Согласен, его подход элегантен. Это живой язык, не похожий на формальное перемалывание определений, теорем и доказательств. Он мне всегда напоминал спущенный на землю функциональный анализ.
Почему же "проигнорировал"? Понятно, что вы хотели показать существование бесконечного количества неаналитических функций. Просто непонятно, как это меняет исходный посыл и что принципиально нового дало это обобщение. Тот же вывод дает и bump-функция.
Я вас понял. Завидую. С Владимиром Антоновичем счастья свести знакомство, увы, не имел.
Дело не столько в сложности учебника. Я бы сказал, что он как раз написан очень живым языком. Но сам учебник для тех, кто всерьез увлечен математикой. А курс матанализа это обязательная часть фундаментальной подготовки, не обязательно математической. Поэтому часто сухая строгость более предпочтительна, хотя бы при первом знакомстве с предметом.
Потому что не встретили ничего подобного в своём книжном шкафу?
Нет, потому что ни разу не встречал такого термина, хотя прочитал больше книг, чем стоят в моем шкафу. Если он действительно есть - готов буду признать неправоту, приведите источник.
А в чём, по вашему мнению, состоит понятие тейлоровости?
Ни в чем. мне не знакомо такое понятие.
не является таковым "сам по себе"
Такого никто никогда и нигде и не утверждал. Да, ряд Тейлора порождается функцией. Да, он тождественен не любой породившей его функции. Поэтому вводится специальный класс функций, эквивалентных своим степенным рядам - аналитических.
Ну да, словоблудие как оно есть ) Видите ли какая штука, степенные функциональные ряды, также как тригонометрические, появились довольно давно и исследовались довольно долго. И вопрос об их соотношении с гладкими функциями (соответственно - периодическими) тоже, поскольку он не очевиден. Вопрос такой: можно ли поставить в однозначное соответствие функции ряд? Для каких-то определенно можно. И для таких функций вводится тавтологичное определение "разложимых в степенной ряд функций". Дальше мы смотрим однозначно ли такое соответствие, взаимно ли, насколько оно "механистично" и т.п. Вам, видимо, не очень понятно, что такого рода вопросы и вызывающие у вас приступы ёрничанья определения обсуждаются в том числе за тем, чтобы правильно расставить акценты и исключить необходимость изобретать велосипет. А не из сугубо утилитарных соображений. А если этого явно не сказать, то пытливый ум мгновенно одолеет идея, что раз в полином Тейлора можно добавлять члены по известной формуле, и раз остаточный член стремится к нулю, то продолжая этот процесс мы "очевидно" придём к формальному выражению ряда, эквивалентному функции. Зорич в своем изложении это понимает, поэтому останавливается на данном моменте - хотя не достаточно чётко, на мой субъективный взгляд. В более "классическом" изложении обычно придерживаются более формального подхода, подобно тому, который у Ильина. Мы сразу говорим: некоторым функциям можно поставить в однозначное соответствие степенной ряд. Выводится формальный вид этого ряда. Поскольку в формальной записи нет никаких явных требований кроме бесконечной дифференцируемости, исследуется вопрос достаточности этих требований для сходимости ряда к породившей его функции. И показывается, что нет, этих требований недостаточно. В результате выстраивается цепочка рассуждений, исключающая именно то, за что вы пытаетесь ряды Тейлора деклассировать - возможность безосновательно отождествить гладкую функцию и её степенной ряд.
Вам также может показаться удивительным, что ранее действительно так и говорилось: "функция, допускающая разложение в ряд Фурье", или "разложимая по Фурье" или "разложимая в тригонометрический ряд". Что по определению означало только то, что для неё существует сходящийся тригонометрический ряд, который, как потом оказалось, ряд Фурье. Более того, так и сейчас местами говорят, поскольку условия, например, Дирихле не являются необходимыми. Словоблуды, чесслово.
По моему мнению Зорич прекрасно и довольно нестандартно излагает матанализ, я сам по его учебникам учился. Речь конкретно про то, что ряд он вводит формально как полином Тейлора бесконечного порядка. Это действительно может вызвать (и вызывает) путаницу, хотя и честно отмечается необязательность сходимости к породившей ряд функции. В учебниках Зорича хватает таких моментов, почему их и сложно рекомендовать как базовые при изучения матана. Хотя как доп литература они бесценны.
Милсдарь, прежде чем обвинять других в близорукости, научитесь внимательно читать. "Разложение функций в степенные ряды", а не просто "Степенные ряды". Функция может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к этой функции. Это определение. После чего элементарно доказывается, что если разложение существует, то оно единственно, в процессе строится формула для его коэффициентов, и функциональный ряд с коэффициентами, определяемыми данной формулой, называют рядом Тейлора. Не утверждается, что у любая Cinf-функция разложима в ряд. Но если разложима - то это ряд Тейлора. В этом смысл определения. Вы перепутали голову и хвост, но делаете вид, что познали какой-то глубинный смысл.
Их там действительно нет и быть не может (почему - я показал).
Вы показали, что не любая бесконечно дифференцируемая функция является аналитической и что дополнение к множеству аналитических функций бесконечно. Вот только противоположное никогда и никем не утверждалось.
Обладание таким свойством никогда и не заявлялось.
тейлоровость ряда - это возможность для любой бесконечно-дифференцируемой функции формально построить сходящийся к ней ряд
Это вы придумали. То, что не для любой бесконечно дифференцируемой функции её степенной ряд к ней сходится говорится всегда. И контр-пример это не ваш пример, а именно типовой пример из типового учебника.
Да всё о том же - о кликбейтных провокационных заголовках. По которым щелкают на всякий случай - мало ли, что-то новое выползло, а ты не в курсе. А под ним содержание, не особо соответствующее столь вызывающему названию. Где автор зачем-то доказывает, что разложение функции в степенной ряд более содержательно в комплексном анализе, чем в действительном. С чем как бы никто до сих пор вроде как и не спорил.
Где же вы усмотрели противопоставление?
В заголовке "Что же тогда существует?". В заходе "формулы Тейлора, на первый взгляд, очень похожа на частичную сумму ряда Тейлора". Вы вполне конкретно дали понять, что, мол ребят, кто ещё помнит с универа вышмат и что там были какие-то ряды Тейлора - вы путаете. Рядов нет, это бессодержательное понятие в теории функций действительного переменного. То, что вы помните это формула Тейлора. И да, она крутая.
Их там просто нет
Серьезно? Выборка только из моего книжного шкафа.
Ильин, Садовничий "Математический анализ". т.2 гл.2 п.7 "Разложение функций в степенные ряды". Формулы Тейлора и Маклорена вводятся в ч.1. гл.6 "Основные теоремы о дифференцируемых функциях".
