях теорем скрытого условия о бесконечности и что делать, когда обнаружится, что Вселенная конечна и по границам и по времени существования и что ей правит Метапрограмма
                                      0
                                      Тогда это будет уже не важно.
                                        0

                                        Граница — это одна и та же определенность, соединяющая и разделяющая два нечто. Одно из этих нечто — Вселенная, а второе что? Это второе нечто также необходимо отнести к Вселенной, если последняя означает все, что нас окружает. А это значит, что границ у Вселенной нет.

                                          0
                                          Одно из этих нечто — Вселенная, а второе что?

                                          А второе неопределяемое, у нас нет и не будет достаточной информации для размышления об этом, но в границах Вселенной все познаваемо, В Каббале, например, то что Вне обозначено приставкой Без, А любые границы-это форма содержания, Как тело человека, Вселенная и человек созданы на одних и тех же принципах. Условно говоря Гедель работает в рамках Евклида, а в замкнутой системе -его теоремы бессмысленны.
                                      0

                                      Есть очень неплохая книга: Гедель, Эшер, Бах. Там, в частности, рассматривается доказательство теоремы Геделя.
                                      Не скажу, что очень просто, но, если захотеть, то, думаю, можно разобраться без математического образования.

                                        +2
                                        Мягко говоря не очень простое. У меня образование техническое, я за эту книгу дважды брался, прочел, но так и не могу сказать что понял доказательство. Какое-то двойственное чувство, по отдельности отступления и диалоги понятны, но все вместе — никак.
                                        +3

                                        Допустим, у нас есть некоторая формальная теория Т. Например, этой теорией может быть арифметика — т.е. объекты данной теории будут числами.
                                        Далее допустим, что можно Т погрузить "саму в себя" — т.е. мы утверждения о Т и ее формулах кодируем объектами внутри самой Т. Характер кодировки при этом для нас не существенен — геделевская нумерация лишь один из возможных подходов. Важно лишь, что кодировка существует.


                                        Теперь рассмотрим формулу "данная формула невыводима". Если такая формула в Т может быть построена — то, очевидно, эта формула будет искомой, т.к. ее выводимость либо выводимость ее отрицания приводит к противоречию.


                                        Так вот, записать эту формулу напрямую в Т мы не можем, теория просто не имеет средств для того чтобы записать эту формулу вот в таком виде как есть. Правила, по которым строятся формулы теории, не позволяют самореференцию.
                                        Тут-то нам на помощь и приходит наше "погружение"-кодировка. Мы рассматриваем все формулы Т с одной свободной переменной и и перенумеровываем их, т.о. каждойму числу ставится в соответствие формула, а каждой формуле — число. будем обозначать это как F(n) = x, где х — формула, а n — соответствующее число, при этом т.к. х имеет одну свободную переменную то мы можем записать подстановку как F(n)(k) = x(k), где k — некоторое число и x(k) — соответственно, уже замкнутая формула. Далее мы можем определить предикат P, который обозначает выводимость, и записать формулу ~P(F(n)(n)) (ака "формула F(n)(n) не является выводимой") — у этой формулы есть свободная переменная n, т.о. сама эта формула соответствует некоторому числу m, т.е.: F(m) = ~P(F(n)(n)), теперь мы просто подставляем в эту формулу m и получаем искомую замкнутую формулу, которой соответствует интерпретация "эта формула невыводима". Действительно, F(m)(m) = ~P(F(m)(m))

                                          0

                                          Т.е получается из любой формулы с свободным аргументом x(k) можно такое сконструировать?

                                          –3
                                          Непротиворечивых арифметик можно создать бесконечно много, в них 2+2 может быть и 1, и 10, и рандом и вообще чего угодно и это корректно

                                          Вопрос в том, а что там вообще происходит в вашей Вселенной с 2+2?
                                          Если в Вашей Вселенной 2+2=4, то Вы делаете AriphmeticBuilder.setMainUniverceRule(«2+2=4»).build(); и получаете арифметику, которая работает с предметами в такое мире, где 2+2=4. В нашем мире вроде если к двум предметам положить ещё 2, то видно что предмета 4, так что можно пока так наблюдается использовать эти конфиги и этот экземпляр арифметики

                                          Вот когда Вы ставите конфиг про 2+2=4 — это и есть аксиома в терминах математики, она просто настройка, связывающая эту матеметическую модель с Вселенной
                                            0
                                            Да есть. По крайней мере одно из них подробно изложено в книге «Введение в метаматематеку» Клини. Эта книга в мире считается классикой изложения геделевской конструкции, даже лучше, чем в оригинальной статье, потому что писалась намного позже и с доработками всех маститых логиков тех времен. У человека, закончившего вуз, займет 2 -3 месяца чтения по вечерам, но я предупреждаю: после вы уже никогда не станете прежними.
                                              +3
                                              Если сделать много допущений и всё очень сильно упростить, то получится вот так:

                                              Пусть у нас есть система, в которой есть утверждения, причём эти утверждения мы умеем записывать в виде чисел (сериализовывать), и они могут быть либо истинными, либо ложными, и зависят от входного аргумента (есть операция подстановки). Мы хотим доказать, что в рамках такой системы невозможно определить утверждение G(f, x), которая берёт утверждение f, и подставляя в него x «возвращает true», если f(x) выводится из наших аксиом, как true, и false, если f(x) выводится, как false.

                                              Например, пусть у нас есть числа, которые мы умеем складывать и сравнивать. Тогда мы можем сформилировать утверждения f0 «x+1=1+x», f1 «x=0» и f2 «x+1=2+x». Тогда G(f0, 5) будет true, G(f1, 0) будет true, G(f1, 1) будет false, G(f2, 0) тоже будет false.

                                              Теперь сформулируем утверждение H(f) как «NOT G(f, f)». Если попытаться вычислить G(H, H), то мы получим противоречие: G(H, H) = H(H) = NOT G(H, H).
                                                0
                                                Доказательство свелось к конструированию обобщённого парадокса «это утверждение ложно». Если это утверждение действительно ложно, то оно истинно, а если оно истинно, то оно ложно — парадокс. А для обобщения Гедель ввёл систему нумерации, чтобы можно было убедиться что подобных парадоксов можно вывести бесконечно много.
                                                  +1
                                                  Доказательство свелось к конструированию обобщённого парадокса «это утверждение ложно».

                                                  Только не "это утверждение ложно", а "это утверждение невыводимо". Соответственно — если оно выводимо, то ложно, что противоречит корректности теории (можно вывести ложное утверждение). Если же оно невыводимо — то истинно, при этом мы и получаем истинное, но невыводимое утверждение. При этом парадокса никакого нет.

