Я сейчас провожу такое исследование, через неделю примерно будут первые результаты. Сейчас предварительно могу сказать что для любого модуля N есть как минимум N/2 орбит длиной N^2. Под орбитой понимаю последовательное умножение элемента на самого себя пока не придет к себе обратно, то есть a^p = a, где p - длина орбиты. Более 80% орбит имеют длину N. Делаю тест, который будет проверять различные диапазоны на завершение цикла. Выбор коэффициентов и начальной точки в моем понимании на сегодня не сложная совершенно задача, подкреплять это утверждение пока могу статистическим распределением чисел, которые образуются по мере прохода орбиты, что они равномерно распределены.
Предложенная система очень свежая и скорее является объектом академических исследований и теоретических разработок. Поэтому на ваши вопросы у меня нет полных исчерпывающих ответов, но попробую ответить как смогу.
В M3-системе логика с простыми числами вида p=2q+1 в явном виде не применяется. Здесь N выступает в роли модуля для всех арифметических операций над компонентами векторов, и обычно выбирается простое число, чтобы K было полем, чтобы не было делителей нуля. Но, подозреваю, проблема малых подгрупп всё равно актуальна. Главный вопрос здесь - длина цикла (орбиты) для заданного начального элемента a. В своих тестовых наблюдениях при разных нетривиальных параметрах (например, когда все A B C D E простые числа) и начальный вектор также выбран нетривиально (например, тоже простые числа), то цикл обычно или N или максимальный который получался N^2 / 2, но никогда не наблюдался меньше N. Возможно если выбраны вырожденные изначально случаи, то там все плохо. Когда будет больше экспериментальных данных, выложу на гитхаб.
Что касается скорости, то классический DH будет быстрее, потому что скалярная операция одна, а в векторном умножении их больше. По ощущением M3 может быть медленнее кратно. Точного бенчмарка нет.
В общем, пока тут больше фундаментальный интерес, возможно, сложность проблемы DIP не будет решаться эффективно квантовыми компьютерами, или другие схемы найдутся.
Сходство с модуляцией шумоподобным сигналом ощущается только очень отдаленно — в схеме нет классической модуляции в строгом смысле:
здесь нет синусоиды или гармонической несущей: осцилляторы phi, psi — это антисимметричные, псевдослучайные функции, зависящие от секрета и nonce.
аргумент t — не время, а скрытый индекс на рациональной сетке. Функция не эволюционирует во времени, а выбирается на фиксированных позициях t + Delta.
присутствует экспонента p^[t] * PRF(i, K), которая создаёт нелинейную маску, делающую осцилляцию структурно случайной, а не периодической.
Поэтому правильнее говорить не о модуляции, а о структурной псевдослучайной осцилляции, где инвариант связывает несколько точек выборки — и это, по сути, и есть носитель информации.
С точки зрения Брауэра–Маркова–Шанина - такие числа неопределимы, потому что они не приближаются сколь угодно близко из-за ограниченности выбранной системы, но работа как раз и направлена на то, чтобы построить новую модель расширяющихся формальных систем, и в рамках этой парадигмы число считается конструктивным и определимым, если оно сколь угодно близко приближается конечно определимыми числами, а это есть по построению фрактальных чисел.
Вы правы: в статье действительно не доказывается, что произвольному элементу континуума можно сопоставить определимость на конечном уровне F_n, поскольку такого сопоставления не существует — и в этом состоит один из ключевых тезисов фрактальной модели.
Модель исходит из того, что на каждом конечном уровне S_n мы имеем лишь счётное множество определимых объектов. Однако существует континуум возможных допустимых цепочек расширений F_n, и вдоль каждой такой цепочки можно бесконечно расширять область определимости. Тем самым, каждый путь порождает своё собственное множество фрактальных чисел в пределе.
Таким образом, континуум в данной модели — это не множество уже данных объектов, а результат незавершаемого процесса расширения определимости вдоль допустимых цепочек. В этом — суть фрактального подхода: мы всегда остаёмся в пределах счётных уровней, но можем бесконечно углублять их, не достигая завершения. Поэтому требования доказать конечное завершение для произвольного элемента континуума противоречат самой конструкции модели.
Таким образом: - Множество достижимых фрактальных чисел счётно. - Множество всех потенциально определимых фрактальных чисел (во всех допустимых цепочках) имеет мощность континуума.
Никакая формальная система не может охватить все эти цепочки одновременно, поэтому несчётность фрактальных чисел — это мета-конструкция, не конструктивно реализуемая.
Это и есть центральная особенность модели: фрактальные числа не образуют завершённого множества, а существуют в виде стратифицированного процесса, допускающего бесконечное расширение, но не глобальную завершённость. При этом можно сформулировать слабую гипотезу сходимости чтобы завершить процесс: Для каждой допустимой бесконечной цепочки формальных систем F_n, существует предел определимости, интерпретируемый как единственное фрактальное число, которое может быть ассоциировано с точкой отрезка [0,1].
После ассоциации/убирания процесса, получаем континуум точек.
Числа Чайтина или случайные остаются нестрого определимыми, но приближаемыми с любой точностью стратифицированными последовательностями Коши, то есть такими что для всякой определимой последовательности Коши существует уровень n на котором ее предел является конструктивным.
Можно ввести стратифицированное замыкание - легкий вариант - когда считается что предел определим с точностью до эпсилон.
