Популяризация математики дело очень нужное, спасибо, что поделились опытом! Но я, всё же, поворчу. Странно на картинке для привлечения внимания к статье, которая должна привлечь внимание к математике, видеть два косяка. В левой части (про квадрат и площадь) почему-то вторая степень свалилась в строчку, а в правой (с показательной функцией) график уходит в вертикальную асимптоту на втором делении шкалы. Я понимаю, что это занудство с моей стороны, но математика -- это искусство занудства, наука о занудстве, и занудство, поставленное на службу человечеству :) Поэтому околоматематические статьи должны оформляться с особым тщанием.
Возможно, вы и правы, я не уделял много внимания этому примеру, поскольку он и не должен быть ни наглядным ни интуитивным. Хочу лишь обратить внимание на то, что объем на который проецируется сфера смещён относительно начала координат, к тому же перспективные искажения, возникающие при центральной проекции могут внести свои искажения. Наконец, намотка одномерной кривой плотная по одному азимуту, и "рыхлая" по другим. Для трёхмерной сферы это была бы семизаходная спираль, для четырёхмерной – спираль с дополнительным шагом.
А вообще, я подбирал параметры для того, чтобы получилось симпатично и необычно, а не для демонстрации свойств четырехмерных объектов. Так что, строго говоря, не сферу я показываю, а только некоторую кривую Лиссажу.
Я решил пойти в этой серии долгим путём: от внешней алгебры к алгебре с нетривиальным метрическим тензором, чтобы показать общность подходов а, главное, продемонстрировать необходимость тех или иных компонент а алгебре. В частности, в введение дополнительного инфинитезимального компонента не условность, не хитрый приëм, а способ не противоречиво дополнить внешнюю алгебру (неявно входящую в аффинную геометрическую) недостающими возможностями для построения проективной евклидовой (или неевклидовой) геометрии.
Следующая часть будет посвящена алгебрам и там уже через метрический тензор мы точно разделим weight и bulk компоненты, нормы и дополнения.
Я не могу сообразить какую-то глубокую геометрическую интерпретацию разницы между левым и правым дополнением, кроме, разве что хиральности которая появляется в пространствах четных размерностей. Но глубоко я туда не копал и могу налажать с интерпретацией. С точки зрения алгебры тут проще — в геометрических алгебрах с нетривиальной метрикой (где нет инфинитезимальных генераторов) дополнения выражаются как геометрическое произведение элемента (с реверсом) и псевдоскаляра: , . Если псевдоскаляр имеет четный ранг, то произведение генераторов с ним не коммутативно. Во внешней алгебре и в прочих алгебрах с корнями из нуля, дополнения носят более формальный характер (не сводятся к произведению с псевдоскаляром), но сохраняют симметрии, присущие этому произведению. В программной реализации знаки дополнения вычисляются комбинаторно, а не через геометрическое произведение.
Бра- и кет- векторы, равно как и векторы-столбцы и строки представляют объекты первого ранга, поэтому они могут быть дополнениями друг друга только в алгебрах третьего порядка. В более общем смысле они переходят друг в друга под действием клиффордова сопряжения (о котором я пока не писал), не меняющего ранг элемента. Но главное отличие между формализмом бра- и кет- векторов и алгебрами Клиффорда состоит в том, что бра-векторы это не векторы, а функционалы, то есть, элементы сопряженного постранства. С точки зрения программиста, это замыкание каррированной операции скалярного произведения.
В приведённом вами случае, двойственность точек и прямых это свойство геометрии, то есть, как вы выразились, языка. В проективном пространстве PR³ точкам будут двойственны плоскости, а на "проективной прямой" PR¹ точкам двойственны точки. Я как-то писал о двойственности в более широком контексте, но в менее техничном духе.
Философский вопрос.. Я бы сказал, что это свойство языка выражать двойственность, как отношение между объектами. Объект сам по себе не может быть двойственным.