                                                    0
                                                    Да, спасибо за исправление, я увёл в сторону с парадоксом. Надо было сказать «по аналогии с парадоксом». Действительно, он доказывает что можно создать бесконечное количество невыводимых утверждений, а не парадоксальных.

                                                    Впрочем я думаю что и парадоксальных утверждений можно создать такое же точно бесконечное количество, как и невыводимых. :)
                                              +2

                                              Почему теперь? И как относился Нобель к математике?

                                                –3

                                                Относился не очень, и сознательно не включил математику в список дисциплин, за которые вручают премию имени его. По слухам, из-за того, что какой-то математик успешно приударил за Нобелевской женой.

                                                  +4

                                                  Он не был женат :) И нет никаких свидетельств того, что он относился к математике "не очень".
                                                  Я задал вопрос dvserg скорее интересуясь, каким образом данная статья прояснила для него вопрос об отношении Альфреда Нобеля к математике.

                                                    0
                                                    Sergey_Kovalenko habr.com/ru/post/512518/#comment_21892222 примерно выразил мысль.
                                                    Математика хоть и царица наук, но периодически ее теории и выкладки вводят в замешательство ("Однако сказать, что „набор аксиом неполон“, это то же самое, что сказать „существует истинная формула, которую нельзя доказать“). Про А. Нобеля фраза носила скорее шутливый оттенок.
                                                      +2

                                                      То, что математика вводит кого-то в замешательство, совершенно не пошатывает ее положение на "троне". Скажу больше: любая достаточно сложная теория вводит в замешательство большинство людей. И это свидетельствует не о слабости/недостатке теории, а скорее об ограниченных возможностях ее понимания для этого большинства.

                                                        0
                                                        И не все считают математику наукой. Есть второе название -инструмент.
                                                          0
                                                          Поясню. Некоторые считают что Наука:
                                                          1) Изучает то, что имеется в нашей Вселенной. То чего там нет, но хочется чтобы было (торсионные поля, к примеру) изучает паранаука.
                                                          2.) Результат научного исследования проверяем и повторяем.

                                                          И с первым, и со вторым в математике плохо. Со вторым -особенно.
                                                            0
                                                            А ещё некоторые считают, что математика — это язык. А наука от слова «научить». Так что противоречий нет.
                                                              0
                                                              Тоже неплохо.
                                                              Язык может быть инструментом. Противоречий нет
                                                              0
                                                              И с первым, и со вторым в математике плохо. Со вторым -особенно.

                                                              Что именно плохо в математике с проверяемостью и повторяемостью?
                                                              У вас результат умножения одних и тех же чисел каждый раз разный?

                                                                0
                                                                Я здесь оставлю habr.com/ru/post/511556

                                                                Если коротко, то математика стала настолько сложна, что истинность новых теоретических построений сложно проверить, если всего 2-3 человека в мире способны их понять. И у них нет ни времени, ни желания заниматься проверкой.

                                                                И получается, что истинность основана на честном слове автора.
                                                                В науке такое невозможно.

                                                                И обычно, в науке к результату можно прийти несколькими путями. В математике с эти сложно.
                                                                  0
                                                                  Кризис воспроизводимости (это как раз и «честное слово автора», и нежелание проверять чужие результаты) — не специфичен для математики, вроде бы.
                                                                0
                                                                Некоторые считают что Наука:
                                                                1) Изучает то, что имеется в нашей Вселенной. То чего там нет, но хочется чтобы было (торсионные поля, к примеру) изучает паранаука.

                                                                Не совсем. Наука — деятельность по выработке новых достоверных знаний о действительности. Действительность включает как вещи, так и идеи.
                                                                Говорить о торсионных полях как о чём-то существующем в физической реальности — неверно, т.к. объективно их нет. Рассуждать о них как о философском или, может быть, социологическом феномене — может быть наукой. Но не надо смешивать философию и физику.

                                                                  0
                                                                  Физика вполне может «изучать» вместо 3-мерного пространства 2- или 4-мерное. Сначала доказать, что в классической механике без ОТО ни тот, ни тот вариант Вселенной нам не подходит, т.к. антропный принцип рулит. Потом может внезапно выйдет, что в КМ тоже не подходит, но по полностью противоположной причине (пруфов не найду).
                                                                  0
                                                                  В математике есть куча теорем. В физике есть теоремы. И те, и те теоремы можно доказать.
                                                                  А если разделы математики про свойство 12-мерного куба не имеют применения к физике или к моделированию экономики — может в 2100 году будет иметь.
                                                                    0
                                                                    А если разделы математики про свойство 12-мерного куба не имеют применения к физике или к моделированию экономики — может в 2100 году будет иметь.

                                                                    В машинном обучении многомерные (сотни и тысячи измерений) пространства активно используются уже сейчас. Может, и какая-то теоремка про 12-мерный куб найдёт применение.

                                                                      0
                                                                      При желании в физике можно поставить задачу «взять интеграл по пространству размерности 6N», где N — число частиц в системе.
                                                                      0
                                                                      Отлично, а теперь давайте представим, что в физике доказательство сводится к заявлению -" Доказал, ошибок нет, мамой клянусь". Бред?
                                                                      А для математики нормальная ситуация.
                                                                        0
                                                                        Как оно в нормальной физике, скажем классической.
                                                                        Есть начальное состояние системы (x0,p0), есть конечное — (x1,p1). Есть принцип наименьшего действия, находим из него уравнение движения — в форме механики Лагранжа или Гамильтона.
                                                                        А в квантовой у нас «начальное состояние системы» и конечное вообще не определены точно. Но если действие на траектории много больше постоянной Планка, то механика Гамильтона становится хорошим приближением нерелятивистской КМ. Также можно сказать, что классическая траектория является наиболее вероятной. Если Вы «кинете камень под углом к горизонту», то с вероятностью 99.9..9% все его атомы будут найдены в объеме «совокупность объемов камня на классической траектории + одна постоянная решетки от классического положения атомов камня».

                                                                        Хотя для кого-то скажем кажется неправильной неопределенность без «скрытых параметров». И да, доказать основное уравнение КМ в принципе нельзя. Его результаты совпадают с экспериментом, дают создавать устройства с предсказуемыми параметрами. Уравнение имеет предел в виде классической механики, как ОТО имеет пределом гравитацию Ньютона. Но выводится путем некоторой специфической аналогии, ЕМНИП — с сохранением скобок Пуассона.
                                                                          0
                                                                          И да, доказать основное уравнение КМ в принципе нельзя.


