Давайте посмотрим на одно интересное следствие из вашего определения.
Вы там вовсю пытаетесь считать «спектр по периодам» и вам интуитивно кажется что у периодического сигнала с периодом nT будет соответствующее значение в спектре (n>0 целое)
Я же как раз противоположенное говорил в предыдущем комментарии. Если сигнал обладает какой-то частотой, то это не значит, что она есть в его спектре. Никаких выводов я интуитивно не делаю.
И — упс — понимаем что спектр такого сигнала может состоять далеко не только из периодов Tn = n * Δt
Как мы это понимаем? Если представить дискретный сигнал в виде суммы дельта-функций и найти спектр в базисе гармонических функций, то не только из Tn = n * Δt. Если не переходить в базис непрерывных функций, то будет состоять только из Tn = n * Δt.
Все ваши выкладки сводятся к тому чтобы максимально запутать простые выкладки, использовать собственные нестандартные определения, а затем подставить в одно-два места либо теорему которая верна только для стандартного определения, либо вот подобную «очевидную» вещь.
Неужели именно так всё со стороны выглядит?
Чисто из интереса — какой у вас ВУЗ?
Пензенский ГУ
Небольшой модельный пример:
f(x)=sin(7*2pi*x) + sin(5*2pi*x)
Период T = 1сек
Возьмем частоту дискретизации 3 Гц. Дискретизованный сигнал будет периодическим. В его спектре по частоте при этом будут частоты 5 и 7 Гц. В спектре по периоду соответственно 1/5 с и 1/7 с. Легко заметить что ни 1/5 ни 1/7 не кратны dt=1/3 с
Странный пример, Вы берёте частоту дискретизации меньше, чем частоты спектральных составляющих сигнала, но так тоже можно. Естественно, что они не кратны, период дискретизации можно выбрать какой угодно и некратный в том числе. И что из этого следует? Такое чувство, что Вы вообще не понимаете, о чём я говорю.
Если в качестве базисных использовать какие-то дискретные функции, которые никак не связаны ни с гармоническими, ни с какими-либо другими непрерывными функциями, то частотный спектр в базисе таких функций будет функцией какого аргумента?
Проще говоря, Ваша частота — это частота ПОВТОРЕНИЯ сигнала.
Это не моя частота, а стандартное её определение. Других определений частоты функции я никогда не слышал.
Например последовательность прямоугольных импульсов может быть периодической, но при этом нельзя сказать что эта последовательность имеет частоту 1/T где T — период.
Если есть период, то есть и частота, так как они связаны формулой f = 1/T.
В контексте дискретного преобразования Фурье «чистой» частоты не бывает, но в определенных условиях дискретным сигналам можно взаимно-однозначно сопоставить непрерывные и в рамках этого сопоставления естественно сопоставить дискретизованной синусоиде частоту ее прообраза.
Что значит ««чистой» частоты не бывает»? Если функция периодическая, то ей соответствует какая-то частота, если нет, то ей соответствует частота 0. Дискретной синусоиде сопоставляют частоту непрерывной синусоиды, так как определяют спектр непрерывного сигнала после дискретизации, а не спектр самой дискретной синусоиды. Сама по себе дискретная синусоида может иметь частоту, несовпадающую с непрерывной.
Причем Вы с чего-то вдруг дальше пытаетесь выводить что в базисе находятся только строго определенные f. Это не так — все разные f (с поправкой на алиасинг) дают разные базисные функции
Я не говорил, что в базисе есть только строго определённые f, и я согласен с тем, что f может принимать любое значение и с тем, что они дают разные базисные функции. Я говорил, что f уже не является частотой базисной функции при использовании стандартного определения частоты функции (Вы, почему-то, называете его моим определением).
Что такое «частотный спектр дискретного по времени сигнала»?
Частотный спектр дискретного во времени сигнала – спектр дискретного во времени сигнала как функция частоты.
Я уже предлагал простенький пример: f(x)=sin(2pi*x)+sin(3pi*x)
Нетрудно проверить что период этого сигнала T=2 с
В рамках Вашего определения частоты, это «сигнал частоты 1/2 Гц». То есть надо полагать, Ваша версия спектра этого сигнала должна, как минимум, содержать в себе компоненту на частоте 1/2 Гц.
Если сигнал обладает какой-то частотой, это не значит, что в его спектре есть эта частота (самый распространённый пример – амплитудная модуляция). Не понимаю, из чего Вы сделали такой вывод?
Причем насколько я понял, для непрерывных сигналов Вы таки эту идею понимаете.
Но почему-то вдруг считаете что если мы эту функцию дискретизуем, то там надо использовать уже Ваше определение и в силу этого там будет какой-то абсолютно иной спектр.
Для непрерывных сигналов, никаких противоречий со стандартным определением частоты (моим определением) нет, поэтому, как Вы говорите, я понимаю идею. Тоже самое определение я использую и для дискретных сигналов.