С трансцендентными функциями, действительно, много возни, особых случаев, разных подходов. Это оказалось целой темой исследований. В результате получилась комбинация спец случаев, аппроксимаций Паде, рядов Тэйлора и метода Ньютона :)
Спасибо, что поделились своими наработками! Отличная библиотека. Я, в конце-концов, пришёл к аналогу динамической типизации, которая позволяет единообразно описывать любую геометрическую алгебру. Но главного принципа: непредставимости некорректных данных мне добиться пока не удалось.
Зачем это на Хабре? Какой-то отчаянный взбульк потребителя, для, которого всё услуга, даже его собственная работа. Напоминает анекдот про найденный кошелёк в котором чкть-чутьтне хватает.
Спасибо за вопросы, они позволяют дополнить статью методологическими рассуждениями.
Если коротко, то модель моделирует не пожары в лесу, а простейшую систему, демонстрирующую явление самоорганизующейся критичности.
При выборе модели, которая должна выявить или продемонстрировать какое-то универсальное явление или процесс, имеет смысл рассматривать минимальную модель (нормальную форму, универсальный объект и т. п.) которая уже способна на искомое поведение. Условно говоря, если для наблюдения какого-то эффекта достаточно линейной или квадратичной модели, то добавление дополнительных нелинейностей только добавит ограничений на её использование, но не внесёт ничего принципиально нового. Однако во всех более сложных и приближённых к реальности системах, имеющим в качестве подсистемы минимальную модель, ожидаемый эффект, если будет наблюдаться, будет объяснëн и может быть предсказан. Ещё раз подчеркну, что речь идёт об универсальном явлении, таком, например, как бифуркации, СОК или эмерджентность.
Целью представленного мини-исследования была демонстрация базовых свойств самоорганизующейся критичности (розовый шум, пуассоновский характер потока катастрофических событий, роль интенсивности триггеров (молний) и т. д). Примитивный клеточный автомат не только продемонстрировал эти свойства, но и обнаружил свойства универсальности (распределения с максимальной энтропией). СОК интересен тем, что наблюдается в очень широком разнообразии систем, содержащих в себе ту или иную форму рассмотренного клеточного автомата (или ещё более примитивную модель песчаной кучи).
При этом рассмотренная модель лесных пожаров не имеет непосредственного отношения к лесным пожарам, также как абелева песчаная куча достаточно слабо соотносится с реальной кучей песка (поэтому я иронично назвал это имитацией моделирования). Если бы целью были именно пожары, эпидемии, обвалы, импульсы в мозгу или электоральные фазовые переходы, то нужно было бы куда внимательнее разрабатывать автомат, граф связности клеток, вопросы регулярности решëтки и прочие важные детали, о которых вы говорите.
Я проводил эксперименты с гексагональной решеткой. Поскольку метрика пространства не играет существенной роли в эффекте СОК, то статистические и спектральные свойства системы не изменились. Введение более сложной кластеризации (образование рощиц или кустов) может внести некоторые отклонения от наиболее простых распределений и картины спектральной плотности, но объясняться эти отклонения будут не явлением СОК, а внесёнными нами усложнениями модели.
Благодарю за хорошую статью! Ею вы побудили меня довести до публикации черновик с рассказом о самоорганизующейся критичности в котором анализируется такая же модель лесных пожаров, но уже с позиций теории динамических систем.
Построим аккуратный чертёж (точка C подвижная). Сразу видно, что три вспомогательные окружности, построенные по методу автора заметки, не делят дугу на три части. Давайте всё же проведём анализ, для полноты картины.
В основе метода лежит пропорциональность отрезков и . На чертеже , но мы будем анализировать общий случай: , где
Для угла радиус вписанной окружности , проходящей через точку выражается через синус: . Построим окружность с центром в точке c радиусом , и окружность с радиусом с центром в точке . Точка пересечения этих окружностей является центром первой из вспомогательных окружностей. На рисунке .
Если точку поместить в начало координат, а отрезок сделать единичным, то окружности будут иметь уравнения . Координаты точки будут такими:
Тогда угол , будет таким:
Если сделать очень маленьким, то в пределе мы получим:
То есть метод работает только для малых углов. Например, для отличие полученного угла от ожидаемого не превысит 0.01.