Можно ввести полное замыкание через аксиому стратифицированного предела, типа мы постулируем что предел есть в континуальном множестве цепочек, тогда получим полное R, но полностью стратифицированное.
Да, если цепочка систем {F_n} и цифры d_n задаются алгоритмически.
Нет, если требуется невычислимая информация (например, оракул для произвольного A \subseteq N).
Классическая конструктивность
Число считается конструктивным в смысле Брауэра–Маркова–Шанина, если:
Существует единый алгоритм, вычисляющий любую цифру d_n,
Его корректность доказывается в одной формальной системе (например, HA).
Случай с условным Пи: Если каждая цифра d_n появляется лишь в своей системе F_n, и нет общего алгоритма, то это не классическая конструктивность.
Стратифицированная конструктивность
В модели R^F_omega, основанной на иерархии формальных систем, число называется стратифицированно конструктивным, если:
Цепочка систем F_n задана алгоритмически, то есть существует программа, по n порождающая F_n,
Каждая цифра d_n доказуема в своей F_n.
Такое число нельзя полностью вывести в одной системе, но оно появляется как предельный результат конструктивного процесса.
Примеры Тривиальный (Пи):
F_n = PA + d_n = [n-ая цифра Пи]
Алгоритм для всех d_n известен, значит конструктивно в обоих вариантах.
Нетривиальный:
Пусть d_n = 1 \iff n \in A, где A — неразрешимо.
Нет алгоритма для d_n, значит:
Классически: неконструктивно,
Стратифицированно: неконструктивно, если F_n не задаются алгоритмически.
Для каждого конечного уровня n
конструктивно
в любой системе F_n, если она сама конструктивно задана (например, арифметика с ограниченными аксиомами), можно доказать утверждения и работать с объектами внутри этого уровня. Это приемлемо и в классике, и в интуиционизме. Классика принимает доказательства без требований к их построению. Интуиционизм требует построимости, но F_n задана, и можно явно указать алгоритм.
В пределе при n \to \infty В классике очевидно - в пределе получаем такую-то структуру. В интуиционизме - нельзя утверждать существование бесконечного объекта в целом, если вы не предъявили метод его генерации, то есть допустимы только потенциально бесконечные объекты, не актуально бесконечные.
Если подвести итоги обсуждения:
Фрактальный континуум как конструктивный универсум
Фрактальная теория чисел не просто совместима с интуиционистской программой — она её расширяет. Она предлагает:
Мета-конструктивный континуум, сформированный через стратифицированную определимость.
Иерархическую прослеживаемость, где каждый объект появляется на своём уровне F_n, но конструктивен уже там.
Безопасный предел: переход от уровней к F_\omega не требует аксиомы выбора и полностью прослеживаем.
Каждое число во фрактальном континууме R^F_omega существует не как изначально заданная точка, а как результат процесса определения, расширяемого до любой необходимой глубины.
Ключевые свойства фрактальной конструктивности:
Согласована с интуиционизмом
Стратифицирована
Не требует аксиомы выбора
Покрывает все конструктивное
Устраняет резкий разрыв между конечным и бесконечным
Формирует новый тип континуума
Это не попытка восстановить классический континуум, а замена его не через всеведение и актуальную бесконечность, а через процедурную развёртку — синтаксическое прорастание определимости сквозь уровни.
Ваш комментарий содержит логическую ошибку, хотя на первый взгляд он может казаться правдоподобным.
“Количество формальных систем счётно, значит, в совокупности они могут описать только счётное множество чисел.”
Проблема в рассуждении: Это похоже на утверждение: Алфавит конечный, значит, книг можно написать только конечное число. Но как известно: Бинарных последовательности континуум, хотя алфавит всего из двух символов.
Ошибка в путанице между элементами и структурами их объединения:
Формальных систем действительно счётное число. Они задаются конечными строками в каком-то фиксированном метаязыке.
Но последовательностей таких систем (цепочек) — несчётно много (собственно про это теорема и пример). Почему?
Потому что множество всех функций f: N \to N — уже континуум
Любая возрастающая функция f задаёт цепочку F_0, F_f(1), F_f(2), ...
Даже если использовать только счётно много систем как кирпичики, количество способов их упорядочить в цепочку — континуум
Ключевой аргумент: континуум возникает в пространстве последовательностей, а не в пространстве самих систем. Это абсолютно нормально и естественно:
Множество натуральных чисел — счётное
Множество всех последовательностей из натуральных чисел — континуум
То же и здесь:
Отдельная цепочка {F_n} описывает счётное множество чисел (если F_n заданы конструктивно).
Всего различных цепочек — континуум, и каждая может задавать уникальное число (например, свою условную версию числа Пи (не настоящего, а вымышленного, просто для связи с предыдущим примером) с разными известными цифрами).
Континуум возникает не из самих формальных систем, а из способов их комбинирования в бесконечные последовательности (континуум способов строить иерархии над ними). Это и позволяет в совокупности определить континуум различных чисел, по одному на каждую цепочку (или даже больше).
Посмотрите Пример 1.1 из статьи, вот я его простыми словами сюда выкладываю.
Пример: Как различаются цепочки формальных систем через частичную информацию о числе π
Представим, что у нас есть бесконечное множество натуральных чисел A \subseteq N — например, все чётные числа, или простые числа, или вообще какое-то случайное бесконечное подмножество натуральных.