А в рамках стандартной теории — там будет ровно тот же спектр, с частотами 1 и 1.5 Гц.
Независимо, что характерно, от частоты дискретизации при условии что она будет выше 3 Гц.
Стандартная теория рассматривает дискретные сигналы только с точки зрения восстановления соответствующих им непрерывных сигналов, поэтому и приравнивает частоты непрерывного синуса и дискретного. Если не переходить от дискретного пространства к непрерывному и использовать дискретные базисные функции при разложении сигнала в обобщённый ряд Фурье, то частотный спектр, определённый в базисе таких функций будет дискретным с равномерным шагом по периоду.
Не может. Но это не означает что у него будет «частота ноль» и что его спектр будет нулевым
Если синусоида с ненулевой конечной частотой после дискретизации стала непериодической дискретной функцией, то её частота стала равной 0 в соответствии со стандартным определением (моим определением) частоты. Если представить её в виде суммы дельта-функций и найти спектр в базисе гармонических функций, то он покажет её исходную частоту, но это не делает частоту дискретной синусоиды ненулевой.
Если функция s(t) является периодической, то для неё можно записать следующее равенство:
s(t) = s(t + 1/f), где f – частота.
Вы знаете другое определение частоты функции?
Если функция является дискретной, то она определена только в точках t = Δt * m, где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
Базисные функции для непрерывного преобразования Фурье:
f1(t) = cos(2πft) + j * sin(2πft).
В данном случае f является частотой функции f1(t).
Базисные функции для дискретного во времени преобразования Фурье:
f2(t) = cos(2πf(Δt * m)) + j * sin(2πf(Δt * m)).
В данном случае параметр f уже не является частотой функции f2(t).
Если спектр найден в базисе функций f2(t), то он не является зависимостью коэффициента разложения от частоты, а является зависимостью от некоторого параметра f.
Никаких новых спектров я не изобретаю, а просто пытаюсь показать, что результат ДПФ не является частотным спектром дискретного во времени сигнала. С тем, что спектр (который не является частотным), полученный в результате ДПФ, совпадает с частотным спектром соответствующего непрерывного сигнала (при условии, что в нём нет частот выше частоты Найквиста), я не спорю.
Сам по себе дискретный сигнал не может иметь период, некратный периоду дискретизации в соответствии с определением периодической функции, так же как и дискретная базисная функция.
Бред – это расстройство мышления. Без оскорблений нельзя обойтись? Давайте я с Вами также разговаривать начну!
Частота дискретной функции из базиса ДПФ = частота соответствующего непрерывного прообраза.
Что за расстройство мышления? Ваше утверждение опровергается элементарно, достаточно просто сравнить частоту дискретной функции из базиса ДПФ и частоту соответствующей ей непрерывной функции, и они оказываются разными.
Если Вы возьмете sin( e * x ), и дискретизуете его, то получите базисную функцию ДПФ с частотой e/2pi+df*n, а вовсе не ноль.
Что за бред? Где обоснование? И что значит n? Я знаю, что Вы ответите: после дискретизации появляется бесконечное число копий и т.д. (всё это я прекрасно понимаю). Только это опять непрерывный сигнал, а не дискретный. Вы вообще понимаете, что представляя дискретный сигнал в виде суммы смещённых дельта-функций, Вы делаете его непрерывным? И кто из нас после этого плохо различает дискретные и непрерывные сигналы?
Естественно пункт 2) неверен.
Что такое «естественно»? Это такое универсальное слово, которое заменяет обоснование?
Далее, спектр — это просто результат преобразования Фурье, не больше и не меньше. Ему можно дать удобную трактовку через частоту, но не наоборот. Поэтому пункт 1) тоже неверен, хотя что Вы в нем хотели сказать я так до конца и не понял
Более подробно, что я хотел сказать – если вместо гармонических функций в качестве базисных используются другие функции, то аргументом спектра, получаемого в базисе таких функций является их частота, а не частота гармонических функций. Если в качестве базисной функции используются дискретные синусы, то в качестве аргумента должна использоваться частота дискретного синуса, а не частота какого-то там «прообраза».
Вообще замечательный принцип: «Я не понял о чём речь, но всё равно неправильно».
1. Базис ДПФ (точнее ДТПФ — дискретное по времени преобразование Фурье) содержит не только периодические функции
Я с этим не спорю. Базис ДПФ может содержать непериодические функции, и частота этих функций равна нулю. Отсюда следует, что нулевой частоте может соответствовать несколько базисных функций, так же как и другим частотам могут соответствовать несколько базисных функций.
Я не понимаю, с чем именно Вы не согласны:
1) С тем, что спектр является зависимостью некоторого параметра от частоты базисной функции?
2) С тем, что частота базисной функции ДПФ принимает только значения
fб.ф. = 1 / (Td * n)?
Во-первых, Вы плохо понимаете что есть два РАЗНЫХ пространства
Покажите, пожалуйста, из чего конкретно Вы сделали такой вывод, я хочу знать, где я плохо понимаю.
