И опять вылезут противоречия, о коих Вы почему-то не хотите знать. А противоречия следующие: пусть дельта-функция (для краткости — дельта) определена везде равной 0, кроме x=0, где она равна пусть невычислимой бесконечности, тогда интеграл (Лебега) от неё в бесконечных пределах равен 0. А он у Дирака равен 1.
Я всё это прекрасно знаю и не вижу тут никаких противоречий и упорно не понимаю, почему тут противоречия видите Вы. Если бы интеграл дельта-функции был бы равен нулю — чем бы она тогда отличалась от функции f(x)=0? Вот где было бы противоречие. Можно и по-другому определить дельта-функцию: взять прямоугольную функцию единичной площади (квадрат визуально) и сжимать по оси X одновременно растягивая по Y, сохраняя единичную площадь. В пределе получим искомое без всяких противоречий.
Вот и попробуйте разрулить сие в рамках классического анализа, определив дельту как функцию (в необобщенном смысле) или через её спектр (который в классическом анализе для дельты даже не существует).
А до преобразования Фурье и самого понятия «спектр функции» не существовало, и что теперь? Мы же тут обработку сигналов обсуждаем, а не чистую математику. А в обработке сигналов приоритетно оперирование спектрами, и не всегда обязательно даже переходить во временную область. Белый шум, в частности, только через спектр и определяется.
Как говорится, флаг Вам в руки. И просьба, поделитесь, пожалуйста, результатами.
Вот и вот (алгоритм тоже мой, а не только реализация).
И почему Вы упорно игнорируете Владимирова и то, что он пишет про дельту как функцию?
Оконную функцию он называет «шапочка». И в русско-, и в англо-язычной теории обработки сигналов оконные функции называются «оконные функции», а не «шапочки» или «оконные обобщённые функции».
А то я после Ваших слов даже боюсь представить, как вообще Wolfram что-либо считает.
Читайте «A New Kind of Science» Стивена Вольфрама и его переведённые статьи на хабре.
А можно парочку примеров?
Обобщение факториала в область отрицательных действительных чисел; выражение конечной суммы sinc-функций через произведение двух гамма-функций.
Я с детской наивностью спросил, как он себя чувствует, спасая жизни людей. Говорит, поначалу пытался как-то осознать, а точнее – заставить себя осознать, что делает что-то действительно полезное и ценное. Мол, я спас человеку жизнь. Но, говорит, так никакого особенного понимания и не пришло. Просто работа такая. Привезли – зашил.
Потому что врач как никто знает — человек умрёт всё равно, как ты ему жизни не спасай. Работа врача в обеспечении комфортного существования, с минимумом боли и страданий. И наша работа тоже — обеспечение комфортного существования, бизнеса в целом и отдельных людей в частности. Получить отчёт нажатием одной кнопки в 1С удобнее, чем несколько дней собирать его вручную, и прибыль тут вообще не причём.
в этом пакете определение дельта-функции приводится по Владимирову (Владимиров даже упоминается), а тут — functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/02 — как дельта-функция считается. Но, в отличии от определения, считается в пакете она через предел дельта-образующей
Там же написано «Primary definition», а не «Calculation method». А считает Wolfram через символьные преобразования, независимо от определений.
А где у Виноградова Вы прочитали про значения дельта-функции во всех точках? Я что-то не нашел такого.
А я про это и не говорил. Я изучаю математику по разным источникам и с разных ракурсов.
То, что у Виноградова сначала дельта функция названа функцией, а потом обобщенной функцией, пусть останется на совести автора такой статьи
Не вижу никакого противоречия. То, что изначально функция вводится как обобщённая, не мешает её быть функцией в обычном понимании. В математике вообще достаточно вещей, появившихся неочевидным или неестественным образом, а также определяемых по-разному с разных точек зрения.
… просто убивает наповал — не хватало еще определять дельта-функцию, как последовательность. И разнозначные в нуле определения функции Хэвисайда напрягают.
Раз Вас что-то напрягает — значит, вашим знаниям не хватает непротиворечивости. Достаточно определить дельта-функцию через её спектр, чтобы не возникало никаких вопросов, в том числе и с вычислением значений в её точках.
Дельта-функция Дирака не является функцией. Её значения в точках не определены. На википедию лучше не ссылаться.
А на математическую энциклопедию под редакцией Виноградова можно ссылаться? Там дельта-функция Дирака тоже однозначно определена как функция. А если ограничить спектр дельта-функции, то получится sin(x)/x, а в том, что sin(x)/x — это функция вы же не сомневаетесь?
И значения её определены во всех точках, включая ноль, только в нуле она невычислима в численном выражении (а во всех остальных случаях равна нулю, например) — точно так же, как и невычислима мнимая единица до тех пор, пока её не возведёшь в квадрат. Но ведь комплексные и прочие числа с мнимыми единицами таки считаются числами?