Блее формально: пусть A = {a_1, a_2, a_3, ...\ — бесконечное подмножество натуральных чисел. Тогда F_n^A — это формальная система, содержащая аксиомы о цифрах \pi на позициях a_1, a_2, ..., a_n.
Например, если A = {2, 5, 10, ...}, то:
В систему F_3^A мы включим формальные утверждения:
“вторая цифра после запятой у \pi — 4”,
“пятая цифра — 9”,
“десятая цифра — 5”.
Но остальные цифры \pi не включаются в аксиоматику — мы о них ничего не знаем.
Это абсолютно легитимный подход и часто используется в математике, вот пример конкретной аксиомы:
\begin{axiom} The 5th decimal digit of \pi is 9. \end{axiom}
Возникает вопрос, а почему в этой системе нет знания о других цифрах числа \pi? Потому что формальная система не предполагает, что у нее есть вся бесконечная информация, конструктивная логика локальна: если чего-то не включено, то это недоступно.
Что это даёт?
У нас получилась цепочка формальных систем, на каждом уровне которых доступна определённая информация о числе \pi, но только в тех позициях, которые заданы в множестве A.
То есть знание о \pi как бы “фрагментировано”, и разные множества A дают разные цепочки систем.
Теперь представим другое множество B \neq A (например, B — все нечётные числа). Построим аналогичную цепочку F_n^B, но уже с информацией о других цифрах числа \pi.
Получится, что два множества определяют две разные цепочки, и, соответственно, два разных множества определимых чисел — потому что:
в одной цепочке можно доказать утверждение “эта цифра у \pi равна X”,
а в другой — нельзя (если цифра отсутствует в множестве аксиом).
Таким образом:
Каждое бесконечное множество A \subseteq N задаёт свою цепочку формальных систем с частичной информацией о числе \pi.
Таких множеств — континуум, это P(N).
Значит, и различных цепочек систем, порождающих разные множества определимых чисел, тоже континуум.
Континуум различий между цепочками рождается даже при фиксированном числе \pi, если мы варьируем, какую часть его мы знаем формально на каждом уровне.
Ни в каком месте это не противоречит конструктивности подхода.
Если множества A и B отличаются лишь на конечное число элементов (т. е. A \Delta B конечно), то соответствующие цепочки F_n^A и F_n^B в пределе могут задавать одно и то же множество определимых чисел (поскольку конечное число изменений не влияет на выразительную силу формальной системы в асимптотике).
Однако если рассматривать только множества, различающиеся на бесконечное число элементов (например, A — чётные числа, B — нечётные), то соответствующие цепочки формальных систем будут давать заведомо различные множества определимых чисел.
Поскольку таких множеств A \subseteq N (попарно отличающихся на бесконечное число элементов) всё ещё континуум, то и различных цепочек остаётся континуально много.
тут тонкость, через которую сложно пройти: конструктивно определимых чисел счётно много в рамках одной расширяющейся последовательности систем формальных определимостей
но таких систем континуум
и они все в совокупности формируют континуум чисел
Любую - нет, всякую конструктивно определимую - да.
Но кажется этого более чем достаточно, потому что конструктивно неопределенные и не рассматриваются на практике.
Я бы даже сказал более: вся доказуемая математика лежит внутри R^{F_omega}. Если нельзя выразить число через конечную процедуру в формальной системе, то нельзя:
ни доказать его свойства
ни использовать его в формализованной теореме
ни даже зафиксировать его как объект обсуждения
Поэтому с точки зрения теории доказательств, неопределимые числа математически не существуют.
Нет, нельзя описать любую произвольную бесконечную последовательность конечным числом символов в рамках какой-либо фиксированной конструктивной системы. Но в рамках фрактальной модели это и не утверждается.
Вот что утверждается: всякое конструктивно определимое число можно сжать до минимальной пары (n, \sigma). Случайные или неопределимые числа не имеют ни DComp, ни даже существования в фрактальном топосе Sh(S). Это не ошибка модели, а её фундаментальная философия: не всё существует, а только то, что можно выразить.
Да, вы верно заметили, я назвал это stratified definability compression.
В классической теории информации это выглядело бы как невозможное: определить бесконечное число с помощью конечной строки. Вместо того чтобы описывать бесконечное число бит напрямую, описывается конечная система F_n, внутри которой эти биты воспроизводимы алгоритмически. Ключ в том, что система F_n — не просто язык, а формальный алгоритмический мир, внутри которого можно говорить: на этом уровне уже доказуемо, что сумма \sum_{k \in X} 2^{-k} сходится к r_X.
Это аналог того, что я не буду выписывать число, я просто скажу, что оно — предел функции, определённой в такой-то формальной системе, и всё, что касается его свойств, следует из синтаксиса этой системы.
Пример число пи: Эта сумма доказуемо сходится в ACA_0 Тогда: DComp(\pi) = (n, “Leibniz series”) для некоторого F_n \supseteq ACA_0
Можно не только сжимать, но и контролируешь уровень метатеоретической выразимости, в которой это сжатие допустимо. Это превращает понятие сжатия в онтологическую оценку сложности. У меня есть глава на эту тему.
Может показаться, что этот процесс никогда не завершается — и это действительно так: в парадигме стратификации завершение нам и не требуется. Тем не менее, ничто не мешает перейти к классической платонистской интерпретации и сопоставить таким числам точки на отрезке. В этом контексте мы можем оперировать уже с предельными значениями и воспринимать результат как готовый континуум. Однако у этого континуума свои особенности: он многослойный, иерархически устроенный, не пересекает множество невыразимых чисел и, в этом смысле, представляет собой подмножество классического отрезка — конструктивно насыщенное, но не полное.
