Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 18
Не понял почему "облако" "заклубилось" в ось Y. Это же одномерный объект му от экс = { x+эпсилон }. В чём секрет?
Вокруг каждой действительной точки клубится облако бесконечно близких к ней гиперреалов — это и есть монада этой точки в смысле Лейбница. Монада — это окрестность, состоящая из самой точки и всех бесконечно малых отклонений от неё. Топологическая интуиция тут принципиально другая: вместо «точки сколь угодно близко» появляется «целое облако точек, каждая из которых уже неотличима от центра».
Это - ничего не объяснило:
Дуальное число — это пара
(a, b), которую обычно записывают какa + bε, гдеε² = 0, ноε ≠ 0.Это как комплексные числа, только вместо
i² = -1мы постулируемε² = 0. Получается коммутативное кольцо (не поле, но нам и не надо).
Не понял почему "облако" "заклубилось" в ось Y. Это же одномерный объект му от экс = { x+эпсилон }. В чём секрет?
"Вокруг", "Облако", "Окрестность", "Заклубилось", а также всевозможные графики с дополнительной размерностью, полагаю - лишь попытка строгие математические понятия подогнать под понятные образы и аналогии.
Строго математически, конечно, никаких таких облаков нет и мы имеем лишь дело с честным (в рамках поля *R) одндмерным множеством
.
Черточки на числовой прямой тоже не двумерные объекты, сколько просто графический прием наглядно показать расположение числа.
Если “облако” одномерное - то никакого “клубления” по Y. Если “облако” двумерное, как в случае с комплексными числами - извольте рисовать две оси X,Y и “клубитесь” себе на здоровье.
Перевожу на русский:
Гиперреальные числа - одномерные объекты, геометрически отображаемые на прямую, а не на плоскость. Поле гиперреальных чисел *R линейно упорядочено. То есть для двух разных гиперреальных чисел всегда можно строго сказать, какое из них больше, а какое меньше. Комплексные числа таким свойством не обладают. Из-за наличия линейного порядка гиперреалы располагаются строго на одной линии (прямой), сохраняя привычные понятия «лево» и «право».
А мой тонкий намёк на “толстые” обстоятельства заключался в том, что на рисунке гиперреалы “заклубились” в плоскость Y. Вот я и недоумеваю это “фича”, “вау-факт”, “парадокс Банаха–Тарского” или “петлевая квантовая гравитация”? И почему все молчат? …может погодить нам пока с этими “Гессианами” да “машинериями”?
Облако бесконечно малых мнимых эпсилон :)
Интересно. А можно ли доказать, что если у нас есть теорема, которая доказывается через пределы, то она может быть доказана через гиперреалы и наоборот? Если это так, то ведь можно считать это просто разные виды записи одного и того же? Или есть такие утверждения которые доказываются через пределы и не могут быть доказаны через гиперреалы или наоборот?
перефразирую комментарий выше: даёт ли нестандартный анализ какие-то утверждения, невыводимые, или недоказуемые в стандартном?
Очевидно, что нет. Если вы прячете слова и называете их по-другому - ничего не меняется. В данном случае, прячется слово "предел". Но от этого он по сути никуда не девается.
Очевидно да: любое утверждение относительно бесконечно малых невыводимо в стандартном анализе, поскольку бесконечно малых там просто нет.
Однако нестандартный анализ Робинсона является консервативным расширением стандартного, то есть сохраняет утверждения относительно "стандартных" объектов (и не добавляет новых утверждений относительно них же).
Однако есть ещё одно "однако": дуальные числа из поста не являются частью нестандартного анализа Робинсона, поскольку эпсилон является делителем нуля, а в поле нет делителей нуля (ненулевого числа которое при умножении на еще одно ненулевое число дает ноль). Дуальные числа похожи на часть ещё одной попытки формализации бесконечно малых - синтетическую геометрию.
А можно ли доказать, что если у нас есть теорема, которая доказывается через пределы, то она может быть доказана через гиперреалы и наоборот?
Смотря что за теорема.
Для высказываний на языке первого порядка это не нужно доказывать, потому что это выполняется по построению.
Когда говорят об ℝ, то неявно смешивают две разных сущности. С одной стороны, у нас есть структура ℛ ≜ (ℝ, +, ×, <, 0, 1) — это общеизвестное множество с общеизвестными операциями и предикатами. С другой стороны, у нас есть теория Thℛ, состоящая из некоторых аксиом (и выводимых из них теорем на языке логики первого порядка). ℛ является моделью Thℛ: в ℛ выполняются все утверждения из Thℛ.
Олсо, часто говорят об ℝ как о модели Thℛ, хотя правильнее было бы говорить об ℛ как о модели, потому что само по себе ℝ — это просто множество, и само по себе, если забыть про остальную часть структуры ℛ, оно ничем не отличается от, не знаю, ℝ×ℝ, которое, в свою очередь, ничем не отличается как множество от ℂ, хотя ℝ и ℂ сильно различаются как структуры: скажем, на ℂ нет консистентного с умножением порядка. Но я дальше местами буду делать так же: абьюз языка привычен.
Так вот, когда мы говорим, что ∀x, y. x + y ≡ y + x, то мы можем иметь в виду утверждение из Thℛ, доказуемое из аксиом этой теории, либо мы можем иметь в виду, так сказать, наблюдаемый факт (или постулируемый по построению факт) про конкретное знакомое со школы множество ℝ (или, вернее, структуру ℛ).
