Первый выбор — выбор монеты. Мы можем выбрать либо фальшивую (Ф), либо настоящую (Н). Выбор равновероятен.
Второй выбор — выбор стороны, он тоже равновероятен. В случае Ф мы можем выбрать либо одну решку (ФР1), либо вторую (ФР2). В случае Н — либо решку (НР), либо орла (НО).
Таким образом до получения информации имеем четыре равновероятных исхода — ФР1, ФР2, НР, НО. Открыв глаза видим, что сверху решка, значит исход НО не выпал. Остаются три варианта, в двух из которых снизу вторая решка.
Здесь в задаче два выбора — равновероятный выбор одной из двух монет и равновероятный выбор положения монеты. Они дают нам четыре равновероятных исхода. Один из этих исходов (настоящая монета орлом вверх) отсеивается условием. Остаётся три, из них только два с решкой внизу. 2/3.
Поскольку для 2, 3, 4, 5 и 6 пиратов оставался один камень, то значит необходимо найти число вида НОК(2, 3, 4, 5, 6)*n+1 = 60*n+1, нацело делящееся на 7.
Признак делимости на 7 — число без последней цифры минус удвоенная последняя цифра делится на 7. Последняя цифра всегда 1, получаем что 6*n-2 должно делиться на 7. Ближайшее n = 5, значит число камней 60*5+1 = 301.
Вопрос 2
Всего у нас есть 4 варианта развития событий:
1 — взята фальшивая монета, выложена первой решкой вверх;
2 — взята фальшивая монета, выложена второй решкой вверх;
3 — взята настоящая монета, выложена решкой вверх;
4 — взята настоящая монета, выложена орлом вверх;
Поскольку мы видим, что наверху решка, то остаются только варианты 1, 2 и 3. Из этих вариантов решка внизу в двух, то есть с вероятностью 2/3.
В Маргинтейле без ограничений — не приведёт. Если есть возможность заканчивать все серии выигрышем, то абсолютно неважно, сколько будет проигрышей подряд, в конце каждой серии игрок всё равно в плюсе.
Ограничение — либо искусственное от казино, либо запас денег для роста ставок.
Потому что без ограничений такая схема позволяет выигрывать в рулетку и другие игры, построенные на вероятности. В простейшем случае делаются ставки на красное/чёрное, чёт/нечет или половину. При проигрыше следующая ставка удваивается, при выигрыше — сбрасывается на начальную.
После серии из n-1 проигрыша следует выигрыш. Всего было поставлено (i-я ставка равняется 2i-1): 1 + 2 + 22 + ... + 2n-2 + 2n-1 = 2n - 1
Выигрыш составит (удвоенная последняя ставка): 2n-1 * 2 = 2n
Таким образом, баланс будет: 2n - (2n - 1) = 1
Каждая серия даёт небольшой выигрыш, но может потребовать очень крупных ставок. Чтобы не дать игрокам использовать такую схему казино часто ограничивает минимальные и максимальные ставки, лимитируя тем самым длину серии.
Можно решить через матрицу предшествия. Заводим словарь предшественников для каждой буквы. Берём слова, начиная со второго, находим совпадающие начала в предыдущих словах и по первым несовпадающим буквам добавляем в словарь для буквы текущего слова букву из предшествующего.
Пройдя по всем словам ищем буквы, у которых нет предшественников (пустые словари), выводим их в произвольном порядке. Удаляем эти буквы из всех словарей предшествия и из общего списка. Повторяем, пока в списке есть буквы. {«baa», «abcd», «abca», «cab», «cad»}
'b' => {}
'a' => {'b', 'd'}
'c' => {'b', 'a'}
'd' => {'b'}
Ответ: {'b', 'd', 'a', 'c'}
In probability theory and statistics, a sequence of independent Bernoulli trials with probability 1/2 of success on each trial is metaphorically called a fair coin.
Сказано, что в каждом испытании вероятность успеха равняется 1/2. Где здесь вы увидели одинаковое количество выпадений?
Муравьи не столкнутся, если двигаются в одну и ту же сторону — по часовой стрелке или против. Вероятности таких событий P1CW × P2CW × P3CW и P1CCW × P2CCW × P3CCW.
