В этой статье мы рассмотрим две лекции математика Теренса Тао, где он "на пальцах" показывает, как греки додумались измерить диаметр Земли. И не только! Это увлекательные истории о том, как люди впервые определили размеры космических объектов, от размера Земли до размеров Солнечной системы и далее до масштабов Вселенной. И как каждое такое измерение открывало путь к следующему. Приведены видео на английском, перевод текста на русский с таймкодами, а также перевод многочисленных вопросов интернет-пользователей и ответов Теренса Тао о тонкостях космических измерений, и о том, как же это всё-таки удалось?..
13 февраля 2025 г.
Теренс Тао и Грант Сандерсон создали видеоролик из двух частей, рассказывающий об истории измерений космических расстояний. Видео основано на публичной лекции Тао на эту тему, а также связано с книгой, которую готовят к публикации. (Возможно, голос за кадром принадлежит не Сандерсону, но в таймкодах расшифровано как Сандерсон, поскольку он автор видео)
Первая часть видео приведена ниже; вторая часть — во второй части этой статьи. Видео были основаны на импровизированном интервью, которое Грант взял у Тао несколько месяцев назад, и поэтому содержали некоторые незначительные неточности и упущения (включая те, что были сделаны по редакционным соображениям для сохранения связности повествования и удержания видео в разумных временных рамках). Они также породили множество вопросов от зрителей, ответы на которые приведены во вставках (спойлерах) к расшифровкам видео.
Первая часть: Теренс Тао о космической лестнице расстояний
Тао: 00:00:00
Эйнштейн однажды написал предисловие к книге по астрономии. Он упомянул эту идею, назвав её идеей чистого гения...
Сандерсон, 00:00:05
Это Теренс Тао, один из самых известных в мире математиков.
Прямо сейчас он рассказывает, как Кеплер вывел форму земной орбиты, и это оказалось удивительным и более остроумным решением, чем я предполагал… но я забегаю вперёд. Многие любители математики знакомы с историей Тао, как с историей вундеркинда, ставшего выдающимся математиком, но одной из примечательных особенностей его карьеры является её коллаборативный характер: она охватывает необычайно широкий спектр тем внутри математики.
У меня была возможность с ним побеседовать, и я спросил, есть ли темы, которые, по его мнению, выиграли бы от наглядной визуальной подачи. Я ожидал ответа из области чистой математики, но был приятно удивлён, когда он предложил вместо этого историю о космических расстояниях. Это история о том, как человечество впервые определило размеры объектов, от размера Земли до размеров Солнечной системы и далее до масштабов Вселенной. И как каждое такое измерение открывало путь к следующему.
Тао, 00:00:56
Астрономия нравилась мне с детства. Я увлекался красными карликами, нейтронными звёздами… У меня был небольшой телескоп. Будучи ребёнком, я читал эти книги [по астрономии] и говорил: «Ну вот, расстояние до Марса — 18 миллионов миль или что-то в этом роде». И я просто принимал это: «Люди каким-то образом это вычислили». Я никогда не знал, как именно они это сделали.
Сандерсон, 00:01:13
Научная коммуникация в лучшем своём проявлении, на мой взгляд, заключается не столько в запоминающейся подаче фактов, сколько в демонстрации того, как именно мы узнали то, что мы знаем. Когда речь заходит о космических расстояниях, очень легко прийти в трепет от просто невообразимых масштабов. Но не меньшего трепета заслуживает (и гораздо реже подчёркивается в популярных научных документалках!) то, насколько остроумными могут быть эти рассуждения на каждом этапе...
Тао, 00:01:36
И я понял: ага, это всегда был какой-то математический трюк! Причём это всегда был крутой трюк: если вы хотите измерить расстояние до объекта X, вы никогда не можете просто посмотреть на X. Вам нужно посмотреть на Y и на то, как X влияет на Y. Идея остроумна, но затем вам нужны данные, для получения которых требуются технологии и так далее. Но в основе всего — просто математика…
Сандерсон, 00:01:52
В этом видео мы пройдёмся по ступеням этой лестницы, вплоть до планет. Это то озарение чистого гения, которое подарил нам Кеплер. А в следующей части мы продолжим наш путь к самым далёким галактикам. Самое первое измерение в этой лестнице — это радиус Земли, история отчасти классическая. Но чтобы вообще задать этот вопрос [о радиусе], нужно предполагать, что Земля — это сфера, или по крайней мере она приблизительно сферическая. Так что мы можем сначала задаться вопросом: а как древние определили форму Земли?
Тао, 00:02:16
Первое по-настоящему убедительное доказательство пришло от Луны, и это постоянно повторяющаяся тема в лестнице расстояний. Если вы хотите измерить один объект, в данном случае Землю, вам нужно использовать опорный объект, находящийся на некотором расстоянии. Видите ли, мы застряли на Земле. Если бы мы могли отойти в сторону, если бы мы смотрели с разных углов, мы могли бы увидеть, что она круглая. Если вы видите её только с одного угла, она может быть плоским диском. Плоский диск, если посмотреть на него под другим углом, будет выглядеть как эллипс.
Но мы можем доказать с помощью изящного геометрического аргумента, что если выпуклое тело имеет круглую проекцию при любом угле обзора, то оно должно быть сферой.
Сандерсон, 00:02:47
Осмелюсь предположить, что большинству из нас это представляется довольно интуитивным. В конце концов, если каждая тень данной фигуры является кругом, чем ещё может быть эта фигура, кроме сферы? Но, разумеется, настоящий математик всегда внимательно следит за всеми странными, контринтуитивными исключениями, и Тао поделился со мной изящным доказательством этого факта после интервью.
Тао, 00:03:05
В двух измерениях то, что я только что сказал, неверно. Существуют двумерные фигуры, у которых каждая проекция представляет собой отрезок одинаковой длины, но они не являются круглыми. Однако в трёх измерениях, как оказывается, перспективы достаточно. Если вы можете смотреть на Землю и всегда видите, что она круглая, это убедительно говорит вам, что Земля — сфера. НАСА может увидеть это, но и Аристотель тоже мог!... Он использовал Луну, потому что знал о лунных затмениях. Лунные затмения происходят, когда Луна попадает в тень Земли.
И тень Земли, как вы можете просто визуально увидеть, всегда представляет собой круглую дугу. Вот изображение, это не моя фотография, кто-то сделал несколько снимков Луны при входе и выходе из лунного затмения и скомпоновал их в один кадр. Вы можете увидеть тень Земли. Это видимое доказательство того, что Земля круглая. И вам не нужны телескопы, секстанты, космические корабли... вам просто нужно смотреть на Луну!
Сандерсон, 00:03:57
Еще одна крутая вещь, что раскрывает эта композиция: вы можете увидеть относительные размеры Земли и Луны. Мы вернёмся к этому через мгновение, но сначала главное: как мы выяснили, насколько велика Земля?
Тао, 00:04:08
Первым человеком, который сделал это, насколько нам известно, был Эратосфен. Согласно истории, он где-то узнал о колодце в городе под названием Сиена, где в один день года, в день летнего солнцестояния, можно было заглянуть в колодец и увидеть отражение солнца в воде внизу. И он сказал: «О, это довольно круто. Я там не живу, но у меня есть колодец в моём собственном городе, Александрии. Я попробую сделать то же самое». Так он дождался летнего солнцестояния. В полдень он посмотрел в колодец… и отражения солнца не было.
Действительно ли Эратосфен проверял колодец в Александрии?
Это было скорее повествовательным приукрашиванием с моей стороны. Оригинальные работы Эратосфена утрачены. Наиболее подробный современный отчёт, принадлежащий Клеомеду, даёт упрощённую версию метода и упоминает только солнечные часы (гномоны), а не колодцы. Однако вторичный источник Плиния утверждает (в этом английском переводе):
«Подобным образом сообщается, что в городе Сиена, в 5000 стадиях к югу от Александрии, в полдень в середине лета тень не отбрасывается, и что в колодце, сделанном специально для проверки этого, свет достигает дна, что ясно показывает: Солнце в это время находится прямо над этим местом».
Тем не менее, ни в одном из отчётов не упоминается колодец в Александрии.
Я думаю, если бы вы в то время были обычным человеком, вы бы сказали: «Да эта история — сплошной фейк» или что-то в этом роде. И Эратосфен знал от Аристотеля и других, что Земля круглая. Причина, по которой это [отсутствие отражения солнца в колодце] происходило, заключалась в том, что солнце на самом деле не находилось прямо над головой.
Сандерсон, 00:04:46
Давайте представим, что Солнце находится достаточно далеко от Земли, чтобы все его лучи света были параллельны. В любой момент, если вы проведёте линию от центра Земли прямо к Солнцу, она пройдёт через некоторую точку на поверхности, которая как раз и испытывает этот феномен, когда Солнце находится прямо над головой. Но если бы вы жили во времена Эратосфена, вам было бы очень сложно точно узнать, где именно это происходит в данный момент.
Как Эратосфен узнал, что Солнце находится так далеко, что его лучи почти параллельны?
Этого не было достаточно чётко раскрыто в наших обсуждениях или в видео (за исключением краткого взгляда на временную шкалу в 18:27), но работа Эратосфена была сделана после Аристарха, поэтому весьма вероятно, что Эратосфен был знаком с выводами Аристарха о том, насколько далеко Солнце находится от Земли. Даже если гелиоцентрическая модель Аристарха оспаривалась другими греками, по крайней мере некоторые из его других выводов, по-видимому, получили определённую поддержку. Кроме того, после эпохи Эратосфена греческие, индийские и исламские астрономы (такие как Гиппарх, Птолемей, Ариабхата и Аль-Баттани) проводили дополнительные работы по измерению тех же расстояний, что и Аристарх, хотя и последующие измерения расстояния до Солнца также были довольно далеки от современных принятых значений.
00:05:11 — Так что же делает летнее солнцестояние особенным? В этот день ось вращения Земли наклонена прямо в сторону Солнца, и в результате в этот день, когда Земля вращается вокруг этой оси в течение 24 часов, существует устойчивая линия широты, где все локации на этой линии предсказуемо испытывают этот феномен: в полдень Солнце находится в самой высокой точке, прямо над головой. Эта линия имеет особое название — она называется Тропик Рака, и город Сиена, о котором читал Эратосфен, находится на этой линии.
Правильно ли говорить, что в день летнего солнцестояния ось вращения Земли наклонена «прямо к Солнцу»?
Строго говоря, говорить «в направлении к Солнцу» точнее, чем «прямо к Солнцу»: ось наклонена примерно на 23,5 градуса в сторону Солнца, но это не полный наклон на 90 градусов.
Погодите, разве тропиков не два? Тропик Рака и тропик Козерога?
Да! Это соответствует двум летним сезонам, которые проходит Земля: одному в Северном полушарии и другому в Южном. Тропик Рака, расположенный на широте около 23° северной широты, — это место, где Солнце в полдень находится прямо над головой во время летнего солнцестояния в Северном полушарии (примерно 21 июня); тропик Козерога, на широте около 23° южной широты, — это место, где Солнце в полдень стоит в зените во время летнего солнцестояния в Южном полушарии (примерно 21 декабря). Однако Александрия и Сиена находились обе в Северном полушарии, поэтому именно тропик Рака имеет отношение к расчётам Эратосфена.
Это же удачное совпадение, что Сиена находилась на тропике Рака?
На самом деле Сиена (ныне известная как Асуан) находилась примерно на полградуса широты дальше от тропика Рака, что было одним из источников неточности в расчётах Эратосфена. Но следует учитывать «эффект множественного сравнения»: поскольку Нил пересекает тропик Рака, было вполне вероятно, что Нил пересечёт тропик вблизи какого-либо населённого пункта. Это не обязательно должна была быть Сиена, но тогда в рассказе об Эратосфене Сиена была бы заменена этим другим городом.
С другой стороны, было удачей, что Нил течёт с юга на север, так что расстояния между городами служили хорошей аппроксимацией разницы в широтах. По-видимому, у Эратосфена мог бы получиться более сложный расчёт, который работал бы и в том случае, если бы два рассматриваемых города не были ориентированы строго по направлению север-юг, и если бы ни один из них не находился на тропике Рака; но, к сожалению, оригинальные труды Эратосфена утрачены, и нам неизвестны детали этого более общего метода. (Однако некоторые варианты метода можно найти в более поздних работах Посидония, Ариабхаты и других.)
В наши дни «эксперимент Эратосфена» проводится ежегодно в день мартовского равноденствия: школы, расположенные на одном меридиане, объединяются в пары для измерения высоты Солнца в один и тот же момент времени с целью получения оценки окружности Земли. (Равноденствие удобнее солнцестояния, когда ни одно из мест не находится на тропике, из-за особого движения Солнца в эту дату.) Благодаря современным средствам хронометража, связи, геодезии и навигации эта задача сегодня выполняется гораздо проще, чем во времена Эратосфена.
00:05:43 — Далее, сам Эратосфен находился немного севернее, в Александрии. Так что в этот день, ровно в полдень, направление, которое он воспринимает как «прямо вверх» (я обозначу его розовой линией), не направлено на Солнце. Оно образует некоторый угол с его лучами.
Тао, 00:05:59
У него был так называемый гномон — что-то вроде древнего транспортира или солнечных часов, переносных солнечных часов, по сути. Он измерил, что Солнце [в Александрии] отклонялось от вертикали примерно на семь градусов.
Сандерсон, 00:06:09
Важно, что он мог знать, что в этот самый момент, далеко внизу в Сиене, Солнце находилось прямо над головой, и он сделал вывод: это означает, что длина дуги вдоль Земли между Александрией и Сиеной составляет около 7 градусов. Это, в свою очередь, означает, что отношение между 7 градусами и полными 360 градусами окружности должно быть таким же, как отношение между расстоянием между этими двумя городами и полной окружностью Земли.