                                                                          Да хрен с ним, с доказательством на бумаге. Его можно проверить экспериментально. В том и суть, что в математике, в ряде случаев, не проверить никак, кроме как поверить автору на слово.
                                                                            0
                                                                            Ну вроде не совсем.
                                                                            Есть проблема с тем, что не все и не всегда проверяют, но обычно (особенно если утверждение сильное) есть статья (или серия статей), в которой это утверждение доказывается.
                                                                            И «мамой клянусь, правда» — это не доказательство.
                                                                              0
                                                                              в математике, в ряде случаев, не проверить никак, кроме как поверить автору на слово

                                                                              Думаю это не совсем верно.
                                                                              Если автор предоставил доказательство — то его можно проверить (при достаточном приложении усилий).
                                                                              Если автор не предоставил доказательство, то все вытекающие заключения из этого утверждения считаем недоказанными.
                                                                              Конечно можно строить теории на недоказанных утверждениях, но я не понимаю какой в этом смысл.
                                                                                0
                                                                                Если автор предоставил доказательство — то его можно проверить


                                                                                Снова возвращаясь на круг — «если всего 2-3 человека в мире способны их понять. И у них нет ни времени, ни желания заниматься проверкой.»

                                                                                Конечно можно строить теории на недоказанных утверждениях


                                                                                Не «можно», а строят! Потому что выводы уж больно «вкусные».
                                                                                И это тоже огромная проблема. И начинается цепочка. Если в первой работе укажут что использовались черновые/непроверенные/неопубликованные работы, то в работе основанной на выводах этой работы такой ссылки может и не быть. Что логично, так как работа, построенная на выводах непроверенной работы, сама по себе может быть полностью проверяемой.

                                                                                  0
                                                                                  если всего 2-3 человека в мире способны их понять


                                                                                  Вполне возможно. Вот пример статьи, про числа. И про 12-мерный куб. Правда там пункты вроде «Computer Proof of Lemma 2.2».
                                                                                0
                                                                                На самом деле, любую физ. теорию можно модифицировать путем введения параметра, который при стремлении к 0 или к бесконечности дает привычную нам мат. форму уравнений. Потом наблюдаемые данные говорят «этот параметр больше 40000». И второе следствие — «другой введенный в теорию параметр близок к единице и при этом является решением уравнения Лапласа».
                                                                  0
                                                                  жаль, что Нобель не был женат)
                                                                    +9
                                                                    Будь он женат, денег на премию попросту бы не осталось — жена и наследники всё растащили бы…
                                                                    0
                                                                    Он почти ничего не включил в список дисциплин. Химию, физику и литературу, потому что сам увлекался этим при жизни, медицину и «за мир во всем мире», потому что гуманизм и вот это всё, ну и плюс влияние его зазнобы Берты фон Зуттнер.
                                                                      +1
                                                                      Нобель целью премии объявил обеспечение талантливых молодых ученых хорошим лабораторным оборудованием.
                                                                      Отсюда требования:
                                                                      1.Награждать сразу (за выдающееся достижение года);
                                                                      2.Сумма премии соответствующая стоимости лаборатории;
                                                                      3.Номинации в науках, требующих экспериментальной базы.
                                                                      Потому и не попала в список математика. Но принципы все равно не выполнялись. Большая часть премий присуждена за теоретические работы и спустя много лет после опубликования.
                                                                  +2
                                                                  «8 (номер Гёделя для символа «левая кавычка»)»
                                                                  Скорее это «левая скобка».
                                                                    +3

                                                                    Напоминает математический ремикс парадокса всемогущества бога (парадокс камня).

                                                                      +1
                                                                      Мне лично все доказательства от противного напоминают парадокс камня. Ещё со школы.
                                                                        0
                                                                        как ни странно, но парадокс камня отлично разрешается IMHO:
                                                                        «в состоянии ли всемогущее божество сотворить камень, который оно не сможет поднять?»
                                                                        Правильный ответ в _моей_ интерпретации:
                                                                        действительно всемогущее божество, находясь на уровне всемогущества X, несомненно может сотворить такой камень.
                                                                        в процессе творения данного предмета(либо сразу после его сотворения), божество перейдет из состояния X в состояние X+1, в котором этот камень может быть поднят.
                                                                        но, поскольку в момент сотворения камня (в состоянии X) он еще не может быть поднят — парадокс разрешен.
                                                                          +14
                                                                          Может ли всемогущее божество отменить все эти уровни всемогущества?
                                                                            +2

                                                                            Может, но при этом оно перейдёт на следующий уровень всемогущества.

                                                                              +2
                                                                              Может ли всемогущее божество отменить все эти уровни всемогущества?
                                                                              Вот так вот мы все здесь и оказались)
                                                                                +1
                                                                                Мне несколько интереснее вопрос «Может ли всемогущий Бог быстро сделать кого-то равным по силе себе?».
                                                                                  0
                                                                                  Только быстро и может, потому что в следующий момент перейдёт на следующий уровень всемогущества!
                                                                                    0
                                                                                    Я не имел в виду такую точность. Чтобы конкретно в этот момент от «экспы» бог «качнул уровень» и стал уже круче своего творения.
                                                                                    0
                                                                                    Все еще проще. Вот у нас есть куча камней, где камней бесконечность. Мы кинем в кучу еще один камень, станет ли куча больше?
                                                                                +11
                                                                                Всемогущество абсолютно, у него нет уровней. Иначе это просто могущество.
                                                                                  +4
                                                                                  бесконечность абсолютна, у неё нет уровней, а все эти (ах да, что вы там про алеф-нуль, алеф-один...?).
                                                                                    0
                                                                                    Это ортогонально рассматриваемой проблеме.
                                                                                    0
                                                                                    Может ли всемогущее божество сделать число пи равным четырём?
                                                                                      0
                                                                                      В военное время это, как твердит молва, даже армия умеет.
                                                                                        0
                                                                                        А пи для горбатых китов можно принять равным трём.
                                                                                          0
                                                                                          Да чему угодно! Главное, на нужный коэффициент домножить, чтобы результат с бухгалтерией сошёлся. :)
                                                                                            0
                                                                                            А пи для квадрата даже четырем! Интересно чему равно пи для равностороннего треугольника?
                                                                                            Если пи интерпретировать как константу в формуле пи * R^2 = площадь фигуры, а R как длина перпендикуляра опущенного в центр фигуры.
                                                                                          0
                                                                                          изменив метрику пространства — да.
                                                                                            +1
                                                                                            Увы, но нет. Пи от кривизны пространства-времени и числа измерений не зависит. Это штука всё же поглубже, чем отношение длины окружности к диаметру.
                                                                                        –5
                                                                                        Я разрешаю этот парадокс примерно таким же образом:
                                                                                        Всемогущее существо создает неподъемный камень, а потом просто придает себе способность поднимать такие неподъемные камни (действительно переходя на следующий уровень всемогущества)
                                                                                          +2
                                                                                          если камень можно поднять, то он неподъёмным не является по определению.
                                                                                            –4
                                                                                            А его нельзя поднять. А потом всемогущее существо берет и поднимает его
                                                                                              +2
                                                                                              Сама возможность того, что кто-либо, пусть даже всемогущее существо, может поднять неподъёмный камень, создаёт противоречие. В этом и суть парадокса.
                                                                                              Если всемогущее существо подняло камень, значит камень неподъёмным не был.
                                                                                                0
                                                                                                Считаем операции не идемподентными и атомарными при этом. Парадокс с камнем разрешён!
                                                                                                  0
                                                                                                  как идемпотентность разрешает парадокс?
                                                                                                    +1
                                                                                                    Камень во время создания поднять нельзя, а в дальнейшем — можно. (:
                                                                                                      0
                                                                                                      Ну значит это будет не неподъёмный камень, а камень который нельзя поднять во время создания, исходный парадокс это никак не разрешает.
                                                                                                      Вы просто пытаетесь придать неподъёмному камню дополнительные свойства, чтобы разрешить парадокс, но парадокс в исходной формулировке это не решит.
                                                                                            +5
                                                                                            sudo поднять камень
                                                                                              +7
                                                                                              Biga is not in the sudoers file. This incident will be reported.
                                                                                                +5
                                                                                                sudo: command not found
                                                                                                apt-get install sudo
                                                                                                Unable to lock the administration directory (...), are you root?
                                                                                                
