Нет, формула E = ħc/l никак не из общей теории относительности, это квантовомеханическая формула. Известная оценочная формула из физики высоких энергий между длиной волны кванта, движущегося со скоростью света, и его энергией. Вот здесь, например, это вторая по счету формула: en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant#Photon
Даже само наличие в этой формуле постоянной Планка говорит о том, что это квантовомеханическая формула.
По-моему, вы написали ровно то же, о чем и я говорю: если взять некие грубые, оценочные формулы из общей теории относительности и из квантовой механики, и состыковать их между собой, то выплывет планковская длина.
В первой же формуле вы это и делаете: сначала берете оценочную формулу, связывающую по порядку величины гравитационный потенциал, энергию и длину, потом используете оценочную формулу E = ħc/l из квантовой механики, связывающую между собой энергию с длиной. Но манипулирование оценочными формулами — это не то же самое, что построение полноценной теории.
В качестве аналогии: можно из оценочной формулы для квантованного углового момента L ≈ ħ, закона Кулона и 2-го закона Ньютона показать, что размер атома должен быть порядка ангстрема. Но эта оценка не отменяет необходимости построения полноценной квантовой теории атома, и уж тем более нельзя из нее сделать вывод, что «один ангстрем — это строгий теоретический предел, за которым не существует электрона».
Что именно показать математически? Что преобразования Лоренца применимы только для v < c? Это из самих формул видно, при v = c там возникают сингулярности. Думаю, при желании можно и строго это показать, рассматривая группу Пуанкаре. Думаю, в ней просто нет элемента, отвечающего преобразованиям Лоренца при v = c.
Релятивистская формула сложения скоростей в пределе v1 → с или v2 → c дает, конечно, формально правильный результат, но это не доказывает применимость преобразований Лоренца при таких скоростях. Точно так же, как равенство предела sin(x)/x при x → 0 единице не означает, что операция деления на ноль теперь хорошо определена, и что 0/0 всегда равно 1.
Это разные вещи: одно дело скорость движения объекта в заданной системе отсчета, она может быть и равной скорости света. И даже больше скорости света, теоретически, тоже можно взять, тогда возникают всякие забавные штуки типа движения времени назад.
Другое дело — скорость движения одной системы отсчета относительно другой, та самая буква v, которая фигурирует в преобразованиях Лоренца. Она должна быть меньше скорости света.
То, о чем вы говорите — это уже не общая теория относительности, потому что общая теория относительности классическая, она не описывает квантовые эффекты. И в уравнениях Эйнштейна постоянная Планка не фигурирует. Как следствие, и планковская длина (содержащая постоянную Планка) в этих уравнениях тоже не встречается ни в каком виде, поэтому уравнения общей теории относительности ничего не могут сказать особенного о планковской длине.
Все разговоры о планковской длине и испарении черных дыр появляются, когда мы пытаемся состыковать общую теорию относительности с квантовой механикой, но, так как полноценно сделать это еще не получилось, любые разговоры на эту тему остаются лишь предположениями. В целом, понятно, что общая теория относительности в ее традиционном виде на планковских масштабах работать не должна, а что там на самом деле происходит, мы пока с уверенностью сказать не можем — нет ни нормальной теории, ни экспериментов.
Ну как, в классической механике амплитуда колебаний однозначно связана с энергией, в квантовой механике квантуется именно энергия, а амплитуда — величина неопределенная. Амплитуду я упомянул для простоты, может быть, не стоило это делать, просто мне кажется, что большинству людей фраза «амплитуда колебаний может принимать любые значения» гораздо понятнее, чем «энергия колебаний может принимать любые значения».
Частота ω каждого конкретного нормального колебания фиксирована, а если мы рассматриваем всю совокупность нормальных колебаний, то там, конечно, будут встречаться разные ω.
