Точно так же, как когда вы пытаетесь угадать цвет шара в руке у ведущего.
Если шар уже в руке ведущего, то я не могу оценить вероятность того, что этот шар, например, белый. Но можно оценить вероятность того, что я угадаю, назвав случайный цвет. Чувствуете разницу? Я не знаю цвета шара в руке ведущего, но и сказать вероятность того, что он белый — я не могу. Нет случайного процесса. Если же я буду угадывать цвет случайно, то вероятность можно указать. Можно так же поставить вопрос о том, какую вероятность угадать будут давать разные стратегии, если известно с какой вероятностью встречаются шары разных цветов. Тут тоже понятен случайный процесс, т.к. мы ставим мысленный эксперимент, но это уже другая задача.
Шеннон определяет информацию, содержащуюся в случайное величине. Т.е. информация определяется по распределению случайной величины, а не случайная величина определяется по информации. Информацию можно определять и другими способами, например, информация по Хартли или Колмогоровская теория информации, там вероятностное распределение отсутствует.
Но в нём можно (в общем случае) найти такие элементы, объединение которых образует третий элемент.
Тут у вас ошибка работы со множествами. Событие из двух элементарных исходов — это объединение одноэлементных множеств, в результате всегда получится множество из двух элементов. Хотя при этом эти элементы сами по себе могут являться множествами (т.е. множество может быть элементом другого множества; множество {{1,2},{2,3}} — это множество из двух элементов, а не из трёх или четырёх).
Это уже какая-то иная модель, к ТВ не имеющая отношения.
Предположим, что у нас есть четыре пронумерованных шара и пустая коробка. Для каждого шара подбросим монетку и с вероятностью 1/2 либо положим его в коробку, либо оставим на столе. Тогда пространство элементарных исходов можно задать множеством всех подмножеств {1,2,3,4}. Каждому такому подмножеству будет соответствовать элементарное событие, когда в коробке оказались шары с номерами из данного множества. При этом у нас получилось, что все элементарные исходы равновероятны, каждое подмножество шаров окажется в коробке с вероятностью 1/16. Теперь рассмотрим какое-нибудь событие. Например, какова вероятность, что в коробке одновременно оказались шары 1 и 3. Это событие — это множество, которое состоит их всех множеств, в которых есть 1 и 3, т.е. {{1,3}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,3,4}}. Вероятность такого события = 1/16 * 4 = 1/4.
Да, но тогда их нельзя называть интерпретациями также как интерпретации квантовой механике где интерпретации всегда дают одинаковый результат
Сомнительное, ИМХО, утверждение, но давайте не будем отвлекаться на другие темы.
Здесь субъекты имеют разную информацию и вероятности для них могут отличаться
Вероятность — это не характеристика субъекта, и не характеристика его знаний. Вероятность — это характеристика случайного процесса. А то, про что вы говорите — это «уверенность», «оценка шансов» и пр. По вашей ссылке в википедии так и написано:
Propensity theorists think of probability as a physical propensity, or disposition, or tendency of a given type of physical situation to yield an outcome of a certain kind or to yield a long run relative frequency of such an outcome. This kind of objective probability is sometimes called 'chance'.
Собственно этим и занимаются различные интерпретации — приписывают (не всегда случайный) процессам из реального мира понятия «вероятности», как им это кажется логичнее, и не всегда согласуясь между собой. При этом нового подхода к теории вероятностей не возникает.
(которое по определению выражается для бесконечного количества случаев/моряков)
Это как? Матожидание для конечного числа случаев не бывает?
Я думаю это можно как то привязывать к субьективности или нет, дело вкуса, но можно совершенно нормально обойтись без нее.
Если там есть случайный процесс, то можете его описать? Вот когда человек оценивает вероятность того, что он единственный сын, то как этот случайный процесс устроен?
Нет, есть аксиоматизация теории вероятности Колмогорова, а есть её различные интерпретации. Нет двух школ вероятностей, есть разные интерпретации. Вы же мне сами давали ссылку: en.wikipedia.org/wiki/Probability_interpretations
Если имеется в виду длинный комментарий, то вы там написали разумные вещи. Единственное, с чем я тут пытаюсь спорить, так это тем, что в исходной задаче был какой-то случайный процесс: в ваших примерах он есть, а в исходной задаче он отсутствует.