Зорич, Гл.5, п.3. Вводится полином Тейлора, формула Тейлора. Ряд Тейлора вводится как предельный случай, не совсем удачно на мой взгляд, и тут же указывается, что а) этот ряд вовсе не обязан сходиться и б) если сходится, то не обязательно к исходной функции. Контекст понятен, единственность разложения позволяет судить о близости функций по их разложениям в ряд.
Это не "штука из другого" раздела. Это одно из понятий, которые достаточно естественно возникают в действительном анализе, но в полной мере раскрываются только в комплексном.
Вы всю дорогу делаете вид, что кто-то убеждал в тождественности ряда и функции, в некой их "надежности". Оспариваете утверждения, которые встретили непонятно где? Точно не в учебнике. Если в курсе по анализу данных что-то подобное утверждалось, либо было неаккуратно сформулировано - проблема наверное в курсе. Но всё изложенное часть базовой университетской программы.
А... зачем прибегать к таким дешевым приёмам для привлечения внимания?
По делу. Мне не встречалось ни одного учебника, где не говорилось бы прямым текстом, что не любая дифференцируемая функция является аналитической. Пример функции, не совпадающей со своим рядом, тоже приводится всегда, очень часто - именно ваш. Но ни кому ещё не хватало задора воскрикнуть на этом моменте: "Ага!". Да, аналитичность доказывать надо, да, для этого часто удобнее переходить к комплексному анализу. Это не то, чтобы не новость - это база. Следует ли, в таком случае, понимать так, что вы данное принципиальное утверждение пропустили мимо ушей, потом для себя его открыли и впали в крайность, посчитав, что вас пытались ввести в заблуждение?
Противопоставление ряда Тейлора формуле Тейлора вызвало не меньшее удивление. Понятно, что часто возникает путаница, но они ж про разное. Вводятся в курсе анализа в разных контекстах. Формула описывает поведение в точке, ряд функцию как таковую. А из вашего объяснения я бы сделал вывод, что ряд - хрень какая-то бесполезная, а вот формула - клёвая штука.
Красота доказательств это, конечно, прекрасно. Но доказательство совпадения функции с её степенным рядом это средство, а не цель. Поскольку если мы можем доказать или предположить аналитичность, либо аппроксимировать что-то аналитической функцией, то это часто на порядок жизнь упрощает. Например, для применения разложения по малому параметру, построения функции Ляпунова и т.д.
Кликбейтный провокационный заголовок - прекрасный способ одновременно и собрать зрителей, и нарваться на предвзятось и неприязнь со стороны тех, кого фактический материал разочаруют. Даже несмотря на действительно грамотную подачу материала.
Косвенным образом этот подход интегрирован в симплекс метод
Да ладно? Мне как-то казалось, что следует разделять форму задачи и принцип, на котором основан метод. Тем более, что симплекс-метод это семейство методов, большая часть которых обходится без сведения задачи к канонической форме, чтобы не раздувать размерность.
"Больше строк в матрице ограничений всегда плохо?"
Это всецело зависит от соответствия пространства, определяемого матрицей, и применяемого метода.
Странные критерии, странное обоснование. Вычислительная эффективность модели определяется тем, насколько выбранный численный метод заточен под проблему в данной конкретной постановке. Чтобы это спрогнозировать нужно понимать как природу задачи, так и математику метода решения. А основанные на подобной эмпирике частные рекомендации обычно, извините, барахло.
Более гладкую, чем полином? Вы видимо имеете ввиду что-то типа "менее подверженную осцилляциям" или ещё какой умозрительный критерий. Полином - бесконечно гладкая функция.
Нет, проблемы не уменьшатся. Взамен одной проблемы вы получите десяток других.
Нет, мы не согласны, что феномен Рунге возникает из этого требования. Иначе он проявлялся бы для любого интерполяционного полинома, а не для полинома по равноотстоящим узлам. Полином по узлам Чебышева эффектом Рунге не страдает, при иных способах выбора опорных узлов этот эффект также теряет силу. Эффект Рунге в сущности отражает характерное поведение при неподходящем выборе семейства аппроксимирующих функций.
Нет, оно не "физически бессодержательно", что бы вы под этим не подразумевали.
Ни в каких случаях не надо записывать результат как 42.31, если прибор показал 42.3 и установленная методология измерений не требует внесения поправок на методическую погрешность. В метрологии записывается доверительный интервал. И если вы поставили задачу так, как сказали -- то я соболезную студенту, поскольку возможность или невозможность проводить аппроксимацию посредством интерполяции по точкам зависит от оценки погрешности этой самой интерполяции, а не от вашего "понимания", если только нет априорной информации об аппроксимируемой функции. Если величина погрешности измеряется микронами, а интервал между точками метрами, то влияние погрешности измерений обычно ничтожно (что, в прочем, нужно доказать для выбранной схемы аппроксимации). Количество проблем, где в контексте аппроксимации погрешностью можно пренебречь, неисчислимо. Мне ваши соображения понятны, но они исходят из того, что есть некоторые обоснованные априорные соображения о виде закона, который требуется восстановить на основании наблюдаемых данных. Иными словами, вы рассуждаете об интерполяции имея ввиду задачу регрессии. Это методически неверно.
Я уже указал, что ваша простая логика неверна и базируется на странном ощущении, как будто вам кто-то предлагает в каждой задаче, связанной с обработкой данных, заниматься интерполяцией. Не предлагают. И совсем не из-за наличия погрешностей - которые в выч мате есть и УЧИТЫВАЮТСЯ всегда. Из этого вы по какой-то неведомой причине делаете вывод о несостоятельности интерполяции как метода вообще. Сударь, свет не сходится клином на том, чтобы просто провести гладкую кривую через набор точек. Предположим, что вам нужно вычислить интегральную характеристику некоторой меняющейся во времени величины. Большинство методов численного интегрирования предполагают интерполяцию по соседним точкам и вычисление приближения к интегралу по полученным кусочным интерполянтам. При этом зная а) погрешность аппроксимации и б) погрешность положения точек интерполяции мы можем также оценить и точность приближенного значения интеграла, а также поведение ошибки при, например, большей частоте измерений. Естественно, если погрешность измерений велика, функция ведёт себя "нехорошо" и т.п., то такой подход теряет смысл -- как и зачастую сама постановка задачи. Или вам нужно сделать "пристрелку" на следующий временной шаг при интегрировании дифура. Тогда простой способ сделать это -- использовать уже посчитанные значения по предыдущим временным шагам для построения интерполяционного полинома и экстраполировать значение. И да, эти значения известны с погрешностью -- но это не проблема, если эта погрешность контролируема.
Аналогия крайне странная и натужная.
Мы не считаем такую аппроксимацию "оптимальной", такая постановка вопроса вообще бессодержательна вне контекста задачи. Интерполяция удобна тем, что она единственна и имеет конструктивные оценки ошибки. Если вы подумали, что где-то утверждалось, что интерполяционный подход в каком-то смысле "оптимален" - вам показалось.
