Измерение уровня жидкости в топливном баке ракеты



    Введение


    Топливо из резервуара окислителя и резервуара горючего поступает в камеру сгорания ракетного двигателя. Синхронная подача топлива в заданной пропорции обеспечивает эффективную работу ракетного двигателя.

    Эффективная работа зависит от точного измерения уровня топлива в баке. Для этой цели топливный бак имеет систему управления топливом. Система представляет собой вертикальный измерительный канал с датчиками внутри канала для фиксации свободного уровня жидкости в канале [1]:


    Рисунок. Схема топливного бака. 1- резервуар, 2- топливо, 3- измерительный канал, Po — давление газа, — уровень жидкости в канале, H — уровень жидкости в баке, r,x — координатные оси.

    Вертикальный канал и топливный бак являются сообщающими сосудами. При снижении уровня топлива в баке, уменьшается и уровень топлива в измерительном канале. Когда уровень топлива в канале достигает датчика, происходит активация датчика. Сигнал поступает в систему управления топливом.

    В результате расхода топлива его уровень в баке меняется. Таким образом, уровень топлива в канале должен определять уровень топлива в баке. Проблемы две. Первая методическая состоит в том, что свободная поверхность топлива в баке не совпадает с поверхностью топлива в канале.

    Вторая проблема в колебаниях уровня при изменении ускорений ракеты в полёте, что приводит к ложным срабатываниям датчиков и, как следствие, к погрешностям измерения.

    Ошибка измерения уровня топлива приводит к неэффективному расходу топлива. В результате ракетный двигатель работает не оптимально, а в танках может оставаться «лишнее» количество топлива.

    Далее рассмотрим, как можно определить методическую погрешность от первой проблемы и уменьшить погрешность измерения от второй.

    Чтобы не отправлять читателя по ссылке [1], приведу здесь вывод дифференциального уравнения движения жидкости в измерительном канале, заодно исправив математические и грамматические ошибки.

    Во время полёта t уровень жидкости H в топливном баке изменяется согласно соотношения:

    (1)

    где: –начальный уровень топлива в баке; V– скорость изменения уровня топлива.

    При введенной системе координат (смотри рисунок), уравнение для нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в измерительном канале будет иметь вид:

    (2)

    При граничных и начальных условиях.

    где: u(r,t) — скорость жидкости в канале; p — давление; ρ — плотность; время — t; v — кинематическая вязкость; g- ускорение силы тяжести.

    Получим соотношение для средней скорости в измерительном канале:

    Умножая левую и правую части уравнения (2) на r, запишем отдельные члены уравнения движения:

    (3)

    где: трение; трение стенки; динамическая вязкость; R- радиус цилиндрического канала.

    Используем уравнения (3) и записываем уравнение (2) в виде (скошенные скобки со средней скоростью в дальнейшем опущены):



    или

    (4)

    Выберем в цилиндрическом канале объем жидкости двумя поперечными сечениями на расстоянии . Запишем для выбранного объёма баланс давления и трения: , получаем соотношение:

    (5)

    Используем уравнение Дарси-Вейсбаха объединив его с (5) получим:, отсюда соотношение для трения жидкости о стенки измерительного канала примет вид:

    (6)

    где λ– коэффициент гидравлического трения.

    Подставим (6) в уравнение (4) и получим следующее выражение:

    (7)

    Рассчитаем градиент давления при следующих условиях: давление линейно уменьшается от давления наддува над свободной поверхностью топлива до давления . Градиент давления с учётом (1) будет равен:

    (8)

    Подставив (8) в соотношение (7), получим окончательное дифференциальное уравнение для уровня жидкости в измерительном канале:

    (9)

    С начальными условиями Коши, вида:

    (10)

    Решим дифференциальное уравнения (9) с начальными условиями (10)[2].

    Рассмотрим условия измерения уровня жидкости в топливных баках ракеты с целью выбора метода обработки измерительной информации, используя решение уравнения (9)


    а) Измерение уровня в условиях отсутствия шумов в измерительном канале и колебаний топлива. Зависимость результатов измерения уровня от времени полёта ракеты определяется с использованием следующей программы:

    # -*- coding: utf8 -*-    
    import numpy as np
    from scipy.integrate import odeint
    import matplotlib.pyplot as plt 
    R=0.0195 # радиус измерительного канала в м
    H=8.2# начальный уровень в топливном баке, в м
    g=9.8# ускорение свободного падения в м/с2
    L=4.83*10**-2# коэффициент гидравлического трения
    V=0.039# средняя скорость изменения уровня жидкости в м/с
    def f(y,t):
             y1,y2=y
             return [y2,-g+(g*(H-V*t)/y1)+((L/(4*R))*y2**2)] 
    t = np.arange(0,10,0.01)
    y0=[H,0]
    [y1,y2]=odeint(f,y0,t,full_output=False).T
    plt.title('Измерение уровня топлива при отсутствии помех')  
    plt.ylabel('H,m')
    plt.xlabel('t,s')  
    plt.plot(t,y1,"b",linewidth=2,label='Уровень топлива в измерительном канале ')
    y=H-V*t
    plt.plot(t,y,"--r",linewidth=2,label='Действительный уровень топлива в баке')
    plt.grid(True)
    plt.legend(loc='best')
    plt.show()


    Это кажущееся решение первой проблемы (за счёт градуировки) при отставании уровня в измерительном канале от уровня в баке. Поскольку в реальных условиях эксплуатации колебания уровня и шумы датчиков вносят существенную погрешность в измерение.

