В приведённом вами случае, двойственность точек и прямых это свойство геометрии, то есть, как вы выразились, языка. В проективном пространстве PR³ точкам будут двойственны плоскости, а на "проективной прямой" PR¹ точкам двойственны точки. Я как-то писал о двойственности в более широком контексте, но в менее техничном духе.
Философский вопрос.. Я бы сказал, что это свойство языка выражать двойственность, как отношение между объектами. Объект сам по себе не может быть двойственным.
С трансцендентными функциями, действительно, много возни, особых случаев, разных подходов. Это оказалось целой темой исследований. В результате получилась комбинация спец случаев, аппроксимаций Паде, рядов Тэйлора и метода Ньютона :)
Спасибо, что поделились своими наработками! Отличная библиотека. Я, в конце-концов, пришёл к аналогу динамической типизации, которая позволяет единообразно описывать любую геометрическую алгебру. Но главного принципа: непредставимости некорректных данных мне добиться пока не удалось.
Зачем это на Хабре? Какой-то отчаянный взбульк потребителя, для, которого всё услуга, даже его собственная работа. Напоминает анекдот про найденный кошелёк в котором чкть-чутьтне хватает.
Спасибо за вопросы, они позволяют дополнить статью методологическими рассуждениями.
Если коротко, то модель моделирует не пожары в лесу, а простейшую систему, демонстрирующую явление самоорганизующейся критичности.
При выборе модели, которая должна выявить или продемонстрировать какое-то универсальное явление или процесс, имеет смысл рассматривать минимальную модель (нормальную форму, универсальный объект и т. п.) которая уже способна на искомое поведение. Условно говоря, если для наблюдения какого-то эффекта достаточно линейной или квадратичной модели, то добавление дополнительных нелинейностей только добавит ограничений на её использование, но не внесёт ничего принципиально нового. Однако во всех более сложных и приближённых к реальности системах, имеющим в качестве подсистемы минимальную модель, ожидаемый эффект, если будет наблюдаться, будет объяснëн и может быть предсказан. Ещё раз подчеркну, что речь идёт об универсальном явлении, таком, например, как бифуркации, СОК или эмерджентность.
Целью представленного мини-исследования была демонстрация базовых свойств самоорганизующейся критичности (розовый шум, пуассоновский характер потока катастрофических событий, роль интенсивности триггеров (молний) и т. д). Примитивный клеточный автомат не только продемонстрировал эти свойства, но и обнаружил свойства универсальности (распределения с максимальной энтропией). СОК интересен тем, что наблюдается в очень широком разнообразии систем, содержащих в себе ту или иную форму рассмотренного клеточного автомата (или ещё более примитивную модель песчаной кучи).
При этом рассмотренная модель лесных пожаров не имеет непосредственного отношения к лесным пожарам, также как абелева песчаная куча достаточно слабо соотносится с реальной кучей песка (поэтому я иронично назвал это имитацией моделирования). Если бы целью были именно пожары, эпидемии, обвалы, импульсы в мозгу или электоральные фазовые переходы, то нужно было бы куда внимательнее разрабатывать автомат, граф связности клеток, вопросы регулярности решëтки и прочие важные детали, о которых вы говорите.
Я проводил эксперименты с гексагональной решеткой. Поскольку метрика пространства не играет существенной роли в эффекте СОК, то статистические и спектральные свойства системы не изменились. Введение более сложной кластеризации (образование рощиц или кустов) может внести некоторые отклонения от наиболее простых распределений и картины спектральной плотности, но объясняться эти отклонения будут не явлением СОК, а внесёнными нами усложнениями модели.
Благодарю за хорошую статью! Ею вы побудили меня довести до публикации черновик с рассказом о самоорганизующейся критичности в котором анализируется такая же модель лесных пожаров, но уже с позиций теории динамических систем.
Построим аккуратный чертёж (точка C подвижная). Сразу видно, что три вспомогательные окружности, построенные по методу автора заметки, не делят дугу на три части. Давайте всё же проведём анализ, для полноты картины.
В основе метода лежит пропорциональность отрезков и . На чертеже , но мы будем анализировать общий случай: , где
Для угла радиус вписанной окружности , проходящей через точку выражается через синус: . Построим окружность с центром в точке c радиусом , и окружность с радиусом с центром в точке . Точка пересечения этих окружностей является центром первой из вспомогательных окружностей. На рисунке .
