Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 66
например, бесконечность целых чисел больше, чем бесконечность чётных чисел
Сомневаюсь.
если считать историю с шарами и вазой истиной, то по аналогии, наоборот, бесконечность чётных чисел меньше, чем бесконечность целых. (ибо в вазу мы кладем всегда больше шаров, чем вынимаем, но в бесконечности они куда-то все делись)
История с шарами как раз говорит о том, что количество шаров, которые вы кладёте в вазу равно количеству шаров, которые вы оттуда вынимаете.
И чтоб два раза не писать: посчитать по порядку можно что все целые числа, что все чётные. Поэтому эти множества одинаковой мощности (алеф-ноль, если интересно).
Мощность множества это искуственное понятие основанное на не очень логичном использовании термина безконечность. Если делать все аккуратно то любая безконечность растворяется внутри другой безконечности и можно построить биекцию между любыми рядами чисел (специально не используем термин множество) в том числе для которых заданы алгоритмы безконечного получения следующих членов ряда.
На множествах определена операция powerset, которая создает множество строго большей мощности. Либо покажите биекцию между натуральными и вещественными числами.
Биекция или ее отсутствие зависит от того как вы определите понятия:
число, ряд, натуральный ряд, вещественные, иррациональные числа, множество. Во время определения вы будете использовать термин безконечность (например безконечность ряда), если вы будете применять этот термин аккуратно и логично без двойных стандартов, то я утверждаю что биекция получится.
Доказывать что-то без четкой базы определений нет смысла, а их просто нету, у нас вся математика строится на жидких понятиях которые каждый понимает немного по своему и да это работает, но вопрос в том всегда ли это удобно. Я думаю что нет.
Правильно сомневаетесь - мощность этих множеств одинаковая.
Они имеют одинаковый размер, но плотность у целых больше. Короче говоря зависит от критериям оценки.
В математике в бесконечных множествах не работают те же самы понятия "больше", "меньше" что и в конечных. Для бесконечных множеств рассматривается понятие биекции (взаимно однозначное отображение на) и если множества биективны, то они равномощны. Целые числа биективны четным числам, биективны нечетным числам. Целые числа биективны любому своему бесконечному подмножеству. Но нет биекции между действительными и целыми числами.
Можно построить биекцию между любыми числами натуральными и вещественными в том числе иррациональными, если правильно понимать что такое бесконечность.
В кратце бесконечность это возможность продолжить ряд по некоторому правилу. Например ✓2 это не число, а ряд который можно бесконечно продолжать.
Никакой бесконечной десятичной записи чисел не существует. В этом ошибка. Отсюда и возникла ошибка в виде мощности. Безконечность одна и всеобъемлюще.
Очередной мессия? Ну давайте - постройте биекцию между натуральными и вещественными.
Ваш комментарий намекает о том что вы не готовы посмотреть на вопрос под другим углом.
Для начала нужно определиться что называть вещественным числом при этом не использовать другие сложные термины либо определять их.
Вы готовы ?
В конечном счёте все упирается в вопрос определений.
Вообще, если по первому определению получается одно, а по второму другое, то это определения разных объектов.
Но ладно, давайте своё определение действительных чисел, посмотрим.
Ну давайте возьмем максимально общепринятое:
Вещественные числа - целые числа, рациональные, иррациональные.
Тут нужно определять "рациональные" и "иррациональные".
Но для начала еще нужно определить что вообще такое число, обычно его определяют как длину отрезка на прямой, попробуем это записать:
Число - Конечная запись алгоритма получения расстояния в пространстве без использования случайностей на основе выбранного единичного расстояния которому сответствует "1".
Число - также это принятое обозначение этой записи
Алгоритм: строгая последовательность действий направленая на решение задачи.
Примеры чисел (соответствущие определению):
0, 1, 2, Пи, e, Sin(10), 5^10, √2, 1/3, 3.1415926 - везде это запись некоторого алгоритма по которому можно получить длину отрезка.
Что важно и что не является числом:
1) Число всегда конечно (по определению) !
Пример: Никаких безконечных десятичных записей иррационального числа не существует, а если бы существовало то эта гипотетическая запись не число.