                                                                                                  +3

                                                                                                  Дожили, уже без sudo не могут ничего поставить. Есть же su root!

                                                                                              0

                                                                                              Создание неподъёмного для себя камня означает что божество не является всемогущим. Это очевидный вывод.


                                                                                              Прибавив себе уровень "всемогущество+1" и подняв камень, божество покажет что создавало его не будучи всемогущим.


                                                                                              Так что от введения уровней всемогущества ничего не меняется.

                                                                                                0
                                                                                                Лично я считаю что само по себе наличие такого парадокса скорее связано с тем, что естественный язык позволяет такие конструкции, но не имеет никакого смысла при попытке что-то доказать от противного. К примеру, я могу написать «Фраза в кавычках в этом моём комментарии ложна», что является логическим парадоксом. Однако факт существования этого парадокса не заставляет исчезнуть написанную фразу в кавычках или весь комментарий, и меня в небытие тоже не отправляет.
                                                                                                  0

                                                                                                  Точно не отправляет? Тогда подозрительно, что это последний комментарий в вашем профиле.

                                                                                                    0
                                                                                                    Да, игра слов и понятий, в которой люди пытаются отыскать смысл и логические связи.
                                                                                                      0
                                                                                                      Здесь парадокс возникает от самоотнесения утверждений. Утверждения не должны утверждать что-то о себе ни напрямую, ни через другие утверждения, которые на него ссылаются.
                                                                                                        0

                                                                                                        "это утверждение истинно"


                                                                                                        "это утверждение состоит из нескольких слов"

                                                                                                          0
                                                                                                          У меня как раз на эту тему был сделан интеллектуальный мультфильм, и я об этом написал статью: habr.com/ru/post/474426
                                                                                                          Жаль, что отклик оказался слабый, непропорциональный моим затратам…
                                                                                                          0
                                                                                                          Так основной результат заключается в том, что доказуемость утверждения можно сформулировать в терминах самой арифметики, не выходя за ее примеры.

                                                                                                          Один из частный случаев теоремы Геделя: есть диафантово уравнение (т.е. просто многочлен с целыми коэффициентами, даже не очень большой, можно явно написать все, кроме одной константы.), у которого нету корней (если арифметика Пеано непротиворечива), но доказать это (в рамках арифметики Пеано) невозможно.
                                                                                                            0
                                                                                                            Так основной результат заключается в том, что доказуемость утверждения можно сформулировать в терминах самой арифметики, не выходя за ее примеры.

                                                                                                            Здесь вообще есть один тонкий момент — что значит "сформулировать в терминах самой арифметики". Мы устанавливаем определенное отношение между формулами теории и формулами метатеории — но штука в том, что никто не гарантирует корректности этого отношения (оно само по себе требует непротиворечивости метатеории).
                                                                                                            По-этому, вообще говоря, как примеры теоремы Геделя можно осмысленно рассматривать только те утверждения, которые невыводимы при наличии аксиомы о непротиворечивости.

                                                                                                              0
                                                                                                              От увеличения аксиоматики (добавлении аксиомы о непротиворечивости) множество выводимых утверждений же только растет, разве нет?

                                                                                                              Что вкладывается в «корректность» отношения?
                                                                                                              Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.
                                                                                                                0
                                                                                                                От увеличения аксиоматики (добавлении аксиомы о непротиворечивости) множество выводимых утверждений же только растет, разве нет?

                                                                                                                Ну да, растет. Я и говорю, что все те утверждения, которые "добавляются" при добавлении аксиомы непротиворечивости, не могут быть примерами теоремы Геделя, т.к. они выводятся метатеоретически — будучи истинными на какой-то содержательной интерпретации.


                                                                                                                Что вкладывается в «корректность» отношения?

                                                                                                                То, что отношение существует и обладает заданными свойствами. Оно ведь само является вполне конкретным математическим объектом — существование которого мы в метатеории и устанавливаем. Но если метатеория противоречива — то выводимость существования такого отношения не влечет, содержательно, истинность его существования..


                                                                                                                Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.

                                                                                                                Эм, нет, любая теория, в которой можно выразить Х, как минимум не слабее Х.

                                                                                                                  0
                                                                                                                  Дайте я начну с конца.

                                                                                                                  Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.


                                                                                                                  Эм, нет, любая теория, в которой можно выразить Х, как минимум не слабее Х.


                                                                                                                  Любая теория, в которой можно доказать Х, не слабее Х.
                                                                                                                  Но сформулировать, конечно, можно в более слабой.
                                                                                                                  Например, после того как мы вложили логику первого порядка в числа, можно сформулировать утверждение «2 + 2 = 5» (которое очень сильное).

                                                                                                                  Вся наша метатеория — она про то, «что такое доказательство» (с синтаксической точки зрения). Строки и числа можно сопоставить не изучая вопроса «какая аксиоматика поверх чисел».