Строятся бесконечные цепочки формальных систем, которые в целом (в пределе) могут не иметь конечного описания, однако на каждом конечном уровне каждая из них полностью задана конечным числом символов. Континуум таких цепочек возникает лишь в пределе, как совокупность всех возможных направлений роста, но непосредственно мы к этому пределу никогда не обращаемся. Все числа извлекаются из конечных участков цепочек, то есть каждое число строго определено, конечно выражено, и не существует "невыразимых" объектов. Тем не менее, мы не можем сосчитать все такие числа: как только они нумеруются в пределах одной системы, появляется следующий уровень, содержащий новые. Так возникает конструктивный континуум — несчётное множество, недостижимое изнутри какой-либо одной системы, но порождённое бесконечным процессом расширения определимости.
В статье показано, что каждой бесконечной бинарной последовательности X \in 2^N можно сопоставить цепочку C_X = {F_n^(X)} и число r_X, определимое на некотором конечном уровне этой цепочки — например, уже в F_1^(X).
Хотя цепочка C_X бесконечна, само число r_X определяется на конечном уровне n, причём это n зависит от X, но всегда конечное.
То есть определение каждого отдельного числа не требует всей цепочки, а лишь конечного участка — и именно это обеспечивает счётность каждого фрактального уровня, но несчётность всего объединения.
Что касается замечания про отображение на натуральные числа: в пределах одного уровня F_n или даже одной цепочки — множество определимых чисел счётно. Но как показано в статье, множество различных цепочек C \in F_omega имеет мощность континуума, и инъективная конструкция X \mapsto r_X обеспечивает, что множество всех фрактально определимых чисел R^{F_omega} тоже имеет мощность континуума.
Итого, каждое число определяется в конечной системе с конечным описанием, и никакого бесконечного n при этом не требуется. Бесконечность появляется только в совокупности всех таких цепочек, а не внутри определения отдельного числа.
Если просто объяснить: в рамках одной цепочки/иерархии расширяющихся формальных систем все порождаемые числа счетны.
Разные цепочки могут порождать одинаковые числа - нет проблем.
Но всего таких всевозможных цепочек континуум.
И когда мы объединим их все в единое целое, мы получим континуум чисел.
При этом не все цепочки обязательно порождают разные множества чисел. Некоторые могут совпадать по определимости, даже если формально различаются. Но это не влияет на мощность объединения, так как разные цепочки всё равно охватывают всё множество.
Все отдельные числа всегда определимы на конечном уровне, но всё множество R^{F_omega} не может быть выражено никакой одной конечной системой — только через бесконечную иерархию, как предел конструктивного роста. Поэтому можно сказать, что континуум как целое определяется только при бесконечном n, хотя каждое число в отдельности — конечное.
Если просто - все фрактальные числа конструктивны, их общее число - континуум. Ровно это формально математически доказывается.
Для любого фиксированного уровня n, существуют числа, которые становятся определимыми лишь на уровнях > n, и потому определение таких чисел требует обращения к бесконечному процессу конструктивного роста.
Разница с классикой в том, что в классике континуум постулируется как уже данный несчётный объект, тогда как во фрактальной модели он возникает как предел конструктивного процесса, где каждое число имеет конечное описание, но всё множество не охватывается ни одной системой — и это важно, потому что смещает акцент с абстрактной мощности на иерархию выразимости, делая саму несчётность результатом последовательного, формально прослеживаемого роста.
Нет, в пункте 5.1.(3) не строится одна формальная система, неописуемая конечным числом символов. Напротив, каждый уровень F_n^(X) — это обычная конечная теория, записываемая конечным числом формул.
Однако вся цепочка C_X, порождаемая бесконечным параметром X, является метаобъектом: это не одна система, а иерархия конечных систем. Именно такая иерархия и реализует фрактальную модель — бесконечный процесс расширения конструктивной определимости, где каждая ступень описуема, но вся структура не может быть зафиксирована в рамках одной системы или алгоритма.
Правильно говорить, что строится бесконечная последовательность конечных формальных систем, параметризованная бесконечным объектом X \in 2^N, и такая цепочка не может быть сведена к одной конечной формальной системе.
Эта конструкция даёт способ конструктивно охватить мощность континуума без обращения к абстрактным несчётным множествам. То есть показывается, что:
Континуум может быть порождён как фрактальный предел расширений конечных формальных систем,
Каждое число возникает как результат конкретного мета-конструктивного процесса,
И при этом никакая фиксированная система или алгоритм не охватывает всё множество — потому что сама структура обладает внутренней, неизбывной стратификацией (неустранимое расщепление).
никакая одна формальная система (какой бы мощной она ни была) не может выразить всё множество R^{F_omega}, потому что:
чтобы выразить r_X, нужно иметь доступ ко всей цепочке F_n^(X), а не только к её начальному участку
это исключает существование единого алгоритма или теории, способной нумеровать или описать всю конструкцию
это фундаментально отличает фрактальную модель от традиционного конструктивизма или классических моделей R, здесь есть конструктивная непрерывность, но она не сводится ни к одной фиксированной структуре.