Я думал, Земля не является идеальной сферой. Влияет ли это на расчёт?
Да, но лишь в небольшой степени. Центробежные силы, вызванные вращением Земли вокруг своей оси, создают экваториальное вздутие и полярное сжатие, так что радиус Земли варьируется примерно на 20 километров от полюса к экватору. Это кажется большой величиной, но составляет лишь около 0,3% от среднего радиуса Земли в 6371 км и не является основным источником погрешности в расчётах Эратосфена.
00:06:35 — Далее, имейте в виду: в сохранившихся записях он не сообщает это расстояние в милях или километрах. Единицами, которые они тогда использовали, были стадии, где одна стадия — это что-то вроде длины стадиона.
Тао, 00:06:47
Так что расстояние [между городами] составляло около 5 000 стадий, что примерно равно 500 милям.
Сандерсон, 00:06:52
Насколько точен наш перевод между стадиями и милями?
Тао, 00:06:55
Это хороший вопрос. Мы не до конца уверены. При общепринятых коэффициентах пересчёта, я думаю, точность оценки Эратосфена составляет около 10%.
Сандерсон, 00:07:03
Вы можете найти источники в интернете, которые утверждают, что его оценка была точнее этой. Но просто имейте в виду: если вы свободно выбираете, какой из множества возможных коэффициентов пересчёта между стадиями и милями использовать, вы можете своего рода «подогнать» данные под лучший результат. Тем не менее, 10% — это довольно хорошо при отсутствии каких-либо технологий. Но, конечно, всё это зависит от фактического знания расстояния между этими двумя городами. Так что возникает естественный вопрос: как он мог узнать это расстояние?
Тао, 00:07:26
Это нам не известно. Есть некоторые теории. Вот одна из них: были купцы, которые курсировали вверх и вниз по Нилу, и они знали, что за определённый день их парусное судно может проплыть столько-то стадий, и это занимает у них столько-то дней, от икс до игрек, и таким образом у них была примерная оценка. Шутка в том, что он по сути нанял того, кого мы сейчас назвали бы аспирантом, чтобы тот отмерил расстояние шагами… Эти 5 000 стадий — единственное прямое измерение, сделанное этим «аспирантом».
Являются ли речные торговцы и «аспирант» основыми теориями о том, как Эратосфен измерил расстояние от Александрии до Сиены?
Существуют недавние исследования, которые предполагают, что Эратосфен мог опираться на работы профессиональных бематистов (измерителей расстояний шагами, предшественников современных геодезистов) для этого расчёта. Это несколько портит шутку про «аспиранта», но, возможно, об этом стоит упомянуть ради полноты картины.
00:07:56 — На самом деле так можно дойти вплоть до измерения диаметра Вселенной. Но мы не делаем этого в наши дни, потому что ошибки накапливаются. Но в принципе можно было бы это сделать.
Сандерсон, 00:08:11
Если у вас есть представление о том, насколько велика Земля, одним из первых космологических расстояний, которое вы можете вывести из этого значения, является расстояние между Землёй и Луной.
Тао, 00:08:20
Вы можете снова использовать затмения. Тени — это то, что позволяет вам наблюдать с местоположения, отличного от Земли. Когда происходит лунное затмение, когда Солнце находится вот здесь, тень Земли имеет размер, примерно в два раза превышающий радиус Земли. Это немного сложнее. Есть понятия полутени и умбры, но в первом приближении… Лунные затмения длятся не дольше четырёх часов. И это они знали по многим, многим наблюдениям.
00:08:49 — На самом деле Луне требуется один лунный месяц, чтобы пройти свою орбиту. И так, снова взяв отношение между 28 днями и четырьмя часами, вы можете вычислить связь между расстоянием до Луны и радиусом Земли.
Какова продолжительность «лунного месяца» в этом контексте? Действительно ли это 28 дней?
В данном контексте правильным понятием лунного месяца является «синодический месяц» — продолжительность лунного цикла относительно Солнца, который на самом деле составляет около 29 дней и 12 часов. Он отличается от «сидерического месяца» — продолжительности лунного цикла относительно неподвижных звёзд, который составляет около 27 дней и 8 часов из-за движения Земли вокруг Солнца (или Солнца вокруг Земли в геоцентрической модели). [Аналогичная поправка требуется около 14:59, где следует использовать синодический месяц в 29 дней и 12 часов, а не «английский лунный месяц» в 28 дней (4 недели).
Сандерсон, 00:09:02
Чтобы быть более точным: во время полного затмения, между первым и последним контактом, расстояние, которое проходит Луна, будет не просто двумя радиусами Земли, но также включит два радиуса Луны. Так что если вы хотите измерить, сколько времени требуется Луне, чтобы пройти один диаметр Земли в пространстве, это может быть, скорее, время между первым моментом, когда Луна касается тени, и первым моментом, когда она начинает выходить из неё.
00:09:24 — Ещё нужно иметь в виду, если вы решите провести этот эксперимент сами во время следующего лунного затмения: лунные затмения не обязательно проходят через центр земной тени вот так, поэтому измерения, которые использовали греки, должны были основываться на самых долгих известных затмениях. В любом случае, чуть более точное значение, которое нужно подставить сюда, будет скорее около трёх с половиной часов, и тогда, когда вы всё просчитаете, это отношение между продолжительностью лунного месяца и продолжительностью лунного затмения, всё это, делённое на π, скажет вам, на сколько земных радиусов удалена Луна.
Тао, 00:09:56
Аристарх сделал это. Он измерил, что расстояние до Луны составляет около 60 земных радиусов. И на самом деле орбита варьируется где-то между 58 и 62 или около того. Так что на самом деле это очень хорошая точность.
Сандерсон, 00:10:05
Настолько хорошо, как только можно было надеяться. Да. Я упомянул ранее, как с помощью этих лунных затмений можно увидеть относительный размер Луны и Земли. Луна примерно вчетверо уже Земли. Теперь на практике сложно сделать это измерение точным без фотографии. Так что у греков был другой способ, которым они могли определить размер Луны. В следующий раз, когда увидите восходящую [из-за горизонта] полную Луну, попробуйте измерить, сколько времени это занимает. Вы должны обнаружить, что это около 2 минут. То, что вы наблюдаете, — это не столько движение Луны по орбите.
00:10:33 — Поскольку вы и Земля вращаетесь, ваша линия обзора над горизонтом «сканирует» Луну.
Тао, 00:10:40
Луна, по сути, совершает оборот вокруг Земли за 24 часа, как это наблюдается нами из-за вращения Земли. Чуть меньше, потому что Луна тоже движется, но в основном 24 часа. И поэтому вы можете вычислить отношение между радиусом Луны и расстоянием до Луны, просто взяв отношение между 2 минутами и 24 часами.
Действительно ли время, за которое Луна совершает наблюдаемый оборот вокруг Земли, немного меньше 24 часов, как утверждается в видео?
На самом деле я допустил ошибку со знаком: лунные сутки (также известные как приливные сутки) на самом деле составляют 24 часа и 50 минут, поскольку Луна вращается в том же направлении, что и вращение Земли вокруг своей оси. Поэтому анимация также движется в неправильном направлении (с этим связано следующее: линия визирования закрывает Луну в неправильном направлении по сравнению с восходом Луны около 10:38).
Сандерсон, 00:10:57
Итак, поскольку древние знали расстояние до Луны, они могли использовать это, чтобы вычислить её радиус. Но имейте в виду: обе их оценки могли быть в лучшем случае приблизительно верными, поскольку реальная орбита Луны — это эллипс, а не идеальный круг. Но суть в том, что почти без технологий они имели довольно приличные оценки размера Луны и того, насколько далеко она находится.
Тао, 00:11:15
С Солнцем было сложнее. В то время они думали, что Солнце вращается вокруг Земли, но на самом деле для расчёта не имеет значения, вращается ли Солнце вокруг Земли или Земля вокруг Солнца. Опять же, есть два числа: размер Солнца и расстояние до Солнца. Вы можете снова вычислить отношение благодаря затмениям. И есть странное совпадение. Я имею в виду, нет причины, просто это так совпало. Но когда происходит солнечное затмение, Луна и Солнце имеют почти одинаковый размер. Это не верно для лунных затмений. Для лунных затмений, как мы видели, тень Земли намного больше.
Действительно ли это просто совпадение, что Луна и Солнце имеют почти одинаковый угловой размер?
Я полагаю, что да. Во-первых, совпадение не настолько точное: из-за некруговой природы орбиты Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца угловой размер Луны на самом деле может колебаться и быть на 10% больше или меньше Солнца в разное время (феномен «суперлуния»). Все другие известные планеты с известными спутниками не демонстрируют подобного совпадения, поэтому, по-видимому, не существует универсального закона природы, который бы обеспечивал это совпадение. (Это контрастирует с эмпирическим фактом, что Луна всегда обращена к Земле одной и той же стороной, что наблюдается у всех других известных крупных спутников (а также Плутона) и хорошо объясняется физическим явлением приливного захвата.)
С другой стороны, как, надеюсь, демонстрирует видео, существование Луны было чрезвычайно полезным для того, чтобы древние могли понять базовую природу Солнечной системы. Без Луны их задача была бы значительно сложнее; но в этой гипотетической альтернативной вселенной современная космология, вероятно, всё равно стала бы возможной, как только появились бы передовые технологии, такие как телескопы, космические полёты и компьютеры, особенно в сочетании с современной математикой науки о данных. Не раскрывая слишком много спойлеров, сценарий, схожий с этим, был исследован в классическом романе «И пала ночь…» Айзека Азимова.
00:11:42 — Но по какой-то причине они почти одинакового размера.
Сандерсон, 00:11:44
Это означает, что если вы посмотрите на отношение между радиусом Луны и расстоянием, на котором она находится от Земли (что и определяет, насколько большой она выглядит для нас в небе), то из-за этого совпадения с солнечным затмением это должно быть то же самое отношение, что и между радиусом Солнца и его расстоянием от Земли. Как мы видели, греки уже знали это отношение для Луны. Суть в том, что они могли получить по крайней мере приблизительное представление о размере Солнца, если бы могли выяснить, насколько далеко оно находится, или наоборот.
00:12:13 — Анимация, которую я показываю прямо сейчас, очень грубо не в масштабе. Мы знаем, что Солнце на самом деле намного, намного дальше, чем Луна, но, конечно, это не очевидно, когда вы просто смотрите на него в небе. Поэтому вы можете задаться вопросом: как можно было сделать вывод, что оно должно быть так далеко? В древние времена, насколько люди знали, видя, что оно примерно такого же размера, как Луна в небе, оно могло быть, скажем, в два раза дальше Луны и всего лишь в два раза больше.
00:12:38 — На самом деле для анимации я продолжу изображать его нереалистично близко, потому что это помогает прояснить, как работает следующий логический шаг.
Тао, 00:12:45
Как вычислить расстояние до Солнца? Вы снова используете Луну. Это почти единственный доступный объект, который вы можете использовать. Но вы делаете нечто другое. Вы смотрите на фазы Луны. Солнце освещает половину Луны, и поэтому мы, находясь на Земле, также видим половину Луны, но это другая половина, и из-за этого мы получаем фазы Луны. Это, кстати, также причина, по которой мы знаем, что Луна круглая.
Разве освещённая часть Луны, а также видимая часть Луны не немного меньше половины всей Луны, потому что Земля и Солнце не находятся на бесконечном расстоянии от Луны?
Технически это так (и это на самом деле по очень схоже с тем, почему половинки Луны не возникают точно на полпути между новолунием и полнолунием); но этот факт, как оказывается, оказывает лишь очень небольшое влияние на расчёты и не является основным источником погрешности. В реальности Солнце находится примерно в 86 000 радиусов Луны от Луны, поэтому утверждение, что половина Луны освещена Солнцем, на самом деле является очень хорошим первым приближением. (Земля находится от Луны «всего лишь» примерно в 220 радиусах Луны, поэтому видимая часть Луны немного более заметно меньше половины; но это на самом деле не сильно влияет на аргументы Аристарха.)
Угловой диаметр Солнца также создаёт дополнительную тонкую полосу между полностью освещённой и полностью неосвещённой частями Луны, в которой Солнце пересекает лунный горизонт и поэтому освещает Луну лишь частью своего света, но это также относительно незначительный эффект (и середина этой полосы может использоваться для определения границы между освещённой и неосвещённой частями для целей аргументов Аристарха).
00:13:14 — Если бы Луна была плоской, у нас не было бы фаз. Мы бы видели либо тусклую Луну, либо освещённую, но не получали бы этих фаз. Иногда вы получаете полную Луну, если Луна находится вот здесь, вы видите всю освещённую часть. Иногда вы получаете новолуние, вот здесь, а иногда — половину Луны.
В чём разница между половинкой Луны и четвертью Луны?
Если разделить лунный месяц, начинающийся и заканчивающийся новолунием, на четверти (недели), то половинки Луны возникают как ближе к концу первой четверти (через неделю после новолуния и за неделю до полнолуния), так и ближе к концу третьей четверти (через неделю после полнолуния и за неделю до новолуния). Это выглядит несколько запутанно, но половинки Луны бывают двух типов, известных как «Луна первой четверти» и «Луна третьей четверти».
Сандерсон, 00:13:29
Вы можете практически заново открыть для себя способ оценки расстояния до Солнца, задав вопрос: когда именно наступает половина Луны? По названию вы бы предположили, что это происходит на полпути между новолунием и полнолунием, но на самом деле это не так.
Тао, 00:13:41
Половина Луны наступает не тогда, когда Луна и Солнце образуют прямой угол относительно Земли, а на самом деле когда Земля и Солнце образуют прямой угол относительно Луны. Надеюсь, ваша графика будет лучше того, что я рисую здесь.
