Мысли вслух о том, какие дети проявляют к математике способности. О памяти.

Рассмотрим только одну ее характеристику - объем.

Для того, чтобы быть успешным в математике к концу школы, нужно примерно в 7-м классе слезть с мышления алгоритмами, начав разрывать их по самым неустойчивым шагам и перейти к мышлению отношениями. Писал об этой смене в этом посте. Здесь приведу предельно упрощенный пример. Можно воспринимать примеры "2 + 3 = 5", "2 = 5 - 3" и "3 = 5 - 2" как разные, и тогда знак равно здесь - знак действия, а можно как одно отношение между тремя числами, и тогда знак равно здесь означает тождество. Очевидно, что второй вариант более гибкий и, самое главное, позволяющий расширяться. Кстати, про знак равно - это отдельная песня...

Сделать этот переход можно только при условии правильной подготовки к этому переходу. Как минимум, не делая ошибок. Но я хотел про объем памяти. Если ученику сложно запоминать, то он быстро накопит алгоритмов до состояния, когда ими будет сложно управлять и ему потребуются отношения для возможности что-то делать дальше. Плохо, так как скудный объем данных (разнообразие алгоритмов) приведет к скудным отношениям. Если ученик с легкостью запоминает большие объемы информации, то тоже плохо. Так как он очень не скоро придет к моменту, когда он сам почувствует их ограниченность, и к этому моменту сильно прикипит к использованию алгоритмов и адаптируется к их применению в любых ситуацих, например, за счет эмоциональности, манипулирования и т.д.

Получается, что есть какой-то оптимум объема памяти? Интересно....

Так получилось, что после 17-ти лет работы в ИТ я ушел в обучение школьников математике. В ИТ я работал программистом и потом системным аналитиком. Ушел потому что просто стало интересно. С падением в доходе. Естественно, постоянно делал себе различные вспомогательные сервисы, ведь, невозможно переставить что-то проектировать или программировать ))). Постепенно стало настолько интересно "как все устроено в обучении мозга человека", что поступил на мехмат МГУ в очную аспирантуру на кафедру "методика преподавания математики". Очень, кстати, полезно. Если поступать туда для того, чтобы что-то узнать/сделать.

Еще работая в ИТ, я постоянно проводил собеседования системных аналитиков и продуктовых менедежров. По 1-3 собеседования каждый день в течении нескольких лет. Обнаружил существование корреляции между "способностью строить объектную модель на лету" и "перспективностью кандидата". Конечно, это не единственная такая корреляция, но одна из самых стойких.

Потом, работая с учениками, обнаружил, что способность мыслить объектами и их отношениями, а не алгоритмами при решении задач по математике, тоже отлично коррелирует с успешностью обучения. Здесь, конечно, речь про старшеклассников. В первой половине школы дети, как мне кажется, должны мыслить алгоритмами, чтобы накопить их критическое количество и ощутить необходимость реорганизовать свое мышление. Также обнаружил наличие связи между тем, читает ли ученик сколько-нибудь существенные объемы текстов и способностью мыслить объектами и их отношениями. Но здесь были исключения - были читающие ученики с полным хаосом в голове.

Пришел вот к такому заключению: нужна тренировка чтения со схематизированием прочитанного на лету. Начиная с простейших конструкций из объектов и простейших однотипных связей между ними. Постепенно увеличивая типы используемых связей: наследование (для детей общее-частное), ассоциация со стереотипами, аггрегация и т.д. Соответственно, увеличивая и сложность конструкций. Особенно важно делать тексты такими, чтобы чтобы приходилось переделывать структуру по мере прочтения. Рекомендую!

Я бывший ИТ-шник, а сейчас обучаю математике школьников частным образом. Т.е. я репетитор. Репетиторы - зло. Как быть?

У меня есть основания полагать, что:

• если ученик умеет учиться, то он научится и без репетитора, и без звездного учителя в школе, и разннобразных пособий ему много не нужно будет;

• если ученик не умеет учиться, то ему существенно не поможет ни крутой репетитор, ни прекрасный школьный учитель - прогресс будет так себе, если, конечно, он в процессе не научится учиться и останется достаточно времени до события Х (ЕГЭ / поступление в лицей / то, что нужно).

С моей точки зрения, центральная проблема умения учиться математике - это попытка запоминать что-либо. Сначала она проявляется в таком вредительстве как операции в столбик в начальной школе, что закрепляет неверное отношение к алгоритмам, а именно то, что необязательно уметь обосновывать их шаги. Это делает потенциально невозможным переход от мышления алгоритмами к мышлению сущностями и их отношениями, который, по идее, должен произойти в середине средней школы. А без такого мышления старшая школа обречена на продолжение заучивания, но только намного более сложных и ветвистых конструкций. В итоге у учеников цветет представление о том, что есть задача и для нее нужно запомнить решение. И т.д.

Что делать? Учить учиться. Как?

1. В началке учите считать устно. Не нужно, чтобы умножали трехзначное на трехзначное, нужно, чтобы умели упрощать себе работу. Если не разбираетесть в математике - найдите человека, желательно из знакомых, который сможет это сделать. И решайте текстовые задачи каждый день.