                                                                                                                  Единственное тонкое место здесь — когда мы говорим, что «если теория непротиворечива, то нельзя получить доказательств ложных утверждений в этой теории». Но это утверждение — оно про корректность наших правил вывода, они опять не зависят от кодирования. Да, если мы в метатеорию добавим некорректное правило вывода — все сломается.
                                                                                                          0

                                                                                                          Собственно, да, все возмодные выражения можно разделить на 2 категории (в скобках примеры):


                                                                                                          • корректные ( 2 + 2 = 4 )
                                                                                                          • не корректные ( 2 = + )

                                                                                                          Понятие истинности применимо лишь к корректным выражениям:


                                                                                                          • истина ( 2 + 2 = 4 )
                                                                                                          • ложь ( 2 + 2 = 5 )

                                                                                                          А вот к не корректным понятие истинности вообще не применимо. При этом есть разные виды некорректных выражений:


                                                                                                          • синтаксически не корректные (2 = +)
                                                                                                          • семантически не корректные

                                                                                                          Семантически не корректные можно разделить на:


                                                                                                          • самоотрицание ( это утверждение ложно ). Они не истинны и не ложны одновременно, а потому бессмысленны.
                                                                                                          • самоподтверждение ( это утверждение истинно ). Их можно считать и истинными, и ложными одновременно, а потому они тоже бессмысленны.

                                                                                                          Объединяет эти два типа некорректных выражений самореференция. Соответственно, любые определения вводимые с помощью самореференции — не более чем софистика, а теоремы Гёделя и Кантора — математическая мастурбация.

                                                                                                            0
                                                                                                            Так не работает.

                                                                                                            Давайте начнем с чего-нибудь простого: «утверждение 2+2 = 4 — истино» — это семантически корректное утверждение или нет?

                                                                                                            А утверждение «среди утверждений длинны не более 5 слов есть ложные»?
                                                                                                            Или утверждение «среди утверждений длинны не более 1000 слов есть истинные»

                                                                                                            Прошу обратить внимание, что последнее утверждение — оно не выглядит саморефлексией, но, неожиданно, может рассматриваться как самоподтверждение.
                                                                                                            Если система достаточно богатая, то это можно сформулировать формально.

                                                                                                            Например, есть близкий аналог из теории вычислимости — теорема о неподвижной точке: для любого вычислимого преобразования алгоритмов (например, можно думать про программу, которая получает на вход корректный код на С, который читает строку на входе и что-то печатает, как результат, и дает на выходе код на С какой-то такой же программы) есть алгоритм, который не меняется этим алгоритмом (т.е. программа, полученная как результат, совпадает с программой на входе для любой строки-входа).
                                                                                                              0
                                                                                                              «утверждение 2+2 = 4 — истино» — это семантически корректное утверждение или нет?

                                                                                                              Вполне.


                                                                                                              последнее утверждение — оно не выглядит саморефлексией

                                                                                                              Выглядит. Корректно оно может звучать так: «среди утверждений длинны не более 1000 слов кроме данного есть истинные»

                                                                                                                0
                                                                                                                То есть мы не признаем оригинальное утверждение истинным?

                                                                                                                Тогда у нас есть проблема.
                                                                                                                Рассмотрим следующие три утверждения:
                                                                                                                1. «Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
                                                                                                                2. «Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 1000 слов.»
                                                                                                                3. «Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

                                                                                                                Какое из трех не является истинным?

                                                                                                                Если мы все три объявляем истинными, то мы обязаны объявить истинным и утверждение «среди утверждений длинны не более 1000 слов есть истинные» (это просто синтаксическое следствие предыдущих трех).
                                                                                                                  0
                                                                                                                  «Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»

                                                                                                                  Истина.


                                                                                                                  «Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 1000 слов.»

                                                                                                                  Не корректное выражение.


                                                                                                                  «Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

                                                                                                                  Истина.

                                                                                                                    0
                                                                                                                    Каким образом первое самореферентное?
                                                                                                                    Оно само длинное, а утверждает что-то только про короткие утверждения.

                                                                                                                    Каким образом второе самореферентное?
                                                                                                                    Оно вообще про конкретные множества, а не про само утверждение или свою истинность. Или смущает, что оно само входит во второе из множеств, о которых утверждает? Давайте заменим 1000 на 11. Тогда оно уже слишком длинное, чтобы входить в него.

                                                                                                                    Откуда саморферентность в третьем? Оно опять про какие-то множества и подмножества и общее определение истинности.
                                                                                                                      0

                                                                                                                      Я поправил комментарий, сори.


                                                                                                                      Да, именно это и смущает. Давайте заменим, но что это даст?


                                                                                                                      Оно всё же про множества выражений. Но вот если убрать выражения и оставить только множества, то да, истина.

                                                                                                                        0
                                                                                                                        Да, хорошо, напишем 11.

                                                                                                                        Тогда у нас есть:
                                                                                                                        1. «Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
                                                                                                                        2. «Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 11 слов.»
                                                                                                                        3. «Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

                                                                                                                        И все три мы считаем истинными.
                                                                                                                        Но тогда синтаксически (см. «modus ponens» или «силлогизм», что ближе) мы должны согласиться и с утверждением, которое из них троих следует:
                                                                                                                        «Среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные.»

                                                                                                                        Я тут подумал, что можно даже проще получить то же самое:
                                                                                                                        1. «2 + 2 = 4»
                                                                                                                        2. «Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).
                                                                                                                          0
                                                                                                                          мы должны согласиться и с утверждением, которое из них троих следует:
                                                                                                                          «Среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные.»

                                                                                                                          А так как мы получили самоотрицающее выражение, то доказали, что приведённые выше 3 утверждения противоречивы и требуют корректировки.


                                                                                                                          «Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).

                                                                                                                          Ну и, очевидно, это ложь, так как из одного не следует другого.

                                                                                                                            0
                                                                                                                            А так как мы получили самоотрицающее выражение, то доказали, что приведённые выше 3 утверждения противоречивы и требуют корректировки.


                                                                                                                            Мы же вот здесь договорились, что после замены на 11 все стало хорошо и ни одно из утверждений не является рефлексивным (а значит все три истины): habr.com/en/post/512518/?reply_to=21899626#comment_21899464

                                                                                                                            «Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).


                                                                                                                            Ну и, очевидно, это ложь, так как из одного не следует другого.


                                                                                                                            Это, очевидно, не ложь. Для того, чтобы импликация была ложью, необходимо, чтобы посылка была истина а следствие ложью. Максимум мы можем сказать, что это выражение целиком не имеет смысла (семантически некорректно), но уже не понятно почему — оно про себя точно ничего не утверждает.