Как видимо классическое определание иррационального числа как десятичная запись в виде бесконечной непериодической дроби перестает существовать.
Можно определить иррациональные числа как числа/алгоритмы которые не заканчиваются за конечное число итераций.
Это почти одно и то же, они соответствуют тем же класическим иррациональным отрезкам с одной разницей мы не позволяем использовать безконеную запись числа (в том числе десятичную) и любую запись понимаем как алгоритм.
Ряд чисел: Просто ряд чисел (просто числа стоящие рядом разделеные разделителем)
Пустой ряд чисел: Ряд без чисел
Безконечный ряд чисел: Ряд чисел для которого существует конечный алгоритм получения следующего числа.
Натуральный ряд: 1,2,3,4,.... (алгоритм получения следующего числа считаем известным)
Множество: Ряд или несколько рядов.
Может часть определений тут не точны или избыточны, но если они не вызывают резкого отторжения то можно двигаться в сторону биекции и показать что любое безконечное множество можно пронумеровать/однозначно сопоставить с натуральным рядом.
Ну-да, первое правило казуистики менять определения.
А вы готовы признать, что называя это другим углом зрения вы на самом деле хотите подменить существующие определения на свои собственные и тем самым сменить тему разговора? Определение вещественных чисел уже существует (см. монографии на https://ru.wikipedia.org/wiki/Вещественное_число) - вы их не видели, не знаете соответствующих источников?
Не нужно сейчас определяться что называть вещественным числом - это определение существовало до вашего рождения. Или вы старше Дедекинда?
Если вы хотите предложить что-то новое, не совпадающее с существующим, то вы должны иметь честность ввести и новый термин - какое-нибудь "воистинно-вещественное число" - а не демагогизировать уже существующие термины.
Если у вас есть что предложить, то надо предлагать это по честному. Выложите, если это необходимо, даже вашу мета-теорию, теорию, определения. Покажите теоремы и, если это будет чем-то стоющим, то об этом скажет число и качество ваших последователей.
То что выше написанно было до ваших "определений". Теперь почему это слово в ковычках.
Для начала нужно определиться что называть вещественным числом при этом не использовать другие сложные термины либо определять их.
вообще вы сами читаете то что пишете?
Для определения слова "число" вы использовали слова: длинна, отрезок, прямая, конечное, пространство, случайность, единичное, расстояние, последовательность, действие, решение... И теперь надо залезать во все определения этих слов и этот путь лучше существующих? Вы заметили, что для определения числа вы несколько раз используете понятие единицы?
Страшнее необразованного мессии - недооброзованный.
Надо выучить то, что существует, понять и потом предлагать свое. Вы готовы ?(риторический вопрос)
Принятые определения мне хорошо известны, к сожалению они не достаточно строгие, а в доказательство разной мощности множеств как раз основано на этой неточности которую можно увидеть только если вникнуть. Так можно определять хозяин барин, просто смысла в этом нет, вот эту нелогичность замечают многие кто немного потратил времени на изучение вопроса.
Прочитайте определение слова демагогия прежде чем его употреблять.
"вообще вы сами читаете то что пишете?" - да предлагаю чуть более строго определеить и каждый термин включая "безконечность" использовать в одном значении, тогда парадокс "одна безконечность больше другой безконечности" уходит.
"Для определения слова число" - понимаю ваше негодование, здесь я лишь пытался быть похожим на общепринятые понятия. На итоговые рассуждения это не влияет, мы не можем определить все словами которые уже определены, но мы можем хотябы то что мы определили использовать одинакового в разных контекстах, этого я и требую.
"Надо выучить то, что существует, понять и потом предлагать свое." - Безусловно.
Помимо ваших эмоций я не вижу здесь предмета для разговора, кидать ссылки на википедию и сыпать терминами это как раз удел недоборазованных людей у которых деформировано критическое мышление. Какая ваша цель ?
Моя простая: зацепить людей на размышления, найти того кто тоже задумывался над этими вопросами, кто хочет проверить строгость выводов древних умов и поискать интересные точки зрения. Ведь по факту то о чем я писал ничего не меняет, это просто другой взгляд нравится он вам или нет.