2. В средней школе накапливайте алгоритмы. Ученик должен почувствовать, что алгоритмический подход становится неудобен. И что нужно переходить к объектам. Сравнивал это на Хабре с функциональным программированием и ООП.

3. В старшей школе связывайте объекты (т.е. теорию), для этого вырабатывате привычку у ученика, чтобы при использовании любого теоретического факта в процессе решения задачи он задавал себе вопрос: "А я могу обосновать этот факт?". И если не может, то пробовать обосновать. А если не получается обосновать, то сформулировать вопрос учителю. Это даст невероятное ускорение процессу обучения. Но такое поведение контринтуитивно, и над ним нужно работать. Года два назад делал сборник правильных образовательных привычек.

А иначе траты ресурсов и времени и скромный результат.

Я в прошлом разработчик. Поработал во многих ведущих ИТ-компаниях России. После того, как был разработчиком, работал системным аналитиком, продуктовым менедежром. Лет 12-15 назад начал увлекаться вопросами обучения детей математике. Писал даже года 3 назад на Хабре статью о том, как это мое хобби превратилось в профессию. Теперь это еще и область научных интересов: поступил в аспирантуру на мехмат МГУ на кафедру методики преподавания математики.

В нашем коллективе на мехмате существенная часть внимания сейчас прикована к явленим глубокого структурного изменения взглядов школьника на математику (например, осознание, что от числа можно перейти к переменной, или понимание, что уравнения и неравенства - это одно и то же, с точки зрения логики). У меня на этот счет есть своя теория, которую я частично заимствовал у своего научного руководителя и развил. Теория заключается в том, что задача начальной школы и первой части средней - это осваивать алгоритмы решения различных задач. Т.е. нужно уметь обосновывать каждый шаг алгоритма, но не обязательно уметь находить следующий шаг (достаточно помнить последовательность шагов). К середине средней школы алгоритмов накапливается критическая масса, и школьнику с организацией знаний на основании алгоритмов становится тяжело. Алгоритмы все больше и больше ветвятся, изменяют область своего применения и множатся. И в какой-то момент алгоритмы начинают рваться на шаги, а организация знаний начинает смещаться от алгоритмов к отношениям математических сущностей. Отношения - более оптимальная структура организации знаний. Она отлично работает там, где есть постоянные измнения структуры. Также она оптимальна для организации мышления исследователя. А очень часто дети в началке пропускают обоснование шагов алгоритма и, естественно, имеют проблемы с расчленением алгоритмов на части и формированием математических отношений. И, как следствие, им остается только все продолжать зубрить. Вот пост в моем тг-канале о том, как это прогрессирующее заболевание тянется и меняет представление об обучении.

Пример. Можно воспринимать примеры "2 + 3 = 5", "2 = 5 - 3" и "3 = 5 - 2" по отдельности, тогда знак равно будет знаком дейсвтия. А можно как одно отношение между числами 2, 3 и 5, например, 2 + 3 = 5. А вот тут теперь знак равно имеет смысл тождества.

Развивая теорию, которая могла бы описать такие переходы от алгоритмов к отношениям и которая могла бы быть основной для построения педагогических методик, я вдруг вспомнил, где я это все видел!!!! Функциональное программирование и ООП!!! У каждой из этих двух парадигм есть свои плюсы и минусы. Функциональная хороша для освоения, для быстрого создания чего-то небольшого, для кодирования чего-то большого, когда есть высокая степень определенности, а планируемые изменения не слишком велики. ООП - хорошо, когда планируются структурные изменения. По крайней мере, так было лет 10 назад. А структурные изменения - это именно то, что происходит при изучении математики в средней и старшей школе и далее.

У меня есть ученики по математике (и программированию). Вчера один из учеников 9-го класса неожиданно задал вопрос, попав даже не "в десятку", а существенно точнее )). Вот что он мне написал (я сократил, сохранив смысл):

"Я привык уже все обосновывать. Но я никак не могу "обосновать" сам процесс поиска решения в задачах. Т.е. можно ли как-то "обоснованно" догадываться до способа решений задачек. Вот если решение найдено, то его можно обосновать по алгоритму. А можно ли также алгоритмически искать решения различных математических задач?"

Просто мега вопрос. В самый центр философских споров о познании, которые велись последние 2000 лет. О соотношении того, как догадаться, и того, как обосновать то, до чего догадались. Алгоритм догадывания не "разгадан" до сих пор. Это похоже на "проблему индукции" в философии. А вот зная решение, обосновать его существенно проще, и это поддается алгоритмизации.

Следует пояснить, что я занимаюсь с учениками по определенной методике, которая склоняет их самстоятельно проверять могут ли они, например, обосновать математический факт, который они только что использовали при решении задачи, а также к совершенствованию в формлировании вопросов.

Я ответил ученику примерно так: "Искать решение - это искусство. Обосновывать найденное решение - это ремесло. Учиться учиться - это, как правильно организовывать ремесло, чтобы совершенствоваться в искусстве". Веду канал в телеграме для учеников и их родителей об умении учиться математике и, например, что значит, с моей точки зрения, уметь учиться, можно прочитать в этом моем посте.