В данном случае я рассматриваю только дискретные сигналы и дискретные пространства.
Это явление называется алиасингом и существует теорема, которая гласит что алиасинг
Причём здесь наложение спектров? Я говорю про то, что некоторые частоты невозможно получить при заданном шаге дискретизации (причём эти частоты меньше частоты Найквиста), а Вы мне про то, что частоты выше частоты Найквиста неправильно воспринимаются и восстановление сигналов, как это связано?
Как я понял, Вы не согласны с тем, что базисные функции ДПФ могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td).
Допустим периодический дискретный сигнал имеет период T0 = 2 с и частоту дискретизации fd = 4 Гц. Так как сигнал дискретный, то его спектр ограничивается частотой 2 Гц. Так как сигнал при этом периодический, то его спектр дискретный и может состоять только из частот:
f = 0,5; 1; 1,5; 2 Гц.
Сигнал может содержать такие и только такие частоты по следующим причинам:
1) Разложение в ряд Фурье подразумевает разложение сигнала по ортогональному базису, то есть каждая спектральная составляющая несёт в себе уникальную информацию и взаимная мощность всех базисных функций равна нулю.
2) Рассматриваемый сигнал можно разложить по всем частотам от 0 до бесконечности, но базисные функции ДПФ только с частотами из ряда f будут ортогональными. Если, например, сказать что данный сигнал имеет в спектре частоту 5 Гц, так как fd + 1 Гц = 5 Гц, то это означает включение в базис неортогональной функции.
Когда Вы говорите про то, что дискретный сигнал содержит в спектре бесконечное множество копий спектра, то Вы говорите про непрерывный сигнал (полученный из дискретного с предположением, что между отсчётами сигнал принимает какое-то значение), спектр которого найден в базисе непрерывных тригонометрических функций. Одному дискретному сигналу можно сопоставить бесконечное множество различных непрерывных сигналов с различными спектрами и каждый из них будет правильным.
Если подставить частоты из ряда f в базисные функции ДПФ, то частоты базисных функций не будут совпадать со значениями из ряда f:
fбф = 0,5; 1; 0,5; 2 Гц.
В соответствии с определением, спектр – это зависимость некоторого параметра от частоты базисной функции, получается, что спектр рассматриваемого сигнала определён только на частотах 0,5; 1; 2 Гц. Получить частоту 1,5 Гц при данных условиях невозможно, как тогда можно утверждать, что спектр в базисе таких функций определён на частоте 1,5 Гц? Или я выбираю какую-то неправильную частоту дискретизации и период сигнала?
А с чего Вы взяли что дискретизованная синусоида будет периодическим сигналом :)?
Дискретные синусы и косинусы являются базисными функциями дискретного преобразования Фурье. Так как определяется спектр как функция частоты, то базисные функции должны быть периодическими.
Спектр – это зависимость некоторого параметра (например, амплитуды), являющегося коэффициентом разложения в ряд Фурье по некоторому базису от частоты базисной функции.
В случае дискретного преобразования Фурье базисными функциями являются дискретные синусы и косинусы. Частоты таких базисных функций могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td), где Td – период дискретизации. Соответственно, спектр в базисе таких функций будет определён только в точках 1 / (n * Td).
Известно, что если дискретный сигнал обладает частотой дискретизации fd, то он может содержать в себе любые частоты от 0 до fd/2. Значит, если сигнал имеет частоту дискретизации 10 Гц, то он может содержать в себе любые частоты от 0 до 5 Гц. Теперь, если Вас не затруднит, нарисуйте, пожалуйста, дискретный периодический сигнал с частотой 1,5 Гц и частотой дискретизации fd = 10 Гц и докажите, что его частота 1,5 Гц.
Чтобы Вас сильно не утомлять, я прокомментирую только самый важный пункт Вашего ответа.
Дальше Вы довольно разумным образом рассуждаете про дискретные периодические функции
Фактически, Вы соглашаетесь с тем, что периодический дискретный во временной области сигнал обладает логарифмической сеткой частот:
— Спектр периодического сигнала определён только в точках
fn = Δf * n, где n – целое число, Δf – частотный шаг.
— Спектр дискретного сигнала определён только в точках
fm = (1 / Tm) = (1 / (Δt * m)), где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
— Спектр дискретного периодического сигнала определён только в точках fn == fm или (Δf * n) == 1 / (Δt * m).
Если Δf = 1, Δt = 1, то n = 1; m = 1.
Если Δf = 0,5, Δt = 0,5, то n = 1, 2, 4; m = 4, 2, 1.
Если Δf = 0,25, Δt = 0,25, то n = 1, 2, 4, 8, 16; m = 16, 8, 4, 2, 1.
Если Δf -> 0, Δt -> 0, то n и m принимают бесконечное число значений с равномерным логарифмическим шагом:
n = (2 ^ x), где x = 0, 1, 2, 3,… inf,
m = (2 ^ y), где y = inf, … 3, 2, 1, 0.