Если точку поместить в начало координат, а отрезок сделать единичным, то окружности будут иметь уравнения . Координаты точки будут такими:
Тогда угол , будет таким:
Если сделать очень маленьким, то в пределе мы получим:
То есть метод работает только для малых углов. Например, для отличие полученного угла от ожидаемого не превысит 0.01.
Вот спасибо за напоминание атмосферы старого Линукса! Меня в него окунули без предупреждения в зарубежном университете, поскольку только на нём запускалась особая расчётная программа. Сначала было дико, потом много манов, много терминала. Боль. Но GNOME покорил меня и дальше понеслось само и для себя и для работы (наука, расчёты, издательская работа) . Mandrake → Knoppix → Ubuntu → AltLinux → NixOS. 20 лет, полёт нормальный! NixOS уже 8 лет работает, как часы.
Не могу утверждать, что дам исчерпывающий ответ, но на взгляд уже празднующего Новый Год на Камчатке кажется, что эта независимость — следствие линейности, а значит, в линейных алгебраических структурах независимость трансляции от чистых "матричных" преобразований должна выполняться. По крайней мере, в проективных геометрических алгебрах (Клиффорда) это так.
В голосовалка не хватает варианта "Бросил пить кофе". Отказался, потому что очень заметной стала абстиненция при невозможности выпить чашечку в течение дня. После полной отмены реально неделю мучают головные боли, легко купируемые одним эспрессо.
Бросал в течение пяти лет три раза :), переходил на подсчёт чашек (три чашки в день, две в день..). Только полный ипринципипльный отказ помог преодолеть зависимость. Улучшился сон, прошли боли в шее после сна. Больше плюсов,наверное, не найду, потому что кофе люблю, и мимо кофеен хожу, с удовольствием принюхиваясь :)
Ирония ещё в том, что я сам владею кафе, так что чашка самого лучшего вулканического кофе из любого по желанию свежего зёрна из рук симпатичной бариста маячит передо мной каждый день :)
Я сейчас готовлю к публикации серию статей о геометрических алгебрах с картинками и с тоже выводом основных соотношений. Начну их выставлять здесь после Нового Года. Ваша алгебра, судя по всему, внешняя? Или она не относится к алгебрам Клиффорда? Спрашиваю, потому что ваши иллюстрации очень хороши!
Какие чудесные многообразия! А вы не могли бы по подробнее рассказать про ваши непростые взаимоотношения с Фробениусом и двумя (а не тремя) комплексными единицами? Чему равно произведение этих единиц? А его квадрат?
Вы правы, рекурсивное определение gcd изящно. И двойственное ему определение lcd тоже выглядит не плохо, но из-за необходимости знать на каждом этапе исходные числа a и b, соответствующая программа либо должна быть выражена через замыкание, (внутреннее рекурсивное определение), либо тащить исходные числа параметрами, что нарушило бы симметрию. Поэтому я оставил в примере две симметричные итеративные программы.
К сожалению, поставил отрицательную оценку, хотя делаю это крайне редко. Ох! В статье, начиная с первого предложения, столько неточностей и ошибок, что даже не знаю, стоит ли их перечислять. Приведу только самые очевидные:
Хаусдорфова размерность, о которой идёт речь в статье, не характеризует ни "сложности" ни "количества параметров, необходимых для описания объекта". Проверочные вопросы: Что сложнее описать математически — вашу одномерную подпись или кривую Коха? Точка треугольника Серпинского имеет полторы координаты?
Определения и примеры, приведённые в первом разделе, относятся к топологической размерности пространств, а не объектов, вложенных в эти пространства. Это принципиально разные понятия.
Фрактальность и самоподобие разные вещи. Облака, береговые линии, странные аттракторы или канторовы множества, будучи фрактальными могут не обладать слабым самоподобием или не обладать им вовсе. Фрактальным называется объект, имеющий нецелую размерность Хаусдорфа (или Минковского или иных аналогов). Самоподобным — объект демонстрирующий идентичность формы на различных масштабах. Размерность самоподобных фрактальных объектов можно вычислить аналитически, в противном случае, только оценить и то, в разных диапазонах масштаба, размерность, скорее всего, будет разной.