Сандерсон, 00:13:52
Да, это имеет смысл. Чтобы мы видели половину Луны, сторона Луны, которую мы видим и которая обращена к нам, должна перекрываться ровно на 90 градусов со стороной Луны, освещаемой Солнцем, что, в свою очередь, означает, что у нас есть прямой угол в точке, обозначенной здесь.
Тао, 00:14:08
Как покажет ваша прекрасная иллюстрация, половины Луны находятся немного ближе к новолуниям.
Сандерсон, 00:14:13
Конечно, на этом графике эффект крайне преувеличен, потому что Солнце нарисовано слишком близко к Земле. Насколько далеко находится Солнце, определяет, когда именно наступает эта половина Луны. Чем дальше, тем ближе это к истинной середине. На самом деле, вы можете оценить это сами: если вы измерите угол, разделяющий эту середину между новолуниями и полнолуниями от точки половины Луны (что, опять же, не одно и то же), тогда интуитивно вы можете увидеть, как меньший угол означает большее расстояние до Солнца.
00:14:42 — И более точно: когда вы примените здесь немного тригонометрии, вы сможете сделать вывод, что расстояние до Солнца равно расстоянию до Луны, делённому на синус этого угла.
Я думал, функция синуса была введена значительно позже древних греков...
Верно, современная функция синуса восходит к индийской и исламской математическим традициям первого тысячелетия н.э., на несколько столетий позже Аристарха. Однако в его распоряжении всё ещё была евклидова геометрия, которая предоставляла такие инструменты, как подобные треугольники, которые могли быть использованы для достижения в основном тех же выводов, хотя и с существенно большими усилиями, чем потребовалось бы при использовании современной тригонометрии.
С другой стороны, Аристарх был несколько ограничен тем, что не знал точного значения π, которое также известно как постоянная Архимеда: фундаментальная работа Архимеда над этой константой была проведена на несколько десятилетий позже работы Аристарха!
Тао, 00:14:53
Здесь греки начали наталкиваться на технологическую стену. Что они сделали: они знали, что Луне требуется 28 дней, чтобы обойти Землю, и поэтому им нужно было измерить, когда именно наступает половина Луны и каково отклонение. Аристарх думал, что расстояние составляло шесть часов. Половина Луны наступала за шесть часов до середины между новолунием и полнолунием. Он не пишет, как он пришёл к этому. И это неверно. Фактическое расхождение — полчаса. Он ошибся на огромную величину.
Я подставил современные значения расстояний до Солнца и Луны и получил 18 минут для расхождения, вместо получаса
Да; я привёл здесь неверное число. В 1630 году Годфрид Венделен повторил эксперимент Аристарха. Благодаря улучшенному хронометражу и недавно изобретённому телескопу Венделен получил измерение расхождения в полчаса, что значительно лучше расчёта Аристарха в шесть часов, но всё ещё немного отличается от истинного значения в 18 минут. (Таким образом, оценка Венделена для расстояния до Солнца составила 60% от истинного значения.)
00:15:20 — Дело в том, что, во-первых, сейчас у нас есть часы, которые работают в темноте. У древних были солнечные часы, которые не работают в темноте. У них также не было телескопов. Математически метод был верен. Просто технологически было невозможно использовать этот метод. Но метод работал достаточно хорошо. Так что он ошибся на целый порядок величины. Он думал, что Солнце в 20 раз дальше Луны.
Разве у Аристарха не было бы доступа к другим устройствам для измерения времени, кроме солнечных часов?
Да, например, клепсидры (водяные часы) были доступны к тому времени; но они обладали ограниченной точностью. Также возможно, что Аристарх мог использовать измерения высоты звёзд для оценки времени; неясно, был ли ему доступен астролябия или армиллярная сфера, но у него наверняка были другие, более примитивные астрономические инструменты, такие как диоптр. Но опять же, точность и калибровка этих инструментов для измерения времени были низкими.
Однако, скорее всего, более важным ограничивающим фактором была способность определить точный момент, когда наступает идеальная половина Луны (или новолуние, или полнолуние); это чрезвычайно сложно сделать невооружённым глазом. (Телескоп не будет изобретён ещё почти два тысячелетия.)
Сандерсон, 00:15:42
Истинный ответ, основанный на небольшом изменении того угла, который он пытался измерить, около 370 расстояний до Луны.
Тао, 00:15:49
И он думал, что Солнце в семь раз больше Земли, тогда как на самом деле оно в 109 раз больше. Даже с этим неважным измерением Аристарх первым пришёл к действительно важному выводу: Солнце не вращается вокруг Земли. Солнце в семь раз (ну, он думал, что Солнце в семь раз больше), так почему Солнце должно вращаться вокруг Земли? Так что Земля должна вращаться вокруг Солнца. Качественно его вывод был верен. Но Солнце намного, намного больше, чем он думал.
00:16:15 — Но он был первым. И, понимаете, что это не очевидно: вы смотрите на Солнце, оно вот такого размера, верно? Но на самом деле оно в сто раз больше Земли. Так что он был первым, кто предложил гелиоцентрическую модель, на самом деле. Если вы посмотрите на знаменитую книгу Коперника, он говорит: «Аристарх предложил гелиоцентрическую модель, а другие греки отвергли её по веским математическим причинам, но опять же они были ограничены своими технологиями».
00:16:37 — Они говорили, что не может быть, чтобы Земля вращалась вокруг Солнца, потому что если бы Земля вращалась вокруг Солнца, положение и форма созвездий смещались бы, когда вы переходите с одной стороны Солнца на другую, а мы этого не видим.
Сандерсон, 00:16:49
Это важный момент, который нужно подчеркнуть, потому что он снова возникнет для нас позже, когда мы будем определять размер Галактики. Итак, если у вас есть масса звёзд, находящихся в трёхмерном пространстве, и вы представляете себя наблюдателем, смотрящим на эти звёзды, и вы перемещаетесь через это трёхмерное пространство, то видимое относительное положение этих звёзд смещается, когда вы двигаетесь. Мы называем это параллаксом. Это тот же феномен, когда если вы едете в машине по шоссе и смотрите в окно, все близлежащие деревья, кажется, движутся гораздо быстрее, чем фоновые горы.
00:17:20 — Так что когда Аристарх говорит: «Ребята, может быть, Земля вращается вокруг Солнца», все его собратья-греки говорят: «Ну, если бы это было так, и у нас есть система Земля-Солнце, находящаяся среди массы звёзд, тогда для нас, наблюдателей, сидящих здесь на планете Земля, когда мы перемещаемся в пространстве от зимы к весне и к лету, и это будет довольно значительное перемещение в пространстве, поскольку, очевидно, Солнце должно быть довольно далеко от Земли, тогда из-за этого параллакса мы должны видеть изменения в картине звёзд».
Можно ли решить проблему параллакса, предположив, что звёзды распределены не в трёхмерном пространстве, а на небесной сфере?
Размещение всех звёзд на фиксированной сфере сделало бы эффекты параллакса менее заметными, поскольку звёзды в данной части неба теперь двигались бы вместе с одинаковой видимой скоростью, но всё ещё были бы видны крупномасштабные искажения формы созвездий, потому что Земля находилась бы ближе к некоторым частям небесной сферы, чем к другим; также наблюдалась бы изменчивость яркости звёзд и (если бы они были очень близко) видимого углового диаметра звёзд. (Эти проблемы были бы решены, если бы небесная сфера была каким-то образом центрирована вокруг движущейся Земли, а не неподвижного Солнца, но тогда это по сути становится геоцентрической моделью с дополнительными шагами.)
00:17:47 — Близлежащие звёзды должны двигаться немного сильнее, чем фоновые звёзды, и общая форма созвездий должна медленно дрейфовать в течение сезонов. Но этого мы не видим. Созвездия, кажется, имеют одну и ту же форму и летом и зимой.
Тао, 00:18:01
И это было бы возможно только в том случае, если бы звёзды были намного, намного, намного дальше, чем мы сейчас думаем. Так что, Аристарх, если бы мы приняли вашу модель, мы должны были бы сделать Вселенную в тысячи и тысячи раз больше. Поэтому мы отвергнем вашу теорию. Это показывает вам, что даже когда у вас правильная математика, вы не обязательно приходите к истине. Потому что, конечно, Вселенная на самом деле не просто в тысячи раз больше, чем предполагала теория Аристарха, а на самом деле в миллиарды и триллионы раз больше. Но это не очевидный факт.
Сандерсон, 00:18:26
На этом этапе давайте перепрыгнем вперёд в истории вплоть до Кеплера, возможно, это лучшая часть всей этой истории.
Неужели ничего примечательного не произошло в астрономии между Эратосфеном и Коперником?
Вовсе нет! В этот период произошли значительные математические, технологические, теоретические и наблюдательные достижения астрономов из многих культур (греческой, исламской, индийской, китайской, европейской и других), например, улучшение некоторых предыдущих измерений на лестнице расстояний, лучшее понимание затмений, наклона оси и даже прецессии оси, более сложная тригонометрия и разработка новых астрономических инструментов, таких как астролябия. Но чтобы уместить общую историю лестницы космических расстояний в две части видео, мы решили сосредоточиться в первую очередь на первом случае, когда каждая «ступенька» лестницы была преодолена.
Это действительно портрет Кеплера?
Мы с недавних пор узнали, что этот портрет, скорее всего, был написан в XIX веке и, возможно, был основан больше на наставнике Кеплера, Михаэле Мёстлине. Общепринятый портрет Кеплера можно найти на его текущей странице в Википедии.
Тао, 00:18:33
Это самый гениальный шаг лестницы. Первый раз, когда вы поднимаетесь с одной ступени на следующую, это всегда героический шаг, потому что в первый раз вы находитесь на грани того, что могут дать данные, математика и технологии.
Сандерсон, 00:18:45
Теперь Кеплер работал не с чистого листа. Он строил [свои заключения] на основе работ других, в первую очередь, работ Коперника.
Тао, 00:18:52
Итак, Коперник уже выяснил, что планеты движутся вокруг Солнца. Он сказал, что планеты движутся вокруг Солнца по круговым орбитам, и он даже вычислил период, сколько времени требуется каждой планете, чтобы обойти Солнце.
Сандерсон, 00:19:03
Так, например, мы знаем, что Земле требуется ровно один год, чтобы совершить полный оборот, и Коперник выяснил, что Марсу требуется 687 дней для его орбиты, и аналогично для всех других известных планет. Он получает всю славу из-за гелиоцентризма, но эти числа, возможно, были его самым важным вкладом. Вы увидите через мгновение, почему они критически важны.
Не является ли тавтологией утверждение, что Земле требуется один год для полного оборота вокруг Солнца?
Технически да, но это иллюстрация философской концепции «референциальной непрозрачности»: содержание предложения может измениться при замене одного термина другим (например, «1 год» и «365 дней»), даже если оба термина относятся к одному и тому же объекту. Забавно, что классическая иллюстрация этого, известная как парадоксы Фреге, также происходит из астрономии: это утверждение, что Геспер (вечерняя звезда) и Форосфор (утренняя звезда, также известная как Люцифер) — один и тот же объект (который сегодня мы называем Венерой), но это просто тавтология, что Геспер и Геспер — один и тот же объект: однако, изменение ссылки с Форосфора на Геспер меняет смысл.
Как Коперник выяснил решающий [для его дальнейших рассуждений] факт, что Марсу требуется 687 дней, чтобы обойти вокруг Солнца? Было ли это напрямую взято из вавилонских данных?
Технически, Коперник опирался на таблицы европейских астрономов, которые в значительной степени основывались на более ранних таблицах эпохи исламского золотого века, которые, в свою очередь, опирались на более ранние таблицы индийских и греческих астрономов, последние из которых также включали данные древних вавилонян, поэтому точнее сказать, что Коперник опирался на столетия данных, по крайней мере часть из которых восходит к вавилонянам. Среди всех этих данных были моменты, когда Марс находился в оппозиции к Солнцу; если представить Землю и Марс как бегунов, бегущих по дорожкам вокруг Солнца, причём Земля на внутренней дорожке, а Марс — на внешней, то оппозиции аналогичны моментам, когда бегун-Земля «обгоняет» бегуна-Марса. По столетиям наблюдательных данных такие «обгоны», как известно, происходят примерно раз в 780 дней (это известно как синодический период Марса). Поскольку Земле требуется примерно 365 дней для совершения «круга», можно провести небольшие вычисления и сделать вывод, что Марс, следовательно, должен завершать свой собственный «круг» за 687 дней (это известно как сидерический период Марса).
Тао, 00:19:22
Способ, которым он вычислил это, заключался в том, что у него были все эти вавилонские данные.
Сандерсон, 00:19:24
По сути, это работало путём компиляции столетий наблюдений за тем, где планеты появляются среди звёзд, затем выяснения, когда эти паттерны повторяются, и затем, что очень важно, учёта движения Земли за это время. Кеплер был заинтересован в определении относительных размеров всех этих орбит. У него была забавная теорийка, связанная с пятью платоновыми телами.
00:19:47 — Идея заключалась в том, что если вы представите сферу, вписанную в октаэдр, а затем поместите наименьшую возможную сферу вокруг него, а затем поместите наименьший возможный икосаэдр вокруг этой сферы, затем наложите ещё одну сферу, затем додекаэдр, ещё одну сферу, тетраэдр, ещё одну сферу, куб и затем одну финальную сферу, вы получите эти шесть сфер. И отношения между размерами этих сфер, верил Кеплер, будут соответствовать отношениям орбит шести известных планет.
00:20:15 — Поскольку это платоновы тела, это кажется очень естественным или универсальным набором отношений.
Тао, 00:20:21
Это была бы прекрасная теория, если бы это было правдой.
Сандерсон, 00:20:23
Итак, пытаясь доказать свою очень красивую теорию, ему нужно было посмотреть на известные исторические данные о том, где все эти планеты появлялись в небе.