                                                                                                                            Утверждение «если 2+2 = 4, то 3+3 = 6» — тоже истинное.
                                                                                                                            И даже «если 2+2 = 5, то 3+3 = 6» истина.
                                                                                                                              –1

                                                                                                                              Ребят, в теореме Геделя ничего нет про истинность, там речь о выводимости. И та самая формула, которая невыводима вместе с отрицанием — одновременно и истинна и ложна (просто в разных интерпретациях). И там нет никакого парадокса и внутреннего противоречия.

                                                                                                                                0
                                                                                                                                У теоремы Геделя есть и семантическая версия: для любой эффективной аксиоматизации натуральных чисел есть формула, истинная в стандартной модели натуральных чисел, но не выводимая в этой аксиоматизации.
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  истинная в стандартной модели натуральных чисел, но не выводимая в этой аксиоматизации.

                                                                                                                                  Только это формально бессмысленное утверждение, т.к. никто не знает, что такое "стандартная интерпретация" ;)


                                                                                                                                  Правильно будет сказать, что оно истинно в какой-то интерпретации (если таковая в принципе существует — что не факт, конечно). А в какой-то другой — ложно. Именно потому и невыводимо (выводимость такой формулы нарушала бы soundness).

                                                                                                                                    0
                                                                                                                                    Не совсем согласен. Стандартная интерпретация натуральных чисел — это все-таки что-то достаточно понятное (и существующее, если ZFC непротиворечиво).
                                                                                                                                    Хороший пример — это уравнения Матиясевича. Есть конкретное диафантово уравнение, у которого нету корней, но в стандартной арифметике Пеано этого доказать нельзя.
                                                                                                                                      0
                                                                                                                                      и существующее, если ZFC непротиворечиво

                                                                                                                                      Не могу представить ситуацию, когда ряд 0, 1, 2, и т.д., полученный конечным числом применений +1 к 0 не существует. Могу представить, что он имеет свойства описываемые другим образом, если ZFC противоречива. Но, что не существует — не могу.

                                                                                                                                        0
                                                                                                                                        Не совсем согласен. Стандартная интерпретация натуральных чисел — это все-таки что-то достаточно понятное

                                                                                                                                        Оно было бы понятное, если бы было конструктивное. Но тогда не было бы проблем с доказательством существования.


                                                                                                                                        red75prim


                                                                                                                                        Не могу представить ситуацию, когда ряд 0, 1, 2, и т.д., полученный конечным числом применений +1 к 0 не существует. Могу представить, что он имеет свойства описываемые другим образом, если ZFC противоречива. Но, что не существует — не могу.

                                                                                                                                        Ну так с арифметикой Пресбургера и проблем нет.

                                                                                                                                          0
                                                                                                                                          Ну так с арифметикой Пресбургера и проблем нет.

                                                                                                                                          То есть, если в ZFC проблемы обнаружатся, то таблица умножения исчезнет? Никуда натуральные числа не денутся и без ZFC. Окажется, что их неправильно описывали.

                                                                                                                                            0
                                                                                                                                            Может неожиданно выясниться, что нет принципа математической индукции.

                                                                                                                                            Умножение на любое конкретное число в арифметики Пресбургера есть, нет умножения как операции двух аргументов.
                                                                                                                                  0

                                                                                                                                  Я тут подумал, понятие "выражение" самореферентно само по себе. То есть, какое бы мы выражение ни написали, оно будет подходить под это понятие. Соответственно, каждый раз, когда мы из одних выражений формируем новые, мы должны делать проверку на корректность, ибо на любом шаге можем случайно получить самореферентность. А это всё равно, что умножить обе стороны уравнения на 0.


                                                                                                                                  Исправить это легко, уточнением формулировок:


                                                                                                                                  1. «Среди корректных утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
                                                                                                                                  2. «Множество корректных утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества корректных утверждений длины не более 11 слов.»
                                                                                                                                  3. «Если истинное утверждение (и, как следствие, корректное) содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

                                                                                                                                  Утверждение «если 2+2 = 4, то 3+3 = 6» — тоже истинное.
                                                                                                                                  И даже «если 2+2 = 5, то 3+3 = 6» истина.

                                                                                                                                  А это уже другая проблема математики: подмена причинно следственной связи на импликацию. Импликация ближе к корреляции.

                                                                                                                                    0
                                                                                                                                    Добавление еще одной сущности только усложняет рассуждения, а не упрощает.

                                                                                                                                    Например, является ли корректным утверждение «среди корректных утверждений есть истинное»?
                                                                                                                                      0

                                                                                                                                      Нет. Если предположить, что оно корректное, то получаем самореферентность. Если предположить, что не корректное, то никаких выводов из него мы сделать не можем.


                                                                                                                                      Это, кстати, ключевое отличие от понятия истинности, где из ложного утверждения можно делать выводы.

                                                                                                                                        0
                                                                                                                                        А почему собственно?
                                                                                                                                        Если оно некорректно, то оно не является саморефлексевным (потому что утверждает что-то про множество корректных утверждений, в которое не входит).
                                                                                                                                        А значит мы должны считать его корректным.
                                                                                                                                        Вроде, у нас было два ограничения на корректность: «быть не саморефлексевным и касаться только корректных утверждений». Что я упускаю?
                                                                                                                                          0

                                                                                                                                          Я дописал, из некорректных утверждений нельзя сделать никаких выводов.

                                                                                                                                            0
                                                                                                                                            Мы же не пытаемся сделать какой-то вывод.
                                                                                                                                            Мы же пока просто пытаемся понять является ли оно корректным, а не вывести из этого что-то.

                                                                                                                                            Еще раз: Как выглядит ограничение на корректные утверждения?

                                                                                                                                            Еще одна точка — «саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?
                                                                                                                                              0
                                                                                                                                              Мы же пока просто пытаемся понять является ли оно корректным

                                                                                                                                              Корректным оно быть не может, значит не корректно.


                                                                                                                                              «саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?

                                                                                                                                              Вполне, оно же говорит про некорректные утверждения, что не мешает ему быть корректным.


                                                                                                                                              А тут уже получаем самореферентность: "Корректные утверждения не саморефлективны."

                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                «саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?

                                                                                                                                                Вполне, оно же говорит про некорректные утверждения, что не мешает ему быть корректным.

                                                                                                                                                А тут уже получаем самореферентность: «Корректные утверждения не саморефлективны.»

                                                                                                                                                Тогда у нас есть беда: эти два утверждения эквивалентны (просто потому что «Все А есть не Б» и «Все Б есть не А» — это синтаксически одно и то же).
                                                                                                                                                  0

                                                                                                                                                  А вот семантически — нет.