Про парадокс Рассела слышал (приходилось, я в лаборатории математической логики работаю). Но он просто показывает, что теория множеств должна быть устроена сложнее, чем казалось до этого.
А чем плохо множество подмножеств данного множества? На нём нельзя построить вероятностное пространство? Пусть множество размера n, дадим каждому подмножеству вероятность 1/2^n. Мера определяется из соображений аддитивности. Пустое множество не очень хорошо выбирать, да, тут спорить не буду. Но ваш вопрос был природу элементов.
То, что вы называете вероятностью, вероятностью не является. У вероятности события есть строгое математическое определение. То, про что вы говорите, имеет такое же отношение к вероятности, как кружочек нарисованный в тетради к понятию окружность. Кружочек в тетради — это условное изображение окружности, а то, про что вы говорите, это какая-то субъективная оценка уверенности человека в чём-то, которая в некоторых случаях может соответствовать какой-то вероятности, а может и нет.
В парадоксе Монти-Холла, напротив, есть случайный процесс (там приз находится за случайной дверью), можно определить вероятностное пространство и однозначно определить все вероятности. Парадоксом он называется только потому, что противоречит интуиции. Никакой субъективности там нет.
Но для каждого из детей все равно ответ на вопрос один он у отца или есть брат будет 1/2.
Для детей уже нет никакого случайного процесса, поэтому для них эта вероятность не определена. Можно говорить только о степени их уверенности, что в целом субъективная характеристика, которая не обязана подчиняться математическим законам.
Я с этим не согласен — и аппелирую и к тому, что многие аналогичные (сходные) таки представляют И с точки зрения математики, И с точки зрения её практических приложений.
Ваше право так считать, ОК. Я говорил про конкретные задачи, про задачи из поста, в которых спрашивается вероятность без указания вероятностного пространства.
Получается — если я правильно понял Вашу точку зрения — что противоречат.
В том то и дело, что не противоречат, т.к. изучают разные вещи. Противоречие было бы, если бы выводились противоположные утверждения, а тут этого не происходит.
А Вы внимательно его перечитайте, пожалуйста. И попробуйте таки ответить на вопрос ;-)
Мой любимый пример — утверждение «Это утверждение истинно». Оно истинно или ложно, по-Вашему?
Этот вопрос бессмысленный, т.е. вы не указали, в какой формальной системе вы это утверждение формализуете. В логике высказываний, например, его не формализовать.
Ну так это веская причина задуматься о том, откуда противоречие взялось.
Там нет противоречия, есть только бессмысленный вопрос.
И, например, уточнить условия задачи (которые до того «казались однозначными и очевидными»).
Мне они не казались однозначными.
Если Вы можете такое сделать для исходного примера — замечательно. Но уверены ли Вы в том, что Ваше уточнение будет единственно возможным?
Нет, конечно, в этом и смысле слова «неоднозначное».
А есть парадоксы, которые «разведением аксиоматики» не решаются. Например, парадокс близнецов в СТО. С ними-то что делать?
Только то, что Ваши представления о математике — не очень хорошо соответствуют действительности. Люди получали значительные практические результаты математическими методами без строгой их формализации. Или формализуя взаимо-исключащие (в разных системах) утверждения.
Где это я утверждал, что «нельзя получить значительные практические результаты математическими методами без их строгой формализации»? Из каких моих утверждений это следует? И с чего вы взяли, что можете оценивать мои представления о математике? )) Тем более после вот этого:
Но даже чисто формально — есть Евклидова геометрия, есть Риманова, есть геометрия Лобачевского. И ничего, все вполне корректны и, так сказать, официальны.
Интересно, как вы как это себе представляете? Что есть три различных геометрии (на самом деле их больше, даже на поверхностях, но опустим этот момент) и они как бы противоречат друг другу? Но они «официальны», т.е. официальное международное сообщество их признаёт, не смотря на их противоречивость? И, наверное, когда на конференциях встречаются сторонники разных геометрий, то плюют друг другу в след? ))
Мой любимый пример — утверждение «Это утверждение истинно». Оно истинно или ложно, по-Вашему?
