Функциональные уравнения: Часть 1

Эта трилогия статьей будет посвящена функциональным уравнениям. В данной статье попытаемся понять что такое функциональное уравнение и с чем его едят. В следующих статьях рассмотрим конкретные методы решения более сложных функциональных уравнений(метод подстановок, и подобное).

Функциональное уравнение — уравнение, связующее значение функции в одной точке с её значениями в других точках.

Другими словами, в функциональных уравнениях место неизвестного занимает функция. Для примера, рассмотрим такое функциональное уравнение:
$$display$$2f(x)=2$$display$$ Тут интуитивно хочется разделить обе части уравнения на 2, что сработает и мы узнаем ответ: $$display$$2f(x)=2 \Rightarrow f(x)=1$$display$$ Значит ответом на функциональное уравнение может быть только значение f(x), или похожее (это обычно указывают в условии задачи).
Рассмотрим некое функциональное уравнение, где с обоих сторон будут стоят функции. $$display$$4f(x)=2f(x)+2x \Rightarrow 2f(x)=f(x)+x \Rightarrow f(x)=x$$display$$ Стоит отметить что функция всегда имеет под собой число ($inline$f(x)=x+2, f(1)=3, f(5)=7$inline$, а значит можно производить над ними арифметические операции. Давайте рассмотрим функциональное уравнение из двумя переменными. Задание: найти все функции $inline$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$inline$ для каких $inline$4f(x+y)=f(x)+f(y)+2$inline$. В случаях из двумя переменными необходимо припустить что $inline$x=y=0$inline$, из этого мы узнаем значение $inline$f(0)$inline$.

$inline$x=y=0$inline$
$inline$4f(0)=2f(0)+2$inline$
$inline$2f(0)=2 \Rightarrow f(0)=1$inline$

Узнав значение $inline$f(0)$inline$, приравниваем $inline$y$inline$ к нулю. Таким образом узнаем значение $inline$f(x)$inline$

$inline$y=0$inline$
$inline$4f(x)=f(x)+f(0)+2$inline$
$inline$3f(x) = 3 \Rightarrow f($inline$f(x)=kx$inline$x)=1 $inline$
Ответ: $inline$ f(x)=1 $inline$

При такого вида уравнениях обязательно необходимо предполагать что $inline$x=y=0$inline$, но не всегда $inline$x=0\vee y=0$inline$. Существуют такие аналоги как: $inline$x=y, x=f(y), ...$inline$. К примеру, $inline$4f(x-y)=f(x)+f(y)+2$inline$. Подставляем $inline$x=y=0$inline$, получаем $inline$4f(0)=2f(0)+2 \Rightarrow f(0)=1$inline$, тогда $inline$x=y$inline$ значит $inline$4f(0)=2f(x)+2$inline$, разделим обе части уравнения на 2 получим что $inline$2f(0)=f(x)+1 \Rightarrow f(x)=1+2f(0) \Rightarrow f(x)=3$inline$, произведем проверку, которая показывает что $inline$f(x)=3$inline$ есть решением данного функционального уравнения.
Теорема 1. Функциональное уравнение Коши $inline$f(x+y)=f(x)+f(y)$inline$ удовлетворяют все линейные функции вида $inline$f(x)=kx$inline$ (1)
Теорема 2. Функциональное уравнение $inline$f(x+y)=f(x)f(y)$inline$ удовлетворяют все показательные функции вида $inline$f(x)=k^{x}$inline$ (2)
Теорема 3. Функциональное уравнение $inline$f(xy)=f(x)+f(y)$inline$ удовлетворяют все логарифмические функции вида $inline$f(x)=log_k (x)$inline$ (3)
Теорема 4. Функциональное уравнение $inline$f(xy)=f(x)f(y)$inline$ удовлетворяют все степенные функции вида $inline$f(x)=x^{k}$inline$ (4)
Доведем их.
$$display$$(1) f(x+y)=a(x+y), f(x)+f(y) = ax+ay \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$$display$$
$$display$$(2) f(x+y)=a^{x+y}, f(x)f(y) = a^{x}a^{y} \Rightarrow f(x+y)=f(x)f(y)$$display$$
$$display$$(3) f(xy)=log_a (xy), f(x)+f(y)=log_a(x)+log_a(y) \Rightarrow f(xy)=f(x)+f(y)$$display$$
$$display$$(4) f(xy)=(xy)^{a}, f(x)f(y) = x^{a}y^{a} \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$$display$$
Теорема 5. Уравнения Йенсена $inline$f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}, f(x)=kx+b$inline$, доводиться аналогично предыдущим.

Рассмотрим такую задачу: Найдите все линейные функции вида $inline$f(x)=ax, $inline$$inline$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$inline$ для которых правильно $inline$4(f(x-y)+f(x+y)+1)=2f(x)+f(y-1)$inline$.