Я сейчас провожу такое исследование, через неделю примерно будут первые результаты. Сейчас предварительно могу сказать что для любого модуля N есть как минимум N/2 орбит длиной N^2. Под орбитой понимаю последовательное умножение элемента на самого себя пока не придет к себе обратно, то есть a^p = a, где p - длина орбиты. Более 80% орбит имеют длину N. Делаю тест, который будет проверять различные диапазоны на завершение цикла. Выбор коэффициентов и начальной точки в моем понимании на сегодня не сложная совершенно задача, подкреплять это утверждение пока могу статистическим распределением чисел, которые образуются по мере прохода орбиты, что они равномерно распределены.
Предложенная система очень свежая и скорее является объектом академических исследований и теоретических разработок. Поэтому на ваши вопросы у меня нет полных исчерпывающих ответов, но попробую ответить как смогу.
В M3-системе логика с простыми числами вида p=2q+1 в явном виде не применяется. Здесь N выступает в роли модуля для всех арифметических операций над компонентами векторов, и обычно выбирается простое число, чтобы K было полем, чтобы не было делителей нуля. Но, подозреваю, проблема малых подгрупп всё равно актуальна. Главный вопрос здесь - длина цикла (орбиты) для заданного начального элемента a. В своих тестовых наблюдениях при разных нетривиальных параметрах (например, когда все A B C D E простые числа) и начальный вектор также выбран нетривиально (например, тоже простые числа), то цикл обычно или N или максимальный который получался N^2 / 2, но никогда не наблюдался меньше N. Возможно если выбраны вырожденные изначально случаи, то там все плохо. Когда будет больше экспериментальных данных, выложу на гитхаб.
Что касается скорости, то классический DH будет быстрее, потому что скалярная операция одна, а в векторном умножении их больше. По ощущением M3 может быть медленнее кратно. Точного бенчмарка нет.
В общем, пока тут больше фундаментальный интерес, возможно, сложность проблемы DIP не будет решаться эффективно квантовыми компьютерами, или другие схемы найдутся.
Сходство с модуляцией шумоподобным сигналом ощущается только очень отдаленно — в схеме нет классической модуляции в строгом смысле:
здесь нет синусоиды или гармонической несущей: осцилляторы phi, psi — это антисимметричные, псевдослучайные функции, зависящие от секрета и nonce.
аргумент t — не время, а скрытый индекс на рациональной сетке. Функция не эволюционирует во времени, а выбирается на фиксированных позициях t + Delta.
присутствует экспонента p^[t] * PRF(i, K), которая создаёт нелинейную маску, делающую осцилляцию структурно случайной, а не периодической.
Поэтому правильнее говорить не о модуляции, а о структурной псевдослучайной осцилляции, где инвариант связывает несколько точек выборки — и это, по сути, и есть носитель информации.
С точки зрения Брауэра–Маркова–Шанина - такие числа неопределимы, потому что они не приближаются сколь угодно близко из-за ограниченности выбранной системы, но работа как раз и направлена на то, чтобы построить новую модель расширяющихся формальных систем, и в рамках этой парадигмы число считается конструктивным и определимым, если оно сколь угодно близко приближается конечно определимыми числами, а это есть по построению фрактальных чисел.
Вы правы: в статье действительно не доказывается, что произвольному элементу континуума можно сопоставить определимость на конечном уровне F_n, поскольку такого сопоставления не существует — и в этом состоит один из ключевых тезисов фрактальной модели.
Модель исходит из того, что на каждом конечном уровне S_n мы имеем лишь счётное множество определимых объектов. Однако существует континуум возможных допустимых цепочек расширений F_n, и вдоль каждой такой цепочки можно бесконечно расширять область определимости. Тем самым, каждый путь порождает своё собственное множество фрактальных чисел в пределе.
Таким образом, континуум в данной модели — это не множество уже данных объектов, а результат незавершаемого процесса расширения определимости вдоль допустимых цепочек. В этом — суть фрактального подхода: мы всегда остаёмся в пределах счётных уровней, но можем бесконечно углублять их, не достигая завершения. Поэтому требования доказать конечное завершение для произвольного элемента континуума противоречат самой конструкции модели.
Таким образом:
- Множество достижимых фрактальных чисел счётно.
- Множество всех потенциально определимых фрактальных чисел (во всех допустимых цепочках) имеет мощность континуума.
Никакая формальная система не может охватить все эти цепочки одновременно, поэтому несчётность фрактальных чисел — это мета-конструкция, не конструктивно реализуемая.
Это и есть центральная особенность модели: фрактальные числа не образуют завершённого множества, а существуют в виде стратифицированного процесса, допускающего бесконечное расширение, но не глобальную завершённость. При этом можно сформулировать слабую гипотезу сходимости чтобы завершить процесс:
Для каждой допустимой бесконечной цепочки формальных систем F_n, существует предел определимости, интерпретируемый как единственное фрактальное число, которое может быть ассоциировано с точкой отрезка [0,1].
После ассоциации/убирания процесса, получаем континуум точек.
Числа Чайтина или случайные остаются нестрого определимыми, но приближаемыми с любой точностью стратифицированными последовательностями Коши, то есть такими что для всякой определимой последовательности Коши существует уровень n на котором ее предел является конструктивным.
Можно ввести стратифицированное замыкание - легкий вариант - когда считается что предел определим с точностью до эпсилон.
