Решение задачи линейной регрессии с помощью быстрого преобразования Хафа
Введение
Друзья, рассмотрим нынче же задачу линейной регрессии в присутствии выбросового (некоррелированного с сигналом) шума. Эта задача часто возникает при обработке изображений (напр., при цветовой сегментации [1]), в том числе — акустических [2]. В случаях, когда координаты случайных величин можно грубо дискретизовать, а размерность задачи низка (2-3), кроме стандартных методов робастной регрессии можно воспользоваться быстрым преобразованием Хафа (БПХ) [3]. Попробуем сравнить этот последний метод по точности и устойчивости с «классическими».
Использование БПХ для линейной регрессии
Задача линейной регрессии на плоскости состоит в восстановлении линейной зависимости между двумя переменными, заданными в виде множества пар (x, y). Задавшись некоторым уровнем дискретизации координат, можно отобразить это множество на однобитном или целочисленном изображении (в первом случае мы отмечаем только факт наличия в исходных данных точки с примерно такими координатами, во втором — еще и их число). Фактически, речь идет о двумерной гистограмме исходных данных. Таким образом, неформально задача может быть сведена к поиску на изображении прямой, которая наилучшим образом описывает изображенное распределение точек.В обработке изображений в подобных случаях используется преобразование Хафа.
Преобразование Хафа является дискретным аналогом преобразования Радона и ставит в соответствие каждой прямой на изображении сумму яркостей пикселей вдоль нее (то есть одновременно вычисляет всевозможные суммы вдоль дискретных прямых). Можно ввести разумную дискретизацию прямых по сдвигам и наклонам так, чтобы параллельные дискретные прямые плотно упаковывали плоскость, а выходящие из одной точки на одном крае изображения прямые расходились по наклону на противоположном крае на целое число пикселей. Тогда таких дискретных прямых на квадрате n2 будет примерно 4 * n2. Для этой дискретизации существует алгоритм быстрого вычисления преобразования Хафа с ассимптотикой O(n2 * log n). Этот алгоритм является близким аналогом алгоритма быстрого преобразования Фурье, хорошо параллелизуется и не требует никаких операций, кроме сложения. В работе [3] можно прочитать об этом чуть больше, кроме того, там объясняется, почему преобразование Хафа от сглаженного гауссовским фильтром изображения вообще можно применять в задаче линейной регресии. Здесь же мы продемонстрируем устойчивость этого метода.