Вы меня сейчас пытаетесь удивить логическим парадоксом, который дети в шестом классе изучают? Спасибо ))
Давайте всё же не будем переходить на личности, а вернёмся к конкретному исходному вопросу. Я всего лишь утверждал, что задача без чёткой формулировки, из которой нельзя (или нельзя однозначно) понять, что спрашивается, не имеет (или не имеет однозначного) ответа. Если спрашивать, например, в рамках вашего же примера, какова сумма углов треугольника, нарисованного на некоторой поверхности, не указывая явно или неявно, что поверхность является евклидовой плоскостью, то ответ неоднозначен, т.к., на сфере это будет что-то не меньшее 180, а на псевдосфере наоборот меньшее, и т.д. И в такой формулировке вопрос не имеет смысла, т.к. не понятно, что спрашивается. Нет ничего удивительного, что у задачи без корректной однозначной формулировки нет однозначного ответа.
Вы с этим согласны? Если да, то о чём мы спорим? Если нет, то в чём ваши аргументы?
Да ну?.. Гуглить по запросу ОЛИВЕР ХЕВИСАЙД (математик-самоучка, ага). И что он сделал для человечества.
И что вы этим мне хотите доказать?
Но даже чисто формально — есть Евклидова геометрия, есть Риманова, есть геометрия Лобачевского. И ничего, все вполне корректны и, так сказать, официальны.
Ну тогда это будут разные задачи в зависимости от определения. Тут большой простор для философствования, но с точки зрения математики (а мы обсуждаем пост в блоге «Математика») эти задачи сформулированы некорректно и интереса не представляют.
Можно ли понимать Ваше утверждение, как относящееся к любым парадоксам, связанным с теорией вероятности и смежными областями?
Мне кажется, что при внимательном чтении это довольно сложно, но ваш пример показывает, что это возможно.
Моё утверждение ещё более широкое, ну и? Вы полагаете, что можно открыть то, что уже знаешь и понимаешь?
Нет, я это не утверждал. Ваше утверждении я, по всей видимости, ошибочно трактовал следующим образом: «открытия (например, в теории вероятностей) возникают от незнания и непонимания (теории вероятностей)». Видимо, вы имели в виду другое, и поэтому мы спорим о разном. Если вопрос в том, что открытие — это получение нового знания, то тут я, конечно, не спорю.
Можно поподробнее всё же, какие это допуски? ))
Если шар уже в руке ведущего, то я не могу оценить вероятность того, что этот шар, например, белый. Но можно оценить вероятность того, что я угадаю, назвав случайный цвет. Чувствуете разницу? Я не знаю цвета шара в руке ведущего, но и сказать вероятность того, что он белый — я не могу. Нет случайного процесса. Если же я буду угадывать цвет случайно, то вероятность можно указать. Можно так же поставить вопрос о том, какую вероятность угадать будут давать разные стратегии, если известно с какой вероятностью встречаются шары разных цветов. Тут тоже понятен случайный процесс, т.к. мы ставим мысленный эксперимент, но это уже другая задача.
Тут у вас ошибка работы со множествами. Событие из двух элементарных исходов — это объединение одноэлементных множеств, в результате всегда получится множество из двух элементов. Хотя при этом эти элементы сами по себе могут являться множествами (т.е. множество может быть элементом другого множества; множество {{1,2},{2,3}} — это множество из двух элементов, а не из трёх или четырёх).
Предположим, что у нас есть четыре пронумерованных шара и пустая коробка. Для каждого шара подбросим монетку и с вероятностью 1/2 либо положим его в коробку, либо оставим на столе. Тогда пространство элементарных исходов можно задать множеством всех подмножеств {1,2,3,4}. Каждому такому подмножеству будет соответствовать элементарное событие, когда в коробке оказались шары с номерами из данного множества. При этом у нас получилось, что все элементарные исходы равновероятны, каждое подмножество шаров окажется в коробке с вероятностью 1/16. Теперь рассмотрим какое-нибудь событие. Например, какова вероятность, что в коробке одновременно оказались шары 1 и 3. Это событие — это множество, которое состоит их всех множеств, в которых есть 1 и 3, т.е. {{1,3}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,3,4}}. Вероятность такого события = 1/16 * 4 = 1/4.
Сомнительное, ИМХО, утверждение, но давайте не будем отвлекаться на другие темы.