Принятые определения мне хорошо известны, к сожалению они не достаточно строгие
Какие это? Назовите хоть одну монографию, хоть одно определение которое вы прочитали. В вики как указанны достаточно авторитетные книги, потому и приведены - хоть одну читали?
Например определния для "число", "ряд", "безконечность" как известно современное представление об этих понятиях основывается на трудах Георга Кантора и да на мой взгляд там не хватает строгости, мне не нравится как он определил понятия о чем написано выше. И мы понимаем что математика не остановилась в XIX веке и я уверен что вместе с развитием которое произходит непреревно будут и постоянные попытки пересмотра фундамента в том числе успешные. Я не видел ни одного математика который не понимает историческую роль и влияние случая в формировании математики (терминов, определений, обозначений). Это не отменяет гениальности и красоты теорий которые были построены, это нормальный естественый процес.
Т.е. ваш коментарий намекает на то что вы читали труды Кантора 19-го века? Какие-же это? А почему не начали, например, с Евдоксовой геометрической теории вещественных чисел?
Повторяю вопрос - вы читали хотя бы одно современное определение вещественных чисел, которое по-вашему "не достаточно строгое"? (автор, наименование, год издания...)
Если вы можете привести хоть один современный или несовременный труд который вы читали и уверены что в нем четко и строго определяются понятия "число", "безконечность", "ряд" так приведите его уже, желательно живую ссылку в открытом источнике.
Во-первых, мягко говоря, невежливо вопросом отвечать на вопрос а во-вторых вы что подумали, сколько вы сможете играть в эти кошки-мышки? Еще раз напоминаю худшую наглость недоучки.
Третий(!) раз вам советую посмотреть на книги по линку вики выше. Фактически все эти книги, начиная с 70-х, у меня в бумажном формате со дня их выхода в печать, а не только в электронном. Все мне знакомы, и 99% я не просто читал, я их разбирал, если вы можете понять, что это значит. Аксиоматика: Зорич, Кудрявцев, кстати последнего, лучше брать в издании 1981 года, а не 2003 как на линке. Сечения: Фихтенгольц I том, но лучшая книга Ландау Э. - Основы анализа-ИЛ (1947), если вам нужны точные подробные доказательства. Можно Рудина мат. анализ (нет на линке, но эта классика для англоязычных). По фундаментальным последовательностям дал бы вам свою книгу, но вы ее не прочтете. Берите Колмогорова, Фомина Функциональный анализ и смотрите пополнение метрических пространств - это и есть теория Кантора. Еще нужны книги?
А вы можете назвать хоть одну книгу в которой читали "не достаточно строгое" определение вещественных чисел?
На риторические и провакационные вопросы нормально отвечать вопросом, для возврата к теме беседы.
Часть этих трудов мне к сожалению знакома, по этому я точно знаю что там нет того о чем я прошу (говорю за то что знакомо). Мне не нужен ваш список всех трудов по мат. анализу и функц. анализу когда вопрос стоит предельно просто и ясно.
Если у вас нет на него ответа, перестаньте раскидываться советами о которых вас не просили.
И если вы такой знающий (наверное и степень ученая есть), то не сочтите за труд привести рабочие ссылки, а лучше с цитатами хоть на один труд в котором строго определяется рассматриваемые понятия.
Для чего мне это нужно ? Я с радостью погружусь в этот труд для поиска неточностей, особено интересно если в этих трудах будет про биекцию и диагональный метод Кантора.
Только важное условие там должно быть определено понятие "безконечности" и указаны термины к которым оно применяется и в точности как его применять, ни какого широкого общеупотреблительного смысла который можно трактовать по разному.
Если даже вы с таким лично заявленым кругозором не сможете отыскать такой труд, то перестаньте заваливать меня своими советами прочитать весь функц. и мат анализ.
И вы кстати тоже не ответили на мой вопрос о вашей цели, вы просто игнорируете любые вопросы по существу которые раскоют ваше истинное отношение и цели которое возможны вы не гордитесь. Хотите поставить на место выскочку ? Показать всем какой вы умный ? Но для этого нужно поработать и достать материал с пыльной полки, а не сыпать вопросами.