Значит вероятность столкновения P = 1 − P1CW × P2CW × P3CW − P1CCW × P2CCW × P3CCW.
Если направления движения выбираются равновероятно, то P = 1 − (1/2)3 − (1/2)3 = 3/4
Вопрос 2
Тут всё зависит от того, могут ли игроки подавать друг-другу какие-либо сигналы. Если да, то игрок, видящий на других шляпы одного цвета подаёт такой сигнал (например, первым пишет ответ 'pass'). Тогда два других игрока знают, что их шляпы одного цвета и могут правильно ответить.
Просто отделим половину монет и перевернём их. Получим две группы монет, в которых одинаковое количество орлов.
Изначально у нас по пять орлов и решек. После разделения на две группы в первой N орлов и (5-N) решек, во второй — (5-N) орлов и (5-(5-N)) = N решек. После переворачивания всех монет второй группы в ней будет (5-(5-N)) = N орлов и (5-N) решек.
Второй выбор — выбор стороны, он тоже равновероятен. В случае Ф мы можем выбрать либо одну решку (ФР1), либо вторую (ФР2). В случае Н — либо решку (НР), либо орла (НО).
Таким образом до получения информации имеем четыре равновероятных исхода — ФР1, ФР2, НР, НО. Открыв глаза видим, что сверху решка, значит исход НО не выпал. Остаются три варианта, в двух из которых снизу вторая решка.
Признак делимости на 7 — число без последней цифры минус удвоенная последняя цифра делится на 7. Последняя цифра всегда 1, получаем что 6*n-2 должно делиться на 7. Ближайшее n = 5, значит число камней 60*5+1 = 301.
1 — взята фальшивая монета, выложена первой решкой вверх;
2 — взята фальшивая монета, выложена второй решкой вверх;
3 — взята настоящая монета, выложена решкой вверх;
4 — взята настоящая монета, выложена орлом вверх;
Поскольку мы видим, что наверху решка, то остаются только варианты 1, 2 и 3. Из этих вариантов решка внизу в двух, то есть с вероятностью 2/3.
Ограничение — либо искусственное от казино, либо запас денег для роста ставок.
После серии из n-1 проигрыша следует выигрыш. Всего было поставлено (i-я ставка равняется 2i-1):
1 + 2 + 22 + ... + 2n-2 + 2n-1 = 2n - 1Выигрыш составит (удвоенная последняя ставка):
2n-1 * 2 = 2nТаким образом, баланс будет:
2n - (2n - 1) = 1Каждая серия даёт небольшой выигрыш, но может потребовать очень крупных ставок. Чтобы не дать игрокам использовать такую схему казино часто ограничивает минимальные и максимальные ставки, лимитируя тем самым длину серии.
Пройдя по всем словам ищем буквы, у которых нет предшественников (пустые словари), выводим их в произвольном порядке. Удаляем эти буквы из всех словарей предшествия и из общего списка. Повторяем, пока в списке есть буквы.
{«baa», «abcd», «abca», «cab», «cad»}'b' => {}
'a' => {'b', 'd'}
'c' => {'b', 'a'}
'd' => {'b'}
Ответ: {'b', 'd', 'a', 'c'}
Сказано, что в каждом испытании вероятность успеха равняется 1/2. Где здесь вы увидели одинаковое количество выпадений?
K-K-C => X-X-C, выигрыш
K-C-K => X-C-X, выигрыш
K-C-C => К-X-X, выигрыш
C-K-K => С-X-X, выигрыш
C-K-C => X-К-X, выигрыш
C-C-K => X-X-K, выигрыш
C-C-C => K-K-K, проигрыш
Вероятность выпадения каждой комбинации одна и та же, выигрыш идёт в 6 случаях из 8, то есть его вероятность 75%.
Значит вероятность столкновения P = 1 − P1CW × P2CW × P3CW − P1CCW × P2CCW × P3CCW.
Если направления движения выбираются равновероятно, то P = 1 − (1/2)3 − (1/2)3 = 3/4
Изначально у нас по пять орлов и решек. После разделения на две группы в первой N орлов и (5-N) решек, во второй — (5-N) орлов и (5-(5-N)) = N решек. После переворачивания всех монет второй группы в ней будет (5-(5-N)) = N орлов и (5-N) решек.