Тао, 00:20:30
В то время жил астроном Тихо Браге — очень богатый, эксцентричный аристократ, который интересовался астрономией и поэтому убедил правительство Дании дать ему остров вместе с крестьянами, чтобы построить там обсерваторию. Она называлась Ураниенборг. И он десятилетия и десятилетия наблюдал всевозможные астрономические явления, включая все планеты. Кеплер хотел получить его данные, но Тихо Браге их ему не давал. Тогда Кеплер просто украл данные. Да, они были не в лучших отношениях. В любом случае, он взял все его данные и хотел использовать их для подтверждения своей теории.
Действительно ли Кеплер украл данные у Браге?
Ситуация сложная. Когда Кеплер работал ассистентом у Браге, Браге предоставлял Кеплеру лишь ограниченное количество данных, в основном касающихся Марса, чтобы подтвердить собственную гео-гелиоцентрическую модель Браге. После смерти Браге данные перешли по наследству к зятю Браге и другим родственникам, которые намеревались отдельно опубликовать работы Браге; однако Кеплер, который был назначен Имперским математиком на смену Браге, имел по крайней мере частичный доступ к данным, и многие историки полагают, что он тайно скопировал части этих данных для использования в собственных исследованиях, прежде чем наконец получить полный доступ к данным от наследников Браге после нескольких лет споров. С другой стороны, поскольку законы об интеллектуальной собственности в то время были не развиты, действия Кеплера были технически законными, хотя и этически сомнительными.
00:20:59 — И эти данные отличались [от идеальных круговых орбит]…
Сандерсон, 00:21:09
Очень важно понять, что как только вы отбрасываете предположение, что орбиты являются круговыми, становится очень трудно осмыслить наблюдаемые данные. Дело не в том, что Тихо Браге не записывал точное положение в трёхмерном пространстве для всех планет с течением времени. Они не знали расстояний до планет. Орбиты — это единственное, что вы можете видеть, где именно в небе появляется данная планета, в каком созвездии она находится, в определенную дату.
00:21:35 — Из этой информации, в одиночку, по сути, просто изучая последовательности углов в небе, Кеплер сумел вывести формы всех планетных орбит, включая форму орбиты Земли.
Что это за странная петля на орбите Марса?
Это известно как попятное/ретроградное движение. Оно возникает потому, что орбитальная скорость Земли (около 30 км/с) немного больше, чем у Марса (около 24 км/с). Таким образом, в оппозиции (когда Марс находится в противоположной позиции на небе по отношению к Солнцу) Земля на короткое время обгоняет Марс, заставляя его наблюдаемое положение двигаться на запад, а не на восток. Но в большинстве других случаев движение Земли и Марса происходит под достаточным углом, так что Марс продолжает своё видимое восточное движение, несмотря на немного более высокую скорость Земли.
Тао, 00:21:44
Солнце неподвижно, Земля движется по какой-то орбите, не совсем круговой, и Марс также движется по какой-то орбите, не совсем круговой, и мы не знаем, что это за орбита. На самом деле, единственное, что мы можем сделать, — это в любой данный момент на Земле определить, где мы находимся относительно Солнца, и мы можем определить это направление. Но у нас нет расстояния, у нас есть только направление.
Разве нельзя было бы также определить направление на другие небесные объекты помимо Солнца и Марса, такие как звёзды, Луна или другие планеты? Помогло бы это?
На самом деле, направления на неподвижные звёзды неявно использовались во всех этих наблюдениях для определения положения небесной сферы, и все остальные направления измерялись относительно этой небесной сферы. (В противном случае все расчёты проводились бы во вращающейся системе отсчёта, в которой неизвестные орбиты планет сами вращались бы, что было бы ещё более сложной задачей.) Но звёзды слишком далеки, чтобы быть полезными в качестве одного из двух ориентиров для триангуляции, поскольку они создают почти незаметный параллакс и поэтому не могут различить одно местоположение от другого.
Измерение направления на Луну показало бы, в какой части лунного цикла мы находимся, и определило бы фазу Луны, но эта информация не помогла бы в триангуляции, потому что положение Луны в гелиоцентрической модели меняется со временем довольно сложным образом и слишком тесно связано с движением Земли, чтобы быть полезным «ориентиром» для определения орбиты Земли вокруг Солнца.
В принципе, использование измерений всех планет одновременно могло бы позволить провести многомерный анализ, который был бы точнее, чем анализ каждой планеты по отдельности, но это потребовало бы сложного статистического анализа и моделирования, а также нетривиальных вычислительных ресурсов — ни того, ни другого не было в распоряжении Кеплера.
Сандерсон, 00:22:06
Представьте, что вы наблюдали за Марсом ночь за ночью. Каждую ночь вы можете видеть, где находится Марс относительно созвездий, и это говорит вам, по сути, про направление от Земли к Марсу относительно небесной сферы. Но вы не знаете точно, где находится Земля, и вы также не знаете, насколько далеко находится Марс. Вы знаете направление на Солнце, даже если вы не можете буквально видеть его в созвездиях, вы знаете это, потому что это говорит вам дата года, поскольку это говорит вам, насколько далеко Земля прошла по орбите.
00:22:34 — Имейте в виду: хотя у Аристарха была его оценка того, насколько далеко находится Солнце, у людей всё ещё не было точного измерения этого расстояния. Метод Аристарха просто слишком подвержен ошибкам для чего-то точного. Так что всё, что вы действительно знаете, — это два разных угла, и вы хотите выяснить эти две неизвестные орбиты.
Тао, 00:22:53
Это не кажется достаточной информацией. Даже если вы предположите, что всё находится в плоскости, что вы более или менее можете сделать — это заключить, что все планеты живут в зодиаке, так что это практически плоскостная диаграмма. Это выглядит нерешаемым. В математике, если вы не можете решить задачу, вы сначала пытаетесь решить более простую задачу. Так что давайте решим более простую задачу. Предположим, Марс не движется. Предположим, Марс на самом деле прибит к пространству. Хорошо, тогда вы можете по крайней мере вычислить орбиту Земли.
Можете ли вы подробнее объяснить, откуда мы узнали, что все планеты движутся в одной плоскости?
Орбита Земли лежит в плоскости, известной как эклиптика (именно там происходят лунные и солнечные затмения). Разные культуры по-разному делили эклиптику; в западной астрологии, например, двенадцать основных созвездий, пересекающих эклиптику, известны как Зодиак. Можно наблюдать, что планеты блуждают только по Зодиаку, но не по другим созвездиям: например, Марс можно наблюдать в Раке или Весах, но никогда в Орионе или Большой Медведице. Из этого можно сделать вывод (по крайней мере, в первом приближении), что все планеты лежат в плоскости эклиптики.
Однако это не совсем так, и планеты отклоняются от эклиптики на небольшой угол, известный как эклиптическая широта. Наблюдения Тихо Браге за этими широтами для Марса были дополнительным полезным кусочком данных, который помог Кеплеру завершить свои расчёты (в основном, подсказав, как соединить разные «кусочки пазла»), но математика здесь становится несколько сложной, поэтому история была несколько упрощена для передачи основных идей.
Есть ли другие универсальные советы по решению этих проблем?
У Гранта Сандерсона есть список (в несколько ином порядке) в предыдущем видео.
Сандерсон, 00:23:16
Если бы Марс был неподвижен в пространстве вот так, тогда эти два направления по крайней мере были бы достаточны, чтобы сказать вам, где находится Земля, по крайней мере, относительно этого фиксированного местоположения для Марса и фиксированного местоположения для Солнца. Вы бы по сути нарисовали эти две линии и нашли пересечение. Так что если у вас есть данные для многих разных ночей в этой идеализированной гипотезе, вы могли бы нанести на график, где находится Земля в каждую ночь, и таким образом увидеть, как она движется вокруг Солнца, по крайней мере, относительно этих двух фиксированных местоположений для Марса и Солнца.
Можно ли определить положение Земли по фиксированным положениям Солнца и Марса, когда Солнце и Марс находятся в соединении (одинаковое положение на небе) или оппозиции (противоположные положения на небе)?
Технически, это два момента, когда метод триангуляции перестаёт быть точным; и также в первом случае крайне сложно наблюдать Марс из-за близости к Солнцу. Но опять же, следуя «Универсальному совету по решению проблем» из 23:07, следует сначала игнорировать эти трудности, чтобы найти работоспособный метод, а затем исправить эти проблемы позже. Эта серия нескольких видео от Welch Labs более подробно рассматривает методы Кеплера.
00:23:45 — Итак, вы всё ещё не знаете абсолютных расстояний.
Тао, 00:23:47
Так что если бы у вас было два фиксированных ориентира — Солнце и Марс, тогда вы могли бы вычислить орбиту Земли. Но Марс, конечно, движется. Так как же провести триангуляцию, когда что-то движется? Так вот в чём гениальность… Кеплер знал благодаря Копернику, что каждые 687 дней Марс возвращается туда, где он был раньше. Так что если он возьмёт данные, выберет временной ряд с интервалами в 687 дней, тогда в этом временном ряду Марс будет опорной точкой.
Итак, Кеплер использовал вычисленное Коперником значение в 687 дней для периода обращения Марса. Но разве Кеплер не отверг коперниковскую теорию круговых орбит?
Отличный вопрос! Оказывается, расчёты Коперника орбитальных периодов весьма устойчивы (особенно при наличии данных, накопленных за столетия) и остаются справедливыми даже тогда, когда орбиты не являются идеально круговыми. Но даже если бы эти расчёты действительно опирались на гипотезу о круговых орбитах, коперниковскую модель всё равно можно было бы использовать в качестве первого приближения для определения периода. Это позволило бы получить более точное, но всё ещё приблизительное описание орбит планет. Эти данные, в свою очередь, можно было бы подставить обратно в расчёты по Копернику, чтобы найти второе приближение периода, которое затем позволило бы ещё сильнее уточнить форму орбит. Благодаря разделу математики, известному как теория возмущений, подобные итерационные процессы часто можно довести до сходимости к точному решению: ошибка каждого последующего приближения будет меньше ошибки предыдущего. (Однако проведение таких вычислений, вероятно, превышало вычислительные возможности эпохи Кеплера; кроме того, математический фундамент теории возмущений опирается на математический анализ, который был разработан лишь несколько десятилетий спустя после Кеплера.)
00:24:19 — Браге наблюдал за Марсом десять лет, в этом наборе данных было как раз достаточно информации.
Сандерсон, 00:24:25
Возможно, стоит прояснить, как именно это работает. Как мы говорили, в данную ночь, используя эти два разных направления, вы можете определить местоположение Земли относительно того, где в данный момент находится Марс. Так что если вы подождёте 687 дней, и Марс вернётся в то же самое местоположение, вы получите ещё одну точку данных для Земли относительно этого же места. Используя данные за 10 лет, это даёт вам пять разных местоположений, где находится Земля, но опять же это зависит от того, где именно в пространстве находится Марс.
Было ли у Браге ровно 10 лет данных о положениях Марса?
На самом деле, это было скорее около 17 лет, но со множеством пропусков, обусловленных как неблагоприятными погодными условиями, так и тем, что Браге в некоторые годы переключал внимание на другие астрономические объекты, помимо Марса; также в моменты соединения Марс мог быть виден только на дневном небе, а не на ночном, что также осложняло измерения. Таким образом, «кусочки пазла» в 25:26 на самом деле сложнее, чем просто пять точек, равноотстоящих во времени; есть пропуски, а также наблюдательные погрешности, с которыми нужно справляться. Но чтобы понять метод, следует игнорировать эти осложнения; опять же, см. «Универсальный совет по решению проблем №1». Даже с его «идеей истинного гения» Кеплеру потребовались многие годы дальнейших кропотливых вычислений, чтобы вывести свои законы движения планет из неупорядоченных и неполных наблюдательных данных Браге.
00:24:52 — Если вы немного сдвинете его [Марс], это сдвинет подразумеваемые пять точек для Земли. Я выделю их немного другим цветом, а затем представьте, что вы смотрите всего на пару дней позже на другое местоположение Марса, а затем берёте аналогичный временной ряд, снова с интервалом в этот марсианский год, чтобы получить ещё пять позиций для Земли, но теперь они зависят от этого другого местоположения для Марса. Конечно, вы не знаете точно, как движется Марс, поэтому вы не знаете точно, где находятся эти пять точек, но если это всего на день позже, Марс сдвинется лишь немного, и вы знаете, что эти пять точек должны были сдвинуться лишь немного.
00:25:24 — Так что у Кеплера есть, по сути, эта массивная головоломка, где каждый кусок выглядит как пять точек для того, где находится Земля, при условии загадочного местоположения для Марса. Зная, что все эти куски должны подходить друг к другу с интервалом примерно в день, он смог собрать их все вместе, чтобы получить согласованную орбиту для Земли относительно определённой согласованной орбиты для Марса.
00:25:44 — Чтобы было ясно: ничто в этом [наборе данных] не говорит вам об абсолютных расстояниях, это просто даёт вам форму орбиты. Но даже при этом он смог увидеть то, что никто до него никогда не видел: эта орбита — не круг, это эллипс. И он даже смог найти другие интересные факты, например, как площадь, которую Земля описывает, когда она движется по этой орбите, одинакова для данного периода времени, независимо от того, где на эллипсе она находится.
00:26:07 — И как только у вас есть представление о форме орбиты Земли, это значительно облегчает вывод орбиты Марса или любой другой планеты.
Тао, 00:26:13
Вы можете сделать это в обратном порядке. Если вы возьмёте одну фиксированную точку Марса, вы можете взять измерения с Земли и теперь вычислить местоположение Марса
Сандерсон, 00:26:25
Это измерение угла может не показать вам расстояние до Марса в одну ночь, но если вы возьмёте пять отдельных ночей с интервалом в 687 дней (то есть вы знаете, что Марс находится в одной и той же точке пространства в эти пять разных дней), тогда вы получите эти пять разных углов, которых более чем достаточно, чтобы помочь вам провести триангуляцию того, где находится Марс, по крайней мере, относительно орбиты Земли. Когда вы сделаете это для многих разных смежных временных рядов, вы сможете нарисовать точную орбиту Марса в течение этих 687 дней.