Я с удовольствием буду переубежден и скажу что ошибался если увижу аргументы, а не очередные вопросы.
Часть этих трудов мне к сожалению знакома
Вот и назовите хотя бы одну книгу из перечисленных в которой определение вещественного числа неточно и в чем неточность.
Я не буду заниматься демагогией. Если вы не приведете ссылку на любой труд в публичном доступе где определены понятия числа, ряда безконечности и других вплоть до вещественного числа то у нас просто нету предмета для обсуждения.
Как раз демагогией и отмазками вы и занимаетесь. Вы написали всю эту мессианскую статью а я оказывается вам должен книги искать в которые он погрузится, видите ли. Погрузитель великий. Я уже назвал, видимо зря, классические университетские монографии где есть определения вещественного числа - по ним учились и учатся сотни тысяч студентов во всем мире. Они как раз в свободном доступе. Кстати, они же вам "хорошо известны". Какие-же ссылки вам от меня нужны? Про либген не слыхали?
Вся ваша статья основанна на высказывании, что
Принятые определения мне хорошо известны, к сожалению они не достаточно строгие
т.е. вы УЖЕ знаете и книги и определения и неточности. Или это ложь и вся остальная статья основанна на лжи или нет. Подтвердите, что это не ложь - назовите те книги и определения которые вам известны и подчеркните где эта неточность. Какие вам аргументы можно приводить и что вам можно объяснить когда вы не заявляете что же такого неточного нашли в "сожалению вам закомых" трудах. Вы все сами делаете чтобы не создавать предмета разговора. Вы все время увиливаете - приведите точные высказывания - не можете, значит солгали.
А теперь по фактам:
Я писал про группу определений начиная с безконечности, вы подменяете одним определением "вещественного числа" - демагогический прием, уход от темы обсуждения.
"Вы написали всю эту мессианскую статью" - очередная жалкая попытка задеть, потому что нет фактов.
Вас никто не просил перечислять никакие списки, просили конкретную работу с публичной ссылкой соотвествующую теме обсуждения.
"т.е. вы УЖЕ знаете и книги и определения и неточности " - Да кое что из вашего списка мне знакомо и я знаю что оно 100% не соотвестует обсуждаемым критерием, что делает из вас лжеца. По этому не нужно ни каких списков в которых якобы есть нужный. Человек обманувший в одном теряет право на веру. Если приведете труд будем обсуждать, а пока у вас нет фактов нет обсуждения хоть слюной обрызгайтесь.
Приводите ссылку на труд, который полность соответствует обсуждаемым критериям (если забыли я могу напомнить), далее я открываю ссылку, читаю, вникаю, при желании обсуждаем.
Не приводите, можете дальше расказывать какой вы "умный" и бла бла бла.
Да нахальность и хамство - вот и все что у вас осталось. Вероятно с самого начала больше и не было.
факты же таковы:
вы подменяете одним определением "вещественного числа" - демагогический прием, уход от темы обсуждения.
Разве это подмена? Надо же c чего-то начать. Я взял одно и спрашиваю про него. Вы можете ответить?
Вас никто не просил перечислять никакие списки, просили конкретную работу
Так раз есть список, то есть и одна - выбирайте.
кое что из вашего списка мне знакомо и я знаю что оно 100% не соотвестует обсуждаемым критерием
Ну так докажите, что как раз это предложение не ложь. Что вам знакомо - можете назвать? Где неточность - можете указать? Покажите же наконец, что " не соотвестует" (кстати, у вас ус отклеился).
Давайте на чистоту. Кто начал хамить ?
15 мая: “недообразованный”, “очередной мессия”
28 мая: “наглость недоучки”
Вчера: “Погрузитель великий”
Я на ваши оскорбления отвечал жёстко, но не переходил на личности и хамство до определенного момента.
В целом я даже готов извиниться за свои резкие слова про брызганье слюной, если в диалоге появится хоть какой то намек на конструктивность.
Я слышал что хамы понимают только свой язык грубостей, увы признаю это не помогло.