Снежинка Коха не является самоафинной, а вот треугольник Серпинского, как раз является.
"Итоговая линия становится все более сложной, ее длина увеличивается с каждым шагом, но фрактальная размерность остается фиксированной и равна 1,2619." Пока не достигнут предельный объект, "снежинка" остаётся, одномерной ломаной линией, что видно на первых шагах итерации.
Приведённый график зависимости от размеров количества квадратов, покрывающих треугольник Серпинского, не показывает никакой корреляции.
...
Увы, тема фракталов превратилась в "звезду" поп-математики, благодаря красивым картинкам, которые относительно просто получить на компьютере. Многим почему-то кажется, что это простая тема для рассуждений. Но математика, которая за ними стоит, проще от этого не становится, и рассуждения о размерности требуют не только точности, но и чёткой мотивации и ответов на базовые вопросы: Зачем нужна такая характеристика? Что нового в картине мира она нам даëт? Можно ли размерность считать объективной числовой характеристикой объекта, не зависящей от способа вычисления?
С интересом слежу за серией. Долгожданная третья статья вызвала странное ощущение. Очень хочется какую-то еë часть перевести на язык теории категорий (коллектор — морфизм, истинность и ложность — предельные объекты, но в какой категории?), какую-то — на язык комбинаторного исчисления и теории разрешимости (существование алгоритма, переводящего один объект в другой), описание "доски" с ориентациями, движениями и непрерывностью вопиет о формализации в терминах топологического пространства и группах его преобразований. Притом, что во всех упомянутых языках основы очень хорошо определены, никак не получается уловить достоинства предлагаемого подхода в приведённых определениях.
Очень хочется примера формального вывода или доказательства какого-либо утверждения, чтобы почувствовать методику предлагаемой системы.
В приведённом вами случае, двойственность точек и прямых это свойство геометрии, то есть, как вы выразились, языка. В проективном пространстве PR³ точкам будут двойственны плоскости, а на "проективной прямой" PR¹ точкам двойственны точки. Я как-то писал о двойственности в более широком контексте, но в менее техничном духе.
Философский вопрос.. Я бы сказал, что это свойство языка выражать двойственность, как отношение между объектами. Объект сам по себе не может быть двойственным.
Впрочем, возможно, я не понял вашего вопроса.
С трансцендентными функциями, действительно, много возни, особых случаев, разных подходов. Это оказалось целой темой исследований. В результате получилась комбинация спец случаев, аппроксимаций Паде, рядов Тэйлора и метода Ньютона :)
Спасибо, что поделились своими наработками! Отличная библиотека. Я, в конце-концов, пришёл к аналогу динамической типизации, которая позволяет единообразно описывать любую геометрическую алгебру. Но главного принципа: непредставимости некорректных данных мне добиться пока не удалось.
Зачем это на Хабре? Какой-то отчаянный взбульк потребителя, для, которого всё услуга, даже его собственная работа. Напоминает анекдот про найденный кошелёк в котором чкть-чутьтне хватает.
Совершенно верно!
Спасибо за вопросы, они позволяют дополнить статью методологическими рассуждениями.
Если коротко, то модель моделирует не пожары в лесу, а простейшую систему, демонстрирующую явление самоорганизующейся критичности.
При выборе модели, которая должна выявить или продемонстрировать какое-то универсальное явление или процесс, имеет смысл рассматривать минимальную модель (нормальную форму, универсальный объект и т. п.) которая уже способна на искомое поведение. Условно говоря, если для наблюдения какого-то эффекта достаточно линейной или квадратичной модели, то добавление дополнительных нелинейностей только добавит ограничений на её использование, но не внесёт ничего принципиально нового. Однако во всех более сложных и приближённых к реальности системах, имеющим в качестве подсистемы минимальную модель, ожидаемый эффект, если будет наблюдаться, будет объяснëн и может быть предсказан. Ещё раз подчеркну, что речь идёт об универсальном явлении, таком, например, как бифуркации, СОК или эмерджентность.
