Этот пост написан автором в далёком 2013 году как дополнение к статье из 2006 года. Тем не менее, предпосылки к отказу от хранения предрассчитанных касательных справедливы и в 2022, а вывод формул изложен понятно и без излишеств. В наше время расчёт касательных для каждого пикселя обычно работает быстрее чем их выборка из буфера вершин. Давайте же разберёмся как из интерполированной нормали, координат вершины и текстурных координат сделать правильный базис касательного пространства прямо во фрагментном шейдере.

В двух предыдущих статьях мы научились рассматривать нормали в трёхмерном пространстве двумя разными способами: как бивекторы или как двойственные векторы. Обе интерпретации корректны, но они выражаются в различных единицах и по разному реагируют на преобразования.

В третьей и окончательной части мы отойдём от нормалей и рассмотрим некоторые другие содержательные векторные величины. Мы видели как бивекторы и тривекторы из внешней алгебры выражают ориентированные площади и объёмы соответственно. Так же мы изучили двойственные векторы, которые действуют как ориентированные плотности линий в единицах обратных к длине. Теперь мы объединим эти геометрические концепции и посмотрим в какой степени они могут быть полезны. В какой степени? Прямо как степень масштабного коэффициента? Ладно, продолжим.

В первой части мы рассмотрели внешнюю алгебру и поняли, что векторы нормали в 3D можно интерпретировать как бивекторы. Для преобразования бивекторов в общем случае нужна матрица отличная от той, которая преобразует обычные векторы. Воспользовавшись каноническим базисом для бивекторов, мы выяснили, что это присоединённая матрица, которая пропорциональна обратной транспонированной. Эти рассуждения хотя бы частично объяснили почему нормали преобразуются обратной транспонированной матрицей.

Но некоторые вопросы были заметены под ковёр.

Есть такой загадочный факт о линейных преобразованиях: некоторые из них, а именно неоднородное масштабирование и сдвиг, по какой-то причине различают "обычные" векторы и нормали. Когда мы преобразуем "обычный" вектор матрицей, то нормали почему-то нужно преобразовывать обратной транспонированной матрицей. Как это понять?

С помощью нехитрых выкладок можно убедиться, что обратная транспонированная матрица сохраняет перпендикулярность нормалей к своим касательным плоскостям. В какой-то степени этого доказательства достаточно, но оно упускает более глубокую и интересную историю о стоящей за всем этим геометрии. Эту историю я и хочу поведать в нескольких следующих статьях.

Сигма-тип и вы