Не должна ли орбита Земли быть более растянутой в перигелии и более сгруппированной в афелии, чтобы соответствовать законам Кеплера?
Да, вы правы; здесь была ошибка в коде.
Тао, 00:26:52
Эйнштейн однажды написал предисловие к книге по астрономии, и он упомянул эту идею, назвав её идеей чистого гения. Ему [Кеплеру] нужны были данные, я имею в виду не только данные Тихо, но и данные Коперника, которые пришли ещё от вавилонян. Так что период Марса — это был план столетия. Но он смог собрать всё это вместе с тем, что мы теперь назвали бы анализом данных.
Каков источник цитаты Эйнштейна об «идее чистого гения»?
На самом деле, точная цитата звучит как «идея истинного гения», и её можно найти во введении к книге Каролы Баумгардт «Жизнь Кеплера».
Сандерсон, 00:27:16
Опять же, вы всё ещё не знаете абсолютных расстояний. Это даёт вам формы обеих орбит, и делая что-то подобное, вы можете получить формы всех других планетных орбит относительно орбиты Земли. Но для Кеплера и его современников точный масштаб Солнечной системы оставался загадкой. Это как если бы они могли нарисовать точную картину, но не знали размера бумаги. Так что с этого момента астрономы начали охоту на способ измерить любое расстояние, которое они смогли бы, в нашей Солнечной системе.
00:27:42 — Потому что если бы они могли измерить точно, то всего одного расстояния было бы достаточно, чтобы зафиксировать всё остальное. В следующей части мы продолжим интервью, и вы увидите, как это было сделано впервые, и как, когда у вас наконец появится точное измерение расстояния между Землёй и Солнцем, вы сможете использовать его, чтобы вывести скорость света, расстояние до ближайших звёзд и, в конечном итоге, расстояние до самых далёких наблюдаемых галактик.
00:28:03 — Если вы хотите быть в курсе следующей части, обязательно подпишитесь на 3Blue1Brown на той платформе, где вам больше всего нравится следить за контентом.
Комментарии к «вырезанной сцене» об Аль-Бируни
Ссылка на видео, размещенное в ВК-Видео https://vkvideo.ru/clip-237142405_456239020
1. Действительно ли Аль-Бируни был арабского происхождения?
Строго говоря, нет; все его труды написаны на арабском языке, и он формально был подданным Аббасидского халифата, правители которого были арабами; но он родился в Хорезме (на территории современного Узбекистана) и был подданным либо Саманидской империи, либо Хорезмийской империи, обе из которых были в значительной степени самоуправляемыми и преимущественно персидскими по культуре и этническому составу, несмотря на формальную вассальную зависимость от Халифата. Таким образом, он был частью того, что иногда называют «Большой Персией» или «Большим Ираном».
Ещё одно незначительное исправление: хотя Аль-Бируни родился в X веке, его работа по измерению Земли была опубликована в начале XI века.
2. Действительно ли угол θ называется углом склонения?
Это было неточностью с моей стороны; этот угол чаще называют углом наклона (dip angle).
3. Но высота горы была бы настолько мала по сравнению с радиусом Земли! Как мог этот метод работать?
Используя приближение Тейлора 
, можно приблизительно записать соотношение 
между высотой горы 
, радиусом Земли 
и углом наклона горизонта 
(в радианах) в виде 
. Ключевым моментом здесь является обратно квадратичная зависимость от , которая позволяет даже относительно малым значениям 
оставаться практически полезными для вычисления . Измерение угла наклона , выполненное Аль-Бируни, составляло около 0,01 радиана, что привело к оценке , которая примерно на четыре порядка больше, чем , что по крайней мере попадает в диапазон типичной высоты горы (порядка километра) и радиуса Земли (6400 километров).
4. Действительно ли метод был точен в пределах одного процента?
Это оспаривается, несколько аналогично предыдущим расчётам Эратосфена. Измерения Аль-Бируни проводились в локтях, но в то время использовалось несколько несовместимых типов локтя. Также было отмечено, что эффекты атмосферной рефракции создавали бы заметные изменения в наблюдаемом угле наклона 
. Таким образом, вероятно, истинная точность метода Аль-Бируни была хуже 1%, но это каким-то образом компенсировалось выбором благоприятного коэффициента пересчёта между локтями и современными единицами измерения.
Вторая часть: Теренс Тао продолжает рассказывать об истории космологических измерений
Сандерсон, 00:00:00
Эта анимация изменяет масштаб, уменьшая его в 10 раз каждые две секунды. Возможно, вы уже видели подобные ролики, демонстрирующие умопомрачительные масштабы нашей Вселенной, но в этом видео мы с вами продолжим эту историю, продолжим проходить через множество моментов восхитительной изобретательности на протяжении всей человеческой истории, которые привели нас к открытию того, насколько далеко на самом деле находятся объекты в космосе. Понимание того, как мы узнаём эти расстояния, для меня даже более удивительно, чем сами расстояния. Это вторая часть нашей совместной работы с Теренсом Тао, и ничего страшного, если вы ещё не видели первую часть.
00:00:30 — Каждое видео должно быть относительно самодостаточным. Поясним контекст: мы остановились на гениальном методе Кеплера для определения форм всех орбит планет вокруг Солнца, так что люди уже знали, как выглядит Солнечная система, но у них всё ещё не было точного представления о её масштабах. Это заставляло астрономов искать способы измерить любое расстояние в этой системе, которое они смогли бы… Например, насколько далеко в данный момент находится та или иная планета от Земли? Ведь этого было бы достаточно, чтобы зафиксировать всё остальное на своих местах.
00:00:57 — Признаюсь, хотя я смутно понимал, как это делалось раньше, я определённо не мог оценить всю хитроумность деталей…
Тао, 00:01:04
Можно было измерить расстояние до такой планеты, как Венера, сделав два измерения с разных сторон Земли примерно во времена капитана Кука, когда они путешествовали, открывая Австралию. Отчасти причиной этого была научная миссия: они хотели узнать расстояние до Венеры, Марса и так далее. Они хотели, чтобы люди делали точные измерения, например, одно в Гринвиче в Великобритании, а другое где-то в Южном полушарии, в точно одно и то же время для одного и того же объекта.
Отправлялся ли капитан Кук в плавание с целью открыть Австралию?
Одной из задач первого плавания Кука было открытие гипотетического континента Терра Австралис. Считалось, что он отличался от Австралии, которая в то время была известна как Новая Голландия. Как можно понять из этого названия, до плавания Кука северо-западное побережье Новой Голландии уже было исследовано голландцами; Кук же исследовал восточное побережье, назвав эту часть Новым Южным Уэльсом. Позже весь континент был переименован британским правительством в Австралию по предложению Мэтью Флиндерса, а концепция Терра Австралис была отвергнута.
Сандерсон, 00:01:27
Ключевая идея здесь заключается в том, что когда вы плывёте в южное полушарие и наблюдаете данный объект в небе, его положение на небе, скажем, относительно фоновых созвездий, будет казаться смещённым вверх по мере того, как угол вашего луча зрения медленно меняется в зависимости от вашего положения. Мы называем это параллаксом.
Тао, 00:01:43
Это тот же параллакс, который мы используем при бинокулярном зрении. Наши глаза находятся на определённом расстоянии друг от друга, и поэтому мы можем определять глубину или любое расстояние, которое не слишком сильно превышает расстояние между нашими глазами. Просто теперь мы придумали, как сделать два «глаза» по разные стороны Земли.
Сандерсон, 00:01:54
Итак, если вы хотите превратить это в измерение, сначала нужно понять вот эту линию, соединяющую две разные точки наблюдения: как её расстояние, так и её направление. Поскольку люди знали размер Земли и могли определить, где они находятся на Земле, эта задача была решаемой. Затем сложная часть: для первого наблюдателя сделать достаточно точное измерение угла обзора на этот объект. Им нужно определить вот этот угол здесь, и для второго наблюдателя сделать то же самое. Если вы сможете это сделать, у вас получится треугольник, в котором вы знаете все три угла, а также знаете длину одной из сторон.
00:02:24 — Это означает, что с помощью несложной тригонометрии вы можете вычислить длину любой стороны, что скажет вам, насколько далеко этот объект находится от одного из наблюдателей. Сейчас то, как я это рисую здесь, выглядит почти легко, но для реального измерения в реальном мире нужно иметь в виду, насколько всё далеко находится на самом деле. Если мы увеличим масштаб так, чтобы они оба смотрели на что-то столь же далёкое, как Луна, это будет выглядеть примерно так. Но Луна, с космологической точки зрения, на самом деле довольно близка.
00:02:47 — Поэтому, даже если они оба смотрят на ближайшую планету, Венеру, когда она находится в своей абсолютной близости к Земле, она находится примерно в 39 миллионах километров, что более чем в 6000 раз превышает радиус Земли. Итак, возвращаясь к масштабу этих двух наблюдателей: даже если бы их разместили максимально далеко друг от друга, одного на вершине Земли, а другого на противоположном полюсе Земли, то эти два луча зрения были бы почти параллельны.
00:03:11 — Если вы проделаете небольшие тригонометрические вычисления, то обнаружите, что если они оба смотрят на Венеру в её абсолютной ближайшей точке, разница в угле между этими двумя линиями составляет около 1 угловой минуты, то есть 1/60 градуса. Поэтому, чтобы это сработало, ваши измерения должны быть чрезвычайно точными, и вы должны быть абсолютно уверены, что оба наблюдателя действительно смотрят на одно и то же в один и тот же момент.
00:03:53 — Это та часть, которую я не оценил, в частности, насколько всё на самом деле чувствительно. Итак, в северном полушарии, если вы наблюдаете прохождение Венеры, возможно, это выглядит примерно так, а далеко, в какой-то точке в южном полушарии, из-за параллакса Венера будет казаться расположенной выше. И по сути вы хотите узнать, насколько именно выше. Эта анимация сильно преувеличивает разницу. В реальности два изображения выглядели бы гораздо, гораздо более похожими, больше вот так.
00:04:20 — И помните, что ещё не было фотографии, так что нельзя было просто сделать снимки и внимательно их сравнить. Когда вы смотрите на Солнце в небе, оно занимает около 32 угловых минут угла обзора, и это они могли бы измерить. Отклонение угла обзора на Венеру для этих двух наблюдений составляло бы долю угловой минуты, поэтому, чтобы точно измерить, какова эта доля, каждый наблюдатель не должен пытаться напрямую описать, где она находится, вместо этого они должны измерять продолжительность прохождения, а именно: сколько времени проходит с момента, когда силуэт Венеры впервые появляется на диске, до момента, когда он его покидает?
Относительное положение наблюдений в Северном и Южном полушариях показано наоборот по сравнению с более ранними фрагментами видео.
Да, это была небольшая ошибка в анимации; для сохранения согласованности ориентации метки здесь следовало бы поменять местами.
00:04:53 — Очень важно понимать, что они знали, насколько быстро Венера и Солнце движутся по небу в это время, и это позволило им рассчитать, сколько времени должно потребоваться видимому положению Венеры, чтобы пересечь расстояние, скажем, одного диаметра Солнца, и это будет около 7 часов.
00:05:07 — Я не буду слишком подробно останавливаться на деталях того, как это рассчитать, но в общем, поскольку Земля и Венера обе вращаются вокруг Солнца, угол этой линии обзора здесь, от Земли через Венеру, — это то, что они хорошо понимали, поскольку благодаря Кеплеру они знали относительные формы орбит и сколько времени требуется каждой планете, чтобы обойти вокруг Солнца. Так что в принципе они могли рассчитать, сколько времени должно потребоваться этой линии, чтобы пройти те 32 угловые минуты на небе, которые занимало Солнце. Суть в том, что, измеряя продолжительность прохождения из этих двух разных мест, можно определить длины этих двух линий, проведённых по диску Солнца. Они очень похожи.
00:05:46 — Но измеримо различимы, и с помощью небольшой геометрии окружности длины этих линий подскажут вам, насколько далеко они друг от друга — та доля угловой минуты, разделяющая два наблюдения. И тогда это, в свою очередь, исходя из всего, что мы обсуждали ранее, позволит вам определить, насколько далеко находится Венера, зная расстояние между этими наблюдателями. Это для меня выглядит довольно хитроумно. Именно Эдмонд Галлей первоначально придумал эту идею, но, к сожалению, он не дожил до момента, когда мог бы увидеть её реализацию.
00:06:14 — Прежде чем двигаться дальше, я просто обязан рассказать вам историю Гийома Лежантиля. Он был ещё одним исследователем, которому также было поручено сделать одно из этих измерений для прохождения Венеры, конкретно для прохождения 1761 года, но ему помешала Семилетняя война, и он всё ещё находился в море, когда произошло прохождение, поэтому он не смог сделать измерение. Следующее прохождение Венеры должно было состояться через 8 лет, но следующая возможность появилась бы через 105 лет, поэтому он решил продлить своё путешествие, заняться кучей других исследовательских дел и поймать следующее прохождение. К 1769 году он был полностью готов на Филиппинах, но в тот день было облачно, поэтому он ничего не смог увидеть. Когда он наконец вернулся во Францию, он обнаружил, что его объявили мёртвым, его жена снова вышла замуж, а его родственники разграбили его имение. Помните, что причина, по которой люди так стремились к этому измерению, заключалась в том, что наличие этого, всего лишь одного, измерения было достаточно, чтобы зафиксировать масштаб всей Солнечной системы, поэтому, как только они получили бы его, они автоматически узнали бы любое другое связанное с ним расстояние.
Итак, когда им наконец удалось измерить прохождение Венеры и использовать это для вычисления астрономической единицы?
