Мне всегда нравились стрелочные часы. Я пробовал носить цифровые, так и не смог привыкнуть к часам в трее винды — для моего мозга это означает дополнительное цифро-аналоговое преобразование, поэтому вместо них у меня крутится Analog Clock.
Однажды в одной занимательной книжке я прочел условие задачи, в которой говорилось, что если поменять местами минутную и часовую стрелки, то получится абракадабра в большинстве случаев. Но есть такие состояния стрелок, когда их обращение приводит к реальному результату, тривиальное решение в данном случае — это полдень или полночь. А какие еще есть "временные пары" на циферблате? Тут я закрыл задачник и приступил к решению.

Легко узнать, что за минуту минутная стрелка проходит 6°, а часовая — 0,1°.
Пусть время на одних часах — x секунд, а на других — y секунд. Тогда для первых часов x/120 — это угол, который проходит часовая стрелка, а x/10 — это угол, который проходит минутная стрелка за время x. Но так как минутная стрелка за то же время делает столько полных оборотов, сколько прошло целых часов, то необходимо делать поправку — x/10 – 360m, где m — это количество целых часов. Аналогичная картина для вторых часов.

Теперь мы имеем систему уравнений:
x/120 = y/10 – 360m;
y/120 = x/10 – 360n;
n,m є [0,11] .

Откуда находим, что
x = 302.(097902)·(12n+m);
y = 302.(097902)·(12m+n) .

Таким образом, мы выразили время на обоих часах через лишние обороты минутных стрелок. Так как поправочные коэффициенты для обоих часов лежат во множестве целых чисел от 0 до 11, то остается только построить квадратную матрицу 12 х 12, диагональ которой будет содержать время, когда обе стрелки совпадают, и одновременно служить осью симметрии для нахождения пар времен.

0:00:00 1:00:25 2:00:50 3:01:15 4:01:40 5:02:05 6:02:31 7:02:56 8:03:21 9:03:46 10:04:11 11:04:36
0:05:02 1:05:27 2:05:52 3:06:17 4:06:42 5:07:07 6:07:33 7:07:58 8:08:23 9:08:48 10:09:13 11:09:39
0:10:04 1:10:29 2:10:54 3:11:19 4:11:44 5:12:10 6:12:35 7:13:00 8:13:25 9:13:50 10:14:15 11:14:41
0:15:06 1:15:31 2:15:56 3:16:21 4:16:46 5:17:12 6:17:37 7:18:02 8:18:27 9:18:52 10:19:18 11:19:43
0:20:08 1:20:33 2:20:58 3:21:23 4:21:49 5:22:14 6:22:39 7:23:04 8:23:29 9:23:54 10:24:20 11:24:45
0:25:10 1:25:35 2:26:00 3:26:26 4:26:51 5:27:16 6:27:41 7:28:06 8:28:31 9:28:57 10:29:22 11:29:47
0:30:12 1:30:37 2:31:02 3:31:28 4:31:53 5:32:18 6:32:43 7:33:08 8:33:33 9:33:59 10:34:24 11:34:49
0:35:14 1:35:39 2:36:05 3:36:30 4:36:55 5:37:20 6:37:45 7:38:10 8:38:36 9:39:01 10:39:26 11:39:51
0:40:16 1:40:41 2:41:07 3:41:32 4:41:57 5:42:22 6:42:47 7:43:13 8:43:38 9:44:03 10:44:28 11:44:53
0:45:18 1:45:44 2:46:09 3:46:34 4:46:59 5:47:24 6:47:49 7:48:15 8:48:40 9:49:05 10:49:30 11:49:55
0:50:20 1:50:46 2:51:11 3:51:36 4:52:01 5:52:26 6:52:52 7:53:17 8:53:42 9:54:07 10:54:32 11:54:57
0:55:23 1:55:48 2:56:13 3:56:38 4:57:03 5:57:28 6:57:54 7:58:19 8:58:44 9:59:09 10:59:34 12:00:00
Внимательный читатель обратит внимание на то, что пары времени находятся через каждые 5:02,09 мин, а через каждые 65:45 мин происходит совмещение стрелок.
Итог: 66 пар, 11 совмещений стрелок, и 2 совпадения, потому как 0 и 43200 секунд на часах — это одно и то же.