Вероятность — это не характеристика субъекта, и не характеристика его знаний. Вероятность — это характеристика случайного процесса. А то, про что вы говорите — это «уверенность», «оценка шансов» и пр. По вашей ссылке в википедии так и написано:
Собственно этим и занимаются различные интерпретации — приписывают (не всегда случайный) процессам из реального мира понятия «вероятности», как им это кажется логичнее, и не всегда согласуясь между собой. При этом нового подхода к теории вероятностей не возникает.
Это как? Матожидание для конечного числа случаев не бывает?
Если там есть случайный процесс, то можете его описать? Вот когда человек оценивает вероятность того, что он единственный сын, то как этот случайный процесс устроен?
А чем плохо множество подмножеств данного множества? На нём нельзя построить вероятностное пространство? Пусть множество размера n, дадим каждому подмножеству вероятность 1/2^n. Мера определяется из соображений аддитивности. Пустое множество не очень хорошо выбирать, да, тут спорить не буду. Но ваш вопрос был природу элементов.
А что он ещё использовал?
Элементарные события — это элементы множества. Они не могут пересекаться ) Вы их с событиями путаете.
В парадоксе Монти-Холла, напротив, есть случайный процесс (там приз находится за случайной дверью), можно определить вероятностное пространство и однозначно определить все вероятности. Парадоксом он называется только потому, что противоречит интуиции. Никакой субъективности там нет.
Вы путаете «вероятность» события и «уверенность». Вероятность не является функцией информированности.
Для детей уже нет никакого случайного процесса, поэтому для них эта вероятность не определена. Можно говорить только о степени их уверенности, что в целом субъективная характеристика, которая не обязана подчиняться математическим законам.
Поэтому это утверждение бессмысленно )
ОК, тут мы разобрались.
Ваше право так считать, ОК. Я говорил про конкретные задачи, про задачи из поста, в которых спрашивается вероятность без указания вероятностного пространства.
В том то и дело, что не противоречат, т.к. изучают разные вещи. Противоречие было бы, если бы выводились противоположные утверждения, а тут этого не происходит.
Этот вопрос бессмысленный, т.е. вы не указали, в какой формальной системе вы это утверждение формализуете. В логике высказываний, например, его не формализовать.
Там нет противоречия, есть только бессмысленный вопрос.
Мне они не казались однозначными.
Нет, конечно, в этом и смысле слова «неоднозначное».
Давайте не будем отклоняться от темы.
Интересно, как вы как это себе представляете? Что есть три различных геометрии (на самом деле их больше, даже на поверхностях, но опустим этот момент) и они как бы противоречат друг другу? Но они «официальны», т.е. официальное международное сообщество их признаёт, не смотря на их противоречивость? И, наверное, когда на конференциях встречаются сторонники разных геометрий, то плюют друг другу в след? ))
Вы меня сейчас пытаетесь удивить логическим парадоксом, который дети в шестом классе изучают? Спасибо ))
Давайте всё же не будем переходить на личности, а вернёмся к конкретному исходному вопросу. Я всего лишь утверждал, что задача без чёткой формулировки, из которой нельзя (или нельзя однозначно) понять, что спрашивается, не имеет (или не имеет однозначного) ответа. Если спрашивать, например, в рамках вашего же примера, какова сумма углов треугольника, нарисованного на некоторой поверхности, не указывая явно или неявно, что поверхность является евклидовой плоскостью, то ответ неоднозначен, т.к., на сфере это будет что-то не меньшее 180, а на псевдосфере наоборот меньшее, и т.д. И в такой формулировке вопрос не имеет смысла, т.к. не понятно, что спрашивается. Нет ничего удивительного, что у задачи без корректной однозначной формулировки нет однозначного ответа.
Вы с этим согласны? Если да, то о чём мы спорим? Если нет, то в чём ваши аргументы?
И что вы этим мне хотите доказать?
Опять же, что это иллюстрирует?
Мне кажется, что при внимательном чтении это довольно сложно, но ваш пример показывает, что это возможно.
Нет, я это не утверждал. Ваше утверждении я, по всей видимости, ошибочно трактовал следующим образом: «открытия (например, в теории вероятностей) возникают от незнания и непонимания (теории вероятностей)». Видимо, вы имели в виду другое, и поэтому мы спорим о разном. Если вопрос в том, что открытие — это получение нового знания, то тут я, конечно, не спорю.