Хотя Лежантилю не повезло, и он не смог провести наблюдения ни прохождения 1761 года, ни прохождения 1769 года, другие экспедиции астрономов (под руководством Диксона-Мейсона, Шаппа д'Отроша и Кука) всё же провели измерения одного или обоих прохождений с различной степенью успешности. При этом измерения команды Кука во время прохождения 1769 года на Таити отличались особенно высоким качеством. Все эти данные были позднее собраны Лаландом в 1771 году, что позволило получить на тот момент наиболее точное измерение астрономической единицы (с погрешностью 2,3% относительно современных значений — примерно в три раза точнее любых предыдущих измерений).
Тао, 00:07:08
Это на самом деле было важно, потому что вам нужно сделать это измерение, чтобы в итоге вычислить расстояние до Солнца. Расстояние до Солнца — это самая важная ступенька лестницы, она называется астрономической единицей. Почти всё, что находится за пределами Солнечной системы, измеряется в терминах астрономической единицы. И поэтому им нужны были действительно точные её оценки.
Сандерсон, 00:07:24
Учитывая то, что мы только что увидели, вы, возможно, сможете догадаться, как можно использовать эту астрономическую единицу для измерения расстояния до близких звёзд. Но прежде чем мы перейдём к этому, на самом деле есть ещё одно хитроумное умозаключение, которое вы можете сделать, как только узнаете это расстояние, невероятно важное для физики.
Тао, 00:07:39
Рёмер измерял Юпитер, а у Юпитера есть маленький спутник по имени Ио. Ио вращается вокруг Юпитера очень-очень быстро, потому что он очень близок к Юпитеру. Нашей Луне требуется 28 дней, чтобы обойти вокруг Земли. Ио требуется 42 часа. Это чрезвычайно быстро. Если вы наблюдаете Юпитер в телескоп, вы видите Ио, который является этой белой точкой, уходящей за Юпитер и затем выходящей обратно.
Сандерсон, 00:08:01
Выходя, входя, выходя. Рёмер записывал один точный момент для каждого из этих циклов. Видите ли, Ио темнеет, когда попадает в тень Юпитера, что он и делает каждый цикл, потому что Юпитер просто такой большой. Когда он появляется, он снова становится ярким. Наблюдая за ним в телескоп ночь за ночью, вы можете отметить точное время, когда он снова появляется в поле зрения. И если вы делаете это много раз, вы заметите, что это происходит с интервалами в 42 часа.
Тао, 00:08:25
Как по часам. За исключением того, что это было не как по часам. Итак, Рёмер наблюдал, как Ио движется туда-сюда, туда-сюда в течение месяца. И он заметил, что в разное время года Ио опережал график или отставал от него. Итак, я дам вам картинку. Земля движется вокруг Солнца, Юпитер также движется вокруг Солнца. Итак, когда вы измеряете орбиту Ио, она была на 20 минут раньше, когда Земля находилась на той же стороне, что и Юпитер, чем когда Земля находилась на противоположной стороне от Юпитера.
Что означает, что прохождение Ио происходит «на двадцать минут раньше расписания», когда Юпитер находится в противостоянии (Юпитер находится напротив Солнца при наблюдении с Земли)?
На самом деле, это значение следует разделить пополам: «на десять минут раньше расписания» при противостоянии и «на десять минут позже расписания» при соединении, так что суммарное расхождение составляет двадцать минут (или, если измерять современными методами, ближе к 16 минутам). Оба прохождения сравниваются с идеализированным периодическим графиком, в котором прохождения происходят с абсолютно регулярной частотой (около 42 часов), причём период выбирается как наилучшее приближение к реальным данным. Это расхождение становится заметным только после тщательного сравнения времён прохождений в течение нескольких месяцев: в любой конкретной позиции Юпитера доплеровские эффекты, вызванные движением Земли навстречу или от Юпитера, сдвигают каждое отдельное прохождение всего на несколько секунд по сравнению с предыдущим, и задержки или ускорения становятся кумулятивно заметными лишь после множества таких прохождений.
Кроме того, изложение здесь дано упрощенно: во времена соединения Юпитер и Ио находятся слишком близко к Солнцу для наблюдения прохождений. Рёмер на самом деле наблюдал прохождения в другие моменты, а не только при соединении, а Гюйгенс использовал более сложную тригонометрию, чем представлено здесь, чтобы вывести измерение скорости света в терминах астрономической единицы (которую к тому времени уже начали измерять несколько точнее, чем во времена Аристарха; см. ответ на вопрос для 15:17 в первом видео).
00:08:58 — Это занимало на 20 минут дольше. Была задержка в орбите. Итак, он измерил это после некоторых очень точных вычислений. И Гюйгенс понял, что причина этого в том, что свету требовалось 20 минут, чтобы преодолеть это дополнительное расстояние. Итак, две астрономические единицы преодолеваются примерно за 20 минут.
Сандерсон, 00:09:17
Это так хитроумно.
Тао, 00:09:18
Да, да, да, да, да.
Сандерсон, 00:09:19
Исторически всё это было до измерения расстояния до Венеры, поэтому в то время они на самом деле не знали истинную длину астрономической единицы. Поэтому их оценки скорости света, откровенно говоря, не выглядят так впечатляюще, но в то время не было даже очевидно, что у света есть скорость. Для большинства экспериментов, которые вы могли провести здесь, на Земле, в то время, он казался просто мгновенным. Но в астрономических масштабах свет на самом деле очень медленный, и этот весьма хитроумный способ измерения его скорости путём наблюдения за Ио, хотя и неточный, заложил основу для более точных экспериментов здесь, на Земле, как только у людей появилось хотя бы приблизительное представление о том, насколько быстро он на самом деле распространяется.
00:09:53 — Мне очень это нравится, потому что возвращает нас к лестнице расстояний. В наши дни, с развитием технологий, более точный способ, которым мы измеряем расстояния до таких планет, как Венера, — это не параллакс, а использование радара, но это, конечно, опирается на знание скорости света. А теперь давайте наконец покинем нашу Солнечную систему и измерим расстояния до близких звёзд. Опять же, вы можете использовать параллакс, это по сути идентичные рассуждения о том, как мы получили расстояние до Венеры, только на этот раз две точки наблюдения — это не противоположные стороны Земли, а противоположные стороны орбиты Земли.
Не перепутаны ли здесь астрологические знаки Земли и Венеры?
Да, это была небольшая ошибка в анимации.
00:10:24 — То есть вы измеряете звезду в одно время года, а затем ждёте ещё шесть месяцев, чтобы Земля оказалась на другой стороне Солнца, делаете ещё одно измерение и сравниваете два угла. Опять же, в демонстрационных целях я буду рисовать эту звезду нереалистично близко.
Разве не следует учитывать эллиптичность орбиты Земли, а также собственное движение наблюдаемой звезды или эффекты общей теории относительности?
Разве не следует учитывать эллиптичность орбиты Земли, а также собственное движение наблюдаемой звезды или эффекты общей теории относительности?
Да; приведённое здесь изложение является упрощённым и служит для передачи общей идеи метода. Однако в самых точных измерениях параллакса, например, выполненных космическими аппаратами «Hipparcos» и «Gaia», эти факторы учитываются, в основном путём выполнения как можно большего числа измерений (не только двух) одной и той же звезды и подбора наилучшего соответствия данных многопараметрической модели, которая включает (известную) орбиту Земли, (неизвестные) расстояние и движение звезды, а также дополнительные гравитационные эффекты от других небесных тел, таких как Солнце и планеты.
00:10:39 — В принципе, в течение 6 месяцев линия обзора от Земли к звезде медленно меняет угол, поэтому положение этой звезды на небе должно медленно дрейфовать в течение этих месяцев, и это очень тонкий эффект, но вы действительно можете увидеть это на практике. Вот здесь — это таймлапс очень сильно приближённого вида на нашего ближайшего соседа, Проксиму Центавра, сделанный в течение шести месяцев, и вы можете видеть, что за это время она действительно мягко дрейфует относительно фоновых звёзд. Но как и прежде, самая потрясающая часть — это оценить, насколько тонким является этот эффект, и поэтому насколько впечатляющим является то, что люди смогли использовать это для расчётов ещё в 19 веке.
00:11:16 — Давайте на самом деле проработаем математику этого. Предположим, звезда находится на данном расстоянии d, и чтобы всё упростить, давайте предположим, что она перпендикулярна этой соединительной линии между нашими двумя точками наблюдения. Этот угол здесь, φ, представляет половину изменения угла обзора между этими двумя наблюдениями. Тангенс этого угла, противолежащий катет к прилежащему, даёт вам отношение между одной астрономической единицей и расстоянием между этой звездой и нашим Солнцем.
00:11:43 — Немного перегруппировав, это изменение угла выглядит как 2, умноженное на арктангенс этого отношения. Так каково это отношение? Ну, для той ближайшей звезды, о которой я упоминал, Проксимы Центавра, она находится на расстоянии более 40 триллионов километров, что составляет более 4 световых лет и примерно в 260 000 раз больше астрономической единицы.
00:12:03 — Если вы подставите это в формулу, это изменение угла от двух точек наблюдения является крошечной, мизерной долей градуса. Позвольте мне посмотреть, смогу ли я показать вам, насколько это мало. Вот круг, представляющий 360 градусов полного угла обзора, и если мы увеличим масштаб очень близко к 1 градусу, вы вспомните, что я упоминал ранее, что Солнце, а также Луна, если уж на то пошло, занимают около половины градуса угла обзора, и мы говорим об этом как о разделении градуса на 60 угловых минут.
00:12:28 — Если вы увеличите масштаб ещё дальше до 1 угловой минуты, она обычно делится на 60 угловых секунд. В своём наибольшем размере Юпитер будет занимать около 50 угловых секунд угла обзора. Так что этот параллакс для Проксимы Центавра, ближайшей звезды, составляет всего около 1,5 угловых секунд. Чтобы по-другому представить это в перспективе, это примерно тот же угловой размер, как если бы вы держали десятицентовую монету перед собой, но на расстоянии двух с половиной километров, в миле с половиной от того места, где находится ваш глаз.
00:12:57 — И это ближайшая звезда, дальше становится только хуже. Первое измерение такого рода было успешно проведено в 1838 году Фридрихом Бесселем. Это была не Проксима Центавра, они не смогли бы узнать, какая звезда ближайшая. Но в течение следующего столетия были предприняты монументальные усилия для проведения ещё многих измерений, чтобы попытаться каталогизировать как можно больше звёзд.
00:13:16 — Но эта идея параллакса действительно работает только для крошечной части нашей галактики. Поэтому, чтобы выяснить полный размер Млечного Пути, требуется новая идея.
Тао, 00:13:25
Грубо говоря, Млечный Путь — это... я не могу нарисовать спираль. Ладно, это снова... Может быть, ваша графика может быть намного лучше того, что я рисую здесь. Хорошо. Итак, наше Солнце находится на одном из рукавов. Так что, используя параллакс, примерно к 19 веку было около тысячи звёзд, достаточно близких к Солнцу, чтобы было возможно узнать, насколько далеко эти звёзды находятся, это около 10…100 световых лет.
00:13:57 — Итак, они знали, насколько далеко находятся эти звёзды, и они знали, насколько яркими они казались, и поэтому они знали, насколько яркими они были на самом деле, по закону обратных квадратов распространения света.
Сандерсон, 00:14:05
Просто чтобы прояснить это немного более явно, если вы представите, что у вас есть какая-то звезда в космосе, излучающая кучу света во всех направлениях, то на данном расстоянии весь этот свет равномерно распределён по сфере. Так что если вы находитесь на этом расстоянии и измеряете яркость с помощью какого-то маленького участка площади, возможно, это представляет вашу камеру, или фотосенсор, или ваш зрачок, что-то в этом роде, количество света, которое вы получаете, зависит от пропорции этой общей сферы, которую представляет ваша маленькая площадь.
00:14:32 Просто чтобы прояснить это немного более явно, если вы представите, что у вас есть какая-то звезда в космосе, излучающая кучу света во всех направлениях, то на данном расстоянии весь этот свет равномерно распределён по сфере. Так что если вы находитесь на этом расстоянии и измеряете яркость с помощью какого-то маленького участка площади, возможно, это представляет вашу камеру, или фотосенсор, или ваш зрачок, что-то в этом роде, количество света, которое вы получаете, зависит от пропорции этой общей сферы, которую представляет ваша маленькая площадь.
Формула для видимой звёздной величины, которой меня учили, выглядит немного иначе, чем здесь.
Это связано с тем, что астрономы используют логарифмическую шкалу для измерения как видимой звёздной величины m, так и абсолютной звёздной величины M. Если прологарифмировать закон обратных квадратов из видео и выполнить нормировки, используемые астрономами для определения звёздной величины, то получится стандартное соотношение 
между абсолютной и видимой звёздной величиной.
Однако это упрощение, в первую очередь из-за игнорирования эффектов экстинкции, вызванных межзвёздной пылью. Это не является серьёзной проблемой для относительно небольших расстояний, измеряемых методом параллакса, но создаёт трудности на более крупных масштабах космической лестницы расстояний (см., например, ответ на вопрос для 18:08). Чтобы компенсировать это, можно работать в нескольких диапазонах спектра (видимый свет, рентген, радиодиапазон и т.д.), поскольку некоторые частоты менее подвержены экстинкции, чем другие. По расхождениям между этими диапазонами можно оценить величину экстинкции и создать «карты пыли», которые затем используются для внесения поправок в последующие измерения в той же области Вселенной. (В более общем плане, современная астрономия движется в сторону «многоканальной астрономии» (multi-messenger astronomy), где объединяются измерения совершенно разных типов одного и того же объекта для получения более точного понимания этого объекта и его окружения.)