Теперь по фактам: Вы назвали авторов частности Кудрявцев 1981г. Вот ссылка на книгу, я как раз по ней учился в универе.
http://www.physics.gov.az/book_K/Kudriavtsev_1.pdf
Ну и очевидно что она начинается уже с готовых понятий таких как множество и т.п., ни какой строгости введения терминов начиная с "ряда", "безконечности", "числа" здесь и впомине нет. Если вы имелии в виду другой труд 1981 года, дайте ссылку на него, что от вас и требуется уже в который раз.
Есть серьезная разница между хамством и иронией. И вы меня в первое, пожалуйста, не впутывайте.
Далее: значит вам нужно определение множества.
А с понятием вещественного числа все в порядке. Как только мы принимаем объект множество натуральных чисел, то построение рациональных чисел и по ним (Рудин, Ландау - сечения, Колмогоров-Фомин фактор множество по фундаментальным последовательностям) вещественных является вполне точным. В Кудрявцеве же, как вы сами должны знать, вещественные числа вводятся аксиоматически т.е. здесь проблема только модель и/или непротиворечивость. Но в точности определения проблем нет. И в определении ряда нет неточностей - это просто последовательность.
Теперь, если нужно, определение(!) множества: берите Бурбаки "Теория множеств" и сперва надо хорошо пройти "Описание формальной математики" - это их метаматематика. Только потом переходить на множества. Ну если нужно сразу, то в русском издании 65 года стр. 78. Если можете лучше брать, например, английские издания 2004 или более поздних лет. Французские, к сожалению, не могу коментировать. Учтите еще, я обязан предупредить, что в последние ~25 лет отношение к определению множества по этой книге в корне изменилось и сейчас за основу предпочитают брать класс. Но в этой книге пример точного определения = формальное определение.
И предвосхищая вопрос на чем же основанна формальная математика по Бурбакам: выбираем и согласовываем символы какого-нибудь алфавита. Штук 30-40. Или 125. Не важно. Просто различные рисунки. Если мы можем договориться, что можем рисовать друг другу эти рисунки, символы, и узнавать их безошибочно, то все готово - мы можем начать говорить о математике и строить определение множества. Если не узнаем, математику не начинаем.
Я забил наш диалог в ИИ и он прямо написал кто начал хамить и указал где. Надеюсь вы понимаете что это практически эталон в таких вопросах.Тем не менее я рад что последнее сообщение было весьма сдержаным хоть и содержало какие то попутные мысли которые у вас возникли, но которые не отвечают на заданные выше вопросы.
"Далее: значит вам нужно определение множества.", - Нет я этого не просил, я просил труд в котором вводятся понятия "числа", "ряда" и "безконечности".
Разумеется по первому абзацу у нас полное расхождение.
Вы что не знаете, или не понимаете, что все понятия которые вы спрашиваете основанны на понятии множества?
Вы же сами написали
Ну и очевидно что она начинается уже с готовых понятий таких как множество и т.п., ни какой строгости введения терминов
Чтобы понять что такое число, нужно знать что такое множество. Определение числа базируется на определении множества. Так же как и функции и т.д. Все понятия которые вы хотите точно определенные на основе понятия множества есть в указанной книге, но до них нужно дойти.
Чтобы прочесть определение множества нужно знать определения терма и отношения, нужно точно знать что такое доказательство, истинное предложение, кванторы и т.д. Все это есть в монографии которую я вам привел. Как раз там все формально точно. Хотели погружаться, так вот и пробуйте. Первые ~35 страниц это основа. Сможете разобраться хоть в одном доказательстве? Посмотрим.
"Чтобы понять что такое число, нужно знать что такое множество" - это зависит от того какую теорию вы используете.
Безусловно есть теория чисел основананя на поняти множество, аксиомах Пеано, теории типов, теории категорий, кодировании Черча и возможно другие есть, но я ведь задал конкретный вопрос. Если у вас нет ответа зачем давать мне информацию которую я не просил ?
Т.е. опять отмазки?
Кто написал?
