Что такое наблюдатель и при чём здесь фильтр Калмана / Хабр

Прочитал на Хабр статью [1], в которой автор простым языком даёт достаточно глубокое представление такого сложного и важного математического объекта как фильтр Калмана и захотел предложить читателям посмотреть на него (фильтр Калмана) несколько с другого ракурса. Сразу хочу предупредить, что перед чтением данной статьи хорошо бы прочесть статью [1], так как даже формулы были специально взяты ровно оттуда, дабы данная статья базировалась на материале упомянутой работы [1].

Представим, что у нас есть объект, работу которого необходимо отслеживать, но для этого нет прямой, а есть только косвенная информация. Например, мы имеем дело с погружным нефтяным насосом и необходима информация о его работе, в частности частота вращения двигателя данного насоса. В своём распоряжении мы имеем информацию лишь о напряжениях и токах его фаз и нам необходимо разработать виртуальный тахометр.

Общая идея такова: берём математическую модель двигателя и в режиме реального времени “запитываем” её показаниями датчиков напряжений фаз работающего двигателя насоса. Показания датчиков тока используем для того, чтобы в реальном времени втянуть виртуальную модель в такой режим, при котором виртуальные показания квазидатчиков тока математической модели станут равны показаниям реальных датчиков тока. То есть в этом случае мы получим виртуальную real time модель из которой можем взять любую информацию, которой она располагает, в частности частоту вращения электродвигателя.

А теперь, изложенную идею попробуем воплотить в виде математических абстракций.

$\begin{align} & {{{\hat{x}}}_{k}}={{F}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{{\vec{u}}}_{k}} \\ & {{P}_{k}}={{F}_{k}}{{P}_{k-1}}F_{k}^{T}+{{Q}_{k}} \\ \end{align} \tag{1}$

Детально разберём модель (1):

${{F}_{k}}$

- матрица дискретной модели наблюдаемого объекта, в данном случае это двигатель погружного насоса;

${{\hat{x}}_{k}}$

- случайный вектор пространства состояний фильтра Калмана с ковариационной матрицей

${{P}_{k}}=Cov({{\hat{x}}_{k}}),$

характеризующей разброс

${{\hat{x}}_{k}}$

вокруг его математического ожидания

$M\left[ {{{\hat{x}}}_{k}} \right],$

в нашем случае

${{\hat{x}}_{k}}$

-это вектор, состоящий из координат, характеризующих электрические и механические процессы в моделируемом двигателе погружного насоса, в частности одна из его координат является интересующей нас скоростью вращения ротора электродвигателя;

${{Q}_{k}}$

- ковариационная матрица шума внешних возмущающих воздействий на вектор пространства состояний

${{\hat{x}}_{k}}$

математической модели электродвигателя, например неоднородность нефтяной фракции, закачиваемой погружным насосом, что стохастически воздействует на электромеханические процессы двигателя;

${{\vec{u}}_{k}}$

- вектор детерминированных внешних воздействий с согласующей этот вектор с моделью двигателя матрицей

${{B}_{k}},$

в данном случае это реальные напряжения фаз двигателя погружного насоса.

Так же

${{\vec{\mu }}_{expected}}={{H}_{k}}{{\hat{x}}_{k}}$

- случайный вектор показаний квазидатчиков токов фаз математической модели двигателя насоса, где

${{H}_{k}}$

- матрица согласования вектора пространства состояний

${{\hat{x}}_{k}}$

с вектором показаний квазидатчиков

${{\vec{\mu }}_{expected}};$ $\sum{_{expected}}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}$

- ковариационная матрица случайного вектора показаний квазидатчиков

${{\vec{\mu }}_{expected}} ,$

характеризующая разброс этих показаний вокруг математического ожидания

$M\left[ {{{\vec{\mu }}}_{expected}} \right];$ ${{\vec{z}}_{k}}$

- случайный вектор показаний реальных датчиков тока фаз двигателя с ковариационной матрицей

${{R}_{k}}=Cov({{\vec{z}}_{k}}),$

характеризующей шумовой разброс показаний

${{\vec{z}}_{k}}$

вокруг математического ожидания

$M\left[ {{{\vec{z}}}_{k}} \right].$

Итак, мы имеем два случайных вектора

${{\vec{\mu }}_{expected}},{{\vec{z}}_{k}}$

показаний виртуальных и реальных датчиков тока фаз электродвигателя и соответствующих им ковариационных матриц

$\sum{_{expected}}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T} и { {R}_{k}}$

соответственно. Положим, надо объединить показания виртуальных квазидатчиков с показаниями реальных датчиков при помощи произведения двух случайных величин, в данном случае это

${{\vec{\mu }}_{expected }} и {{\vec{z}}_{k}},$

и получить случайный вектор

${{\hat{x}}_{k}}^{\prime }.$

Новая случайная векторная величина

${{\hat{x}}_{k}}^{\prime }$

будет иметь вероятностную характеристику, представляющую собой компромисс между реальным измерением и виртуальным прогнозом.