Взамен я предлагаю не искать серебряную пулю, а подбирать инструмент исходя из постановки задачи, пользуясь всем богатым арсеналом методов и теорий современной вычислительной математики. Вы набросились на интерполяционные полиномы, так как считаете их негодным средством для решения известных вам задач. Вероятно, вы в этом правы. Но в статье и не обещалось добиться успеха именно с вашими задачами. Не спешите объявлять что-то бесполезным только потому, что лично вам польза кажется не очевидной.
Поясню мыль, которую вы не поняли. Ваше утверждение заключается в том, что требование функции строго пройти через указанные точки является слишком обременительным, а полученное решение с практической точки зрения непригодно. Уже говорил, что вы по какой-то загадочной причине видите в этой задаче только проблему восстановления функции по данным, причем использоваться должны непременно ВСЕ имеющиеся данные. В такой постановке подход и правда малосодержателен. И, как также говорилось -- никто так и не делает. Но и ВСЕ данные использовать НЕ обязательно. Можно отобрать небольшой "характерный" набор из имеющихся данных и построить по нему интерполяцию. И такая модель в определенных ситуациях будет иметь ряд преимуществ, и даже в некотором смысле "оптимальной". Соответствующий набор можно выбрать оптимальным способом из имеющихся данных, можно выбрать эвристически, а можно вообще поставить задачу определить с учетом имеющихся данных положение точек, дополнительное измерение значений восстанавливаемой функции в которых даст приближение наилучшего качества. Таким образом, утверждение о практической бесполезности интерполяции беспочвенно.
Ещё раз замечу (поскольку вы к этому постоянно апеллируете), что ни автор данного поста, ни я не призывали вас применять интерполяцию полиномами при непосредственной работе с массивами экспериментальных данных. Тем более странно слышать про "подпорки" Чебышева, так как узлы Чебышева нужны не для того, чтобы "прикрыть" Рунге, а для того, чтобы обеспечить минимум погрешности в задачах, тесно связанных с интерполяцией полиномами -- дифференцирование, интегрирование и т.п. Постановка задачи, приводящей к корням полиномов Чебышева, является типичной в том числе и в других, не связанных с интерполяцией, методах приближения функций. Неужели вам об этом неизвестно?
Пост я считаю не нужным, поскольку этот материал излагается в любом учебнике по численным методам, его знание является обязательным для доброй половины технических специальностей, а никакой оригинальной мысли мне в нём увидеть не удалось. Но вы попытались примерить инструмент к не предназначенной для него задаче -- и по этой причине забраковали инструмент. Это максимально далёкий от инженерного подход.
По поводу соотношения математики и практики скажу следующее. Обычно пренебрежительным отношением к математическому фундаменту грешат те, кто ими попросту не владеет и не умеет должным образом применять. Им же свойственно превозносить свой личный опыт и "понимание" проблемной области, которое на поверку оказывается не слишком глубоким. Мне отнюдь не "хочется обратного", в силу рода деятельности мне хорошо понятна ограниченность "чистых" абстракций, важность обоснованных, хотя и недостаточно строго формализованных теорий, а также разница между теоретически значимым результатом и практически значимым методом. Как и, вероятно, вы, я скорее предпочту грубую, но дающую результат инженерную методику эстетически безупречной, но не имеющей практической значимости, теории. Вот только это не является поводом такими теориями пренебрегать. Без знания математики, которая стоит за применяемыми к практическим задачам методами, мы в сущности будем лишь с ничем необоснованной уверенностью пробираться методом проб и ошибок, слепо надеясь на то, что инструмент и интуиция нас не подведут. И не будем способны увидеть грань, за которой наш "здравый смысл", "опыт" и "инженерное чутьё" сыграют с нами злую шутку. А в том, что они подведут, можно не сомневаться. Знание математики не является панацеей и не наделит вас сверхсилой решать практические задачи на раз -- уж не знаю, кто и когда стремился посеять в вас эти иллюзии, которые вы теперь хотите развеять в окружающих. Но вот незнание математики с гарантией сузит круг задач, которые вы способны качественно решить и при этом ответить за своё решение, до посредственного минимума. Поскольку мощнее математики в арсенале современного учёного и инженера инструментов нет.
P.S. Кстати, к вашему вопросу о внутренней противоречивости в формулировке задачи интерполяции применительно к экспериментальным данным. Никакого противоречия тут нет, а есть просто методичный подход к решению проблемы. Сначала исследуется вопрос приближения в предположении, что значения приближаемой функции в заданных точках известны точно. Это - допущение, оно вводится явным образом. Лагранж сотоварищи об этом в курсе. Такое исследование предполагает не только определение способа конструктивного построения приближения, но, что более важно, определение границ, в которых лежит ошибка приближения в неизвестных точках при разумных допущениях о свойствах интерполируемой функции. Без этого знания ваше приближение бесполезно. После того, как оценки получены, имеет смысл ставить вопрос о том, как ведёт себя ошибка при условии, что значения в опорных точках заданы с известной погрешностью. В том числе получает конструктивную постановку и вопрос, как оптимально выбрать значение в опорной точке из интервала, определяемого погрешностью, так, чтобы минимизировать ожидаемую ошибку приближения. Именно так до сих пор исследуется устойчивость численных методов, поскольку в них данные всегда заданы с погрешностью как минимум по причине конечной точности представления чисел в машинной арифметике.
Я вас как раз понял прекрасно, а вот вы меня не особо. Я отнюдь не предлагал вам СТРОИТЬ бесконечное множество интерполяционных полиномов вместо единственного. Не то, чтобы так вообще никогда не делалось, но речь в данном случае вообще не об этом. Моё замечание относилось только к тому, что источник проблем не в требовании выполнения условия интерполяции, то есть точного соответствия значений аппроксимирующей функции значениям аппроксимируемой в заданном множестве точек. Погрешности в данных тут вообще не при чём.
Далее, ссылаться на то, что "я ж практик" не стоит. Я тоже практик. Вот только опыт показывает, что практик, не владеющий и не понимающий теорию - это практик плохой. Не сочтите это за упрёк, это просто замечание к аргументации.
Ваше утверждение, что отказ от условия интерполяции делает задачу тривиальной, мягко говоря, не соответствует действительности. На самом деле в точности наоборот, поскольку содержательная часть задачи аппроксимации как раз и состоит в том, чтобы не просто построить некоторое приближение, но дать объяснение почему аппроксимацию следует искать именно в этом семействе функций, почему аппроксимация отклоняется от данных, почему эти отклонения мы имеем наглость считать допустимыми и почему из всех кривых с аналогичной мерой отклонений мы выбираем именно эту конкретную кривую. Формализовав понятие оптимума мы эту задачу не решим, поскольку это порождает океан дополнительных вопросов: достижим ли глобальный или хотя бы локальный оптимум, насколько он устойчив, насколько велик разброс "оптимальных" аппроксимаций и т.д. и т.п.