Если вы можете привести хоть один современный или несовременный труд который вы читали и уверены что в нем четко и строго определяются понятия "число", "безконечность", "ряд" так приведите его
Я дал конкретную монографию где эти понятие точно, формально, определены. Я ее читал, и не раз, в свое время. Даже семинар вел. И это значит, что нет ответа? Это информация которую не просили? Ответ вам дан и все ваши обещания и похвальбы, что вам вот только книги не хватает, получается, ложь? И что за кошмар про Пеано, например? Пеано, по вашему, это альтернативный теории можеств метод введения числа? Вы понятия не имеете, что Пеано основанно именно на теории множеств. Вероятнее всего, как про и все остальное. Что это за ужас говорить о том, что не знаете?
Вам нужен был "хоть один" труд - вы его получили. И что? Видимо вы не можете прочесть даже первую страницу из того, что я дал. А, возможно, и не хотите и не хотели. Просто безответственные высказывания, как и про все остальное.
Вы не привели ни одной отркывающейся ссылки, а дали список неполных названий трудов.
Один труд я открыл привел ссылку и указал вам что вы обманули в нем нет определния "числа", "ряда" и "безконечности".
Это чистый 100% факт.
100% факт то что определение вещественного числа там есть: наивно на 15стр. и точно на 20стр., определение 2., т.е. обманываете вы и обвиняете меня. Это определение основанно на понятии множества, которое вы недоучили и сейчас даже не можете начать учить.
У вас
С этой стороны ничуть не лучше…
То что там есть определение вещественного это чистая правда, но разве одна правда делают другую вашу ложь правдой ? Уверен что вы и сами понимаете что нет.
Перестаньте мне указывать что я и где недоучил. Человек учится всю жизнь - этот процесс безконечный. Если у когото он завершился что ж мои поздравления вы использовали все свои возможности.
вы обманули в нем нет определния "числа"
То что там есть определение вещественного это чистая правда
Вы сами контролируете то что пишете? Это же ваши соседние коменты об одной и той же книжке.
Какая "одна правда", какая "другая ложь", что я "сам понимаю"? - откуда вы знаете, что я понимаю? Еще одно сверхмышление - он теперь и мысли читает. Не можете внятно высказаться, так меня не впутывайте.
И с какой стати вы указываете на что мне указывать? Еще одно проявление избранности? Он который "объяснит", то что сам не понял и не доучил, теперь указывает кому что говорить.
Сегодня появился еще один - поговорил с ии и во "ВселАнная" разобрался. Что-то в этой внутренней букве мне показалось знакомым ...
Человек учится всю жизнь - этот процесс безконечный.
Да вы сами яркий контрпример этому.
Опять
Душераздирающее зрелище...
А давайте возьмем за точку отсчета не черепаху, а Ахиллеса. Вот он пробежал 10 м, а черепаха проползла метр. Вот снова 10 м и метр... Ясно, что Ахиллес догонит и обгонит черепаху.
Если взять за точку отсчёта Ахиллеса, то он будет неподвижен. А черепаха будет делать вид, что шагает вперёд, но фактически будет отодвигаться назад на 9 метров за каждый упомянутый вами промежуток времени.
С ахиллесом и черепахой нет никакого парадокса, вывод "ахиллес никогда не догонит черепаху" делают люди, которые не умеют складывать бесконечные ряды. Этот ряд сходится к числу, которое (вот ведь неожиданность) совпадает с временем из формулы вычитания скоростей.
О, жиза про страх бесконечности в детстве
Проблема "парадокса" с черепахой в подмене понятия "никогда". Ахиллес догонит черепаху в конкретный момент времени, а то что мы замедляем отсчёт времени (каждая итерация "он добежал до предыдущего местонахождения черепахи" короче предыдущей) это уже наша личная проблема, а не парадокс. Мы можем время вообще остановить и тоже сказать "никогда не догонит", к реальности эти игры отношения не имеют )
Парадокс существует при условии, что расстояние и время бесконечно делимы, в этом случае действительно Ахиллес никогда не догонит черепаху. Но они не делимы бесконечно, поэтому парадокса нет.
Расстояние и время -- сущности континуума. Они делимы безгранично. Но бесконечно большая сумма бесконечно малых даёт конечную величину. Вот тут и возникает типа парадокс.