Или вот значение функции 1/x в точке 0 тоже не определено. Но когда мы сокращаем (1/x)*x = 1 это же никого не смущает?
Но определения простого умножения, которое встречается у Вас в тексте («При дискретизации непрерывный сигнал умножается на гребёнку Дирака»), там нет. И не ищите. Эта операция не определена.
Если эта операция не определена, то как же Wolfram Alpha/Mathematica смогла выполнить над ней преобразование Фурье?
А без «гребёнки Дирака» у Вас не получается? А ведь «гребёнки Дирака» только один из методов (способов) упрощения жизни, и не более того.
Гребёнка Дирака — это функция, хорошо подходящая для строго математического описания процедуры дискретизации. Когда Котельников сформулировал свою теорему — законченной теории ЦОС ещё попросту не было, поэтому он оперировал теми понятиями, которые были ему доступны на тот момент.
В примере прямой спектр весь лежит между двумя дельта-функциями (первая пара), а инверсный тоже лежит между двумя дельта-функциями (вторая пара), но только не между первыми двумя
Инверсный спектр мы (я) обнулили приведением сигнала к аналитическому виду, поэтому он ни на что не наложится.
Нет, не убедили. Но и продолжать спорить мне жалко времени. Кроме того, в ваших выкладках я не обнаружил сумму дельта-функций Дирака, описывающих дискретный сигнал.
Для затравки — спектры при дискретизации не «размножаются» и периодически не повторяются.
Вроде бы как спектр от гребёнки Дирака — это тоже гребёнка Дирака, и теорему о свёртке вроде бы тоже никто не отменял.
При дискретизации непрерывный сигнал умножается на гребёнку Дирака. Его отсчёты, совпадающие с отсчётами гребёнки Дирака, никуда не деваются.
При этом их спектры сворачиваются. И если период решётки меньше длины спектра — произойдёт их наложение и восстановление будет невозможно.
Ну а поскольку вследствие свёртки спектр «размножился», то восстановление происходит простой фильтрацией в частотном домене в исходной полосе частот. Исходные отсчёты исходного сигнала продолжают оставаться на своих местах.
Да вроде всё правильно — теоремы Котельникова IV и V говорят же об этом прямым текстом. Математически это выглядит как-то так: непрерывный сигнал восстанавливается свёрткой дискретного с функцией sinc, затем приводится к аналитическому виду, затем линейно сдвигается вверх по частоте умножением на комплексную синусоиду. Если сдвиг по частоте выше частотной полосы, можно просто умножить на синусоиду и отфильтровать отрицательную часть частот.
Да — часто забывают, что теорема Котельникова в оригинале рассматривает полосы частот в радиоэфире. Соответственно и для дискретизации узкополосных гигагерцовых сигналов вовсе не нужен гигагерцовый АЦП.
Поглядел ваш курс и он мне показался слишком, слишком поверхностным. Помимо этого, он так же страдает теми же недостатками, что и прочие курсы того же типа — вводятся понятия и функции без объяснения, откуда они взялись, зачем и почему (та же функция Хевисайда).
Ну вот например.
Вы рисуете прямоугольную функцию, я рядом его спектр — но уже в абсолютном значении, причём в линейном масштабе. Ну а как новичок должен догадаться, что там изображена «выпрямленная» функция sinc? Как он должен догадаться, что и наоборот, спектр от sinc — прямоугольный?
Или вы рассматриваете оконные функции. Ну а как из них выбирать подходящую? А где описания отличий — например, что окно Нуттала гладкое (с нулевой первой производной) на краях? А где окно Дольфа-Чебышева, которая позволяет явно задавать величину боковых лепестков непосредственно в децибелах?
А почему ресемленг вы сводите исключительно к CIC, в то время как CIC — это лишь один из вариантов реализации, причём не идеальной?
А я элементарным считал обнулить младший разряд при записи числа в троичной системе счисления. А вот необходимость привязки алгоритма к 10-ой системе счисления уже неочевидна — учитывая, что компьютеры работают в двоичной.
Когда не было программистов, программы писали математики. Существует множество систем компьютерной алгебры, позволяющих программировать наиболее естественным для математиков образом.
модель НРЧ, в которой присутствовали бы все нечетные числа. Эта таблица и есть такая модель.
Такая формулировка некорректна уже хотя бы потому, что «ряд» не равно «таблица». Модель чего-бы то ни было предполагает полный или частичный перенос свойств моделируемого объекта. А вас тут некоторое подмножество натуральных чисел, каждому из которых ставится в соответствие одна или несколько пар координат. Тут максимум можно было говорить об упорядочивании, и то если бы числа не повторялись.
Число 35 встречается в двух строках с номерами х1=6 и х1 = 18. В этих строках нет ПФТ, их номера не кратны числу 5.
Так его нельзя факторизовать в принципе или факторизовать по вашему алгоритму? Я думал, что 35 = 5×7.