Можно ввести полное замыкание через аксиому стратифицированного предела, типа мы постулируем что предел есть в континуальном множестве цепочек, тогда получим полное R, но полностью стратифицированное.
Является ли «условное π» конструктивным?
Краткий ответ:
Да, если цепочка систем {F_n} и цифры d_n задаются алгоритмически.
Нет, если требуется невычислимая информация (например, оракул для произвольного A \subseteq N).
Классическая конструктивность
Число считается конструктивным в смысле Брауэра–Маркова–Шанина, если:
Существует единый алгоритм, вычисляющий любую цифру d_n,
Его корректность доказывается в одной формальной системе (например, HA).
Случай с условным Пи:
Если каждая цифра d_n появляется лишь в своей системе F_n, и нет общего алгоритма, то это не классическая конструктивность.
Стратифицированная конструктивность
В модели R^F_omega, основанной на иерархии формальных систем, число называется стратифицированно конструктивным, если:
Цепочка систем F_n задана алгоритмически, то есть существует программа, по n порождающая F_n,
Каждая цифра d_n доказуема в своей F_n.
Такое число нельзя полностью вывести в одной системе, но оно появляется как предельный результат конструктивного процесса.
Примеры
Тривиальный (Пи):
F_n = PA + d_n = [n-ая цифра Пи]
Алгоритм для всех d_n известен, значит конструктивно в обоих вариантах.
Нетривиальный:
Пусть d_n = 1 \iff n \in A, где A — неразрешимо.
Нет алгоритма для d_n, значит:
Классически: неконструктивно,
Стратифицированно: неконструктивно, если F_n не задаются алгоритмически.
Для каждого конечного уровня n
конструктивно
в любой системе F_n, если она сама конструктивно задана (например, арифметика с ограниченными аксиомами), можно доказать утверждения и работать с объектами внутри этого уровня. Это приемлемо и в классике, и в интуиционизме. Классика принимает доказательства без требований к их построению. Интуиционизм требует построимости, но F_n задана, и можно явно указать алгоритм.
В пределе при n \to \infty
В классике очевидно - в пределе получаем такую-то структуру.
В интуиционизме - нельзя утверждать существование бесконечного объекта в целом, если вы не предъявили метод его генерации, то есть допустимы только потенциально бесконечные объекты, не актуально бесконечные.
Если подвести итоги обсуждения:
Фрактальный континуум как конструктивный универсум
Фрактальная теория чисел не просто совместима с интуиционистской программой — она её расширяет. Она предлагает:
Мета-конструктивный континуум, сформированный через стратифицированную определимость.
Иерархическую прослеживаемость, где каждый объект появляется на своём уровне F_n, но конструктивен уже там.
Безопасный предел: переход от уровней к F_\omega не требует аксиомы выбора и полностью прослеживаем.
Каждое число во фрактальном континууме R^F_omega существует не как изначально заданная точка, а как результат процесса определения, расширяемого до любой необходимой глубины.
Ключевые свойства фрактальной конструктивности:
Согласована с интуиционизмом
Стратифицирована
Не требует аксиомы выбора
Покрывает все конструктивное
Устраняет резкий разрыв между конечным и бесконечным
Формирует новый тип континуума
Это не попытка восстановить классический континуум, а замена его не через всеведение и актуальную бесконечность, а через процедурную развёртку — синтаксическое прорастание определимости сквозь уровни.
Ваш комментарий содержит логическую ошибку, хотя на первый взгляд он может казаться правдоподобным.
“Количество формальных систем счётно, значит, в совокупности они могут описать только счётное множество чисел.”
Проблема в рассуждении:
Это похоже на утверждение:
Алфавит конечный, значит, книг можно написать только конечное число.
Но как известно:
Бинарных последовательности континуум, хотя алфавит всего из двух символов.
Ошибка в путанице между элементами и структурами их объединения:
Формальных систем действительно счётное число. Они задаются конечными строками в каком-то фиксированном метаязыке.
Но последовательностей таких систем (цепочек) — несчётно много (собственно про это теорема и пример). Почему?
Потому что множество всех функций f: N \to N — уже континуум
Любая возрастающая функция f задаёт цепочку F_0, F_f(1), F_f(2), ...
Даже если использовать только счётно много систем как кирпичики, количество способов их упорядочить в цепочку — континуум
Ключевой аргумент: континуум возникает в пространстве последовательностей, а не в пространстве самих систем.
Это абсолютно нормально и естественно:
Множество натуральных чисел — счётное
Множество всех последовательностей из натуральных чисел — континуум
То же и здесь:
Отдельная цепочка {F_n} описывает счётное множество чисел (если F_n заданы конструктивно).
Всего различных цепочек — континуум, и каждая может задавать уникальное число (например, свою условную версию числа Пи (не настоящего, а вымышленного, просто для связи с предыдущим примером) с разными известными цифрами).
Континуум возникает не из самих формальных систем, а из способов их комбинирования в бесконечные последовательности (континуум способов строить иерархии над ними). Это и позволяет в совокупности определить континуум различных чисел, по одному на каждую цепочку (или даже больше).
Посмотрите Пример 1.1 из статьи, вот я его простыми словами сюда выкладываю.
Пример: Как различаются цепочки формальных систем через частичную информацию о числе π
Представим, что у нас есть бесконечное множество натуральных чисел A \subseteq N — например, все чётные числа, или простые числа, или вообще какое-то случайное бесконечное подмножество натуральных.