Ваше стремление взять "наиболее простую" аппроксимацию, "надёжно" описывающую данные, тоже приводит к нетривиальным проблемам. Почему мы, скажем, считаем параболу "сложнее", чем прямая? (На всякий случай, просто сказать про количество свободных параметров недостаточно). Что "сложнее", экспонента или гармоника? На эту тему есть целые разработанные теории, например, на основе принципа минимальной длины описания, и конкретные практические критерии -- например, критерий Акаике. Но тут всегда возникают дополнительные соображения и допущения о характере данных и выстраиваемой модели, которые нужно ЗНАТЬ, а не опираться на чуйку. Иначе вашему результату грош цена, даже если он случайно окажется правильным.
Внимание, которое уделяется вопросу интерполяции полиномами - это не "дань традиции", а необходимая часть теоретической подготовки для любого, кто хотя бы боком имеет дело с вычислительной математикой (в том числе с численной аппроксимацией). Поскольку а) такая интерполяция лежит в основе большинства классических численных методов, б) она наиболее полно изучена и в) на её примере можно проиллюстрировать массу проблем, характерных для решаемых в выч. мате задач вообще. Эффект Рунге, например, служит иллюстрацией того, что последовательность интерполяций совершенно не обязана сходиться к "истинной" функции при бесконечном увеличении количества доступных данных, даже если эти данные абсолютно точны. Это - нетривиальный и неинтуитивный результат. И похожие эффекты имеют место не только в случае полиномов. Никто в здравом уме не станет предлагать вам строить интерполяционный полином 100500й степени для зашумлённых данных. В курсах выч. мата как раз обоснованно рассказывается почему так делать не стоит (и когда стоит - тоже).
Ваш следующий тезис опять же ошибочен. Во-первых, никакой "сверхподгонки" тут нет. Например, если выбрать в качестве критерия качества минимизацию суммарных абсолютных отклонений от наблюдаемых данных, то оптимальное решение ТОЧНО пройдёт через определенное подмножество данных. То есть в сущности будет решена именно задача интерполяции по "опорному" набору данных. Такой критерий имеет большую практическую ценность, чем, например, МНК -- как минимум потому, что существенно сокращает объем вычислений, получаемая задача существенно лучше обусловлена, а получаемое решение менее чувствительно к выбросам в данных. Во-вторых -- а с чего вы решили, что а) оптимум в вашей задаче достижим практически (например, градиентным спуском) и что он единственен? Вы вполне можете получить (и почти наверняка будете получать) "оптимальные" в смысле выбранного критерия решения, которые не будут иметь практической ценности. Либо получить несколько возможных "оптимальных", удовлетворяющих вашему критерию останова, результатов, которые будут качественно отличаться друг от друга. И вас моментально спросят -- а почему вы утверждаете, что такой аппроксимацией можно пользоваться в практическом плане? Такие утверждения как раз и требуют знаний конкретной математики, а не "очевидных" практических критериев, которыми вы пользуетесь исходя из собственного удобства.
Резюмирую. Никаким корнем зла и вообще никаким злом условие интерполяции не является. Естественно, в том случае, если применять соответствующий инструментарий грамотно, с пониманием того, что и для чего вы делаете. Ваше предложение не снимает проблему, а заменяет её на порядок более сложной, которая исследуется даже не в рамках отдельной теории, а в рамках целых научных направлений. Не стоит опираться на свои "практические" соображения в таких вопросах, так как практика без теории слепа, а к вопросам численного анализа без уверенного знания теории вообще подходить на пушечный выстрел нельзя.
Ваше замечание верно, но не относится к рассмотренной проблеме. Даже если допустить, что интерполируемые данные содержат погрешность и рассматривать не единственный интерполирующий полином, а всё их возможное множество, построенное по всем допустимым с учётом погрешности измерений данным, то каждый из них будет подвержен эффекту Рунге. Как правильно отметил автор, рост погрешности обусловлен не значениями интерполируемой функции в выбранных точках, а расположением этих точек и поведением высших производнвх функции, погрешность исходных данных тут глубоко вторична.
В чём была цель написания статьи? Это ведь стандартная тема, которая обязательно рассматривается в курсе по численным методам или выч. мат-ке, представлена в практически любом учебнике и имеет скорее теоретическую ценность в контексте анализа сходимости интерполяций. На практике интерполяция полиномами высоких порядков практически не используется.
Ликбез? Или заметка, к которой планируется делать отсылки?
Ну, козырять цитатами из умных книжек по разработке горазд сейчас любой с парой тысяч на кармане и умением совершать покупки на Озоне. Я за свою практику таких "рецептов успешной разработки" наслушался. Причём не редко от людей, которые слыхом не слыхивали про бинарные деревья и хэштаблицы и начинают блеять, когда заводишь разговор о том, какую конкретно типовую проблему конкретно этот чудо-рецент призван был решить и какое она имеет отношение к конкретно нашим палестинам.
"Уровень абстракции" - приятный уху программиста термин. Но тут всё проще. Образованного специалиста в любой области и отличает способность взглянуть на решаемую проблему комплексно. Зачастую заглядывая при этом за рамки предложенных регламентов и ТЗ - причём даже непроизвольно. Даже не в силу особого ума, у него просто асоциативный ряд априори больше.
Но стоит признать, что автор отчасти прав. Я (и вы, думаю, тоже) по-старинке понимаю под программистом именно специалиста по составлению и реализации алгоритмов для решения прикладных вычислительных задач в определённой области. В то время как по должности программист часто - тот, кто заставляет компьютер выдавать удовлетворяющий заказчика результат. Неважно какими средствами. Продолжая (бестолковый) пример с водопроводчиком, задача программиста - хоть скотчем и жвачкой склеить трубы, лишь бы их при заказчике не пробило и он принял работу. Лопнут под нагрузкой из-за того, что не было "технологического инженера", пояснившего бы за закон Пуазейля - так нужно же было оформить соглашение о поддержке. Если цель заработать денег, а не сделать дело - это удачный подход с большими шансами на успех.
По вашему описанию проект больше пострадал от отсутствия грамотной проработки предметной области и проектных ошибок, нежели от незнания алгоритмов исполнителями. Автор скорее указывает на то, что программист зачастую выступает в роле транслятора пожеланий менеджера или заказчика в исполняемый код. В такой схеме места для реальной инженерной работы действительно практически не остаётся, и польза от "ворлдскиллов" и правда превышает профит с фундаментальных знаний. Но это только в ближней перспективе. А потом все ошибки проектирования, "временные" решения, дыры в алгоритмах из тысяч условий под каждый найденный тестированием "частный случай" начнут обваливать проект прямо на головы вот таких вот умников, для которых "алгоритмы не важны".