Целью представленного мини-исследования была демонстрация базовых свойств самоорганизующейся критичности (розовый шум, пуассоновский характер потока катастрофических событий, роль интенсивности триггеров (молний) и т. д). Примитивный клеточный автомат не только продемонстрировал эти свойства, но и обнаружил свойства универсальности (распределения с максимальной энтропией). СОК интересен тем, что наблюдается в очень широком разнообразии систем, содержащих в себе ту или иную форму рассмотренного клеточного автомата (или ещё более примитивную модель песчаной кучи).
При этом рассмотренная модель лесных пожаров не имеет непосредственного отношения к лесным пожарам, также как абелева песчаная куча достаточно слабо соотносится с реальной кучей песка (поэтому я иронично назвал это имитацией моделирования). Если бы целью были именно пожары, эпидемии, обвалы, импульсы в мозгу или электоральные фазовые переходы, то нужно было бы куда внимательнее разрабатывать автомат, граф связности клеток, вопросы регулярности решëтки и прочие важные детали, о которых вы говорите.
Я проводил эксперименты с гексагональной решеткой. Поскольку метрика пространства не играет существенной роли в эффекте СОК, то статистические и спектральные свойства системы не изменились. Введение более сложной кластеризации (образование рощиц или кустов) может внести некоторые отклонения от наиболее простых распределений и картины спектральной плотности, но объясняться эти отклонения будут не явлением СОК, а внесёнными нами усложнениями модели.
Благодарю за хорошую статью! Ею вы побудили меня довести до публикации черновик с рассказом о самоорганизующейся критичности в котором анализируется такая же модель лесных пожаров, но уже с позиций теории динамических систем.
Построим аккуратный чертёж (точка C подвижная). Сразу видно, что три вспомогательные окружности, построенные по методу автора заметки, не делят дугу
на три части. Давайте всё же проведём анализ, для полноты картины.
В основе метода лежит пропорциональность отрезков
и 
. На чертеже 
, но мы будем анализировать общий случай: 
, где 
Для угла
радиус вписанной окружности 
, проходящей через точку 
выражается через синус: 
. Построим окружность 
с центром в точке 
c радиусом 
, и окружность 
с радиусом 
с центром в точке 
. Точка пересечения этих окружностей 
является центром первой из 
вспомогательных окружностей. На рисунке 
.
Если точку
поместить в начало координат, а отрезок 
сделать единичным, то окружности будут иметь уравнения 
. Координаты точки 
будут такими:
Тогда угол
, будет таким:
Если
сделать очень маленьким, то в пределе мы получим:
То есть метод работает только для малых углов. Например, для
отличие полученного угла от ожидаемого не превысит 0.01.
Уже почти готовы материалы, зреют в черновиках. Главный плод, -- библиотека -- потребовал много внимания и времени.
Вот спасибо за напоминание атмосферы старого Линукса! Меня в него окунули без предупреждения в зарубежном университете, поскольку только на нём запускалась особая расчётная программа. Сначала было дико, потом много манов, много терминала. Боль. Но GNOME покорил меня и дальше понеслось само и для себя и для работы (наука, расчёты, издательская работа) . Mandrake → Knoppix → Ubuntu → AltLinux → NixOS. 20 лет, полёт нормальный! NixOS уже 8 лет работает, как часы.
Жаль, не успел поставить плюсик вашему комментарию! Благодарю за примеры, особенно, за последний с синусом суммы.
Не могу утверждать, что дам исчерпывающий ответ, но на взгляд уже празднующего Новый Год на Камчатке кажется, что эта независимость — следствие линейности, а значит, в линейных алгебраических структурах независимость трансляции от чистых "матричных" преобразований должна выполняться. По крайней мере, в проективных геометрических алгебрах (Клиффорда) это так.
В голосовалка не хватает варианта "Бросил пить кофе". Отказался, потому что очень заметной стала абстиненция при невозможности выпить чашечку в течение дня. После полной отмены реально неделю мучают головные боли, легко купируемые одним эспрессо.