Если речь идет о колебаниях поля в свободном пространстве бесконечных размеров и без ограничений длин снизу (без «пикселей» планковского размера), то ω меняется непрерывно от 0 до ∞. Иногда это проблема, при интегрировании по ω возникают расходимости, называемые ультрафиолетовыми и инфракрасными катастрофами. В этом случае, теоретически, можно создать возбуждение, которое мы могли бы интерпретировать как фотон, который был бы сколь угодно сильно локализованным в пространстве, но это все равно будет не точка.
Если же мы рассматриваем ограниченную область пространства (например, внутренность микроволновки), то там допустимые ω будут дискретны, ограничены снизу и не ограничены сверху.
Вообще, фотон это не перенос характеристик (например массы), а колебания полей в пространстве, которое имеет ненулевой размер.
Так и есть, фотон — сугубо квантовомеханический объект, его нельзя представить как маленький шарик, летящий со скоростью света.
На самом деле (это я уже обращаюсь не только к вам, но и к вашим собеседникам), фотон — не такая уж сложная вещь. Любые колебания электромагнитного поля в пространстве можно разбить на нормальные колебания (в своей предыдущей статье про квантовый хаос я описывал чуть подробнее, что это такое). Каждое нормальное колебание — это периодическое во времени движение поля, математически аналогичное пружинному маятнику. В классической механике энергия этого «маятника» и амплитуда колебаний могут быть любыми от 0 до ∞.
В квантовой механике это не так, энергия «маятника» квантуется и кратна ħω. Каждая такая порция энергии конкретного нормального колебания является фотоном. Сколько нормальных колебаний в системе — столько и разновидностей фотонов (с соответствующими частотами, длинами волн, поляризациями и пр.). При этом разбить колебания поля на нормальные колебания можно по-разному: например, в свободном пространстве можно разложить их на плоские волны, а можно на цилиндрические или сферические волны. Соответственно, и фотонные состояния можно определять по-разному, можно работать с «плоскими», «сферическими», «цилиндрическими» и другими фотонами. Можно выделять движущиеся фотоны, представленные бегущими волнами, можно стоячие фотоны, представленные стоячими волнами. «Скорость» фотона — величина весьма условная, в отличие от энергии.
И, в любом случае, нормальные колебания, отвечающие фотонам, имеют ненулевую пространственную протяженность, поэтому фотон не может быть локализован в одной точке. Но, в то же время, фотон бесструктурен, у него нет внутреннего строения, именно это имеется в виду, когда говорят «фотон — точечная частица».
На самом деле, преобразования Лоренца определяются только для переходов из одной системы отсчета в другую при скоростях их относительного движения, не превышающих скорость света. Поэтому нет смысла переходить в систему отсчета, движущуюся со скоростью света, это нельзя ни в эксперименте проделать, ни в теории посчитать. Можно брать любые скорости v, меньшие скорости света, а v = с брать уже нельзя.
Чисто формально можно где-то, конечно, получить из формул какие-то числа (как с этим примером с сокращением длины до нуля), но особого смысла эти результаты не имеют.
То же самое касается скоростей выше скорости света: формально можно получить какие-то результаты, но это уже выход за границы применимости теории относительности, она только для v < c.
Теоретический предел, накладываемый какой теорией? Квантовой теореий гравитации, которая еще не построена?
Ну и если привычного (т.е. классического) пространства-времени за пределами планковской длины не существует, это еще не означает существования минимального возможного размера. К примеру, электрон в атоме на размерах меньше ангстрема тоже исчезает как классическая частица, но это не означает, что у атома нет своей внутренней структуры.
В принципе, существование магнитных монополей существующей теории не противоречит (хотя здесь, опять-таки, может быть много тонкостей, в которых я не специалист).
Еще есть интересный факт: если во Вселенной существует хотя бы один магитный монополь, электрический заряд должен квантоваться (быть кратным элементарному заряду). Это довольно просто доказывается из соображений непрерывности векторного потенциала. При этом заряд действительно квантуется, но монополи пока не обнаружены.
Ну, это пока что предположение — что не существует объектов размером меньше планковской длины. В Стандартную модель — рабочую теорию, используемую для расчетов, — оно никоим образом не входит. Пока что понятно, что на размерах, сравнимых с планковской длиной или меньших, должны быть существенными квантовые гравитационные эффекты, это единственное, что сейчас можно сказать более-менее уверенно.