Устремляя Δf и Δt к нулю, мы переходим от дискретного периодического сигнала к непрерывному непериодическому сигналу, при этом частотный шаг остаётся логарифмическим.
Следует различать СПМ процесса и СПМ реализации процесса. Я рассматриваю процесс с непрерывным спектром, однако каждая реализация этого процесса обладает дискретным спектром, состоящим только из одной гармоники. Ближайший распространённый аналог – процесс, каждая реализация которого состоит из гармонического сигнала со случайной начальной фазой.
P(0 Гц) – мощность реализации с частотой 0 Гц, P(10 Гц) – мощность реализации с частотой 10 Гц и так далее. P(f) – мощность реализации процесса с частотой f, при этом сама P(f) является непрерывной функцией, так как мною изначально задано, что частота может принимать любое значение от нуля до бесконечности.
Спектральную плотность мощности неэргодического случайного процесса определяют усреднением по СПМ множества реализаций. Если рассмотреть мощность моего процесса в полосе частот от 0 до конечной f, то она будет равна средней мощности данной полосы всех реализаций, то есть равна нулю, так как в полосу частот от 0 до f попадает в бесконечное число раз меньшее количество гармоник, чем в полосу от f до бесконечности. Мощность в полосе частот от 0 до бесконечности равна P0, так как в этот диапазон частот попадают все реализации (мощность каждой реализации равна P0). Получается, что p1(f) рассматриваемого процесса равна нулю всюду, но имеет ступеньку на бесконечной частоте. Соответственно СПМ такого процесса также всюду равна нулю и обладает дельта-функцией на бесконечной частоте. Таким образом, рассматриваемый мною процесс обладает Sf(f) = 0, при этом его мощность равна P0.
Вы же думаете, что я рассматриваю сигнал, содержащий бесконечное число гармоник на всех частотах. Такой сигнал обладает либо бесконечной мощностью в любой полосе частот, либо все его гармоники должны обладать нулевой амплитудой.
Что мешает просто взять и сопоставить спектральной плотности мощности некоторую непрерывную зависимость мощности от частоты P(f) (прошу заметить, что это не мощность в полосе от 0 до f, а именно зависимость мощности от частоты), производная от которой будет равна спектральной плотности мощности?
Если функция p1(f) в полосе частот от 0 до f равна const != 0 в каждой точке, то спектральная плотность мощности будет всюду равна нулю, при этом мощность самого сигнала будет равна const, которая может быть какой угодно, хоть бесконечной. Что это за сигнал такой, что обладает ненулевой мощностью и при этом его СПМ всюду равна нулю? Никакой ступеньки в нуле нет, поэтому нельзя сказать, что СПМ будет иметь дельта-функцию в нуле.
Можно обойтись без слов типа «фигней страдать», «Ау» и прочее, неприятно такое читать!
Поэтому я и не хочу брать неопределенный интеграл, а предпочитаю конкретную его реализацию определенную соотношением p1(0)=0.
Вы вправе не хотеть, на мою статью это не влияет.
При указанном мною выборе реализации неопределенного интеграла это будет мощность в полосе частот от 0 до f. Вы вправе выбрать другую реализацию, но я не вижу причин не использовать именно эту — она равносильна любой другой и удобна в интерпретации
Причину я много раз говорил — нужно уйти от мощности в полосе частот.
Я Вам уже раза четыре наверное сказал про физический смысл и он тривиален — мощность в полосе частот от 0 до f
Я Вам в который раз говорю, что неопределённый интеграл — это не мощность полосы от 0 до f.
Еще раз, медленно, p1 != p3. Это черт возьми две совершенно разных вещи, хотя и с одинаковой размерностью
У Вас p1(f) — это определённый интеграл, естественно, он не равен p3(f). Если p1(f) — неопределённый интеграл, то он будет являться мощностью реализации процесса с частотой f. Я, вроде, и аналогию с координатой точки привел, как ещё объяснять?
Производная чего? Спектра? Что является спектром? Обычно вообще-то спектром называют спектральную плотность p2(f) и «равномерный спектр» соответствует p2(f)=const.
Это уже хороший вопрос! Сигналом с равномерным спектром по определению является сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности, то есть сигнал, у которого на одинаковые полосы частот приходятся одинаковые мощности. У меня и возник вопрос, почему сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности по частоте является равномерным, если с тем же успехом можно по определению приравнять броуновский шум к сигналам с равномерным спектром, так как его спектральная плотность мощности по периоду равномерна. У частоты над периодом есть какое-то преимущество? Все привыкли использовать только равномерный шаг по частоте, так как он используется в преобразовании Фурье и все свои рассуждения привязывают к полосе частот.
Используя неопределённый интеграл, я ухожу от полос частот и получаю в итоге, что сигнал с равномерным спектром не является равномерным ни по частоте, ни по периоду, а по некоторой «средней» спектральной координате — натуральному логарифму частоты, который, кстати, равен по модулю натуральному логарифму периода.