Прямо привет из прошлого )
Если считать что за ноль, что за 2 - получится четное количество пересечений для синего луча
Согласен, его подход элегантен. Это живой язык, не похожий на формальное перемалывание определений, теорем и доказательств. Он мне всегда напоминал спущенный на землю функциональный анализ.
Почему же "проигнорировал"? Понятно, что вы хотели показать существование бесконечного количества неаналитических функций. Просто непонятно, как это меняет исходный посыл и что принципиально нового дало это обобщение. Тот же вывод дает и bump-функция.
Я вас понял. Завидую. С Владимиром Антоновичем счастья свести знакомство, увы, не имел.
Дело не столько в сложности учебника. Я бы сказал, что он как раз написан очень живым языком. Но сам учебник для тех, кто всерьез увлечен математикой. А курс матанализа это обязательная часть фундаментальной подготовки, не обязательно математической. Поэтому часто сухая строгость более предпочтительна, хотя бы при первом знакомстве с предметом.
Нет, потому что ни разу не встречал такого термина, хотя прочитал больше книг, чем стоят в моем шкафу. Если он действительно есть - готов буду признать неправоту, приведите источник.
Ни в чем. мне не знакомо такое понятие.
Такого никто никогда и нигде и не утверждал. Да, ряд Тейлора порождается функцией. Да, он тождественен не любой породившей его функции. Поэтому вводится специальный класс функций, эквивалентных своим степенным рядам - аналитических.
Ну да, словоблудие как оно есть )
Видите ли какая штука, степенные функциональные ряды, также как тригонометрические, появились довольно давно и исследовались довольно долго. И вопрос об их соотношении с гладкими функциями (соответственно - периодическими) тоже, поскольку он не очевиден. Вопрос такой: можно ли поставить в однозначное соответствие функции ряд? Для каких-то определенно можно. И для таких функций вводится тавтологичное определение "разложимых в степенной ряд функций". Дальше мы смотрим однозначно ли такое соответствие, взаимно ли, насколько оно "механистично" и т.п. Вам, видимо, не очень понятно, что такого рода вопросы и вызывающие у вас приступы ёрничанья определения обсуждаются в том числе за тем, чтобы правильно расставить акценты и исключить необходимость изобретать велосипет. А не из сугубо утилитарных соображений.
А если этого явно не сказать, то пытливый ум мгновенно одолеет идея, что раз в полином Тейлора можно добавлять члены по известной формуле, и раз остаточный член стремится к нулю, то продолжая этот процесс мы "очевидно" придём к формальному выражению ряда, эквивалентному функции. Зорич в своем изложении это понимает, поэтому останавливается на данном моменте - хотя не достаточно чётко, на мой субъективный взгляд. В более "классическом" изложении обычно придерживаются более формального подхода, подобно тому, который у Ильина. Мы сразу говорим: некоторым функциям можно поставить в однозначное соответствие степенной ряд. Выводится формальный вид этого ряда. Поскольку в формальной записи нет никаких явных требований кроме бесконечной дифференцируемости, исследуется вопрос достаточности этих требований для сходимости ряда к породившей его функции. И показывается, что нет, этих требований недостаточно. В результате выстраивается цепочка рассуждений, исключающая именно то, за что вы пытаетесь ряды Тейлора деклассировать - возможность безосновательно отождествить гладкую функцию и её степенной ряд.
Вам также может показаться удивительным, что ранее действительно так и говорилось: "функция, допускающая разложение в ряд Фурье", или "разложимая по Фурье" или "разложимая в тригонометрический ряд". Что по определению означало только то, что для неё существует сходящийся тригонометрический ряд, который, как потом оказалось, ряд Фурье. Более того, так и сейчас местами говорят, поскольку условия, например, Дирихле не являются необходимыми. Словоблуды, чесслово.
По моему мнению Зорич прекрасно и довольно нестандартно излагает матанализ, я сам по его учебникам учился. Речь конкретно про то, что ряд он вводит формально как полином Тейлора бесконечного порядка. Это действительно может вызвать (и вызывает) путаницу, хотя и честно отмечается необязательность сходимости к породившей ряд функции. В учебниках Зорича хватает таких моментов, почему их и сложно рекомендовать как базовые при изучения матана. Хотя как доп литература они бесценны.
Милсдарь, прежде чем обвинять других в близорукости, научитесь внимательно читать. "Разложение функций в степенные ряды", а не просто "Степенные ряды". Функция может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к этой функции. Это определение. После чего элементарно доказывается, что если разложение существует, то оно единственно, в процессе строится формула для его коэффициентов, и функциональный ряд с коэффициентами, определяемыми данной формулой, называют рядом Тейлора. Не утверждается, что у любая Cinf-функция разложима в ряд. Но если разложима - то это ряд Тейлора. В этом смысл определения. Вы перепутали голову и хвост, но делаете вид, что познали какой-то глубинный смысл.
Имею ввиду пример bump-функции.
Вы показали, что не любая бесконечно дифференцируемая функция является аналитической и что дополнение к множеству аналитических функций бесконечно. Вот только противоположное никогда и никем не утверждалось.
Обладание таким свойством никогда и не заявлялось.
Это вы придумали. То, что не для любой бесконечно дифференцируемой функции её степенной ряд к ней сходится говорится всегда. И контр-пример это не ваш пример, а именно типовой пример из типового учебника.
Да всё о том же - о кликбейтных провокационных заголовках. По которым щелкают на всякий случай - мало ли, что-то новое выползло, а ты не в курсе. А под ним содержание, не особо соответствующее столь вызывающему названию. Где автор зачем-то доказывает, что разложение функции в степенной ряд более содержательно в комплексном анализе, чем в действительном. С чем как бы никто до сих пор вроде как и не спорил.
В заголовке "Что же тогда существует?". В заходе "формулы Тейлора, на первый взгляд, очень похожа на частичную сумму ряда Тейлора". Вы вполне конкретно дали понять, что, мол ребят, кто ещё помнит с универа вышмат и что там были какие-то ряды Тейлора - вы путаете. Рядов нет, это бессодержательное понятие в теории функций действительного переменного. То, что вы помните это формула Тейлора. И да, она крутая.
Серьезно? Выборка только из моего книжного шкафа.
Ильин, Садовничий "Математический анализ". т.2 гл.2 п.7 "Разложение функций в степенные ряды". Формулы Тейлора и Маклорена вводятся в ч.1. гл.6 "Основные теоремы о дифференцируемых функциях".