Эффект Казимира можно, конечно, по-разному интерпретировать, как и любые явления с виртуальными частицами (да и вообще любые явления в квантовой механике).
Нет такого правила, по которому одна из виртуальных частиц имеет обязательно отрицательную энергию, в феймановских диаграммах идет интегрирование по всем энергиям виртуальных частиц от минус до плюс бесконечности.
Об этом я даже не думал, как о распространенном мифе. Мне казалось, сейчас каждый школьник знает, что вакуум «непустой», и в нем есть всякие нулевые колебания и тому подобное. Как миф я бы выделил представление о том, что современная теория вакуума — это, якобы, аналог эфира из XIX века. Хотя это не так, потому что эфир был моделью, призванной решить конкретную задачу о распространении электромагнитных волн, а современная модель вакуума от тогдашнего эфира существенно отличается.
Ну так он же где-то хранится. И эта ячейка ненулевого размера.
В том-то и дело, что квантовое состояние не хранится ни в каких «ячейках пространства ненулевого размера», оно хранится в гильбертовом пространстве, это абстрактное пространство, не отображающееся непосредственно на реальное пространство.
Ну, если изначально в теорию закладывать, что есть только электрические поля, создаваемые покоящимися электрическими зарядами (закон Кулона), то никаких магнитных монополей, конечно, мы в теории не получим даже после преобразований Лоренца. А в теорию если исходно заложить в дополнение к закону Кулона его «магнитный» аналог, то будет релятивистски-инвариантная теория с магнитными монополями.
Ну, а как, например, увидеть объект, который абсолютно темен, ничего не излучает и ни на что не влияет? Осветить его, заставить влиять и излучать. Если объект существует и в принципе может взаимодействовать с другими объектами, но просто в данный момент не взаимодействует, то можно заставить его взаимодействовать (направить на него какой-нибудь пучок частиц, например), тогда мы его увидим.
Область пустого пространства тем и отличается от «ничего», что она потенциально может вместить в себя объекты (обладает протяженностью), этим вмещением объектов она и может быть обнаружена.
Электрон, конечно, может оказаться в другой галактике, но в большинстве случаев это будет иметь вид виртуального процесса: электрон прыгнет в другую галактику, с кем-нибудь там провзаимодействует и вернется к нам обратно. Если состояние нашего электрона «здесь» стабильно, то только такие виртуальные процессы и будут.
А если нестабильно, тогда да, рано или поздно он убежит. При альфа-распаде радиоактивных ядер так и происходит: альфа-частица может 1000 лет находиться внутри ядра, а потом случайно оказывается снаружи и улетает, и ядро распадается. Это происходит благодаря тому, что радиоактивное ядро изначально неустойчиво, и распавшееся состояние более выгодно энергетически, чем исходное.
Или еще пример: остывание тел. Если тело нагрето, то рано или поздно энергия из него утечет в виде фотонов, которые улетят в космос и будут там свободно летать.
Координаты и скорости атомов, по идее, действительно требуют какого-то довольно большого количества бит. Я думаю, энтропийный расчет в статье это как-то косвенно учитывает, хотя не особо понимаю, как именно.
По-моему, вы говорите о том, что в физике называют гипотезой локальности. Эта гипотеза утверждает, что уравнения полей должны быть локальны, то есть, например, производная поля в точке r может зависеть только от полей в той же самой точке r, но не в соседних точках.
Например, уравнение ψ''(r) = λψ(r) обладает свойством локальности, а уравнение ψ''(r) = λψ(r+a) таким свойством не обладает, потому что связываем между собой две разнесенные точки пространства r и r+a.
На языке пикселей это значит, что каждый пиксель может влиять только на прилегающие к нему.
Хотя в квантовой механике все сложнее, есть такая вещь как квантовая нелокальность (пример которой я приводил в предыдущем комментарии), за счет которой квантовый объект может иметь распределенное по пространству состояние. То есть, состояние квантового объекта может быть распределенным по пространству, не привязанным к какой-то конкретной точке или набору точек, но изменяться оно может лишь согласно локальным уравнениям, от одной точке пространства к соседним.