Вот спасибо за напоминание атмосферы старого Линукса! Меня в него окунули без предупреждения в зарубежном университете, поскольку только на нём запускалась особая расчётная программа. Сначала было дико, потом много манов, много терминала. Боль. Но GNOME покорил меня и дальше понеслось само и для себя и для работы (наука, расчёты, издательская работа) . Mandrake → Knoppix → Ubuntu → AltLinux → NixOS. 20 лет, полёт нормальный! NixOS уже 8 лет работает, как часы.
Не могу утверждать, что дам исчерпывающий ответ, но на взгляд уже празднующего Новый Год на Камчатке кажется, что эта независимость — следствие линейности, а значит, в линейных алгебраических структурах независимость трансляции от чистых "матричных" преобразований должна выполняться. По крайней мере, в проективных геометрических алгебрах (Клиффорда) это так.
В голосовалка не хватает варианта "Бросил пить кофе". Отказался, потому что очень заметной стала абстиненция при невозможности выпить чашечку в течение дня. После полной отмены реально неделю мучают головные боли, легко купируемые одним эспрессо.
Бросал в течение пяти лет три раза :), переходил на подсчёт чашек (три чашки в день, две в день..). Только полный ипринципипльный отказ помог преодолеть зависимость. Улучшился сон, прошли боли в шее после сна. Больше плюсов,наверное, не найду, потому что кофе люблю, и мимо кофеен хожу, с удовольствием принюхиваясь :)
Ирония ещё в том, что я сам владею кафе, так что чашка самого лучшего вулканического кофе из любого по желанию свежего зёрна из рук симпатичной бариста маячит передо мной каждый день :)
Я сейчас готовлю к публикации серию статей о геометрических алгебрах с картинками и с тоже выводом основных соотношений. Начну их выставлять здесь после Нового Года. Ваша алгебра, судя по всему, внешняя? Или она не относится к алгебрам Клиффорда? Спрашиваю, потому что ваши иллюстрации очень хороши!
Популяризация математики дело очень нужное, спасибо, что поделились опытом! Но я, всё же, поворчу. Странно на картинке для привлечения внимания к статье, которая должна привлечь внимание к математике, видеть два косяка. В левой части (про квадрат и площадь) почему-то вторая степень свалилась в строчку, а в правой (с показательной функцией) график уходит в вертикальную асимптоту на втором делении шкалы. Я понимаю, что это занудство с моей стороны, но математика -- это искусство занудства, наука о занудстве, и занудство, поставленное на службу человечеству :) Поэтому околоматематические статьи должны оформляться с особым тщанием.
Возможно, вы и правы, я не уделял много внимания этому примеру, поскольку он и не должен быть ни наглядным ни интуитивным. Хочу лишь обратить внимание на то, что объем на который проецируется сфера смещён относительно начала координат, к тому же перспективные искажения, возникающие при центральной проекции могут внести свои искажения. Наконец, намотка одномерной кривой плотная по одному азимуту, и "рыхлая" по другим. Для трёхмерной сферы это была бы семизаходная спираль, для четырёхмерной – спираль с дополнительным шагом.
А вообще, я подбирал параметры для того, чтобы получилось симпатично и необычно, а не для демонстрации свойств четырехмерных объектов. Так что, строго говоря, не сферу я показываю, а только некоторую кривую Лиссажу.
Отличные замечания!
Я решил пойти в этой серии долгим путём: от внешней алгебры к алгебре с нетривиальным метрическим тензором, чтобы показать общность подходов а, главное, продемонстрировать необходимость тех или иных компонент а алгебре. В частности, в
введение дополнительного инфинитезимального компонента не условность, не хитрый приëм, а способ не противоречиво дополнить внешнюю алгебру (неявно входящую в аффинную геометрическую) недостающими возможностями для построения проективной евклидовой (или неевклидовой) геометрии.
Следующая часть будет посвящена алгебрам
и там уже через метрический тензор мы точно разделим weight и bulk компоненты, нормы и дополнения.
Я не могу сообразить какую-то глубокую геометрическую интерпретацию разницы между левым и правым дополнением, кроме, разве что хиральности которая появляется в пространствах четных размерностей. Но глубоко я туда не копал и могу налажать с интерпретацией.