                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                    Тогда у нас неправильный синтаксис, и его нужно ослаблять. Например, пойти по пути конструктивизма или, даже, исключения правила исключенного третьего.

                                                                                                                                                    Если нет корректности (т.е. синтаксически из верного утверждения можно сделать бессмысленное или неверное, делая только синтаксически-эквивалентные замены), то непонятно как вообще про какие-то доказательства можно говорить вообще.
                                                                                                                                                      0

                                                                                                                                                      Достаточно не использовать самореферентные термины, которые от подстановки могут менять свой смысл, и можно спокойно делать синтаксически эквивалентные преобразования без постоянной проверки корректности.

                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                        Мы же где-то чуть раньше обсуждали, что любое утверждение об утверждениях является потенциально самореферентным.

                                                                                                                                                        То есть мы запрещаем (фактически) все утверждения об утверждениях, это, конечно возможный способ решить проблему с самореферентностью.

                                                                                                                                                        Но тогда нужно запретить и утверждения про числа, например, — мы можем заменить утверждение его utf8 записью, которая является числом.
                                                                                                                                                          0

                                                                                                                                                          Не запрещаем, а требуем проверять корректность.


                                                                                                                                                          С числами всё нормально пока мы не начинаем впадать в софистику и заменять на числа сами утверждения об этих числах.

                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                            Мы же в интернете. Все утверждения — это просто числа (соответствующие utf8-строкам). В каком месте тут софистика?

                                                                                                                                                            Если мы запрещаем (без дополнительной проверки) синтаксический вывод — нужно границы явно провести, где синтаксически еще можно, а где уже нельзя.
                                                                                                                                                            И если мы добавляем семантическую проверку, то смысл синтаксического вывода во многом теряется — если есть семантическая проверка, то и истинность можно уж заодно проверить.
                                                                                                                                                              0

                                                                                                                                                              Ключевой момент в слове "соответствие". Как только вы сформулировали такое соответствие между описываемым и самим описанием вы получаете самореферентность. Для любых небесполезных суждений самореферентность не нужна. Дальнейшей софистикой, пожалуйста, занимайтесь без меня.

                                                                                                                  0
                                                                                                                  Да, интересно было бы посмотреть на конкретный пример недоказуемого высказывания, а не на факирское доказательство его чистого существования. Почему-то и Гёдель и Кантор в конце концов помешались. Первый страдал манией, что его хотят отравить, и поэтому брал еду только из рук жены. А, когда она умерла, он умер от истощения. Второй окончил жизнь в психбольнице с маниакально-депрессивным психозом, наверно, рассматривая пустые оболочки множеств…
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Есть вторая теорема Геделя: в системе нельзя доказать ее непротиворечивость (это достаточно короткая формула, которую можно явно выписать).
                                                                                                                +2
                                                                                                                В момент времени T1, когда камня ещё нет, божество очевидно всемогуще — потому что в этот момент ещё не существует таких камней, которые оно не смогло бы поднять.
                                                                                                                В момент времени T2 неподъёмный камень сотворён, а божество перестаёт быть всемогущим, потому что в мире появился объект, который оно поднять не может.
                                                                                                                Ответ: да, может, но сотворив такой камень оно немедленно лишится своего всемогущества.
                                                                                                                  0

                                                                                                                  Поддерживаю эту теорию. Задача сводится к вопросу "может ли всемогущее существо перестать быть всемогущим?". Очевидно, ответ "да", иначе оно изначально таковым не являлось. И этот ответ никакого парадокса не вызывает.

                                                                                                                    +2
                                                                                                                    Это никак не решает проблему — такая придирка к словам устраняется небольшой переформулировкой. «Может ли всемогущее существо сотворить камень, который оно не может поднять, и одновременно остаться всемогущим?».
                                                                                                                      0

                                                                                                                      Тогда вопрос упрощается еще сильнее — "может ли существо одновременно быть и не быть всемогущим?"


                                                                                                                      ¬P ∧ P → ⊥

                                                                                                                        0

                                                                                                                        или "может ли существо одновременно быть и не быть?"

                                                                                                                          0
                                                                                                                          Для даосов это вполне нормально.
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Но ведь так задачу можно усложнять до бесконечности. Каждый раз, когда находится способ M справиться с задачей о камне, её можно переформулировать, добавив в конец фразу: «и при этом не использовать способ M».
                                                                                                                          +2
                                                                                                                          Даже если так — раз существо всемогущее, то может справиться с любой постановкой задачи :)
                                                                                                                            –1
                                                                                                                            Вот только человек далеко не всемогущ, и с каждой закрытой «дырой» М ему будет всё сложнее и сложнее придумывать новые способы. Тогда как дописывание в конец задачи одной и той же фразы мыслительных усилий не требует вовсе.
                                                                                                                            Наглядная аналогия: на поиск уязвимости в системе могут уйти месяцы упорного труда, а вот закрывается найденное в большинстве случаев чуть ли не с закрытыми глазами правкой пары строчек в исходнике.
                                                                                                                      0
                                                                                                                      Божество — вне времени! Оно — вечно.
                                                                                                                      +1
                                                                                                                      Для всемогущего божества нет «до» и «после», оно всемогуще в любой точке времени и пространства.
                                                                                                                        +1
                                                                                                                        парадокс камня отлично разрешается
                                                                                                                        Ваше решение основано на том, что можно рассматривать всемогущество в течении ограниченного периода времени. Однако из этого следует, что абсолютно всё, что угодно можно рассматривать всемогущим — до тех пор, пока оно не опровергнет своё всемогущество каким-либо деянием.

                                                                                                                        Отдельно можно рассмотреть вопрос, что значит «может/не может поднять». Это результат практического эксперимента или теоретического предположения? Если эксперимента — о'кей, давайте проверять. Если теоретического предположения — то каковы критерии его истинности?

                                                                                                                        Отдельно можно рассмотреть вопрос, есть ли разница между «не может» и «не хочет» и кто, собственно, эти хотения определяет.

                                                                                                                        Можно дать и другие «решения» этого парадокса — например, если сделать камень из вакуума, букв, идей и прочих объектов, к которым действие «поднять» неприменимо.
                                                                                                                          +1
                                                                                                                          Бог всемогущ не потому, что может или не может что-то сделать. Природа Божества совсем отлична от нашей природы, и нами, не познаваема до конца. Бог всемогущь, поскольку, Его волю ничто и никто не ограничивает.

                                                                                                                          Бог, например, чтит свободу человека, и «не может» спасти человека, если не будет на то воля этого человека. Но, Он «не может», не потому, что Он не всемогущ, а потому что, нет на это Его воли. Его воля — чтить свободу человека.