Блее формально: пусть A = {a_1, a_2, a_3, ...\ — бесконечное подмножество натуральных чисел. Тогда F_n^A — это формальная система, содержащая аксиомы о цифрах \pi на позициях a_1, a_2, ..., a_n.
Например, если A = {2, 5, 10, ...}, то:
В систему F_3^A мы включим формальные утверждения:
“вторая цифра после запятой у \pi — 4”,
“пятая цифра — 9”,
“десятая цифра — 5”.
Но остальные цифры \pi не включаются в аксиоматику — мы о них ничего не знаем.
Это абсолютно легитимный подход и часто используется в математике, вот пример конкретной аксиомы:
\begin{axiom}
The 5th decimal digit of \pi is 9.
\end{axiom}
Возникает вопрос, а почему в этой системе нет знания о других цифрах числа \pi? Потому что формальная система не предполагает, что у нее есть вся бесконечная информация, конструктивная логика локальна: если чего-то не включено, то это недоступно.
Что это даёт?
У нас получилась цепочка формальных систем, на каждом уровне которых доступна определённая информация о числе \pi, но только в тех позициях, которые заданы в множестве A.
То есть знание о \pi как бы “фрагментировано”, и разные множества A дают разные цепочки систем.
Теперь представим другое множество B \neq A (например, B — все нечётные числа). Построим аналогичную цепочку F_n^B, но уже с информацией о других цифрах числа \pi.
Получится, что два множества определяют две разные цепочки, и, соответственно, два разных множества определимых чисел — потому что:
в одной цепочке можно доказать утверждение “эта цифра у \pi равна X”,
а в другой — нельзя (если цифра отсутствует в множестве аксиом).
Таким образом:
Каждое бесконечное множество A \subseteq N задаёт свою цепочку формальных систем с частичной информацией о числе \pi.
Таких множеств — континуум, это P(N).
Значит, и различных цепочек систем, порождающих разные множества определимых чисел, тоже континуум.
Континуум различий между цепочками рождается даже при фиксированном числе \pi, если мы варьируем, какую часть его мы знаем формально на каждом уровне.
Ни в каком месте это не противоречит конструктивности подхода.
Если множества A и B отличаются лишь на конечное число элементов (т. е. A \Delta B конечно), то соответствующие цепочки F_n^A и F_n^B в пределе могут задавать одно и то же множество определимых чисел (поскольку конечное число изменений не влияет на выразительную силу формальной системы в асимптотике).
Однако если рассматривать только множества, различающиеся на бесконечное число элементов (например, A — чётные числа, B — нечётные), то соответствующие цепочки формальных систем будут давать заведомо различные множества определимых чисел.
Поскольку таких множеств A \subseteq N (попарно отличающихся на бесконечное число элементов) всё ещё континуум, то и различных цепочек остаётся континуально много.
тут тонкость, через которую сложно пройти: конструктивно определимых чисел счётно много в рамках одной расширяющейся последовательности систем формальных определимостей
но таких систем континуум
и они все в совокупности формируют континуум чисел
Любую - нет, всякую конструктивно определимую - да.
Но кажется этого более чем достаточно, потому что конструктивно неопределенные и не рассматриваются на практике.
Я бы даже сказал более: вся доказуемая математика лежит внутри R^{F_omega}.
Если нельзя выразить число через конечную процедуру в формальной системе, то нельзя:
ни доказать его свойства
ни использовать его в формализованной теореме
ни даже зафиксировать его как объект обсуждения
Поэтому с точки зрения теории доказательств, неопределимые числа математически не существуют.
Нет, нельзя описать любую произвольную бесконечную последовательность конечным числом символов в рамках какой-либо фиксированной конструктивной системы. Но в рамках фрактальной модели это и не утверждается.
Вот что утверждается: всякое конструктивно определимое число можно сжать до минимальной пары (n, \sigma).
Случайные или неопределимые числа не имеют ни DComp, ни даже существования в фрактальном топосе Sh(S).
Это не ошибка модели, а её фундаментальная философия: не всё существует, а только то, что можно выразить.
Да, вы верно заметили, я назвал это stratified definability compression.
В классической теории информации это выглядело бы как невозможное: определить бесконечное число с помощью конечной строки. Вместо того чтобы описывать бесконечное число бит напрямую, описывается конечная система F_n, внутри которой эти биты воспроизводимы алгоритмически.
Ключ в том, что система F_n — не просто язык, а формальный алгоритмический мир, внутри которого можно говорить: на этом уровне уже доказуемо, что сумма \sum_{k \in X} 2^{-k} сходится к r_X.
Это аналог того, что я не буду выписывать число, я просто скажу, что оно — предел функции, определённой в такой-то формальной системе, и всё, что касается его свойств, следует из синтаксиса этой системы.
Пример число пи:
Эта сумма доказуемо сходится в ACA_0
Тогда:
DComp(\pi) = (n, “Leibniz series”) для некоторого F_n \supseteq ACA_0
Можно не только сжимать, но и контролируешь уровень метатеоретической выразимости, в которой это сжатие допустимо. Это превращает понятие сжатия в онтологическую оценку сложности. У меня есть глава на эту тему.