Ой, нет, все не так. Виртуальные частицы вполне себе проявляются в экспериментах (см., например, динамический эффект Казимира). Они не обязательно рождаются парами, есть частицы, не имеющие античастиц — фотон, фонон, глюоны и т.п., — они рождаются поодиночке. Энергия античастицы не противоположна энергии частицы, поэтому суммарная энергия не равна нулю.
en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant#Photon
Даже само наличие в этой формуле постоянной Планка говорит о том, что это квантовомеханическая формула.
Или, если не верите мне, посмотрите сюда, в первый же абзац:
phy.princeton.edu/research/high-energy-theory/gubser-group/outreach/energy-scales-in-physics
В первой же формуле вы это и делаете: сначала берете оценочную формулу, связывающую по порядку величины гравитационный потенциал, энергию и длину, потом используете оценочную формулу E = ħc/l из квантовой механики, связывающую между собой энергию с длиной. Но манипулирование оценочными формулами — это не то же самое, что построение полноценной теории.
В качестве аналогии: можно из оценочной формулы для квантованного углового момента L ≈ ħ, закона Кулона и 2-го закона Ньютона показать, что размер атома должен быть порядка ангстрема. Но эта оценка не отменяет необходимости построения полноценной квантовой теории атома, и уж тем более нельзя из нее сделать вывод, что «один ангстрем — это строгий теоретический предел, за которым не существует электрона».
Релятивистская формула сложения скоростей в пределе v1 → с или v2 → c дает, конечно, формально правильный результат, но это не доказывает применимость преобразований Лоренца при таких скоростях. Точно так же, как равенство предела sin(x)/x при x → 0 единице не означает, что операция деления на ноль теперь хорошо определена, и что 0/0 всегда равно 1.
Другое дело — скорость движения одной системы отсчета относительно другой, та самая буква v, которая фигурирует в преобразованиях Лоренца. Она должна быть меньше скорости света.
Все разговоры о планковской длине и испарении черных дыр появляются, когда мы пытаемся состыковать общую теорию относительности с квантовой механикой, но, так как полноценно сделать это еще не получилось, любые разговоры на эту тему остаются лишь предположениями. В целом, понятно, что общая теория относительности в ее традиционном виде на планковских масштабах работать не должна, а что там на самом деле происходит, мы пока с уверенностью сказать не можем — нет ни нормальной теории, ни экспериментов.
Частота ω каждого конкретного нормального колебания фиксирована, а если мы рассматриваем всю совокупность нормальных колебаний, то там, конечно, будут встречаться разные ω.
Если речь идет о колебаниях поля в свободном пространстве бесконечных размеров и без ограничений длин снизу (без «пикселей» планковского размера), то ω меняется непрерывно от 0 до ∞. Иногда это проблема, при интегрировании по ω возникают расходимости, называемые ультрафиолетовыми и инфракрасными катастрофами. В этом случае, теоретически, можно создать возбуждение, которое мы могли бы интерпретировать как фотон, который был бы сколь угодно сильно локализованным в пространстве, но это все равно будет не точка.
Если же мы рассматриваем ограниченную область пространства (например, внутренность микроволновки), то там допустимые ω будут дискретны, ограничены снизу и не ограничены сверху.
Так и есть, фотон — сугубо квантовомеханический объект, его нельзя представить как маленький шарик, летящий со скоростью света.
На самом деле (это я уже обращаюсь не только к вам, но и к вашим собеседникам), фотон — не такая уж сложная вещь. Любые колебания электромагнитного поля в пространстве можно разбить на нормальные колебания (в своей предыдущей статье про квантовый хаос я описывал чуть подробнее, что это такое). Каждое нормальное колебание — это периодическое во времени движение поля, математически аналогичное пружинному маятнику. В классической механике энергия этого «маятника» и амплитуда колебаний могут быть любыми от 0 до ∞.