00:15:00 — Таким образом, для всех тех звёзд, расстояние до которых мы могли измерить с помощью параллакса, измеряя также видимую яркость, астрономы могли узнать их абсолютную яркость. Другое, что они могли наблюдать, — это цвет всех этих звёзд, частота света, который они излучают, что на самом деле невероятно полезно. Например, вы можете начать искать закономерности в этих данных.
00:15:20 — Представьте, что вы организуете все свои звёзды на графике, где по оси X мы будем сортировать их по цвету, общепринятая, кажущаяся немного странной конвенция, когда более высокочастотный свет, например синий, идёт слева, а более низкочастотный, например красный, — справа. Затем по оси Y вы можете сортировать в соответствии с абсолютной яркостью этих звёзд, которую, опять же, вы можете определить, зная их расстояние и используя закон обратных квадратов.
Тао, 00:15:41
Тысяча точек данных интенсивности и цвета, и это — главная последовательность. Большинство звёзд живут на этой последовательности.
Сандерсон, 00:15:50
Это известно как диаграмма Герцшпрунга – Рассела, первоначально созданная около 1911 года. Данные, которые вошли в неё, однако, представляют собой десятилетия усилий, большая часть которых была сделана группой женщин в Гарвардской колледжской обсерватории, широко известных как «Гарвардские вычислительницы». Диаграмма показывает, как цвет звезды может рассказать вам что-то о её абсолютной яркости. Эта главная последовательность представляет один очень распространённый тип звёзд, она включает наше Солнце в фазе его эволюции, когда оно сжигает водород в своём ядре.
00:16:18 — Звёзды в этой категории, которые больше и ярче, также имеют тенденцию быть горячее, и у них излучение абсолютно чёрного тела смещено больше в синюю сторону, в то время как те, которые меньше, холоднее, и они излучают больше в красной стороне. Так что если вы видите какую-то звезду очень далеко, слишком далеко для измерений параллакса, и если вы также знаете, что она должна попадать в эту главную последовательность (подробнее об этом через мгновение), её цвет может сказать вам её абсолютную яркость, вы подгоняете её к этой кривой, а затем, сочетая её видимую яркость с законом обратных квадратов, вы можете определить, насколько далеко она находится.
00:16:49 — Теперь вы можете спросить: как бы вы узнали, что звезда должна попадать в эту главную последовательность? Полная диаграмма гораздо более пятнистая, чем чистая линия, в ней много разных компонентов, представляющих разные типы звёзд. То, что нужно иметь в виду, — это то, что информация о цвете, которую вы получаете от звезды, гораздо богаче, чем то, что могло бы передать одно число на этой оси X. Например, вот это представляет все относительные интенсивности света, который мы получаем от нашего Солнца на многих разных длинах волн.
00:17:15 — Это то, что мы называем его спектром. Это обычная картина, которую вы видите: у вас есть общий горб, представляющий излучение абсолютно чёрного тела, при этом определённые длины волн сильно уменьшены. Они соответствуют длинам волн света, поглощаемого атомами в Солнце, и то, где именно эти линии поглощения находятся, расскажет вам, какие атомы находятся в звезде, и это помогает классифицировать, к какому типу звёзд она вообще принадлежит.
00:17:38 — Так, например, в то время как эти гарвардские вычислительницы проводили массу детального анализа спектров от всех этих звёзд, некоторые из них, включая Антонию Мори и Энни Кэннон, придумали очень полезные системы классификации для этих звёзд на основе спектров. Вы можете использовать эту схему классификации, чтобы определить, в какой кластер вы ожидали бы, что данная звезда попадёт на этой диаграмме Герцшпрунга – Рассела.
00:17:59 — Например, должна ли она быть в этой главной последовательности или это что-то совсем другое, например красный гигант.
Тао, 00:18:05
И тогда, как только у вас есть этот закон, вы можете затем пройти по всей галактике и измерить расстояния. Но это перестаёт работать за пределами галактики, потому что каждая отдельная звезда становится слишком тусклой. Галактика — это лишь крошечная часть всей Вселенной. Хорошо, у нас есть одна крошечная галактика здесь. И есть все остальные галактики. И в этих галактиках большинство звёзд, при этом вы не можете измерить яркость отдельной звезды, потому что их просто миллиарды, и все втиснуты в одно и то же место.
Действительно ли мы можем измерить весь Млечный Путь этим методом?
Строго говоря, существует «зона избегания» на дальней стороне Млечного Пути, которую очень трудно измерить в видимой части спектра из-за большого количества промежуточных звёзд, пыли и даже сверхмассивной чёрной дыры в галактическом центре. Однако в последние годы стало возможным в некоторой степени исследовать эту зону с помощью радио-, инфракрасного и рентгеновского диапазонов, которые менее подвержены влиянию этих факторов.
Как астрономы узнали, что Млечный Путь составляет лишь малую часть всей Вселенной?
Этот вопрос был темой «Великого спора» в начале двадцатого века. Только благодаря работам Хаббла, использовавшего закон Левитт для измерения расстояний до Магеллановых облаков и «спиральных туманностей» (которые, как мы теперь знаем, являются другими галактиками), опираясь на более ранние работы Левитт и Герцшпрунга, было окончательно установлено, что эти облака и туманности находятся на гораздо больших расстояниях, чем диаметр Млечного Пути.
00:18:35 — Но есть некоторые удивительно яркие звёзды, они называются цефеидами, это сверхгигантские звёзды, которые в тысячи раз ярче Солнца. Некоторые из них живут в нашей собственной галактике, а некоторые — в других галактиках. Они также сливаются с другими, но вы всё ещё можете как-то измерить их яркость. Эти звёзды — то, что называют переменными звёздами. Большинство звёзд имеют одну и ту же интенсивность всё время. Но у звёзд-цефеид яркость колеблется. Так что у них есть период интенсивности: каждые 20 дней, каждые 10 дней они колеблются.
Как можно компенсировать эффекты смешения света при измерении видимой звёздной величины цефеид?
Это нетривиальная задача, особенно если требуется высокая точность. Использование телескопов с наивысшим доступным разрешением (таких как HST или JWST), безусловно, помогает, как и переход в другие диапазоны, например, ближний инфракрасный, где цефеиды ещё ярче по сравнению с близлежащими не-цефеидами. Также можно применять сложные статистические методы для подгонки под модели распределения света от нежелательных источников и использовать близлежащие измерения той же галактики без цефеиды в качестве эталона для калибровки этих моделей. Повышение точности «цефеидной» ступени космической лестницы расстояний остаётся активной областью исследований в современной астрономии.
Каков механизм, вызывающий колебания цефеид?
У большинства звёзд существует равновесный размер: если радиус звезды сжимается, то уменьшение потенциальной энергии преобразуется в тепло, создавая давление, которое снова выталкивает звезду наружу; и наоборот, если звезда расширяется, она остывает, что приводит к снижению давления, которое больше не противодействует гравитационным силам. Но у цефеид действует дополнительный механизм, называемый каппа-механизмом: повышение температуры при сжатии усиливает ионизацию гелия, что отнимает энергию у звезды и ускоряет сжатие; наоборот, охлаждение при расширении приводит к рекомбинации ионизированного гелия, и высвобождающаяся энергия ускоряет расширение. Если параметры цефеиды попадают в определённую «полосу не стабильности», то взаимодействие каппа-механизма с другими механизмами звёздной динамики создаёт периодические колебания радиуса цефеиды, которые увеличиваются с ростом массы и яркости звезды.
С недавним повторным анализом оригинальных данных Левитт по цефеидам можно ознакомиться в этой статье.
00:18:59 — И оказывается, что чем больше цефеида, тем она ярче, и тем длиннее период. Генриетта Сван Ливитт, астроном 20-го века, измерила все цефеиды, которые смогла, в нашей собственной галактике. Она построила график периода в зависимости от интенсивности, и она обнаружила в основном линейный закон: чем ярче цефеида, тем дольше она колеблется. Как и диаграмма Герцшпрунга – Рассела до этого, это дало «стандартную свечу»: если в галактике случайно оказалась цефеида, вы могли просто наблюдать за ней, определить её период, это дало бы вам её интенсивность.
Изучала ли Левитт в основном цефеиды в нашей галактике?
Это было неточностью в изложении. В своей основополагающей работе Левитт изучала цефеиды в Малом Магеллановом Облаке. В то время расстояние до этого облака не было известно; более того, оставалось предметом спора, находится ли это облако внутри Млечного Пути или на некотором удалении от него. Однако Левитт (правильно) предположила, что все цефеиды в этом облаке находятся примерно на одинаковом расстоянии от нашей Солнечной системы, так что видимая яркость пропорциональна абсолютной. Это дало некалиброванную форму закона Левитт, связывающего абсолютную яркость и период, с поправкой на (тогда ещё неизвестное) расстояние до Малого Магелланова Облака. После работы Левитт несколько исследователей (Герцшпрунг, Рассел и Шепли) предприняли попытки откалибровать закон, используя те немногие цефеиды, для которых были доступны другие методы определения расстояний, например, параллакс. (Прямое использование подгонки главной последовательности на диаграмме Герцшпрунга–Рассела было неприменимо, поскольку цефеиды не лежат на главной последовательности; но в некоторых случаях этот метод можно было использовать косвенно, если цефеида находилась в том же звёздном скоплении, что и звезда главной последовательности.) После калибровки закон можно было применять для измерения расстояний до других цефеид и, в частности, для вычисления расстояний до внегалактических объектов, таких как Магеллановы облака.
Действительно ли закон Левитт является линейным законом между периодом и светимостью?
Строго говоря, соотношение период-светимость, известное как закон Левитт, представляет собой линейную зависимость между абсолютной звёздной величиной цефеиды и логарифмом периода; если «обратить» логарифмы, то получается степенная зависимость между светимостью и периодом.
00:19:32 — Так что теперь, когда вы знаете, насколько яркой она должна быть, и вы знаете, насколько яркой она выглядит, вы можете измерить расстояние но неё. Это дало следующую ступеньку лестницы, так что появилась пара тысяч галактик, до которых вы можете измерить расстояние. Но это, опять же, лишь крошечная часть Вселенной. Вы когда-нибудь видели «Степени десятки»?
Сандерсон, 00:19:48
О да, да, да. Что-то вроде зума и зума. Да.
Тао, 00:19:54
Так что теперь есть что-то вроде локального скопления, где, благодаря Ливитт, вы могли определить расстояния. А затем есть остальная часть Вселенной.
Сандерсон, 00:20:02
Но этого достаточно, чтобы получить данные какого-то рода.
Тао, 00:20:04
Да, да. И так Хаббл, Эдвин Хаббл, измерял все эти галактики, и у них есть определённые спектральные линии. Например, вокруг каждой из этих галактик много водорода, и поэтому есть определённые спектральные линии водорода, которые поглощаются. Есть определённые линии, которые отсутствуют или почти отсутствуют в спектре. Он заметил, что для некоторых галактик спектр был смещён в красную сторону от того места, где он должен быть, но не для всех. Он измерил это.
Был ли Хаббл первым, кто открыл красное смещение галактик?
Это была моя ошибка: Хаббл опирался на более ранние работы Весто Слайфера по этим красным смещениям и, объединив их с собственными измерениями расстояний по закону Левитт, пришёл к закону, который теперь носит его имя; в наблюдениях ему также помогал Милтон Хьюмасон. Следует также отметить, что Жорж Леметр независимо пришёл к практически тому же закону несколькими годами ранее, но его работа была опубликована в малоизвестном журнале и получила широкое признание лишь спустя некоторое время.
00:20:30 — Он измерил это красное смещение в зависимости от расстояния. Опять же, он получил линейную зависимость. Есть знаменитый график в его статье, который теперь называется законом Хаббла: красное смещение пропорционально расстоянию. В наши дни мы знаем, почему это верно, потому что общая теория относительности предсказывает, что Вселенная расширяется с постоянной скоростью, и чем дальше объекты, тем больше они удаляются и тем быстрее они удаляются, и тем большее красное смещение они имеют. Но опять же, это предсказуемый закон, так что если у вас есть галактика очень далеко, если вы знаете, каково её красное смещение, вы просто измеряете спектр, применяете этот закон, и вы можете определить её расстояние.
Оригинальный график Хаббла не выглядит как очень хорошее соответствие линейному закону.
Исходные данные Хаббла были довольно зашумленными и неточными по современным меркам, а красные смещения подвергались влиянию собственных скоростей отдельных галактик в дополнение к расширяющейся природе Вселенной. Однако по мере расширения выборки галактик стало возможным компенсировать эти эффекты и получать значительно более точное соответствие, особенно на больших масштабах, где влияние собственных скоростей менее существенно. См., например, эту статью 2015 года, где оригинальный график Хаббла сравнивается с более современным графиком. Этот более свежий график также выявляет небольшое нелинейное отклонение от закона Хаббла на очень больших масштабах, что привело к замечательному открытию: расширение Вселенной на самом деле ускоряется со временем — явление, которое приписывают положительной космологической постоянной (или, возможно, более сложной форме тёмной энергии во Вселенной). С другой стороны, даже с учётом этой нелинейной поправки, сохраняется расхождение примерно в 10% между этим законом и предсказаниями, основанными главным образом на данных реликтового излучения; см. ответ на вопрос для 23:49.
Предсказывает ли равномерно расширяющуюся Вселенную только одна теория, общая теория относительности?
Это было упрощением. Уравнения Эйнштейна общей теории относительности содержат параметр Λ, известный как космологическая постоянная, которая в настоящее время вычисляется лишь косвенно путём подгонки под экспериментальные данные. Но даже при фиксированной константе существует множество решений этих уравнений (в основном потому, что возможны различные начальные условия для Вселенной). Для целей космологии особенно успешным семейством решений являются решения, задаваемые ΛCDM-моделью. Это семейство решений содержит дополнительные параметры, такие как плотность тёмной материи во Вселенной. В зависимости от точных значений этих параметров Вселенная может расширяться или сжиматься, причём скорость расширения или сжатия может увеличиваться, уменьшаться или оставаться примерно постоянной. Но если подогнать эту модель ко всем доступным данным (включая не только измерения красных смещений, но и данные по реликтовому излучению и пространственному распределению галактик), то получается версия закона Хаббла, которая почти линейна, но с дополнительной поправкой на очень больших масштабах; см. следующий пункт этого раздела.