Спектральная плотность мощности является производной кумулятивной ф-и распределения (первообразной) и последняя может быть константой только в случае если спектральная плотность мощности тождественно равна 0.
Вы рассматриваете p1(f) как определённый интеграл в полосе частот от 0 до f.
Это всё равно, что рассматривать интеграл от скорости за время от 0 до t. Такой интеграл даст путь, пройденный за время t. Если брать неопределённый интеграл, то в точке t он будет равен координате, из которой вычтена константа. Можно и так сказать – производная от x(t) даёт функцию скорости V(t), соответственно неопределённый интеграл от скорости даёт зависимость положения от времени с вычтенной константой.
Если перейти к спектрам, то неопределённый интеграл от спектральной плотности мощности будет равен зависимости мощности от частоты и никакого отношения к какой-либо полосе частот она не будет иметь. Проблема в том, что такая зависимость никем никогда не применялась, хотя бы потому, что непонятен её физический смысл. Чтобы придать ей смысл, я и придумал процесс, каждая реализация которого состоит только из одной гармоники.
Если сигнал обладает равномерным спектром, то его производная (хоть по частоте, хоть по периоду) должна быть равна нулю. Этой производной как раз и является спектральная плотность мощности.
Зависимость координаты x(t) от времени – это координата точки в момент времени t. Если в момент времени 0 координата x(0) = 1, а в момент времени t, координата не изменилась x(t) = 1, то пройденный путь равен 1? Чтобы найти пройденный путь по x(t) необходимо использовать формулу длины кривой: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B9
Спектральная плотность мощности показывает скорость изменения мощности в точке f. Если эта скорость не равна нулю, то мощность сигнала в точке f будет отличаться от мощности в точке f+df. Соответственно, если спектральная плотность мощности отлична от нуля и равна константе, то это свидетельствует о росте мощности с увеличением частоты.
Аналогия с координатой и скоростью:
— спектральная плотность мощности по частоте Sf(f) – это скорость V(t);
— мощность в полосе частот P = интеграл(Sf(f)df) – это расстояние, пройденное за интервал времени S = интеграл(V(t)dt);
— зависимость мощности от частоты P(f) – это зависимость координаты от времени x(t).
Соответственно, если найти производную зависимости координаты от времени x’(t), то получим скорость V(t), если найти производную от P(f) по частоте P’(f), то получим спектр мощности по частоте Sf(f). Можно ещё найти производную от P(f) по периоду, то получим спектр мощности по периоду.
Если следовать Вашей логике, то x(t) не существует в принципе, а есть только скорость и расстояние, пройденное за интервал времени.
Я в чём-то ошибаюсь?
Начиная с комментария 20 июля 2015 в 19:36 вы не нашли ни одной ошибки.
Тогда закончим его.
Уточните, пожалуйста, каких формул?
Ещё интересно услышать ваш ответ на вопрос в конце моего предыдущего комментария.
Я же как раз противоположенное говорил в предыдущем комментарии. Если сигнал обладает какой-то частотой, то это не значит, что она есть в его спектре. Никаких выводов я интуитивно не делаю.
Как мы это понимаем? Если представить дискретный сигнал в виде суммы дельта-функций и найти спектр в базисе гармонических функций, то не только из Tn = n * Δt. Если не переходить в базис непрерывных функций, то будет состоять только из Tn = n * Δt.
Неужели именно так всё со стороны выглядит?
Пензенский ГУ
Странный пример, Вы берёте частоту дискретизации меньше, чем частоты спектральных составляющих сигнала, но так тоже можно. Естественно, что они не кратны, период дискретизации можно выбрать какой угодно и некратный в том числе. И что из этого следует? Такое чувство, что Вы вообще не понимаете, о чём я говорю.
Если в качестве базисных использовать какие-то дискретные функции, которые никак не связаны ни с гармоническими, ни с какими-либо другими непрерывными функциями, то частотный спектр в базисе таких функций будет функцией какого аргумента?
Это не моя частота, а стандартное её определение. Других определений частоты функции я никогда не слышал.
Если есть период, то есть и частота, так как они связаны формулой f = 1/T.
Что значит ««чистой» частоты не бывает»? Если функция периодическая, то ей соответствует какая-то частота, если нет, то ей соответствует частота 0. Дискретной синусоиде сопоставляют частоту непрерывной синусоиды, так как определяют спектр непрерывного сигнала после дискретизации, а не спектр самой дискретной синусоиды. Сама по себе дискретная синусоида может иметь частоту, несовпадающую с непрерывной.
Я не говорил, что в базисе есть только строго определённые f, и я согласен с тем, что f может принимать любое значение и с тем, что они дают разные базисные функции. Я говорил, что f уже не является частотой базисной функции при использовании стандартного определения частоты функции (Вы, почему-то, называете его моим определением).
Частотный спектр дискретного во времени сигнала – спектр дискретного во времени сигнала как функция частоты.