Спасибо Ньютону и Лейбницу, что выдернули нас из этого ада.
Время имеет конечную делимую величину нише которого она смысла не имеет. Эта величина планковская. Тоже самое касается длины. Планковская длина это минимальное расстояние меньше которого не чего физического смысла не имеет.
Я понимаю о чем вы, но даже в этом случае пародокса как такового не наблюдается. Сама возможность безконечно делить время и расстояние не обязывает вас это делать, а потом совершать какие то выводы из этого.
Это лишь показывает что невозможно достичь сколь угодно большого числа совершая сколь угодно малые шаги, на сколь угодно малом промежутке времени.
Скорее в "оставим определение читателю", чем в "подмене". Поскольку существуют разные "естественные" определения, постольку есть пространство, куда можно впихнуть неразрешимый парадокс.
Пример. Вот есть гладкая выпуклая функция с единственным максимумом на данном интервале, пусть даже заданная аналитически. Вот есть некий "быстрый" алгоритм с экспоненциально сжимающими отображениями. Очевидное утверждение: алгоритм никогда не выдаст точное значение максимума. А почему? Ведь полная сумма приращений, как очевидно любому мало-мальски грамотному человеку, конечна.
Инженерный вариант той же задачи: стыковка без удара.
Конечно, всегда можно сказать, что в реальной жизни у нас всегда есть допуски, представление о точности и всякое такое. Но точно так же и парадокс Ахиллеса с черепахой рассыпается при введении представления о точности без всяких суммирований рядов.
И т.д.
Таким образом парадоксы Зенона оказываются любопытными конструкциями, над которыми поучительно поразмышлять. Разумеется, к тому же Ахиллесу с черепахой вольно относиться как "идиоты философы не знают сумму геометрической прогрессии", тут, что говорится, хозяин-барин.
Согласен с вашими мыслями, добавлю парочку своих.
А равзе алгоритм не может выдать точное значение в двух следующих случаях:
1) случайно-эвристически попасть в нужную точку
2) выдать максимально точно значение (которое определяется критерием остановки алгоритма)
Исхожу из того что ответом является число для которого существует конечная десятичная запись и алгоритм ей соответствует. (Ведь иррациональные числа, это по сути не числа, а лишь алгоритмы безконечного получения уточняющих членов ряда)
А если вы исходите из того что ответом является иррациональное "число", которое как уже сказано было выше не совсем число (безконечных чисел не бывает, безконечными бывают лишь ряды) то и алгоритм должен быть особенный, который умеет возвращать иррациональные "числа" (алгоритм как бы возвращает алгоритм или привычную запись этого алгоритма например "корень из двух, число ПИ, и т.п. ")
Похоже что все парадоксы с безконечностями получаются из за разного трактования этой самой безконечности в разных местах задачи и выводах.
Я считаю что наибольший интерес представляют именно те математические определения "числа" и "безконечности" которые имеют наибольшую схожесть и удобство для описания физических процессов, а это увы далеко не всегда так.
В той общности, как у меня было написано, действительно, допустимы ситуации, когда алгоритм сойдется за конечное число шагов.
Любопытность Ахиллеса с черепахой, конечно, не в казуистике. С этой стороны как раз ничего интересного нет. Сейчас мы прекрасно знаем, что парадоксы существуют, например, парадокс брадобрея. Соответственно, вполне может быть соответствующая классификация, в которой Ахиллес с черепахой как-то умно называются и вопрос как бы закрыт.
Интересность в том, что апория приглашает подумать о вещах, в общем, небесполезных. Например, Вы упомянули конечную десятичную запись. Это как раз пример, который я держал в голове. Бесконечная десятичная запись вовсе не означает иррациональность. Таковы, в частности, несокращаемые дроби, например, 1/3. Можно что-то придумать с цепными дробями. А в этом случае и иррациональные числа необязательно проблемны: у квадратичных иррациональностей цепные дроби периодичны и, значит, какие-то конечные метапредставления вполне возможны. Т.е. как Вы и сказали, вполне осмысленно говорить о результате в виде "более примитивного" алгоритма. И вот уже куда-то к колмогоровской сложности подступили. Т.е. оказалось, что бесконечности не такие уж и одинаковые.