00:21:06 — Так что это самая большая ступенька лестницы, которую мы знаем на сегодняшний день. Весь объём наблюдаемой Вселенной, как мы думаем, составляет около 20% всей Вселенной (но мы не знаем это точно). Практически каждый объект во Вселенной, который излучает свет или какой-либо вид излучения, позволяет измерить расстояние до него, просто наблюдая, как смещаются спектральные линии.
Достаточно ли точен оригинальный закон Хаббла для хороших измерений расстояний в масштабах наблюдаемой Вселенной?
Не совсем; как упоминалось в конце видео, предпринимались дополнительные усилия по перекрёстной проверке и калибровке закона Хаббла на промежуточных масштабах — между диапазоном метода цефеид (около 100 миллионов световых лет) и масштабами наблюдаемой Вселенной (около 100 миллиардов световых лет) — с использованием других «стандартных свечей», помимо цефеид. Наиболее известны сверхновые типа Ia (которые достаточно ярки и предсказуемы, чтобы их можно было использовать на расстояниях до ~10 миллиардов световых лет), соотношение Талли–Фишера между светимостью галактики и её скоростью вращения, а также гамма-всплески. Оказывается, что из-за ускоряющегося характера расширения Вселенной закон Хаббла не является полностью линейным на этих больших масштабах; эту важную поправку нельзя выявить исключительно на основе данных по цефеидам, требуются и другие стандартные свечи, а также подгонка этих данных (а также других наблюдаемых данных, таких как реликтовое излучение) к космологическим моделям, предоставляемым общей теорией относительности (наилучшими на сегодняшний день являются различные версии ΛCDM-модели).
С другой стороны, наивная линейная экстраполяция оригинального закона Хаббла на все большие масштабы действительно даёт очень приблизительную картину наблюдаемой Вселенной, которая, хотя и недостаточно точна для передовых астрономических исследований, всё же даёт общее представление о её крупномасштабной структуре.
Откуда взялась эта оценка, что наблюдаемая Вселенная составляет около 20% от полной Вселенной?
Существуют способы получить нижнюю оценку размера всей Вселенной, выходящую за пределы наблюдаемой. Один из них — анализ реликтового излучения (CMB), которое было тщательно картировано несколькими спутниковыми обсерваториями, в частности WMAP и Planck. Грубо говоря, Вселенная, размер которой менее чем в два раза превышает размер наблюдаемой, создавала бы определённые периодичности в данных CMB; такие периодичности не наблюдаются, что даёт нижнюю границу (см., например, эту статью с примером такого расчёта). Число 20% было моей оценкой, основанной на смутном воспоминании об этих работах, но в настоящее время нет консенсуса относительно истинного значения этого соотношения; существуют предположения, что вся Вселенная на самом деле на несколько порядков больше наблюдаемой и, возможно, даже бесконечна.
Ситуация в некотором роде аналогична измерению Аристархом расстояния до Солнца, которое было очень чувствительно к малому углу (расхождению при половине фазы Луны). Здесь предсказанный размер Вселенной в рамках стандартной космологической модели аналогичным образом сильно зависит от меры плоскостности Вселенной, которая по причинам, до конца ещё не понятным (но, вероятно, связанным с неким механизмом инфляции), оказывается чрезвычайно близка к нулю. Вследствие этого прогнозы размера Вселенной остаются крайне неустойчивыми при текущем уровне точности измерений.
00:21:28 — И так вы можете начать составлять карты. Вы можете делать 3D-изображения Вселенной. Есть Слоановский галактический обзор, который пытается сделать это.
Сандерсон, 00:21:35
Для этой визуализации я прочитал некоторые данные из Слоановского цифрового обзора неба, который агрегирует данные об огромном количестве галактик, включая их угол на небе и, что критически важно, их расстояние, измеренное по красному смещению. Этот набор не включает все углы на небе, поэтому он имеет такую немного странную форму. ОН представляет около полумиллиона различных галактик, визуализированных как простое облако точек, и в некотором смысле то, на что вы смотрите, — это снимок нашего маленького уголка Вселенной, измеренный до радиуса около 1,6 миллиарда световых лет.
Тао, 00:22:06
И одна вещь, которая была открыта: галактики не просто случайным образом разбросаны в пространстве. Они образуют нити. Они образуют эти массивные структуры. Так что галактика сама по себе является частью этих гораздо более крупных структур. Дело в том, что это на самом деле предсказывается теорией, или, по крайней мере, экспериментом. Так что мы можем запустить на компьютере миллиарды виртуальных галактик, вращающихся под действием гравитации в течение миллиардов лет. И то, что мы обнаружили с помощью симуляций, — это то, что галактики, по мере их эволюции, действительно организуются в нити, которые напоминают нити, которые мы начинаем видеть.
00:22:37 — Так что это, в некотором смысле, некоторое подтверждение того, что вся наша теория в основном верна.
Сандерсон, 00:22:42
Если вы используете красное смещение, какова погрешность, которую оно даст вам для расстояния?
Тао, 00:22:46
Это хороший вопрос. Трудно откалибровать на очень больших масштабах, потому что у нас очень мало других способов измерить расстояние. Гравитационные измерения чёрных дыр — это самое захватывающее. Обычно, чтобы измерять на таком расстоянии, вам нужно сложить вместе огромное количество ступенек лестницы. Сначала расстояние до Солнца, а затем от этого параллакс, чтобы определить расстояние до близких звёзд. И затем от этого вы можете определить, используя разделение главной последовательности, расстояние до других звёзд в галактике, а затем закон Хаббла... Нет, между этим есть цефеиды, а затем закон Хаббла.
00:23:16 — Вы можете использовать гравитационные измерения для непосредственного измерения расстояния. К сожалению, я не совсем помню. Они своего рода как «стандартные сирены». Вот как они называются. Есть определённое количество энергии, которое высвобождается при столкновении чёрных дыр. И вы знаете, насколько они «громкие» в абсолютных терминах. Но вы также можете измерить, насколько они «громкие» с точки зрения обсерватории. И они в миллиарды и миллиарды раз тише в этот момент из-за огромного падения расстояния. Можно использовать это, чтобы определить расстояние.
00:23:39 — Они перепроверили это по Хабблу, по расчётам красного смещения. Это совпало в пределах, типа, 10%. Это обнадеживает. Да, это очень обнадеживает. Хотя эти 10% вызывают споры. Кажется, что с законом Хаббла на очень больших масштабах что-то немного не так. Это те же 10%, которые проявляются и в других местах. Это загадка: в чём именно причина этой 10%-ной аномалии? И неверен ли один из наших законов физики? Есть что-то очень базовое, называемое Коперниковским принципом, который является объектом веры в наше время, со времён Коперниковской революции: законы Вселенной в основном одинаковы везде во Вселенной.
Было ли столкновение чёрных дыр тем событием, которое позволило независимо измерить закон Хаббла?
Это была небольшая неточность в изложении. Хотя первое наблюдение гравитационных волн коллаборацией LIGO в 2015 году зафиксировало столкновение чёрных дыр, оно не сопровождалось электромагнитным сигналом, который позволил бы рассчитать красное смещение и, следовательно, измерить закон Хаббла. Однако более позднее столкновение нейтронных звёзд, зарегистрированное в 2017 году, действительно сопровождалось связанной с ним новой, для которой было рассчитано красное смещение, что позволило получить измерение Хаббла, независимое от большинства ступеней космической лестницы расстояний.
Где можно узнать больше об этом 10-процентном расхождении в законе Хаббла?
Это явление известно как «напряжение Хаббла» (или, в некоторых ищущих сенсаций СМИ, «кризис в космологии»): грубо говоря, различные измерения постоянной Хаббла (либо путём «подъёма» по космической лестнице расстояний, либо путём подгонки различных наблюдательных данных под стандартные космологические модели), как правило, дают одно из двух значений, отличающихся примерно на 10% друг от друга. Значения, полученные на основе наблюдений гравитационных волн, в настоящее время согласуются с обоими значениями из-за значительных погрешностей этого чрезвычайно чувствительного метода; но другие, более зрелые методы теперь обладают достаточной точностью, чтобы в основном согласовываться только с одним из двух значений. В настоящее время нет консенсуса относительно происхождения этого напряжения: среди возможных причин — систематические смещения в наблюдательных данных, тонкие статистические проблемы в методологии интерпретации данных, необходимость поправок к стандартной космологической модели, влияние ранее неизвестного закона физики или частичное нарушение коперниканского принципа.
Для доступного недавнего обзора ситуации см. это видео от Бекки Сметерст («Д-р Бекки»).
00:24:10 — И это фундаментальное предположение, которое позволяет нам принимать лестницу, и оно всегда вознаграждало нас в прошлом. Оно всегда соответствовало, по крайней мере, новым законам физики. Оно является самосогласованным. Но есть это небольшое 9%-ное, 10%-ное отклонение, и это говорит о том, что астрономия — живой предмет. Но мы ушли очень далеко от того бедного аспиранта, идущего вниз...
Сандерсон, 00:24:36
Возможно, это само собой разумеется, но космическая лестница расстояний — слишком широкая тема, чтобы два видео могли полностью её охватить. После показа ранней версии этого на Patreon, например, ряд людей выразили огорчение тем, что не было обсуждения сверхновых типа Ia, и вписать такую историю в час времени, безусловно, требует хотя бы небольшого упрощения по пути. К счастью, для особо любознательных среди вас, Терри любезно подготовил часто задаваемые вопросы с множеством дополнительных деталей и исправлений к обсуждению, и он также работает над книгой на эту тему с соавтором Таней Клудин, так что вы можете следить за этим.
Итак, что такое сверхновая типа Ia и почему она так полезна в лестнице расстояний?
Сверхновая типа Ia возникает, когда белый карлик в двойной системе постепенно перетягивает на себя массу от звезды-компаньона, пока не достигает предела Чандрасекара. В этот момент его гравитационные силы становятся достаточно сильными, чтобы вызвать коллапс, повышающий давление до уровня, при котором запускается сверхновая в процессе, известном как углеродная детонация. Благодаря универсальной природе предела Чандрасекара, все такие сверхновые имеют (в первом приближении) одинаковую абсолютную яркость и, следовательно, могут использоваться как стандартные свечи аналогично цефеидам (но без необходимости предварительного измерения какой-либо вспомогательной наблюдаемой величины, такой как период). Однако эти сверхновые также значительно ярче цефеид, поэтому этот метод можно применять на значительно больших расстояниях (грубо говоря, до ~10 миллиардов световых лет, тогда как цефеиды надёжны лишь до ~100 миллионов световых лет). Помимо прочего, измерения по сверхновым стали ключом к обнаружению важной нелинейной поправки к закону Хаббла на этих масштабах, что привело к замечательному выводу: расширение Вселенной на самом деле ускоряется со временем, что в ΛCDM-модели соответствует положительной космологической постоянной, хотя существуют и более сложные модели «тёмной энергии», также предлагаемые для объяснения этого ускорения.
Помимо сверхновых типа Ia, у меня сложилось впечатление, что многие другие темы, имеющие отношение к современной лестнице расстояний (например, реликтовое излучение, ΛCDM-модель, тёмная материя, тёмная энергия, инфляция, многоканальная астрономия и т.д.), были опущены.
Отчасти это связано с ограничениями по времени и необходимостью монтажа для уплотнения повествования, но также это было осознанным решением с моей стороны. Продвинутые курсы по космической лестнице расстояний, естественно, фокусируются на самых современных, сложных и точных способах измерения расстояний, подкреплённых новейшей математикой, физикой, технологиями, наблюдательными данными и космологическими моделями. Однако фокус в этой серии видео был иным; мы стремились показать космическую лестницу расстояний как развивающуюся полностью синергетическим образом на протяжении многих исторических эпох, в тесной связи с эволюцией математики, науки и технологий, а не как простое следствие текущего состояния этих дисциплин. Как одно из конкретных следствий такого изменения фокуса, мы сделали акцент на первом достижении каждой ступени лестницы расстояний в ущерб более точным и сложным последующим измерениям на этой же ступени. Например, уточнения измерения радиуса Земли после Эратосфена, улучшения в измерении астрономической единицы между Аристархом и Куком или уточнения закона Хаббла и космологической модели Вселенной в двадцатом и двадцать первом веках были в значительной степени опущены (хотя некоторые ответы в этом разделе призваны восполнить эти пробелы).
Многие из тем, не затронутых здесь (или рассмотренных лишь в упрощённом виде), подробно обсуждаются в других источниках
Я буду рад предложениям от читателей по ссылкам на такие ресурсы в комментариях к этому посту. Вот частичный список:
«Эратосфен» — «Космос» (Карл Саган), видео от 24 апреля 2009 г. (изначально выпущено 1 октября 1980 г. в эпизоде «Берега космического океана»).
«Насколько далеко это?» — Дэвид Батлер, многосерийный проект, начатый 16 августа 2013 г.
«Как причудливый путь Марса изменил астрономию [Законы Кеплера, часть 1]», Welch Labs, 8 мая 2024 г. См. также часть 2.
«Топ-5 космических новостей 2024 года от астрофизика», Бекки Сметерст (Д-р Бекки), 26 декабря 2024 г. — включает «напряжение Хаббла» как одну из тем.
«Измерение Земли… по фото из отпуска», Джордж Лоутер (Almost Sure), 22 февраля 2025 г.
«Как этот древний гений измерил Солнце?», Бен Сайверсен, 28 февраля 2025 г.