В квантовой механике это не так, энергия «маятника» квантуется и кратна ħω. Каждая такая порция энергии конкретного нормального колебания является фотоном. Сколько нормальных колебаний в системе — столько и разновидностей фотонов (с соответствующими частотами, длинами волн, поляризациями и пр.). При этом разбить колебания поля на нормальные колебания можно по-разному: например, в свободном пространстве можно разложить их на плоские волны, а можно на цилиндрические или сферические волны. Соответственно, и фотонные состояния можно определять по-разному, можно работать с «плоскими», «сферическими», «цилиндрическими» и другими фотонами. Можно выделять движущиеся фотоны, представленные бегущими волнами, можно стоячие фотоны, представленные стоячими волнами. «Скорость» фотона — величина весьма условная, в отличие от энергии.
И, в любом случае, нормальные колебания, отвечающие фотонам, имеют ненулевую пространственную протяженность, поэтому фотон не может быть локализован в одной точке. Но, в то же время, фотон бесструктурен, у него нет внутреннего строения, именно это имеется в виду, когда говорят «фотон — точечная частица».
Чисто формально можно где-то, конечно, получить из формул какие-то числа (как с этим примером с сокращением длины до нуля), но особого смысла эти результаты не имеют.
То же самое касается скоростей выше скорости света: формально можно получить какие-то результаты, но это уже выход за границы применимости теории относительности, она только для v < c.
Ну и если привычного (т.е. классического) пространства-времени за пределами планковской длины не существует, это еще не означает существования минимального возможного размера. К примеру, электрон в атоме на размерах меньше ангстрема тоже исчезает как классическая частица, но это не означает, что у атома нет своей внутренней структуры.
Еще есть интересный факт: если во Вселенной существует хотя бы один магитный монополь, электрический заряд должен квантоваться (быть кратным элементарному заряду). Это довольно просто доказывается из соображений непрерывности векторного потенциала. При этом заряд действительно квантуется, но монополи пока не обнаружены.
Нет такого правила, по которому одна из виртуальных частиц имеет обязательно отрицательную энергию, в феймановских диаграммах идет интегрирование по всем энергиям виртуальных частиц от минус до плюс бесконечности.
В том-то и дело, что квантовое состояние не хранится ни в каких «ячейках пространства ненулевого размера», оно хранится в гильбертовом пространстве, это абстрактное пространство, не отображающееся непосредственно на реальное пространство.
Область пустого пространства тем и отличается от «ничего», что она потенциально может вместить в себя объекты (обладает протяженностью), этим вмещением объектов она и может быть обнаружена.
А если нестабильно, тогда да, рано или поздно он убежит. При альфа-распаде радиоактивных ядер так и происходит: альфа-частица может 1000 лет находиться внутри ядра, а потом случайно оказывается снаружи и улетает, и ядро распадается. Это происходит благодаря тому, что радиоактивное ядро изначально неустойчиво, и распавшееся состояние более выгодно энергетически, чем исходное.
Или еще пример: остывание тел. Если тело нагрето, то рано или поздно энергия из него утечет в виде фотонов, которые улетят в космос и будут там свободно летать.
Координаты и скорости атомов, по идее, действительно требуют какого-то довольно большого количества бит. Я думаю, энтропийный расчет в статье это как-то косвенно учитывает, хотя не особо понимаю, как именно.
Например, уравнение ψ''(r) = λψ(r) обладает свойством локальности, а уравнение ψ''(r) = λψ(r+a) таким свойством не обладает, потому что связываем между собой две разнесенные точки пространства r и r+a.
На языке пикселей это значит, что каждый пиксель может влиять только на прилегающие к нему.
Хотя в квантовой механике все сложнее, есть такая вещь как квантовая нелокальность (пример которой я приводил в предыдущем комментарии), за счет которой квантовый объект может иметь распределенное по пространству состояние. То есть, состояние квантового объекта может быть распределенным по пространству, не привязанным к какой-то конкретной точке или набору точек, но изменяться оно может лишь согласно локальным уравнениям, от одной точке пространства к соседним.