Полезно отметить еще и то, что в стихийных обсуждениях того же Ахиллеса с черепахой по умолчанию считается, что практический (физический) контекст исключает бесконечность. Ну да, кому нужна теория автоматического управления, достаточно рассказать, что геометрическая прогрессия сходится и в любом случае есть всякие планковские длины и т.п., а то философы не в курсах. В некоторых весьма практичных контекстах за такие рассуждения могут в лицо рассмеяться, в лучшем случае. Т.е., конечно, по объективным часам всего секунда прошла, да только поезд с рельс сошел или даже люди погибли.
ну, хотя бы видно, что не ИИ текст писал… и это не комплимент автору
Есть пустая ваза и бесконечный запас шаров с номерами 1, 2, 3, …
и в конце минуты в вазе будет 0 шаров!
Почему нельзя рассуждать следующим образом? Каждый раз мы добавляем в вазу по 9 шаров и делаем это бесконечное количество раз. Вывод (вполне согласующийся с интуицией): в конце минуты в чаше будет бесконечное количество шаров. Где ошибка?
ошибка в том, что не надо спорить с математиками, они утащат вас на свой уровень и там легко докажут, что вы бестолочь. <<Приходит Иван к Абраму просить в долг рубль, Абрам ему и говорит: ‘Хорошо, я дам тебе рубль, но ты должен что-то под залог оставить’ ‘Да нет у меня ничего, что оставить-то?’ ‘Да хотя бы топор’ ‘Ладно, бери’ ‘Слушай’-говорит Абрам-‘мне ведь невыгодно тебе просто так рубль давать, давай, ты мне через год два рубля отдашь?’ ‘Хорошо’-отвечает Иван. Взял он рубль, собирается уходить. Абрам его останавливает:‘Да, но ведь тебе сложно будет через год мне два рубля отдавать, ты мне сейчас рубль сразу отдай, тогда через год тебе будет легче’ И правда, подумал Иван и отдал обратно рубль Абраму. Выходит он от Абрама и думает:'Интересно, топора нет, рубля нет и еще рубль остался должен, и вроде все правильно!!!>>
Задача Ахилеса и прочие имеет вполне нормальное физическое решение. Время невозможно делить бесконечно и расстояние тоже. Есть физический предел называемый планковский ниже которого смысла времени и длинны нет. Так что как только Ахиллес достигнет этого предела он догонит черепаху. Кстати он достигнет по длине а не по времени. То есть в определенный момент они будут на физически одинаковом расстоянии даже если математически оно разное. С вазой тоже самое количество шариков будет огромно но конечно. Не процесса который может произойти быстрее планковский величины и рассуждать об этом бессмысленно.
Интересная статья, но в конце вы воспроизвели космологический аргумент Фомы Аквинского причём без апгрейдов с 13 века."До Большого взрыва что-то было" это лингвистическая ошибка, а не философский вопрос. Время является частью пространство-времени и возникло вместе со вселенной. Спрашивать "что было до" примерно так же осмысленно, как спрашивать "что находится севернее Северного полюса". Само понятие "до" там просто не работает, это не тайна, это отсутствие смысла в вопросе.Далее аргумент говорит: "всё имеет причину" из чего следует "значит нужна первопричина без причины" из чего выходит "это бог".Удобно.Но подождите: если богу можно существовать без причины как исключению из правила, почему этим исключением не может быть сам квантовый вакуум? Или само пространство-время? Вы добавили лишнее звено и ничего не объяснили, просто переместили загадку на уровень выше.И даже если принять аргумент целиком он доказывает в лучшем случае какую-то абстрактную первопричину. До личного бога, рая и ада, о которых вы переживали в детстве, отсюда ещё пропасть. Это не маленький шаг, это прыжок через несколько континентов.
Хрен там, сингулярность можно сделать фронтальной.. И привет всем теоретикам.. Ахах.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Если вы плохо понимаете бесконечности — добро пожаловать в сингулярность