Размышления о способах непрерывного обхода двухмерных массивов, в которых траектория не пересекает саму себя, привели к выводу что их и не так-то много. На самом деле базовые алгоритмы можно, как говорится, пересчитать по пальцам одной руки. Наиболее известные из них: обход по спирали и обход «змейкой». В сети можно найти предостаточное количество решений, основная часть которых опирается на фундаментальные элементы программирования: условные переходы и циклы.

Однако, некоторое время назад меня посетила шальная мысль: а нельзя ли придумать математическую формулу, которая могла бы вычислить значение любого элемента подобных матриц на основании лишь его координат? Такая формула, конечно, не ускорила бы процесс полного обхода матрицы и соответственно установления каких-либо значений по пути следования (обычно по возрастающей)...

Настоящая статья продолжает тему предыдущей работы (https://habr.com/ru/post/560266/)  и также посвящается особо извращенным способам заполнения двухмерных массивов согласно определенному шаблону. Создание громоздких, неуклюжих формул, без применения таких милых сердцу программиста конструкций как циклы и условия оказалось увлекательным занятием. В связи с этим, автор, уподобляясь некоторым государственным чинам (вспоминаем бородатую шутку про разницу между депутатом и программистом),  решил потратить кучу драгоценного времени на очередной интересный, но, увы, бесполезный в практическом плане проект. Речь идет о вычислении математическим путем элементов массивов, заполняемых змееподобной траекторией, или проще говоря – «тещиных» матриц.

Различают два класса этих самых матриц: обычные (злобные) и диагональные (крайне злобные).

Первый класс двухмерных массивов (здесь и далее речь идет только о квадратных матрицах) заполняется натуральными числами от 1 до N² с левого верхнего угла построчно:

В процессе изучения основ алгоритмизации и программирования в качестве студента еще в середине 2000х мне попалась довольно известная всем задача по заполнению «спиральной» матрицы. Суть состоит в том, начиная с позиции [1, 1], продвигаясь по часовой стрелке, заполнить квадратную матрицу заданной величины числами в возрастающем порядке. На ее решение было потрачено около двух часов.