Мы, вслед за Гауссом, признаем «царский» статус математики, а учитывая, что в нашей компании есть центр компетенции «Алгоритмическое обеспечение», у нас частенько появляются интересные материалы на эту тему: то наши коллеги пишут свои, авторские статьи, то, изучая, что интересного происходит у зарубежных коллег, готовят краткие обзоры и переводы сторонних статей. Вероятно это будет полезно тем, кто разделяет наши интересы, поэтому мы решили этими материалами и знаниями делиться.
В математике часто случается, что именно простейшие вещи, вроде бы известные всем и каждому, как например, рациональные числа, понять невероятно сложно. Так например, поиском рациональных решений диофантовых уравнений математики занимаются несколько сотен лет. Приблизиться к решению тысячелетней задачи помогли идеи, позаимствованные из физики. Представляем статью, опубликованную в Quanta Magazine, с нашим частичным переводом и кратким обзором.
Минхён Ким, математик из Оксфордского университета, пытается выяснить, какие рациональные числа позволяют решать определенные типы диофантовых уравнений. Этой математической задаче, по общим оценкам, около 3000 лет. Поскольку рациональные решения не подчиняются геометрическим паттернам, это действительно сложная задача. Настолько сложная, что Герд Фальтингс в 1986 году получил Филдсовскую премию лишь за доказательство того, что некоторые классы диофантовых уравнений имеют конечное количество рациональных решений. Сами математики называют прорыв Фальтингса «неэффективным доказательством», поскольку оно не называет точного количества рациональных решений и не позволяет их идентифицировать.
Ким пытается рассмотреть рациональные числа в расширенном числовом контексте, в котором начинают проявляться скрытые паттерны. Такой контекст Ким сумел обнаружить в физике: по словам математика, рациональные решения имеют много общего с траекторией света. Ким долго сомневался в своей правоте и в том, что его работа сможет убедить других ученых и лишь недавно он все же решил представить свою идею широкой публике. Как считает сам Ким, в течение ближайших 15 лет теория чисел станет гораздо теснее переплетаться с физикой.
Кевин Хартнетт, автор статьи, опубликованной в Quanta, пишет:
«Математики часто говорят, что чем симметричнее объект, тем проще его изучать. С учетом этого им хотелось бы поместить изучение диофантовых уравнений в более симметричный контекст, чем тот, в котором проблема появляется обычно. Если это удастся сделать, можно было бы использовать обнаруженную симметрию для поиска необходимых рациональных точек.
Наборы чисел также могут быть симметричными, и чем симметричнее набор чисел, тем проще его понять: можно применять симметричные отношения для вычисления неизвестных значений. Числа, обладающие определенным видом симметричных отношений, формируют «группу», и можно использовать свойства группы для понимания всех чисел, входящих в нее. Но набор рациональных решений уравнения не имеет симметрии и не формирует группу, что оставляет математиков наедине с невозможной задачей, попыткой найти все решения по одному.
С 1940-х годов математики начали исследовать способы помещения диофантовых уравнений в более симметричные контексты. Клод Чабати обнаружил, что внутри более крупного геометрического пространства, которое он построил при помощи p-адических чисел, рациональные числа формируют собственное симметричное подпространство. Он объединил это подпространство с графом диофантовых уравнений: их точки пересечения соответствуют рациональным решениям уравнения.
В 1980-х Роберт Коулман дополнил работу Чабати. В течение нескольких десятилетий после этого подход Коулмана-Чабати был лучшим инструментом для поиска рациональных решений диофантовых уравнений. Однако он работает, только когда граф уравнений находится в определенной пропорции по отношению к более крупному пространству. Когда эта пропорция не соответствует требованиям, поиск точных точек, в которых кривая уравнения пересекается с рациональными числами, усложняется.
Ким, чтобы расширить работу Чабати, хотел найти еще более крупное пространство, в которое можно было бы поместить диофантовы уравнения».
И здесь Ким предлагает использовать аналог физических понятий «пространство-время», «пространства пространств»:
«Чтобы понять почему, рассмотрим луч света. Физики считают, что свет двигается через многомерное пространство полей. В этом пространстве свет будет двигаться по пути, который соответствует принципу «наименьшего действия», то есть по пути, минимизирующему время, необходимое для перемещения из точки А в точку В. Этот принцип объясняет, почему свет преломляется при переходе из одной среды в другую: изогнутый путь минимизирует затраченное время. Такие более крупные пространства пространств, встречающиеся в физике, обладают дополнительными симметриями, которые отсутствуют во всех пространствах, которые они представляют. Эти симметрии привлекают внимание к определенным точкам, подчеркивая, например, минимизирующий время путь. Построенные другим образом или в другом контексте эти же симметрии могут подчеркивать другие точки, например, точки, соответствующие рациональным решениям уравнений.
В теории чисел есть нечто похожее на пространство-время. Это нечто также предлагает различные способы формирования путей и построения пространства всех возможных путей. Ким разрабатывает схему, в которой проблемы поиска траектории света и поиска рациональных решений диофантовых уравнений являются гранями одной проблемы.