Зорич, Гл.5, п.3. Вводится полином Тейлора, формула Тейлора. Ряд Тейлора вводится как предельный случай, не совсем удачно на мой взгляд, и тут же указывается, что а) этот ряд вовсе не обязан сходиться и б) если сходится, то не обязательно к исходной функции. Контекст понятен, единственность разложения позволяет судить о близости функций по их разложениям в ряд.
Это не "штука из другого" раздела. Это одно из понятий, которые достаточно естественно возникают в действительном анализе, но в полной мере раскрываются только в комплексном.
Вы всю дорогу делаете вид, что кто-то убеждал в тождественности ряда и функции, в некой их "надежности". Оспариваете утверждения, которые встретили непонятно где? Точно не в учебнике. Если в курсе по анализу данных что-то подобное утверждалось, либо было неаккуратно сформулировано - проблема наверное в курсе. Но всё изложенное часть базовой университетской программы.
А... зачем прибегать к таким дешевым приёмам для привлечения внимания?
По делу. Мне не встречалось ни одного учебника, где не говорилось бы прямым текстом, что не любая дифференцируемая функция является аналитической. Пример функции, не совпадающей со своим рядом, тоже приводится всегда, очень часто - именно ваш. Но ни кому ещё не хватало задора воскрикнуть на этом моменте: "Ага!". Да, аналитичность доказывать надо, да, для этого часто удобнее переходить к комплексному анализу. Это не то, чтобы не новость - это база. Следует ли, в таком случае, понимать так, что вы данное принципиальное утверждение пропустили мимо ушей, потом для себя его открыли и впали в крайность, посчитав, что вас пытались ввести в заблуждение?
Противопоставление ряда Тейлора формуле Тейлора вызвало не меньшее удивление. Понятно, что часто возникает путаница, но они ж про разное. Вводятся в курсе анализа в разных контекстах. Формула описывает поведение в точке, ряд функцию как таковую. А из вашего объяснения я бы сделал вывод, что ряд - хрень какая-то бесполезная, а вот формула - клёвая штука.
Красота доказательств это, конечно, прекрасно. Но доказательство совпадения функции с её степенным рядом это средство, а не цель. Поскольку если мы можем доказать или предположить аналитичность, либо аппроксимировать что-то аналитической функцией, то это часто на порядок жизнь упрощает. Например, для применения разложения по малому параметру, построения функции Ляпунова и т.д.
Кликбейтный провокационный заголовок - прекрасный способ одновременно и собрать зрителей, и нарваться на предвзятось и неприязнь со стороны тех, кого фактический материал разочаруют. Даже несмотря на действительно грамотную подачу материала.
Да ладно? Мне как-то казалось, что следует разделять форму задачи и принцип, на котором основан метод. Тем более, что симплекс-метод это семейство методов, большая часть которых обходится без сведения задачи к канонической форме, чтобы не раздувать размерность.
Это всецело зависит от соответствия пространства, определяемого матрицей, и применяемого метода.
Странные критерии, странное обоснование. Вычислительная эффективность модели определяется тем, насколько выбранный численный метод заточен под проблему в данной конкретной постановке. Чтобы это спрогнозировать нужно понимать как природу задачи, так и математику метода решения. А основанные на подобной эмпирике частные рекомендации обычно, извините, барахло.
Более гладкую, чем полином? Вы видимо имеете ввиду что-то типа "менее подверженную осцилляциям" или ещё какой умозрительный критерий. Полином - бесконечно гладкая функция.
Нет, проблемы не уменьшатся. Взамен одной проблемы вы получите десяток других.
Нет, мы не согласны, что феномен Рунге возникает из этого требования. Иначе он проявлялся бы для любого интерполяционного полинома, а не для полинома по равноотстоящим узлам. Полином по узлам Чебышева эффектом Рунге не страдает, при иных способах выбора опорных узлов этот эффект также теряет силу. Эффект Рунге в сущности отражает характерное поведение при неподходящем выборе семейства аппроксимирующих функций.
Нет, оно не "физически бессодержательно", что бы вы под этим не подразумевали.
Ни в каких случаях не надо записывать результат как 42.31, если прибор показал 42.3 и установленная методология измерений не требует внесения поправок на методическую погрешность. В метрологии записывается доверительный интервал. И если вы поставили задачу так, как сказали -- то я соболезную студенту, поскольку возможность или невозможность проводить аппроксимацию посредством интерполяции по точкам зависит от оценки погрешности этой самой интерполяции, а не от вашего "понимания", если только нет априорной информации об аппроксимируемой функции. Если величина погрешности измеряется микронами, а интервал между точками метрами, то влияние погрешности измерений обычно ничтожно (что, в прочем, нужно доказать для выбранной схемы аппроксимации). Количество проблем, где в контексте аппроксимации погрешностью можно пренебречь, неисчислимо. Мне ваши соображения понятны, но они исходят из того, что есть некоторые обоснованные априорные соображения о виде закона, который требуется восстановить на основании наблюдаемых данных. Иными словами, вы рассуждаете об интерполяции имея ввиду задачу регрессии. Это методически неверно.
Я уже указал, что ваша простая логика неверна и базируется на странном ощущении, как будто вам кто-то предлагает в каждой задаче, связанной с обработкой данных, заниматься интерполяцией. Не предлагают. И совсем не из-за наличия погрешностей - которые в выч мате есть и УЧИТЫВАЮТСЯ всегда. Из этого вы по какой-то неведомой причине делаете вывод о несостоятельности интерполяции как метода вообще. Сударь, свет не сходится клином на том, чтобы просто провести гладкую кривую через набор точек. Предположим, что вам нужно вычислить интегральную характеристику некоторой меняющейся во времени величины. Большинство методов численного интегрирования предполагают интерполяцию по соседним точкам и вычисление приближения к интегралу по полученным кусочным интерполянтам. При этом зная а) погрешность аппроксимации и б) погрешность положения точек интерполяции мы можем также оценить и точность приближенного значения интеграла, а также поведение ошибки при, например, большей частоте измерений. Естественно, если погрешность измерений велика, функция ведёт себя "нехорошо" и т.п., то такой подход теряет смысл -- как и зачастую сама постановка задачи. Или вам нужно сделать "пристрелку" на следующий временной шаг при интегрировании дифура. Тогда простой способ сделать это -- использовать уже посчитанные значения по предыдущим временным шагам для построения интерполяционного полинома и экстраполировать значение. И да, эти значения известны с погрешностью -- но это не проблема, если эта погрешность контролируема.
Аналогия крайне странная и натужная.
Мы не считаем такую аппроксимацию "оптимальной", такая постановка вопроса вообще бессодержательна вне контекста задачи. Интерполяция удобна тем, что она единственна и имеет конструктивные оценки ошибки. Если вы подумали, что где-то утверждалось, что интерполяционный подход в каком-то смысле "оптимален" - вам показалось.