                                                                                                                          «Слово крестное погибающим убо юродство есть, а спасаемым нам сила Божия есть (1 Кор. 1, 18). Ибо духовный востязует вся; душевен же человек не приемлет яже Духа (1 Кор. II, 15). Ибо оно есть безумие для тех, которые не с верою принимают и не с верою размышляют о благости и ВСЕМОГУЩЕСТВЕ Божием, но исследуют божественное при помощи человеческих и естественных рассуждений. Все же относящееся к Богу выше естества, слова и разумения. Ибо если кто станет рассуждать, каким образом Бог вывел все из небытия в бытие и ради чего, и захочет постигнуть это при помощи естественных рассуждений, тот не постигнет. Такое знание — душевное и бесовское. Если же кто, руководствуясь верою, станет размышлять о благости, всемогуществе, истине, мудрости и праведности Божиих, тот найдет все гладким и ровным и путь — прямым. Ибо без веры невозможно спастись. На вере основывается все, как человеческое, так и духовное. Ибо без веры и земледелец не проводит борозды земли, и купец не вверяет души своей малому древу на бурной глубине моря; без веры и браки не заключаются, и ничего другого в жизни не предпринимается. Верою уразумеваем, что все приведено из небытия в бытие силою Божиею; верою совершаем все, как божеские, так и человеческие дела. Вера, далее, есть согласие, без всякой придирчивой пытливости...»
                                                                                                                          0
                                                                                                                          ОК, моё решение: Может, но не будет:) Свобода воли у это существа есть? Есть. Может оно себя ограничить самостоятельно. Может. Но зачем ему это делать? Значит и камней таких нет, кто же ещё может их создать. Вот тебе и необходимость свободы воли и единственность этого всемогущего божества. «Все говорят, что пить нельзя, я говорю, что буду» Б.Г
                                                                                                                            0

                                                                                                                            Имхо, парадокс камня решается еще проще: берется любой камень и помещается в невесомость, где нет понятий «верх» и «низ», а стало быть, по определению невозможно что-либо поднять или опустить, независимо от уровня всемогущества..:)

                                                                                                                              0

                                                                                                                              Это фиксится просто. Если мы эти уровни назвали, то сможем сделать и неразрешимую задачу. Может ли всемогущее божество создать неподъемный камень и поднять его, оставаясь на одном уровне всемогущества?

                                                                                                                                +3
                                                                                                                                Читал о схоластических спорах средневековья, теперь понял, что это такое)
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Такой базар возникает, когда все «хотят вставить свои 5 коп.» Когда за дело берётся наука, схоластические споры средневековья разрешаются, иногда очень просто. Напр., спор о том, что было раньше: курица или яйцо? убедительно разрешён: ru.wikipedia.org/wiki/Проблема_курицы_и_яйца
                                                                                                                                  А ведь когда-то с пом. этого парадокса религиозные умы доказывали бытие бога.
                                                                                                                                  Мне нравится такой ответ: «Раньше было всё: и куры и яйца!» :-)
                                                                                                                                  +1
                                                                                                                                  А это божество почему переходит в состояние X+1? А если оно не захочет в него переходить, тогда что? И может ли это божество создать такой камень, который не сможет поднять (лучше, конечно, расколоть, чтобы не связываться с силой тяжести) на любых уровнях?

                                                                                                                                  Этот парадокс показывает, что предположение о существовании всемогущества приводит к логическому противоречию. Это всё равно, что предположить существование непробиваемой брони и всепробивающего снаряда.
                                                                                                                                    0

                                                                                                                                    Это просто нарушение закона тождества. Субъект меняется между утверждениями.

                                                                                                                                      0
                                                                                                                                      я думаю проще рассуждать так
                                                                                                                                      «Бог всемогущ»
                                                                                                                                      «нет ничего чего бы бог не мог» -> «нет того что бог не может»
                                                                                                                                      " 'неподнимаймого' камня быть не может"
                                                                                                                                        0
                                                                                                                                        Возможно среда в которой находится данный камень, не способна вместить такой размер камня, чтобы всемогущее божество не могло его поднять, то есть он может создать, но не существует такого количества вселенных которые смогли бы вместить данный камень.
                                                                                                                                          0
                                                                                                                                          Если камень создан в руке божества, то, формально, он его поднимал и не поднимал одновременно, разрешая парадокс.
                                                                                                                                        +1
                                                                                                                                        (Резюмируя ветку) Теперь понятно, почему всемогущих существ не наблюдается. Если бы они были, их бы замучили подъёмом неприподъёмных камней! ))
                                                                                                                                          +2
                                                                                                                                          Создал однажды бог камень, а он ему — как раз!..
                                                                                                                                            –1
                                                                                                                                            Раньше всемогущие существа жили, но они все уже умерли (Маркс, Ленин, Сталин). Они пытались навести порядок в мире, построить коммунизм, но надорвались и померли. Так считают верные сталинцы.

                                                                                                                                            Отсюда новая формулировка парадокса всемогущества: может ли всемогущее существо построить на всей Земле коммунистическое общество из ныне живущих людей и подобных им? :-)
                                                                                                                                              0
                                                                                                                                              Пусть боги стары и практически всесильны, но не они создавали наш мир. Титаны, порождение самого́ изначального хаоса, создали наш мир и самих богов. Как и любые неблагодарные дети, боги свергли титанов, убили, заточили или изгнали, и с тех пор титаны затаились и жаждут мести.
                                                                                                                                              0
                                                                                                                                              Пётр Бормор:

                                                                                                                                              -Хорошо. Всемогущество — это способность творить всё, что угодно. Так?
                                                                                                                                              -Вот именно,- кивнул Мазукта. Ключевое слово — «угодно». Угодно тебе сотворить камень — творишь камень. Не угодно его поднимать — не поднимаешь. Это и есть настоящее всемогущество.
                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                Тут проблема в том, как человек сможет установить, что кто-то (напр., бог) всемогущ? Думаю, что никак.
                                                                                                                                                  0

                                                                                                                                                  Для начала можно попросить доказательство, что P != NP и попросить порешать NP-complete задачи для решения которых нужно больше ресурсов, чем есть в нашей вселенной. Потом попросить создать объект в форме четырёхугольного треугольника.

                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                    С пом. иллюзий всё можно доказать. Или дать 55 томов с доказательством: иди, разбирайся. Ну, или он может применить 3-ю степень устрашения… :-)
                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                У всемогущего божества нет давлеющего аксиоматического базиса как у Геделя — он же альфа и омега. Парадокс есть, только если признать, что формальная логика могущественнее всемогущего бога. Но это не так, поэтому всемогущий бог МОЖЕТ запросто не подчиняться ей