, 
. Если псевдоскаляр имеет четный ранг, то произведение генераторов с ним не коммутативно. Во внешней алгебре и в прочих алгебрах с корнями из нуля, дополнения носят более формальный характер (не сводятся к произведению с псевдоскаляром), но сохраняют симметрии, присущие этому произведению. В программной реализации знаки дополнения вычисляются комбинаторно, а не через геометрическое произведение.
С точки зрения алгебры тут проще — в геометрических алгебрах с нетривиальной метрикой (где нет инфинитезимальных генераторов) дополнения выражаются как геометрическое произведение элемента (с реверсом) и псевдоскаляра:
Бра- и кет- векторы, равно как и векторы-столбцы и строки представляют объекты первого ранга, поэтому они могут быть дополнениями друг друга только в алгебрах третьего порядка. В более общем смысле они переходят друг в друга под действием клиффордова сопряжения (о котором я пока не писал), не меняющего ранг элемента. Но главное отличие между формализмом бра- и кет- векторов и алгебрами Клиффорда состоит в том, что бра-векторы это не векторы, а функционалы, то есть, элементы сопряженного постранства. С точки зрения программиста, это замыкание каррированной операции скалярного произведения.
В приведённом вами случае, двойственность точек и прямых это свойство геометрии, то есть, как вы выразились, языка. В проективном пространстве PR³ точкам будут двойственны плоскости, а на "проективной прямой" PR¹ точкам двойственны точки. Я как-то писал о двойственности в более широком контексте, но в менее техничном духе.
Философский вопрос.. Я бы сказал, что это свойство языка выражать двойственность, как отношение между объектами. Объект сам по себе не может быть двойственным.
Впрочем, возможно, я не понял вашего вопроса.
С трансцендентными функциями, действительно, много возни, особых случаев, разных подходов. Это оказалось целой темой исследований. В результате получилась комбинация спец случаев, аппроксимаций Паде, рядов Тэйлора и метода Ньютона :)
Спасибо, что поделились своими наработками! Отличная библиотека. Я, в конце-концов, пришёл к аналогу динамической типизации, которая позволяет единообразно описывать любую геометрическую алгебру. Но главного принципа: непредставимости некорректных данных мне добиться пока не удалось.
Зачем это на Хабре? Какой-то отчаянный взбульк потребителя, для, которого всё услуга, даже его собственная работа. Напоминает анекдот про найденный кошелёк в котором чкть-чутьтне хватает.
Совершенно верно!
Спасибо за вопросы, они позволяют дополнить статью методологическими рассуждениями.
Если коротко, то модель моделирует не пожары в лесу, а простейшую систему, демонстрирующую явление самоорганизующейся критичности.
При выборе модели, которая должна выявить или продемонстрировать какое-то универсальное явление или процесс, имеет смысл рассматривать минимальную модель (нормальную форму, универсальный объект и т. п.) которая уже способна на искомое поведение. Условно говоря, если для наблюдения какого-то эффекта достаточно линейной или квадратичной модели, то добавление дополнительных нелинейностей только добавит ограничений на её использование, но не внесёт ничего принципиально нового. Однако во всех более сложных и приближённых к реальности системах, имеющим в качестве подсистемы минимальную модель, ожидаемый эффект, если будет наблюдаться, будет объяснëн и может быть предсказан. Ещё раз подчеркну, что речь идёт об универсальном явлении, таком, например, как бифуркации, СОК или эмерджентность.
Целью представленного мини-исследования была демонстрация базовых свойств самоорганизующейся критичности (розовый шум, пуассоновский характер потока катастрофических событий, роль интенсивности триггеров (молний) и т. д). Примитивный клеточный автомат не только продемонстрировал эти свойства, но и обнаружил свойства универсальности (распределения с максимальной энтропией). СОК интересен тем, что наблюдается в очень широком разнообразии систем, содержащих в себе ту или иную форму рассмотренного клеточного автомата (или ещё более примитивную модель песчаной кучи).