Бросал в течение пяти лет три раза :), переходил на подсчёт чашек (три чашки в день, две в день..). Только полный ипринципипльный отказ помог преодолеть зависимость. Улучшился сон, прошли боли в шее после сна. Больше плюсов,наверное, не найду, потому что кофе люблю, и мимо кофеен хожу, с удовольствием принюхиваясь :)
Ирония ещё в том, что я сам владею кафе, так что чашка самого лучшего вулканического кофе из любого по желанию свежего зёрна из рук симпатичной бариста маячит передо мной каждый день :)
Я сейчас готовлю к публикации серию статей о геометрических алгебрах с картинками и с тоже выводом основных соотношений. Начну их выставлять здесь после Нового Года. Ваша алгебра, судя по всему, внешняя? Или она не относится к алгебрам Клиффорда? Спрашиваю, потому что ваши иллюстрации очень хороши!
Какие чудесные многообразия! А вы не могли бы по подробнее рассказать про ваши непростые взаимоотношения с Фробениусом и двумя (а не тремя) комплексными единицами? Чему равно произведение этих единиц? А его квадрат?
Вы правы, рекурсивное определение
gcdизящно. И двойственное ему определениеlcdтоже выглядит не плохо, но из-за необходимости знать на каждом этапе исходные числаaиb, соответствующая программа либо должна быть выражена через замыкание, (внутреннее рекурсивное определение), либо тащить исходные числа параметрами, что нарушило бы симметрию. Поэтому я оставил в примере две симметричные итеративные программы.К сожалению, поставил отрицательную оценку, хотя делаю это крайне редко. Ох! В статье, начиная с первого предложения, столько неточностей и ошибок, что даже не знаю, стоит ли их перечислять. Приведу только самые очевидные:
Хаусдорфова размерность, о которой идёт речь в статье, не характеризует ни "сложности" ни "количества параметров, необходимых для описания объекта". Проверочные вопросы: Что сложнее описать математически — вашу одномерную подпись или кривую Коха? Точка треугольника Серпинского имеет полторы координаты?
Определения и примеры, приведённые в первом разделе, относятся к топологической размерности пространств, а не объектов, вложенных в эти пространства. Это принципиально разные понятия.
Фрактальность и самоподобие разные вещи. Облака, береговые линии, странные аттракторы или канторовы множества, будучи фрактальными могут не обладать слабым самоподобием или не обладать им вовсе. Фрактальным называется объект, имеющий нецелую размерность Хаусдорфа (или Минковского или иных аналогов). Самоподобным — объект демонстрирующий идентичность формы на различных масштабах. Размерность самоподобных фрактальных объектов можно вычислить аналитически, в противном случае, только оценить и то, в разных диапазонах масштаба, размерность, скорее всего, будет разной.
Снежинка Коха не является самоафинной, а вот треугольник Серпинского, как раз является.
"Итоговая линия становится все более сложной, ее длина увеличивается с каждым шагом, но фрактальная размерность остается фиксированной и равна 1,2619." Пока не достигнут предельный объект, "снежинка" остаётся, одномерной ломаной линией, что видно на первых шагах итерации.
Приведённый график зависимости от размеров количества квадратов, покрывающих треугольник Серпинского, не показывает никакой корреляции.
...
Увы, тема фракталов превратилась в "звезду" поп-математики, благодаря красивым картинкам, которые относительно просто получить на компьютере. Многим почему-то кажется, что это простая тема для рассуждений. Но математика, которая за ними стоит, проще от этого не становится, и рассуждения о размерности требуют не только точности, но и чёткой мотивации и ответов на базовые вопросы: Зачем нужна такая характеристика? Что нового в картине мира она нам даëт? Можно ли размерность считать объективной числовой характеристикой объекта, не зависящей от способа вычисления?
С интересом слежу за серией. Долгожданная третья статья вызвала странное ощущение. Очень хочется какую-то еë часть перевести на язык теории категорий (коллектор — морфизм, истинность и ложность — предельные объекты, но в какой категории?), какую-то — на язык комбинаторного исчисления и теории разрешимости (существование алгоритма, переводящего один объект в другой), описание "доски" с ориентациями, движениями и непрерывностью вопиет о формализации в терминах топологического пространства и группах его преобразований. Притом, что во всех упомянутых языках основы очень хорошо определены, никак не получается уловить достоинства предлагаемого подхода в приведённых определениях.
Очень хочется примера формального вывода или доказательства какого-либо утверждения, чтобы почувствовать методику предлагаемой системы.
Присоединяюсь к вопросу.