    б) Измерение уровня в условиях нормально распределённых случайных колебаний и шумов с дисперсией 0.1. Зависимость результатов измерения уровня от времени полёта ракеты определяется с использованием следующей программы:

    # -*- coding: utf8 -*-    
    import numpy as np
    from scipy.integrate import odeint
    import matplotlib.pyplot as plt 
    R=0.0195 # радиус измерительного канала в м
    H=8.2# начальный уровень в топливном баке, в м
    g=9.8# ускорение свободного падения в м/с2
    L=4.83*10**-2# коэффициент гидравлического трения
    V=0.039# средняя скорость изменения  уровня  жидкости в м/с
    def f(y,t):
             y1,y2=y
             return [y2,-g+(g*(H-V*t)/y1)+((L/(4*R))*y2**2)] 
    t = np.arange(0,10,0.01)
    y0=[H,0]
    [y1,y2]=odeint(f,y0,t,full_output=False).T
    y1= np.array([np.random.normal(x,0.1) for x in y1])#наложение шума на результат измерений
    plt.title('Измерение уровня в условиях нормально распределённых случайных \n колебаний и шумов с дисперсией 0.1')  
    plt.ylabel('H,m')
    plt.xlabel('t,s')  
    plt.plot(t,y1,"b",linewidth=2,label='Уровень топлива в измерительном канале ')
    y=H-V*t
    plt.plot(t,y,"--r",linewidth=2,label='Действительный уровень топлива в баке')
    plt.grid(True)
    plt.legend(loc='best')
    plt.show()


    Приведенный результат подтверждает вывод о том, что измерение уровня в таких условиях с приемлемой погрешностью в несколько процентов от диапазона невозможно.

    г) Измерение уровня в условиях нормально распределённых случайных колебаний и шумов с дисперсией 0.1 с использованием фильтра Калмана. Зависимость результатов измерения уровня от времени полёта ракеты определяется с использованием следующей программы:

    
    # -*- coding: utf8 -*-    
    from scipy.integrate import odeint
    import matplotlib.pyplot as plt
    from numpy import*
    from pykalman import KalmanFilter
    R=0.0195
    H=8.2
    g=9.8
    L=4.83*10**-2
    V=0.039
    def f(y,t):
             y1,y2=y
             return [y2,-g+(g*(H-V*t)/y1)+((L/(4*R))*y2**2)] 
    t = arange(0,10,0.01)
    y0=[H,0]
    [y1,y2]=odeint(f,y0,t,full_output=False).T
    y=array(H-V*t)#действительный уровень топлива
    measurements = array([random.normal(x,0.1) for x in y1])
    kf = KalmanFilter(transition_matrices=[1] ,#матрица перехода
                      observation_matrices=[1],#матрица наблюдения
                      initial_state_mean=measurements[0],#среднее начальное состояние
                      initial_state_covariance=1,#ковариация начального состояния
                      observation_covariance=1,#ковариантность наблюдения
                      transition_covariance= 0.001) # ковариантность перехода
    state_means, state_covariances = kf.filter(measurements)#среднее  начальное, начальная ковариация
    state_std = sqrt(state_covariances[:,0])
    plt.figure()
    plt.title('Измерение уровня топлива с использованием фильтра Калмана')  
    plt.ylabel('H,m')
    plt.xlabel('t,s') 
    plt.plot(measurements, '-r', label='измерение уровня топлива')
    plt.plot(state_means, '-g', label='kalman-выход фильтра')
    plt.plot(y, '-k', label='действительный уровень топлива')
    plt.legend(loc='best')
    plt.figure()
    measurement_std = [std(measurements[:i]) for i in  arange(1,len(measurements),1)]
    plt.plot(measurement_std, '-r', label='measurment std')
    plt.plot(state_std, '-g', label='kalman-filter output std')
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.show()


    Как видно из графика, фильтр отсеял случайные составляющие и усреднил значения. Однако, фильтр Калмана «ещё умнее» и, при определенной настройке, может даже снизить методическую погрешность:



    Выводы


    Измерение уровня жидкости в топливных баках ракеты в условиях нормально распределённых случайных колебаний уровня и шумов датчиков с дисперсией 0.1 возможно только с использованием фильтра Калмана.

    Ссылки


    1. Измерение уровня жидкости в топливном баке ракеты.
    2. Подвесные топливные баки для самолётов.
    Поделиться публикацией

    Похожие публикации

    Комментарии 6
      0

      Что-то не могу понять, как вы для вашей нелинейной системы сформировали матрицу переходов. У вас фильтр Калмана линейный получается, что ли?

        0
        А я думал там ультразвуковой объемный датчик
          0
          Как-то совсем не написано каким способом измеряется уровень топлива в канале?
          Обязательно ли знать уровень топлива в баке, если можно учитывать поток в ТНА?
            0
            насколько я помню — там оптимизируется расход так, чтобы к концу оба компонента израсходовать под ноль
            0
            А почем не используется счетчик на топливопровод? Как в самолетах?
              0
              g=9.8

              Вы ещё забыли, что ракета не на уровне поверхности Земли летит всё время, а, как правило, вверх. Так что и g у Вас должно быть не константой, а функцией от высоты.

              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

              Самое читаемое