Если сигнал обладает какой-то частотой, это не значит, что в его спектре есть эта частота (самый распространённый пример – амплитудная модуляция). Не понимаю, из чего Вы сделали такой вывод?
Для непрерывных сигналов, никаких противоречий со стандартным определением частоты (моим определением) нет, поэтому, как Вы говорите, я понимаю идею. Тоже самое определение я использую и для дискретных сигналов.
Стандартная теория рассматривает дискретные сигналы только с точки зрения восстановления соответствующих им непрерывных сигналов, поэтому и приравнивает частоты непрерывного синуса и дискретного. Если не переходить от дискретного пространства к непрерывному и использовать дискретные базисные функции при разложении сигнала в обобщённый ряд Фурье, то частотный спектр, определённый в базисе таких функций будет дискретным с равномерным шагом по периоду.
Если синусоида с ненулевой конечной частотой после дискретизации стала непериодической дискретной функцией, то её частота стала равной 0 в соответствии со стандартным определением (моим определением) частоты. Если представить её в виде суммы дельта-функций и найти спектр в базисе гармонических функций, то он покажет её исходную частоту, но это не делает частоту дискретной синусоиды ненулевой.
s(t) = s(t + 1/f), где f – частота.
Вы знаете другое определение частоты функции?
Если функция является дискретной, то она определена только в точках t = Δt * m, где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
Базисные функции для непрерывного преобразования Фурье:
f1(t) = cos(2πft) + j * sin(2πft).
В данном случае f является частотой функции f1(t).
Базисные функции для дискретного во времени преобразования Фурье:
f2(t) = cos(2πf(Δt * m)) + j * sin(2πf(Δt * m)).
В данном случае параметр f уже не является частотой функции f2(t).
Если спектр найден в базисе функций f2(t), то он не является зависимостью коэффициента разложения от частоты, а является зависимостью от некоторого параметра f.
Никаких новых спектров я не изобретаю, а просто пытаюсь показать, что результат ДПФ не является частотным спектром дискретного во времени сигнала. С тем, что спектр (который не является частотным), полученный в результате ДПФ, совпадает с частотным спектром соответствующего непрерывного сигнала (при условии, что в нём нет частот выше частоты Найквиста), я не спорю.
Сам по себе дискретный сигнал не может иметь период, некратный периоду дискретизации в соответствии с определением периодической функции, так же как и дискретная базисная функция.
Я в чём-то ошибаюсь?
Бред – это расстройство мышления. Без оскорблений нельзя обойтись? Давайте я с Вами также разговаривать начну!
Что за расстройство мышления? Ваше утверждение опровергается элементарно, достаточно просто сравнить частоту дискретной функции из базиса ДПФ и частоту соответствующей ей непрерывной функции, и они оказываются разными.
Что за бред? Где обоснование? И что значит n? Я знаю, что Вы ответите: после дискретизации появляется бесконечное число копий и т.д. (всё это я прекрасно понимаю). Только это опять непрерывный сигнал, а не дискретный. Вы вообще понимаете, что представляя дискретный сигнал в виде суммы смещённых дельта-функций, Вы делаете его непрерывным? И кто из нас после этого плохо различает дискретные и непрерывные сигналы?
Что такое «естественно»? Это такое универсальное слово, которое заменяет обоснование?
Более подробно, что я хотел сказать – если вместо гармонических функций в качестве базисных используются другие функции, то аргументом спектра, получаемого в базисе таких функций является их частота, а не частота гармонических функций. Если в качестве базисной функции используются дискретные синусы, то в качестве аргумента должна использоваться частота дискретного синуса, а не частота какого-то там «прообраза».
Вообще замечательный принцип: «Я не понял о чём речь, но всё равно неправильно».
Я с этим не спорю. Базис ДПФ может содержать непериодические функции, и частота этих функций равна нулю. Отсюда следует, что нулевой частоте может соответствовать несколько базисных функций, так же как и другим частотам могут соответствовать несколько базисных функций.
Я не понимаю, с чем именно Вы не согласны:
1) С тем, что спектр является зависимостью некоторого параметра от частоты базисной функции?
2) С тем, что частота базисной функции ДПФ принимает только значения
fб.ф. = 1 / (Td * n)?
3) С чем-то другим?
Покажите, пожалуйста, из чего конкретно Вы сделали такой вывод, я хочу знать, где я плохо понимаю.
В данном случае я рассматриваю только дискретные сигналы и дискретные пространства.
Причём здесь наложение спектров? Я говорю про то, что некоторые частоты невозможно получить при заданном шаге дискретизации (причём эти частоты меньше частоты Найквиста), а Вы мне про то, что частоты выше частоты Найквиста неправильно воспринимаются и восстановление сигналов, как это связано?
Как я понял, Вы не согласны с тем, что базисные функции ДПФ могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td).
