Счётная аддитивность, говорите? Вот, например, интересный момент: единичный куб состоит из множества точек, у которых хотя бы одна координата 1/2 (давайте уже назовём его как-нибудь. например, 0.5-множество) и континуума кубиков нулевого объёма.
С этим определением, насколько я помню, возникали всякие странные проблемы. Я не могу вспомнить их навскидку, прямо сейчас, но что-то там было очень грустно и неприятно.
Конечно, незачем так злиться. Но вы пишете странные вещи. Напомню: вероятностное пространство суть некое несущее множество (множество элементарных событий), сигма-алгебра его подмножеств (событий) и конечная счётно-аддитивная мера, которая и определяет вероятность.
В нашем случае несущее множество — это счётномерный единичный куб. Точка в нём — это элементарное событие. Каждая координата точки соответствует результату ломания одной соответствующей спички.
Событие «хотя бы одна спичка сломалась пополам» соответствует подмножеству точек, у которых хотя бы одна координата равна 0.5. Значит, нам нужна сигма-алгебра, включающая это подмножество, и мера на ней. В частности, нам нужно научиться находить меру этого подмножества.
Меру множества точек, у которых хотя бы одна из координат 1/2. Вероятность того, что наугад выбранная точка из куба попадёт в это множество, равна мере этого множества. Что с вами? Вы нездоровы?
Смущает нестрогость. У вас же, по сути, получается совсем другое вероятностное пространство, в котором элементарное событие — выбор некоторого подмножества, а случайное событие — выбор некоторого подмножества из некоторого подмножества подмножеств (например, среди подмножеств, содержащих точку 0.5). Всё это кажется мне… скажем так, требующим более детального исследования и соответствующего формального обоснования.
Ах, это… это я читал, да. Сначала оно мне показалось интересным подходом. Потом стало казаться подходом крайне сомнительным. Зафиксировать множество пи пытаться попасть в него точкой — это не то же самое, что зафиксировать точку и пытаться накрыть её множеством.
Как вообще считается вероятность накрытия точки случайным множеством некоторого класса? Не поделитесь теоретическими сведениями?
Бесконечная серия опытов по разламыванию спички — это, по сути, точка в счётномерном единичном кубе. Соответственно, для построения вероятностного пространства нам потребуется конечная счётно-аддитивная мера на какой-нибудь подходящей сигма-алгебре подмножеств этого куба, причём всё это счастье должно расширять конечный случай.
Если вы знаете, как строится соответствующее вероятностное пространство, будьте любезны, угостите меня ссылкой.
Дваждую вопрос. Рациональное множество возможных разломов упоминалось как экзотическая интерпретация, и довольно быстро было показано, что эта интерпретация плохая. При чём здесь я и bay73, скажите?
Как вы верно подметили, в этом комментарии не было слова «рациональных». И не подразумевалось. И не должно было быть.
Для всякого конечного n вероятность, что из n спичек хотя бы одна сломается пополам, равна нулю. Предел последовательности из одних нулей равен нулю. Кажется, «очевидно» — как раз про этот случай.
upd: впредь буду обновлять комментарии перед отправкой своего.
Я подумал над комментариями относительно существования оной вероятности. Действительно, это серьёзная проблема, которую я сходу не заметил.
Если пытаться «в лоб» построить вероятностное пространство, в котором имеет смысл говорить о такой вероятности, то возникает проблема, собственно, с мерой. Кажется, задать подходящую сигма-аддитивную меру в счётномерном единичном кубе не так просто, как мне хотелось бы.
С другой стороны, можно определить вероятность события при бесконечном ломании спичек как предел этой вероятности для ломания эн спичек при эн, стремящемся сами знаете куда. Тогда всё становится совершенно очевидным, и моё решение под спойлером больше не требуется.
Как говорил Фрейд, «иногда отрезок — это просто отрезок». Раз пошла такая пьянка, почему не предположить, что спичка ломается только по точкам, принадлежащим множеству Кантора на ней?
Когда математическая задача формулируется как сюжетная, всегда подразумевается некая дефолтная математическая интерпретация. И найти её не составляет труда ни для кого — кроме тех, кто специально отказывается её замечать.
Вероятность события, которое уже произошло, всегда равна единице. Это не зависит от того, каковы была вероятность этого события до того, как оно произошло.
Я пока напишу на специализированный форум. Может, там подскажут что-нибудь дельное.
С этим определением, насколько я помню, возникали всякие странные проблемы. Я не могу вспомнить их навскидку, прямо сейчас, но что-то там было очень грустно и неприятно.
В нашем случае несущее множество — это счётномерный единичный куб. Точка в нём — это элементарное событие. Каждая координата точки соответствует результату ломания одной соответствующей спички.
Событие «хотя бы одна спичка сломалась пополам» соответствует подмножеству точек, у которых хотя бы одна координата равна 0.5. Значит, нам нужна сигма-алгебра, включающая это подмножество, и мера на ней. В частности, нам нужно научиться находить меру этого подмножества.
А где разница? Мера и вероятность — он как Ленин и партия. Говорим одно — автоматически подразумеваем другое.
Как вообще считается вероятность накрытия точки случайным множеством некоторого класса? Не поделитесь теоретическими сведениями?
Если вы знаете, как строится соответствующее вероятностное пространство, будьте любезны, угостите меня ссылкой.
Как вы верно подметили, в этом комментарии не было слова «рациональных». И не подразумевалось. И не должно было быть.
upd: впредь буду обновлять комментарии перед отправкой своего.
Если пытаться «в лоб» построить вероятностное пространство, в котором имеет смысл говорить о такой вероятности, то возникает проблема, собственно, с мерой. Кажется, задать подходящую сигма-аддитивную меру в счётномерном единичном кубе не так просто, как мне хотелось бы.
С другой стороны, можно определить вероятность события при бесконечном ломании спичек как предел этой вероятности для ломания эн спичек при эн, стремящемся сами знаете куда. Тогда всё становится совершенно очевидным, и моё решение под спойлером больше не требуется.
Когда математическая задача формулируется как сюжетная, всегда подразумевается некая дефолтная математическая интерпретация. И найти её не составляет труда ни для кого — кроме тех, кто специально отказывается её замечать.