Введение

В этой статье будет рассмотрена тема построения и работы с конечными полями (или полями Галуа), которые используются в криптографии, теории информации и кодирования и других науках, т.е. имеют широкое практическое применение. Сухую теорию о группах/кольцах/полях можно прочитать по ссылке Поля Галуа, а здесь будет больше практики и реализации на языке Scala.

Типы и ограничения

Для начала следует обсудить технические проблемы связанные с представлением полиномов в памяти, с учетом размеров типа Int в языке Scala. Требования сформулированы в списке ниже.

• Тип Int в Scala/Java имеет размер 32 бита
• Использовать можно биты: 0..30 — 31, поскольку 32-ой бит является знаковым
• Полиномы должны быть представлены числами в диапозоне 0..29
• Неприводимые полиномы (или модули) имеют диапозон 1..30
• Конечное поле имеет элементов

Реализация

Сначала опишем класс Polynomial, который реализует полином и 4 операции. Этот вид полинома является «полуфабрикатом» и не привязан к конечному полю.

Введение

Данный алгоритм реализован на языке Scala, характерной особенностью которого является использование case-классов, так удачно подходящих для написания алгоритма дифференцирования. В этой статье планируется описать лишь часть программы, содержащей алгоритм нахождения производной, поскольку разработка парсера для математических выражений это другая большая тема,
заслуживающая отдельной статьи

Подготовка

Сначала опишем структуру данных, в которой будет храниться исходная математическая функция. Опишем трейт MathAST:

sealed trait MathAST

И его наследников:

Статья посвящена реализации алгоритма Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений на языке Java.

Теоретические сведения

Рассмотрим математическую теорию. Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или же быть несовместной (не иметь решений). Не все методы решения СЛАУ могут справится с вторым случаем, когда система имеет бесконечно много решений. Например, метод Крамера и матричный метод не применимы, но метод Гаусса вполне можно использовать.

Алгоритм можно условно разделить на два этапа:

• Прямой ход
• Обратный ход

В первом этапе образуются нули ниже или выше главной диагонали, за счет использования элементарных преобразований матрицы. На втором этапе находят неизвестные начиная с конца. Подробную теорию можно посмотреть по ссылке: метод Гаусса, поэтому с теорией пожалуй все. Перейдем к реализации.

Реализация

Начнем с постановки задачи:

• нам нужно создать программу, реализующую систему линейных уравнений в виде некоторой структуры данных, используя приемы обобщенного программирования. Система должна содержать коэффициенты производного типа от класса Number (т.е. Float, Integer, Double и т.д.)
• Запрограммировать алгоритм, который получив на вход структуру данных системы образует нули ниже главной диагонали