Допустим периодический дискретный сигнал имеет период T0 = 2 с и частоту дискретизации fd = 4 Гц. Так как сигнал дискретный, то его спектр ограничивается частотой 2 Гц. Так как сигнал при этом периодический, то его спектр дискретный и может состоять только из частот:
f = 0,5; 1; 1,5; 2 Гц.
Сигнал может содержать такие и только такие частоты по следующим причинам:
1) Разложение в ряд Фурье подразумевает разложение сигнала по ортогональному базису, то есть каждая спектральная составляющая несёт в себе уникальную информацию и взаимная мощность всех базисных функций равна нулю.
2) Рассматриваемый сигнал можно разложить по всем частотам от 0 до бесконечности, но базисные функции ДПФ только с частотами из ряда f будут ортогональными. Если, например, сказать что данный сигнал имеет в спектре частоту 5 Гц, так как fd + 1 Гц = 5 Гц, то это означает включение в базис неортогональной функции.
Когда Вы говорите про то, что дискретный сигнал содержит в спектре бесконечное множество копий спектра, то Вы говорите про непрерывный сигнал (полученный из дискретного с предположением, что между отсчётами сигнал принимает какое-то значение), спектр которого найден в базисе непрерывных тригонометрических функций. Одному дискретному сигналу можно сопоставить бесконечное множество различных непрерывных сигналов с различными спектрами и каждый из них будет правильным.
Если подставить частоты из ряда f в базисные функции ДПФ, то частоты базисных функций не будут совпадать со значениями из ряда f:
fбф = 0,5; 1; 0,5; 2 Гц.
В соответствии с определением, спектр – это зависимость некоторого параметра от частоты базисной функции, получается, что спектр рассматриваемого сигнала определён только на частотах 0,5; 1; 2 Гц. Получить частоту 1,5 Гц при данных условиях невозможно, как тогда можно утверждать, что спектр в базисе таких функций определён на частоте 1,5 Гц? Или я выбираю какую-то неправильную частоту дискретизации и период сигнала?
Почему неверно, я так и не увидел.
Дискретные синусы и косинусы являются базисными функциями дискретного преобразования Фурье. Так как определяется спектр как функция частоты, то базисные функции должны быть периодическими.
Спектр – это зависимость некоторого параметра (например, амплитуды), являющегося коэффициентом разложения в ряд Фурье по некоторому базису от частоты базисной функции.
В случае дискретного преобразования Фурье базисными функциями являются дискретные синусы и косинусы. Частоты таких базисных функций могут принимать только значения, равные 1 / (n * Td), где Td – период дискретизации. Соответственно, спектр в базисе таких функций будет определён только в точках 1 / (n * Td).
Если сигнал никогда не повторяется, то он непериодический и его частота 0 Гц, или я что-то не так понимаю?
Известно, что если дискретный сигнал обладает частотой дискретизации fd, то он может содержать в себе любые частоты от 0 до fd/2. Значит, если сигнал имеет частоту дискретизации 10 Гц, то он может содержать в себе любые частоты от 0 до 5 Гц. Теперь, если Вас не затруднит, нарисуйте, пожалуйста, дискретный периодический сигнал с частотой 1,5 Гц и частотой дискретизации fd = 10 Гц и докажите, что его частота 1,5 Гц.
Фактически, Вы соглашаетесь с тем, что периодический дискретный во временной области сигнал обладает логарифмической сеткой частот:
— Спектр периодического сигнала определён только в точках
fn = Δf * n, где n – целое число, Δf – частотный шаг.
— Спектр дискретного сигнала определён только в точках
fm = (1 / Tm) = (1 / (Δt * m)), где m – целое число, Δt – шаг дискретизации.
— Спектр дискретного периодического сигнала определён только в точках fn == fm или (Δf * n) == 1 / (Δt * m).
Если Δf = 1, Δt = 1, то n = 1; m = 1.
Если Δf = 0,5, Δt = 0,5, то n = 1, 2, 4; m = 4, 2, 1.
Если Δf = 0,25, Δt = 0,25, то n = 1, 2, 4, 8, 16; m = 16, 8, 4, 2, 1.
Если Δf -> 0, Δt -> 0, то n и m принимают бесконечное число значений с равномерным логарифмическим шагом:
n = (2 ^ x), где x = 0, 1, 2, 3,… inf,
m = (2 ^ y), где y = inf, … 3, 2, 1, 0.
Устремляя Δf и Δt к нулю, мы переходим от дискретного периодического сигнала к непрерывному непериодическому сигналу, при этом частотный шаг остаётся логарифмическим.
Более подробно в приложении В.
P(0 Гц) – мощность реализации с частотой 0 Гц, P(10 Гц) – мощность реализации с частотой 10 Гц и так далее. P(f) – мощность реализации процесса с частотой f, при этом сама P(f) является непрерывной функцией, так как мною изначально задано, что частота может принимать любое значение от нуля до бесконечности.