Может показаться, что этот процесс никогда не завершается — и это действительно так: в парадигме стратификации завершение нам и не требуется. Тем не менее, ничто не мешает перейти к классической платонистской интерпретации и сопоставить таким числам точки на отрезке. В этом контексте мы можем оперировать уже с предельными значениями и воспринимать результат как готовый континуум. Однако у этого континуума свои особенности: он многослойный, иерархически устроенный, не пересекает множество невыразимых чисел и, в этом смысле, представляет собой подмножество классического отрезка — конструктивно насыщенное, но не полное.
Строятся бесконечные цепочки формальных систем, которые в целом (в пределе) могут не иметь конечного описания, однако на каждом конечном уровне каждая из них полностью задана конечным числом символов. Континуум таких цепочек возникает лишь в пределе, как совокупность всех возможных направлений роста, но непосредственно мы к этому пределу никогда не обращаемся. Все числа извлекаются из конечных участков цепочек, то есть каждое число строго определено, конечно выражено, и не существует "невыразимых" объектов. Тем не менее, мы не можем сосчитать все такие числа: как только они нумеруются в пределах одной системы, появляется следующий уровень, содержащий новые. Так возникает конструктивный континуум — несчётное множество, недостижимое изнутри какой-либо одной системы, но порождённое бесконечным процессом расширения определимости.
В статье показано, что каждой бесконечной бинарной последовательности X \in 2^N можно сопоставить цепочку C_X = {F_n^(X)} и число r_X, определимое на некотором конечном уровне этой цепочки — например, уже в F_1^(X).
Хотя цепочка C_X бесконечна, само число r_X определяется на конечном уровне n, причём это n зависит от X, но всегда конечное.
То есть определение каждого отдельного числа не требует всей цепочки, а лишь конечного участка — и именно это обеспечивает счётность каждого фрактального уровня, но несчётность всего объединения.
Что касается замечания про отображение на натуральные числа: в пределах одного уровня F_n или даже одной цепочки — множество определимых чисел счётно. Но как показано в статье, множество различных цепочек C \in F_omega имеет мощность континуума, и инъективная конструкция X \mapsto r_X обеспечивает, что множество всех фрактально определимых чисел R^{F_omega} тоже имеет мощность континуума.
Итого, каждое число определяется в конечной системе с конечным описанием, и никакого бесконечного n при этом не требуется. Бесконечность появляется только в совокупности всех таких цепочек, а не внутри определения отдельного числа.
Если просто объяснить: в рамках одной цепочки/иерархии расширяющихся формальных систем все порождаемые числа счетны.
Разные цепочки могут порождать одинаковые числа - нет проблем.
Но всего таких всевозможных цепочек континуум.
И когда мы объединим их все в единое целое, мы получим континуум чисел.
При этом не все цепочки обязательно порождают разные множества чисел. Некоторые могут совпадать по определимости, даже если формально различаются. Но это не влияет на мощность объединения, так как разные цепочки всё равно охватывают всё множество.
Если кратко - нет.
Все отдельные числа всегда определимы на конечном уровне, но всё множество R^{F_omega} не может быть выражено никакой одной конечной системой — только через бесконечную иерархию, как предел конструктивного роста. Поэтому можно сказать, что континуум как целое определяется только при бесконечном n, хотя каждое число в отдельности — конечное.
Если просто - все фрактальные числа конструктивны, их общее число - континуум. Ровно это формально математически доказывается.
Для любого фиксированного уровня n, существуют числа, которые становятся определимыми лишь на уровнях > n, и потому определение таких чисел требует обращения к бесконечному процессу конструктивного роста.
Разница с классикой в том, что в классике континуум постулируется как уже данный несчётный объект, тогда как во фрактальной модели он возникает как предел конструктивного процесса, где каждое число имеет конечное описание, но всё множество не охватывается ни одной системой — и это важно, потому что смещает акцент с абстрактной мощности на иерархию выразимости, делая саму несчётность результатом последовательного, формально прослеживаемого роста.
Нет, в пункте 5.1.(3) не строится одна формальная система, неописуемая конечным числом символов. Напротив, каждый уровень F_n^(X) — это обычная конечная теория, записываемая конечным числом формул.
Однако вся цепочка C_X, порождаемая бесконечным параметром X, является метаобъектом: это не одна система, а иерархия конечных систем. Именно такая иерархия и реализует фрактальную модель — бесконечный процесс расширения конструктивной определимости, где каждая ступень описуема, но вся структура не может быть зафиксирована в рамках одной системы или алгоритма.
Правильно говорить, что строится бесконечная последовательность конечных формальных систем, параметризованная бесконечным объектом X \in 2^N, и такая цепочка не может быть сведена к одной конечной формальной системе.
Эта конструкция даёт способ конструктивно охватить мощность континуума без обращения к абстрактным несчётным множествам. То есть показывается, что:
Континуум может быть порождён как фрактальный предел расширений конечных формальных систем,
Каждое число возникает как результат конкретного мета-конструктивного процесса,
И при этом никакая фиксированная система или алгоритм не охватывает всё множество — потому что сама структура обладает внутренней, неизбывной стратификацией (неустранимое расщепление).
никакая одна формальная система (какой бы мощной она ни была) не может выразить всё множество R^{F_omega}, потому что:
чтобы выразить r_X, нужно иметь доступ ко всей цепочке F_n^(X), а не только к её начальному участку
это исключает существование единого алгоритма или теории, способной нумеровать или описать всю конструкцию
это фундаментально отличает фрактальную модель от традиционного конструктивизма или классических моделей R, здесь есть конструктивная непрерывность, но она не сводится ни к одной фиксированной структуре.