Взамен я предлагаю не искать серебряную пулю, а подбирать инструмент исходя из постановки задачи, пользуясь всем богатым арсеналом методов и теорий современной вычислительной математики. Вы набросились на интерполяционные полиномы, так как считаете их негодным средством для решения известных вам задач. Вероятно, вы в этом правы. Но в статье и не обещалось добиться успеха именно с вашими задачами. Не спешите объявлять что-то бесполезным только потому, что лично вам польза кажется не очевидной.
Поясню мыль, которую вы не поняли. Ваше утверждение заключается в том, что требование функции строго пройти через указанные точки является слишком обременительным, а полученное решение с практической точки зрения непригодно. Уже говорил, что вы по какой-то загадочной причине видите в этой задаче только проблему восстановления функции по данным, причем использоваться должны непременно ВСЕ имеющиеся данные. В такой постановке подход и правда малосодержателен. И, как также говорилось -- никто так и не делает. Но и ВСЕ данные использовать НЕ обязательно. Можно отобрать небольшой "характерный" набор из имеющихся данных и построить по нему интерполяцию. И такая модель в определенных ситуациях будет иметь ряд преимуществ, и даже в некотором смысле "оптимальной". Соответствующий набор можно выбрать оптимальным способом из имеющихся данных, можно выбрать эвристически, а можно вообще поставить задачу определить с учетом имеющихся данных положение точек, дополнительное измерение значений восстанавливаемой функции в которых даст приближение наилучшего качества. Таким образом, утверждение о практической бесполезности интерполяции беспочвенно.
Ещё раз замечу (поскольку вы к этому постоянно апеллируете), что ни автор данного поста, ни я не призывали вас применять интерполяцию полиномами при непосредственной работе с массивами экспериментальных данных. Тем более странно слышать про "подпорки" Чебышева, так как узлы Чебышева нужны не для того, чтобы "прикрыть" Рунге, а для того, чтобы обеспечить минимум погрешности в задачах, тесно связанных с интерполяцией полиномами -- дифференцирование, интегрирование и т.п. Постановка задачи, приводящей к корням полиномов Чебышева, является типичной в том числе и в других, не связанных с интерполяцией, методах приближения функций. Неужели вам об этом неизвестно?
Пост я считаю не нужным, поскольку этот материал излагается в любом учебнике по численным методам, его знание является обязательным для доброй половины технических специальностей, а никакой оригинальной мысли мне в нём увидеть не удалось. Но вы попытались примерить инструмент к не предназначенной для него задаче -- и по этой причине забраковали инструмент. Это максимально далёкий от инженерного подход.
По поводу соотношения математики и практики скажу следующее. Обычно пренебрежительным отношением к математическому фундаменту грешат те, кто ими попросту не владеет и не умеет должным образом применять. Им же свойственно превозносить свой личный опыт и "понимание" проблемной области, которое на поверку оказывается не слишком глубоким. Мне отнюдь не "хочется обратного", в силу рода деятельности мне хорошо понятна ограниченность "чистых" абстракций, важность обоснованных, хотя и недостаточно строго формализованных теорий, а также разница между теоретически значимым результатом и практически значимым методом. Как и, вероятно, вы, я скорее предпочту грубую, но дающую результат инженерную методику эстетически безупречной, но не имеющей практической значимости, теории. Вот только это не является поводом такими теориями пренебрегать. Без знания математики, которая стоит за применяемыми к практическим задачам методами, мы в сущности будем лишь с ничем необоснованной уверенностью пробираться методом проб и ошибок, слепо надеясь на то, что инструмент и интуиция нас не подведут. И не будем способны увидеть грань, за которой наш "здравый смысл", "опыт" и "инженерное чутьё" сыграют с нами злую шутку. А в том, что они подведут, можно не сомневаться. Знание математики не является панацеей и не наделит вас сверхсилой решать практические задачи на раз -- уж не знаю, кто и когда стремился посеять в вас эти иллюзии, которые вы теперь хотите развеять в окружающих. Но вот незнание математики с гарантией сузит круг задач, которые вы способны качественно решить и при этом ответить за своё решение, до посредственного минимума. Поскольку мощнее математики в арсенале современного учёного и инженера инструментов нет.
P.S. Кстати, к вашему вопросу о внутренней противоречивости в формулировке задачи интерполяции применительно к экспериментальным данным. Никакого противоречия тут нет, а есть просто методичный подход к решению проблемы. Сначала исследуется вопрос приближения в предположении, что значения приближаемой функции в заданных точках известны точно. Это - допущение, оно вводится явным образом. Лагранж сотоварищи об этом в курсе. Такое исследование предполагает не только определение способа конструктивного построения приближения, но, что более важно, определение границ, в которых лежит ошибка приближения в неизвестных точках при разумных допущениях о свойствах интерполируемой функции. Без этого знания ваше приближение бесполезно. После того, как оценки получены, имеет смысл ставить вопрос о том, как ведёт себя ошибка при условии, что значения в опорных точках заданы с известной погрешностью. В том числе получает конструктивную постановку и вопрос, как оптимально выбрать значение в опорной точке из интервала, определяемого погрешностью, так, чтобы минимизировать ожидаемую ошибку приближения. Именно так до сих пор исследуется устойчивость численных методов, поскольку в них данные всегда заданы с погрешностью как минимум по причине конечной точности представления чисел в машинной арифметике.
Я вас как раз понял прекрасно, а вот вы меня не особо. Я отнюдь не предлагал вам СТРОИТЬ бесконечное множество интерполяционных полиномов вместо единственного. Не то, чтобы так вообще никогда не делалось, но речь в данном случае вообще не об этом. Моё замечание относилось только к тому, что источник проблем не в требовании выполнения условия интерполяции, то есть точного соответствия значений аппроксимирующей функции значениям аппроксимируемой в заданном множестве точек. Погрешности в данных тут вообще не при чём.
Далее, ссылаться на то, что "я ж практик" не стоит. Я тоже практик. Вот только опыт показывает, что практик, не владеющий и не понимающий теорию - это практик плохой. Не сочтите это за упрёк, это просто замечание к аргументации.
Ваше утверждение, что отказ от условия интерполяции делает задачу тривиальной, мягко говоря, не соответствует действительности. На самом деле в точности наоборот, поскольку содержательная часть задачи аппроксимации как раз и состоит в том, чтобы не просто построить некоторое приближение, но дать объяснение почему аппроксимацию следует искать именно в этом семействе функций, почему аппроксимация отклоняется от данных, почему эти отклонения мы имеем наглость считать допустимыми и почему из всех кривых с аналогичной мерой отклонений мы выбираем именно эту конкретную кривую. Формализовав понятие оптимума мы эту задачу не решим, поскольку это порождает океан дополнительных вопросов: достижим ли глобальный или хотя бы локальный оптимум, насколько он устойчив, насколько велик разброс "оптимальных" аппроксимаций и т.д. и т.п.