Спектральную плотность мощности неэргодического случайного процесса определяют усреднением по СПМ множества реализаций. Если рассмотреть мощность моего процесса в полосе частот от 0 до конечной f, то она будет равна средней мощности данной полосы всех реализаций, то есть равна нулю, так как в полосу частот от 0 до f попадает в бесконечное число раз меньшее количество гармоник, чем в полосу от f до бесконечности. Мощность в полосе частот от 0 до бесконечности равна P0, так как в этот диапазон частот попадают все реализации (мощность каждой реализации равна P0). Получается, что p1(f) рассматриваемого процесса равна нулю всюду, но имеет ступеньку на бесконечной частоте. Соответственно СПМ такого процесса также всюду равна нулю и обладает дельта-функцией на бесконечной частоте. Таким образом, рассматриваемый мною процесс обладает Sf(f) = 0, при этом его мощность равна P0.
Вы же думаете, что я рассматриваю сигнал, содержащий бесконечное число гармоник на всех частотах. Такой сигнал обладает либо бесконечной мощностью в любой полосе частот, либо все его гармоники должны обладать нулевой амплитудой.
Если функция p1(f) в полосе частот от 0 до f равна const != 0 в каждой точке, то спектральная плотность мощности будет всюду равна нулю, при этом мощность самого сигнала будет равна const, которая может быть какой угодно, хоть бесконечной. Что это за сигнал такой, что обладает ненулевой мощностью и при этом его СПМ всюду равна нулю? Никакой ступеньки в нуле нет, поэтому нельзя сказать, что СПМ будет иметь дельта-функцию в нуле.
Можно обойтись без слов типа «фигней страдать», «Ау» и прочее, неприятно такое читать!
Вы вправе не хотеть, на мою статью это не влияет.
Причину я много раз говорил — нужно уйти от мощности в полосе частот.
Я Вам в который раз говорю, что неопределённый интеграл — это не мощность полосы от 0 до f.
У Вас p1(f) — это определённый интеграл, естественно, он не равен p3(f). Если p1(f) — неопределённый интеграл, то он будет являться мощностью реализации процесса с частотой f. Я, вроде, и аналогию с координатой точки привел, как ещё объяснять?
Это уже хороший вопрос! Сигналом с равномерным спектром по определению является сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности, то есть сигнал, у которого на одинаковые полосы частот приходятся одинаковые мощности. У меня и возник вопрос, почему сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности по частоте является равномерным, если с тем же успехом можно по определению приравнять броуновский шум к сигналам с равномерным спектром, так как его спектральная плотность мощности по периоду равномерна. У частоты над периодом есть какое-то преимущество? Все привыкли использовать только равномерный шаг по частоте, так как он используется в преобразовании Фурье и все свои рассуждения привязывают к полосе частот.
Используя неопределённый интеграл, я ухожу от полос частот и получаю в итоге, что сигнал с равномерным спектром не является равномерным ни по частоте, ни по периоду, а по некоторой «средней» спектральной координате — натуральному логарифму частоты, который, кстати, равен по модулю натуральному логарифму периода.
Причём здесь функция распределения?
Это всё равно, что рассматривать интеграл от скорости за время от 0 до t. Такой интеграл даст путь, пройденный за время t. Если брать неопределённый интеграл, то в точке t он будет равен координате, из которой вычтена константа. Можно и так сказать – производная от x(t) даёт функцию скорости V(t), соответственно неопределённый интеграл от скорости даёт зависимость положения от времени с вычтенной константой.
Если перейти к спектрам, то неопределённый интеграл от спектральной плотности мощности будет равен зависимости мощности от частоты и никакого отношения к какой-либо полосе частот она не будет иметь. Проблема в том, что такая зависимость никем никогда не применялась, хотя бы потому, что непонятен её физический смысл. Чтобы придать ей смысл, я и придумал процесс, каждая реализация которого состоит только из одной гармоники.
Если сигнал обладает равномерным спектром, то его производная (хоть по частоте, хоть по периоду) должна быть равна нулю. Этой производной как раз и является спектральная плотность мощности.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B9
Спектральная плотность мощности показывает скорость изменения мощности в точке f. Если эта скорость не равна нулю, то мощность сигнала в точке f будет отличаться от мощности в точке f+df. Соответственно, если спектральная плотность мощности отлична от нуля и равна константе, то это свидетельствует о росте мощности с увеличением частоты.
— спектральная плотность мощности по частоте Sf(f) – это скорость V(t);
— мощность в полосе частот P = интеграл(Sf(f)df) – это расстояние, пройденное за интервал времени S = интеграл(V(t)dt);
— зависимость мощности от частоты P(f) – это зависимость координаты от времени x(t).
Соответственно, если найти производную зависимости координаты от времени x’(t), то получим скорость V(t), если найти производную от P(f) по частоте P’(f), то получим спектр мощности по частоте Sf(f). Можно ещё найти производную от P(f) по периоду, то получим спектр мощности по периоду.
Если следовать Вашей логике, то x(t) не существует в принципе, а есть только скорость и расстояние, пройденное за интервал времени.
Я в чём-то ошибаюсь?