ℝ не обязано быть единственной моделью Thℛ. Его нестандартное расширение *ℝ строится как элементарно эквивалентное ℝ — то есть, если ψ — высказывание первого порядка Thℛ, то верность ψ в ℝ эквивалентна верности ψ в *ℝ.
Для высказываний на языках более высокого порядка это не обязано выполняться, построение нестандартной модели их не сохраняет: например, существуют утверждения, квантифицирующие по подмножествам, выполняющиеся в ℝ и ломающиеся в *ℝ. Например, утверждение «любое ограниченное множество имеет супремум» верно в ℝ и неверно в *ℝ. Обязаны сохраняться только утверждения, квантифицирующиеся по внутренним множествам (но подробное описание этого потребует ещё пары абзацев, боюсь).
Но если начинать упарываться основаниями, то там есть вещи поинтереснее в самом определении вещественных чисел: например, относительно общеизвестный факт — вещественные по Коши (пределы последовательностей из ℚ) и по Дедекинду (соответствующие сечения) — одно и то же. Но на самом деле школьное вузовское доказательство этого факта работает только в Set, а если рассматривать произвольные топосы, то вещественные Коши и Дедекиндовы вещественные не обязаны совпадать: там верно лишь Коши ⊆ Дедекинд (и есть конструктивно строящиеся топосы, где равенство не выполняется).
В институте использовал представление деления с остатком (b · q + r ) для доказательства дистрибутивности вычисления остатка. Видимо этот аппарат еще шире на самом деле.
Проблема в том что эпсилон-дельта - это фактически решение уравнений. Неравенств не существует - это всего лишь знак, грубо говоря 0 или 1. Если мы пишем 
, и выразить через 
, то вначале мы должны решить уравнение 
[отступление - вернее решить
, или просто найти минимум 
]. Потом необходимо дать приращение какой-либо части и сравнить, вернее найти 
знак функции, это и будет решение неравенства. Вот эта бесконечно малая в символическом виде как раз и определяет знак. То есть язык эпсилон-дельта является определяющим конечной разницы. Если это уравнение тансцендетное или решается только численно - то собственно бесконечно малые становятся сивмолами и цифрами, скрывающими за собой алгоритм их нахождения. Самая интересная задача это предел 
(Хабр, почините, что то имена функции сломались) - можно ли его найти символически, определить алгебраически, пока что только геометрически с использованием сжимающего отображения. Отсюда даже следует определение самого синуса. Очевидный пример - оператор Лапласа 
, заменяющий производную 
, 
- интеграл
. В MicroCAP и некоторых SPICE - симуляторах вполне себе есть флажок symbolic derivative ещё с 80-х, как раз некий аналог символической работы с градиентами.
Довольно небрежное описание введения, которое портит впечатление от дальнейшего прочтения: любой математик, дай ему
будет говорить не про полные/неполные дифференциалы, а про вполне хорошо определённые дифференциальные формы и их замкнутость и точность. И тогда там будет не интегрирование, а гомологические свойства, и это как раз будет тем самым внутренним свойством, которое и разделяет использование физиками разных символов. Для математиков это разные по свойствам объекты
Ну и далее всё тоже довольно нескладно. Само описание нестандартного анализа нормальное, дульные числа тоже неплохо введены, но предложения по применению прям хромают: от использования дуальных чисел для вычисления производной нет никакого толка, ведь в предложенном примере (как были введены дуальные и заданы производные для них) спокойно можно ввести автоматизацию для взятия точной производной. В реальности же разностные схемы существуют, так как все реальные физические данные приходят с шумом, точных вычислений с числами с плавающей точкой нет, да и функции зачастую не какие-то простые, композиция элементарных, а со спецфункциями или вообще какие-то интегральные монстры. Дискретные модели вообще не особо пользуются свойствами из анализа (стандартного или нестандартного), у них там свой дискретный анализ присутствует. Ну а приплетение парадокса Банаха-Тарского, который вообще не связан никак с анализом, а есть следствие очень неоднозначной аксиоматики
Как итог, единственную причину в целом изучать нестандартный анализ, тут автор не указал: нестандартный анализ более интуитивен. Почти все следствия анализа в нестандартном получаются проще и несколько более наглядно, большинство исследователей отмечают лучшую заинтересованность студентов при изучении, и прочие подобные выводы
Мне понравилось, спасибо за простое определение стандартной части. На мой взгляд главное, что нужно добавить, что все гиперчисла вводятся через матрицы 2х2, сам давно пытаюсь интерпретировать их через матричное представление, как раз это закрыло бы большую часть вопросов от аудитории.
Немного лукавите смешивая гиперреалы Робинсона и дуальные числа. В машинном обучении используются именно дуальные числа , потому что у них есть делители нуля, а в поле гиперреалов делителей нуля быть не может. Это абсолютно разные алгебраические структуры
Тот момент когда читаешь и гуглишь, читаешь и гуглишь.. Понимая только то что математика, которая дается пусть даже инженеру в вузе, всего лишь верхушка айсберга... Спасибо
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Запрещённая математика в твоём autograd: бесконечно малые, дуальные числа и нестандартный анализ