Решения диофантовых уравнений формируют пространства, кривые, которые задаются уравнениями. Эти кривые могут быть одномерными, как круг, или многомерными. Например, если построить график комплексных решений диофантового уравнения x4+y4=1, получится тор с тремя отверстиями. Рациональные точки этого тора не обладают геометрической структурой, это и делает их поиск сложной задачей, но они могут соответствовать точкам в более многомерном пространстве пространств, которое уже будет обладать определенной структурой».
Источник
В математике часто случается, что именно простейшие вещи, вроде бы известные всем и каждому, как например, рациональные числа, понять невероятно сложно. Так например, поиском рациональных решений диофантовых уравнений математики занимаются несколько сотен лет. Приблизиться к решению тысячелетней задачи помогли идеи, позаимствованные из физики. Представляем статью, опубликованную в Quanta Magazine, с нашим частичным переводом и кратким обзором.
Минхён Ким, математик из Оксфордского университета, пытается выяснить, какие рациональные числа позволяют решать определенные типы диофантовых уравнений. Этой математической задаче, по общим оценкам, около 3000 лет. Поскольку рациональные решения не подчиняются геометрическим паттернам, это действительно сложная задача. Настолько сложная, что Герд Фальтингс в 1986 году получил Филдсовскую премию лишь за доказательство того, что некоторые классы диофантовых уравнений имеют конечное количество рациональных решений. Сами математики называют прорыв Фальтингса «неэффективным доказательством», поскольку оно не называет точного количества рациональных решений и не позволяет их идентифицировать.
Ким пытается рассмотреть рациональные числа в расширенном числовом контексте, в котором начинают проявляться скрытые паттерны. Такой контекст Ким сумел обнаружить в физике: по словам математика, рациональные решения имеют много общего с траекторией света. Ким долго сомневался в своей правоте и в том, что его работа сможет убедить других ученых и лишь недавно он все же решил представить свою идею широкой публике. Как считает сам Ким, в течение ближайших 15 лет теория чисел станет гораздо теснее переплетаться с физикой.
Кевин Хартнетт, автор статьи, опубликованной в Quanta, пишет:
«Математики часто говорят, что чем симметричнее объект, тем проще его изучать. С учетом этого им хотелось бы поместить изучение диофантовых уравнений в более симметричный контекст, чем тот, в котором проблема появляется обычно. Если это удастся сделать, можно было бы использовать обнаруженную симметрию для поиска необходимых рациональных точек.
Наборы чисел также могут быть симметричными, и чем симметричнее набор чисел, тем проще его понять: можно применять симметричные отношения для вычисления неизвестных значений. Числа, обладающие определенным видом симметричных отношений, формируют «группу», и можно использовать свойства группы для понимания всех чисел, входящих в нее. Но набор рациональных решений уравнения не имеет симметрии и не формирует группу, что оставляет математиков наедине с невозможной задачей, попыткой найти все решения по одному.
С 1940-х годов математики начали исследовать способы помещения диофантовых уравнений в более симметричные контексты. Клод Чабати обнаружил, что внутри более крупного геометрического пространства, которое он построил при помощи p-адических чисел, рациональные числа формируют собственное симметричное подпространство. Он объединил это подпространство с графом диофантовых уравнений: их точки пересечения соответствуют рациональным решениям уравнения.
В 1980-х Роберт Коулман дополнил работу Чабати. В течение нескольких десятилетий после этого подход Коулмана-Чабати был лучшим инструментом для поиска рациональных решений диофантовых уравнений. Однако он работает, только когда граф уравнений находится в определенной пропорции по отношению к более крупному пространству. Когда эта пропорция не соответствует требованиям, поиск точных точек, в которых кривая уравнения пересекается с рациональными числами, усложняется.
Ким, чтобы расширить работу Чабати, хотел найти еще более крупное пространство, в которое можно было бы поместить диофантовы уравнения».
И здесь Ким предлагает использовать аналог физических понятий «пространство-время», «пространства пространств»:
«Чтобы понять почему, рассмотрим луч света. Физики считают, что свет двигается через многомерное пространство полей. В этом пространстве свет будет двигаться по пути, который соответствует принципу «наименьшего действия», то есть по пути, минимизирующему время, необходимое для перемещения из точки А в точку В. Этот принцип объясняет, почему свет преломляется при переходе из одной среды в другую: изогнутый путь минимизирует затраченное время. Такие более крупные пространства пространств, встречающиеся в физике, обладают дополнительными симметриями, которые отсутствуют во всех пространствах, которые они представляют. Эти симметрии привлекают внимание к определенным точкам, подчеркивая, например, минимизирующий время путь. Построенные другим образом или в другом контексте эти же симметрии могут подчеркивать другие точки, например, точки, соответствующие рациональным решениям уравнений.
В теории чисел есть нечто похожее на пространство-время. Это нечто также предлагает различные способы формирования путей и построения пространства всех возможных путей. Ким разрабатывает схему, в которой проблемы поиска траектории света и поиска рациональных решений диофантовых уравнений являются гранями одной проблемы.
Решения диофантовых уравнений формируют пространства, кривые, которые задаются уравнениями. Эти кривые могут быть одномерными, как круг, или многомерными. Например, если построить график комплексных решений диофантового уравнения x4+y4=1, получится тор с тремя отверстиями. Рациональные точки этого тора не обладают геометрической структурой, это и делает их поиск сложной задачей, но они могут соответствовать точкам в более многомерном пространстве пространств, которое уже будет обладать определенной структурой».
Источник