Ваше стремление взять "наиболее простую" аппроксимацию, "надёжно" описывающую данные, тоже приводит к нетривиальным проблемам. Почему мы, скажем, считаем параболу "сложнее", чем прямая? (На всякий случай, просто сказать про количество свободных параметров недостаточно). Что "сложнее", экспонента или гармоника? На эту тему есть целые разработанные теории, например, на основе принципа минимальной длины описания, и конкретные практические критерии -- например, критерий Акаике. Но тут всегда возникают дополнительные соображения и допущения о характере данных и выстраиваемой модели, которые нужно ЗНАТЬ, а не опираться на чуйку. Иначе вашему результату грош цена, даже если он случайно окажется правильным.
Внимание, которое уделяется вопросу интерполяции полиномами - это не "дань традиции", а необходимая часть теоретической подготовки для любого, кто хотя бы боком имеет дело с вычислительной математикой (в том числе с численной аппроксимацией). Поскольку а) такая интерполяция лежит в основе большинства классических численных методов, б) она наиболее полно изучена и в) на её примере можно проиллюстрировать массу проблем, характерных для решаемых в выч. мате задач вообще. Эффект Рунге, например, служит иллюстрацией того, что последовательность интерполяций совершенно не обязана сходиться к "истинной" функции при бесконечном увеличении количества доступных данных, даже если эти данные абсолютно точны. Это - нетривиальный и неинтуитивный результат. И похожие эффекты имеют место не только в случае полиномов. Никто в здравом уме не станет предлагать вам строить интерполяционный полином 100500й степени для зашумлённых данных. В курсах выч. мата как раз обоснованно рассказывается почему так делать не стоит (и когда стоит - тоже).
Ваш следующий тезис опять же ошибочен. Во-первых, никакой "сверхподгонки" тут нет. Например, если выбрать в качестве критерия качества минимизацию суммарных абсолютных отклонений от наблюдаемых данных, то оптимальное решение ТОЧНО пройдёт через определенное подмножество данных. То есть в сущности будет решена именно задача интерполяции по "опорному" набору данных. Такой критерий имеет большую практическую ценность, чем, например, МНК -- как минимум потому, что существенно сокращает объем вычислений, получаемая задача существенно лучше обусловлена, а получаемое решение менее чувствительно к выбросам в данных. Во-вторых -- а с чего вы решили, что а) оптимум в вашей задаче достижим практически (например, градиентным спуском) и что он единственен? Вы вполне можете получить (и почти наверняка будете получать) "оптимальные" в смысле выбранного критерия решения, которые не будут иметь практической ценности. Либо получить несколько возможных "оптимальных", удовлетворяющих вашему критерию останова, результатов, которые будут качественно отличаться друг от друга. И вас моментально спросят -- а почему вы утверждаете, что такой аппроксимацией можно пользоваться в практическом плане? Такие утверждения как раз и требуют знаний конкретной математики, а не "очевидных" практических критериев, которыми вы пользуетесь исходя из собственного удобства.
Резюмирую. Никаким корнем зла и вообще никаким злом условие интерполяции не является. Естественно, в том случае, если применять соответствующий инструментарий грамотно, с пониманием того, что и для чего вы делаете. Ваше предложение не снимает проблему, а заменяет её на порядок более сложной, которая исследуется даже не в рамках отдельной теории, а в рамках целых научных направлений. Не стоит опираться на свои "практические" соображения в таких вопросах, так как практика без теории слепа, а к вопросам численного анализа без уверенного знания теории вообще подходить на пушечный выстрел нельзя.
Ваше замечание верно, но не относится к рассмотренной проблеме. Даже если допустить, что интерполируемые данные содержат погрешность и рассматривать не единственный интерполирующий полином, а всё их возможное множество, построенное по всем допустимым с учётом погрешности измерений данным, то каждый из них будет подвержен эффекту Рунге. Как правильно отметил автор, рост погрешности обусловлен не значениями интерполируемой функции в выбранных точках, а расположением этих точек и поведением высших производнвх функции, погрешность исходных данных тут глубоко вторична.
В чём была цель написания статьи? Это ведь стандартная тема, которая обязательно рассматривается в курсе по численным методам или выч. мат-ке, представлена в практически любом учебнике и имеет скорее теоретическую ценность в контексте анализа сходимости интерполяций. На практике интерполяция полиномами высоких порядков практически не используется.
Ликбез? Или заметка, к которой планируется делать отсылки?
Ну, козырять цитатами из умных книжек по разработке горазд сейчас любой с парой тысяч на кармане и умением совершать покупки на Озоне. Я за свою практику таких "рецептов успешной разработки" наслушался. Причём не редко от людей, которые слыхом не слыхивали про бинарные деревья и хэштаблицы и начинают блеять, когда заводишь разговор о том, какую конкретно типовую проблему конкретно этот чудо-рецент призван был решить и какое она имеет отношение к конкретно нашим палестинам.
"Уровень абстракции" - приятный уху программиста термин. Но тут всё проще. Образованного специалиста в любой области и отличает способность взглянуть на решаемую проблему комплексно. Зачастую заглядывая при этом за рамки предложенных регламентов и ТЗ - причём даже непроизвольно. Даже не в силу особого ума, у него просто асоциативный ряд априори больше.
Но стоит признать, что автор отчасти прав. Я (и вы, думаю, тоже) по-старинке понимаю под программистом именно специалиста по составлению и реализации алгоритмов для решения прикладных вычислительных задач в определённой области. В то время как по должности программист часто - тот, кто заставляет компьютер выдавать удовлетворяющий заказчика результат. Неважно какими средствами. Продолжая (бестолковый) пример с водопроводчиком, задача программиста - хоть скотчем и жвачкой склеить трубы, лишь бы их при заказчике не пробило и он принял работу. Лопнут под нагрузкой из-за того, что не было "технологического инженера", пояснившего бы за закон Пуазейля - так нужно же было оформить соглашение о поддержке. Если цель заработать денег, а не сделать дело - это удачный подход с большими шансами на успех.
По вашему описанию проект больше пострадал от отсутствия грамотной проработки предметной области и проектных ошибок, нежели от незнания алгоритмов исполнителями. Автор скорее указывает на то, что программист зачастую выступает в роле транслятора пожеланий менеджера или заказчика в исполняемый код. В такой схеме места для реальной инженерной работы действительно практически не остаётся, и польза от "ворлдскиллов" и правда превышает профит с фундаментальных знаний. Но это только в ближней перспективе. А потом все ошибки проектирования, "временные" решения, дыры в алгоритмах из тысяч условий под каждый найденный тестированием "частный случай" начнут обваливать проект прямо на головы вот таких вот умников, для которых "алгоритмы не важны".