Да ясно всё с введением, только экспонента — это просто показательная функция с очень интересным основанием. Или автор предполагает, что в начале статьи мы не знаем про показательную функцию, зато знаем что такое супремум, предел последовательности и производная? Вряд ли. А то, что sup(E_a)=e^a следует из второго замечательного предела, это известный результат. То есть получили показательную функцию с основанием в виде второго замечательного предела. Дальше можно придумывать свои, неклассические способы доказательства свойств этой функции, а смысл?
Самое интересное — как раз доказательство f=f' через пределы числовых последовательностей, я такого для функции одного переменного не видел ни разу.
Не соглашусь насчёт красоты, но это дело вкуса.
Я вижу ситуацию таковой: взяли мы R+параметризованные ограниченные сверху числовые множества. Причём их супремумы в точности совпадают с экспонентами параметра. Это можно доказать короче, чем в статье и сразу получить показательную функцию, про которую известно, что она непрерывна, дифференцируема и т.д. На мой взгляд красота математического доказательства состоит в быстром и оригинальном сведении рассуждений к ранее доказанным вещам. Здесь же доказательства выглядят громоздко, и неотделимы от структуры множеств. Можно взять в качестве множеств E_a={1+sum(a^n/n!, n=1..k)} (множества значений струй экспоненты). Суть та же, а данные доказательства уже не подойдут. Таких наборов множеств можно придумать сколько угодно, в чём ценность именно данного для меня неясно.
Как обобщить эту конструкцию непонятно, поскольку из доказательства видно, что речь может идти только о действительных числах. По крайней мере элементы должны принадлежать непрерывному упорядоченному полю. Непрерывность и упорядоченность нужны для супремума.
В целом выглядит достаточно искусственно, но безусловно есть интересные моменты. Для меня это связь разбиений числа на суммы с экспонентой и естественное доказательство f=f'.
Интересно попробовать из этой статьи сформулировать олимпиадную университетскую задачку и посмотреть как студенты будут её решать.
Я не понял как автор обобщает функцию f на отрицательные числа :(
f(a)=f^(-1)(a)? Это как сработает? Мы знаем, что f=exp (должно быть), но тогда выходит, что exp(a)=log(-a)
Поддерживаю. Можно же сразу доказать, что sup(E_a) = exp(a). Неравенство Коши нам в помощь: (1+a_1)...(1+a_k)<=(1+a/k)^k, причем равенство достигается. При стремлении k к бесконечности правая часть стремится к exp(a).
Самое интересное — как раз доказательство f=f' через пределы числовых последовательностей, я такого для функции одного переменного не видел ни разу.
Я вижу ситуацию таковой: взяли мы R+параметризованные ограниченные сверху числовые множества. Причём их супремумы в точности совпадают с экспонентами параметра. Это можно доказать короче, чем в статье и сразу получить показательную функцию, про которую известно, что она непрерывна, дифференцируема и т.д. На мой взгляд красота математического доказательства состоит в быстром и оригинальном сведении рассуждений к ранее доказанным вещам. Здесь же доказательства выглядят громоздко, и неотделимы от структуры множеств. Можно взять в качестве множеств E_a={1+sum(a^n/n!, n=1..k)} (множества значений струй экспоненты). Суть та же, а данные доказательства уже не подойдут. Таких наборов множеств можно придумать сколько угодно, в чём ценность именно данного для меня неясно.
Как обобщить эту конструкцию непонятно, поскольку из доказательства видно, что речь может идти только о действительных числах. По крайней мере элементы должны принадлежать непрерывному упорядоченному полю. Непрерывность и упорядоченность нужны для супремума.
В целом выглядит достаточно искусственно, но безусловно есть интересные моменты. Для меня это связь разбиений числа на суммы с экспонентой и естественное доказательство f=f'.
Интересно попробовать из этой статьи сформулировать олимпиадную университетскую задачку и посмотреть как студенты будут её решать.
f(a)=f^(-1)(a)? Это как сработает? Мы знаем, что f=exp (должно быть), но тогда выходит, что exp(a)=log(-a)