При этом рассмотренная модель лесных пожаров не имеет непосредственного отношения к лесным пожарам, также как абелева песчаная куча достаточно слабо соотносится с реальной кучей песка (поэтому я иронично назвал это имитацией моделирования). Если бы целью были именно пожары, эпидемии, обвалы, импульсы в мозгу или электоральные фазовые переходы, то нужно было бы куда внимательнее разрабатывать автомат, граф связности клеток, вопросы регулярности решëтки и прочие важные детали, о которых вы говорите.
Я проводил эксперименты с гексагональной решеткой. Поскольку метрика пространства не играет существенной роли в эффекте СОК, то статистические и спектральные свойства системы не изменились. Введение более сложной кластеризации (образование рощиц или кустов) может внести некоторые отклонения от наиболее простых распределений и картины спектральной плотности, но объясняться эти отклонения будут не явлением СОК, а внесёнными нами усложнениями модели.
Благодарю за хорошую статью! Ею вы побудили меня довести до публикации черновик с рассказом о самоорганизующейся критичности в котором анализируется такая же модель лесных пожаров, но уже с позиций теории динамических систем.
Построим аккуратный чертёж (точка C подвижная). Сразу видно, что три вспомогательные окружности, построенные по методу автора заметки, не делят дугу
на три части. Давайте всё же проведём анализ, для полноты картины.
В основе метода лежит пропорциональность отрезков
и 
. На чертеже 
, но мы будем анализировать общий случай: 
, где 
Для угла
радиус вписанной окружности 
, проходящей через точку 
выражается через синус: 
. Построим окружность 
с центром в точке 
c радиусом 
, и окружность 
с радиусом 
с центром в точке 
. Точка пересечения этих окружностей 
является центром первой из 
вспомогательных окружностей. На рисунке 
.
Если точку
поместить в начало координат, а отрезок 
сделать единичным, то окружности будут иметь уравнения 
. Координаты точки 
будут такими:
Тогда угол
, будет таким:
Если
сделать очень маленьким, то в пределе мы получим:
То есть метод работает только для малых углов. Например, для
отличие полученного угла от ожидаемого не превысит 0.01.
Уже почти готовы материалы, зреют в черновиках. Главный плод, -- библиотека -- потребовал много внимания и времени.
Вот спасибо за напоминание атмосферы старого Линукса! Меня в него окунули без предупреждения в зарубежном университете, поскольку только на нём запускалась особая расчётная программа. Сначала было дико, потом много манов, много терминала. Боль. Но GNOME покорил меня и дальше понеслось само и для себя и для работы (наука, расчёты, издательская работа) . Mandrake → Knoppix → Ubuntu → AltLinux → NixOS. 20 лет, полёт нормальный! NixOS уже 8 лет работает, как часы.
Жаль, не успел поставить плюсик вашему комментарию! Благодарю за примеры, особенно, за последний с синусом суммы.
Не могу утверждать, что дам исчерпывающий ответ, но на взгляд уже празднующего Новый Год на Камчатке кажется, что эта независимость — следствие линейности, а значит, в линейных алгебраических структурах независимость трансляции от чистых "матричных" преобразований должна выполняться. По крайней мере, в проективных геометрических алгебрах (Клиффорда) это так.
В голосовалка не хватает варианта "Бросил пить кофе". Отказался, потому что очень заметной стала абстиненция при невозможности выпить чашечку в течение дня. После полной отмены реально неделю мучают головные боли, легко купируемые одним эспрессо.
Бросал в течение пяти лет три раза :), переходил на подсчёт чашек (три чашки в день, две в день..). Только полный ипринципипльный отказ помог преодолеть зависимость. Улучшился сон, прошли боли в шее после сна. Больше плюсов,наверное, не найду, потому что кофе люблю, и мимо кофеен хожу, с удовольствием принюхиваясь :)
Ирония ещё в том, что я сам владею кафе, так что чашка самого лучшего вулканического кофе из любого по желанию свежего зёрна из рук симпатичной бариста маячит передо мной каждый день :)
Я сейчас готовлю к публикации серию статей о геометрических алгебрах с картинками и с тоже выводом основных соотношений. Начну их выставлять здесь после Нового Года. Ваша алгебра, судя по всему, внешняя? Или она не относится к алгебрам Клиффорда? Спрашиваю, потому что ваши иллюстрации очень хороши!