Если для заданного числа, мы не знаем в какой клетке оно находится, удается определить координаты клетки, дальше для числа факторизация достигается без проблем.… В клетки модели числа помещаются алгоритмом
Тогда можно было просто таблицу умножения (причём не обязательно двумерную и квадратную) простых чисел составить и точно так же искать множители.
Компьютеру нельзя сказать «найти максимальное нацело делящееся на 3 число, не превышающее корень из N»?
Не понял вопрос и при чём тут компьютер. Я просто предположил, что задача шага в этом и заключается, и её решение слишком элементарно, чтобы его расписывать, причём ваш вариант совсем не оптимальный.
А до преобразования Фурье и самого понятия «спектр функции» не существовало, и что теперь? Мы же тут обработку сигналов обсуждаем, а не чистую математику. А в обработке сигналов приоритетно оперирование спектрами, и не всегда обязательно даже переходить во временную область. Белый шум, в частности, только через спектр и определяется.
Вот и вот (алгоритм тоже мой, а не только реализация).
Оконную функцию он называет «шапочка». И в русско-, и в англо-язычной теории обработки сигналов оконные функции называются «оконные функции», а не «шапочки» или «оконные обобщённые функции».
Читайте «A New Kind of Science» Стивена Вольфрама и его переведённые статьи на хабре.
Обобщение факториала в область отрицательных действительных чисел; выражение конечной суммы sinc-функций через произведение двух гамма-функций.
Не вижу никакого противоречия. То, что изначально функция вводится как обобщённая, не мешает её быть функцией в обычном понимании. В математике вообще достаточно вещей, появившихся неочевидным или неестественным образом, а также определяемых по-разному с разных точек зрения.
Раз Вас что-то напрягает — значит, вашим знаниям не хватает непротиворечивости. Достаточно определить дельта-функцию через её спектр, чтобы не возникало никаких вопросов, в том числе и с вычислением значений в её точках.
И значения её определены во всех точках, включая ноль, только в нуле она невычислима в численном выражении (а во всех остальных случаях равна нулю, например) — точно так же, как и невычислима мнимая единица до тех пор, пока её не возведёшь в квадрат. Но ведь комплексные и прочие числа с мнимыми единицами таки считаются числами?
Или вот значение функции 1/x в точке 0 тоже не определено. Но когда мы сокращаем (1/x)*x = 1 это же никого не смущает?
Инверсный спектр мы (я) обнулили приведением сигнала к аналитическому виду, поэтому он ни на что не наложится.
Вроде бы как спектр от гребёнки Дирака — это тоже гребёнка Дирака, и теорему о свёртке вроде бы тоже никто не отменял.
При дискретизации непрерывный сигнал умножается на гребёнку Дирака. Его отсчёты, совпадающие с отсчётами гребёнки Дирака, никуда не деваются.
При этом их спектры сворачиваются. И если период решётки меньше длины спектра — произойдёт их наложение и восстановление будет невозможно.
Ну а поскольку вследствие свёртки спектр «размножился», то восстановление происходит простой фильтрацией в частотном домене в исходной полосе частот. Исходные отсчёты исходного сигнала продолжают оставаться на своих местах.
Дискретизируется-то по своим же. Вот так это происходит:
При идеальном восстановлении отсчёты будут совпадать.
Ну вот например.
Вы рисуете прямоугольную функцию, я рядом его спектр — но уже в абсолютном значении, причём в линейном масштабе. Ну а как новичок должен догадаться, что там изображена «выпрямленная» функция sinc? Как он должен догадаться, что и наоборот, спектр от sinc — прямоугольный?
Или вы рассматриваете оконные функции. Ну а как из них выбирать подходящую? А где описания отличий — например, что окно Нуттала гладкое (с нулевой первой производной) на краях? А где окно Дольфа-Чебышева, которая позволяет явно задавать величину боковых лепестков непосредственно в децибелах?
А почему ресемленг вы сводите исключительно к CIC, в то время как CIC — это лишь один из вариантов реализации, причём не идеальной?
Такая формулировка некорректна уже хотя бы потому, что «ряд» не равно «таблица». Модель чего-бы то ни было предполагает полный или частичный перенос свойств моделируемого объекта. А вас тут некоторое подмножество натуральных чисел, каждому из которых ставится в соответствие одна или несколько пар координат. Тут максимум можно было говорить об упорядочивании, и то если бы числа не повторялись.
Так его нельзя факторизовать в принципе или факторизовать по вашему алгоритму? Я думал, что 35 = 5×7.
Тогда можно было просто таблицу умножения (причём не обязательно двумерную и квадратную) простых чисел составить и точно так же искать множители.
Не понял вопрос и при чём тут компьютер. Я просто предположил, что задача шага в этом и заключается, и её решение слишком элементарно, чтобы его расписывать, причём ваш вариант совсем не оптимальный.