Случайный вектор

${{\vec{\mu }}_{expected}}$

показаний квазидатчиков тока математической модели двигателя и его ковариационную матрицу

$\sum{_{expected}}$

представим в виде :

$\left( {{{\vec{\mu }}}_{0}},{{\Sigma }_{0}} \right)=\left( {{{\vec{\mu }}}_{expected}},\sum{_{expected}} \right)=\left( {{H}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k}},{{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T} \right ) \tag{2}$

Случайный вектор

${{\vec{z}}_{k}}$

показаний реальных датчиков тока математической модели двигателя и его ковариационную матрицу

${{R}_{k}}$

представим в виде :

$\left( {{{\vec{\mu }}}_{1}},{{\Sigma }_{1}} \right)=\left( {{{\vec{z}}}_{k}},{{R}_{k}} \right) \tag{3}$

В результате произведения

${{\vec{\mu }}_{expected}} , {{\vec{z}}_{k}}$

получаем векторную случайную величину

${\vec{\mu }}'$

и её ковариационную матрицу

${\Sigma }' ,$

которые можно выразить через

${{\vec{\mu }}_{expected}} , {{\vec{z}}_{k}}$

и их ковариационные матрицы следующим образом:

$\begin{align} & {\vec{\mu }}'={{{\vec{\mu }}}_{0}}+K({{{\vec{\mu }}}_{1}}-{{{\vec{\mu }}}_{0}}) \\ & {\Sigma }'={{\Sigma }_{0}}-K{{\Sigma }_{0}} \\ \end{align} где K={{\Sigma }_{0}}{{\left( {{\Sigma }_{0}}+{{\Sigma }_{1}} \right)}^{-1}} \tag{4}$

Причём

$\begin{align} & {\vec{\mu }}'={{H}_{k}}{{{{\hat{x}}'}}_{k}} \\ & {\Sigma }'={{H}_{k}}{{{{P}'}}_{k}}H_{k}^{T} \\ \end{align} \tag{5}$

Исходя из (2),(3),(4),(5), получим:

$\begin{align} & {\vec{\mu }}'={{H}_{k}}{{{{\hat{x}}'}}_{k}}={{H}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k}}+{{K}_{k}}\left( {{{\vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k}} \right) \\ & {\Sigma }'={{H}_{k}}{{{{P}'}}_{k}}H_{k}^{T}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}-{{K}_{k}}{{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T} \\ \end{align} \tag{6}$

Исходя из (2),(3),(4) коэффициент усиления Калмана

${{K}_{k}}$

будет иметь вид

${{K}_{k}}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}{{\left( {{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}+{{R}_{k}} \right)}^{-1}} \tag{7}$

Мы можем убрать

${{H}_{k}}$

из начала каждого члена в двух предыдущих уравнениях (6) (обратите внимание, что один скрывается в K ), а

$H_{k}^{T}$

убрать из конца всех членов второго уравнения системы (6).

Окончательно приходим к следующим выражениям:

$\begin{align} & {{{{\hat{x}}'}}_{k}}={{{\hat{x}}}_{k}}+{{{{K}'}}_{k}}\left( {{{\vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k}} \right) \\ & {{{{P}'}}_{k}}={{P}_{k}}-{{{{K}'}}_{k}}{{H}_{k}}{{P}_{k}} \\ & {{{{K}'}}_{k}}={{P}_{k}}H_{k}^{T}{{\left( {{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}+{{R}_{k}} \right)}^{-1}} \\ \end{align} \tag{8}$

К которым добавим систему (1):

$\begin{align} & {{{\hat{x}}}_{k}}={{F}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{{\vec{u}}}_{k}} \\ & {{P}_{k}}={{F}_{k}}{{P}_{k-1}}F_{k}^{T}+{{Q}_{k}} \\ \end{align} \tag{1}$ ${{{\hat{x}}'}_{k}}$

— это новое наилучшее возможное значение, и мы можем дальше передавать его вместе с

${{{P}'}_{k}}$

на очередной этап вычислений, полагая

${{\hat{x}}_{k-1}}={{{\hat{x}}'}_{k}} , {{P}_{k-1}}={{{P}'}_{k}} .$

Ну и что? Скажете Вы, тот же фильтр Калмана, что и в [1]. Но давайте в первое уравнение системы (8) вместо

${{\hat{x}}_{k}}$

подставим первое уравнение системы (1), и получим

${{{\hat{x}}'}_{k}}={{F}_{k}}{{\hat{x}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{\vec{u}}_{k}}+{{{K}}_{k}'}\left( {{{\vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k}} \right) \tag{9}$

наблюдатель в каноническом виде, где

${{F}_{k}}{{\hat{x}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{\vec{u}}_{k}}$

- это часть, которая отвечает за математическую модель наблюдаемого объекта, в нашем случае это электродвигатель,

${{\vec{u}}_{k}}$

- внешнее детерминированное воздействие, в нашем случае это напряжения фаз, измеренные реальными датчиками,

${{\vec{z}}_{k}}$

- измеряемые величины, в нашем случае это показания датчиков тока двигателя насоса.

${{{K}}_{k}'}$

- матричный коэффициент усиления наблюдателя, который устроен так, что благодаря ему

$\left( {{{\vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{\hat{x}}}_{k}} \right)$

стремится к нулю, но так как

${{\vec{z}}_{k}}$

- это показания датчиков реальных, а

${{\vec{\mu }}_{expected}}={{H}_{k}}{{\hat{x}}_{k}}$

- показания квазидатчиков виртуальных, то это означает, что показания датчиков виртуальных станут равны показаниям датчиков реальных. То есть, математическая модель будет запитана тем же напряжением и будет выдавать те же токи, что и наблюдаемый объект, а это означает, что значения координат вектора

${{{\hat{x}}}_{k}'}$

будут соответствовать реальным текущим значениям наблюдаемого объекта, а что касается нашего случая, то одна из координат

${{{\hat{x}}}_{k}'}$

будет соответствовать реальному значению скорости вращения ротора электродвигателя погружного нефтяного насоса.

Тогда причём здесь фильтрация?

Задача наблюдения, сформулированная в стохастических терминах, именуется задачей фильтрации [2].

То есть фильтр Калмана – это оптимальный наблюдатель.

Объяснение фильтра Калмана в картинках
К. Браммер Г. Зиффлинг Фильтр Калмана – Бьюси. Детерминированное наблюдение и стохастическая фильтрация