Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 20
например, бесконечность целых чисел больше, чем бесконечность чётных чисел
Сомневаюсь.
если считать историю с шарами и вазой истиной, то по аналогии, наоборот, бесконечность чётных чисел меньше, чем бесконечность целых. (ибо в вазу мы кладем всегда больше шаров, чем вынимаем, но в бесконечности они куда-то все делись)
История с шарами как раз говорит о том, что количество шаров, которые вы кладёте в вазу равно количеству шаров, которые вы оттуда вынимаете.
И чтоб два раза не писать: посчитать по порядку можно что все целые числа, что все чётные. Поэтому эти множества одинаковой мощности (алеф-ноль, если интересно).
Правильно сомневаетесь - мощность этих множеств одинаковая.
Они имеют одинаковый размер, но плотность у целых больше. Короче говоря зависит от критериям оценки.
В математике в бесконечных множествах не работают те же самы понятия "больше", "меньше" что и в конечных. Для бесконечных множеств рассматривается понятие биекции (взаимно однозначное отображение на) и если множества биективны, то они равномощны. Целые числа биективны четным числам, биективны нечетным числам. Целые числа биективны любому своему бесконечному подмножеству. Но нет биекции между действительными и целыми числами.
А давайте возьмем за точку отсчета не черепаху, а Ахиллеса. Вот он пробежал 10 м, а черепаха проползла метр. Вот снова 10 м и метр... Ясно, что Ахиллес догонит и обгонит черепаху.
Если взять за точку отсчёта Ахиллеса, то он будет неподвижен. А черепаха будет делать вид, что шагает вперёд, но фактически будет отодвигаться назад на 9 метров за каждый упомянутый вами промежуток времени.
С ахиллесом и черепахой нет никакого парадокса, вывод "ахиллес никогда не догонит черепаху" делают люди, которые не умеют складывать бесконечные ряды. Этот ряд сходится к числу, которое (вот ведь неожиданность) совпадает с временем из формулы вычитания скоростей.
О, жиза про страх бесконечности в детстве
Проблема "парадокса" с черепахой в подмене понятия "никогда". Ахиллес догонит черепаху в конкретный момент времени, а то что мы замедляем отсчёт времени (каждая итерация "он добежал до предыдущего местонахождения черепахи" короче предыдущей) это уже наша личная проблема, а не парадокс. Мы можем время вообще остановить и тоже сказать "никогда не догонит", к реальности эти игры отношения не имеют )
Парадокс существует при условии, что расстояние и время бесконечно делимы, в этом случае действительно Ахиллес никогда не догонит черепаху. Но они не делимы бесконечно, поэтому парадокса нет.
Скорее в "оставим определение читателю", чем в "подмене". Поскольку существуют разные "естественные" определения, постольку есть пространство, куда можно впихнуть неразрешимый парадокс.
Пример. Вот есть гладкая выпуклая функция с единственным максимумом на данном интервале, пусть даже заданная аналитически. Вот есть некий "быстрый" алгоритм с экспоненциально сжимающими отображениями. Очевидное утверждение: алгоритм никогда не выдаст точное значение максимума. А почему? Ведь полная сумма приращений, как очевидно любому мало-мальски грамотному человеку, конечна.
Инженерный вариант той же задачи: стыковка без удара.
Конечно, всегда можно сказать, что в реальной жизни у нас всегда есть допуски, представление о точности и всякое такое. Но точно так же и парадокс Ахиллеса с черепахой рассыпается при введении представления о точности без всяких суммирований рядов.
И т.д.
Таким образом парадоксы Зенона оказываются любопытными конструкциями, над которыми поучительно поразмышлять. Разумеется, к тому же Ахиллесу с черепахой вольно относиться как "идиоты философы не знают сумму геометрической прогрессии", тут, что говорится, хозяин-барин.
ну, хотя бы видно, что не ИИ текст писал… и это не комплимент автору
Есть пустая ваза и бесконечный запас шаров с номерами 1, 2, 3, …
и в конце минуты в вазе будет 0 шаров!
Почему нельзя рассуждать следующим образом? Каждый раз мы добавляем в вазу по 9 шаров и делаем это бесконечное количество раз. Вывод (вполне согласующийся с интуицией): в конце минуты в чаше будет бесконечное количество шаров. Где ошибка?
ошибка в том, что не надо спорить с математиками, они утащат вас на свой уровень и там легко докажут, что вы бестолочь. <<Приходит Иван к Абраму просить в долг рубль, Абрам ему и говорит: ‘Хорошо, я дам тебе рубль, но ты должен что-то под залог оставить’ ‘Да нет у меня ничего, что оставить-то?’ ‘Да хотя бы топор’ ‘Ладно, бери’ ‘Слушай’-говорит Абрам-‘мне ведь невыгодно тебе просто так рубль давать, давай, ты мне через год два рубля отдашь?’ ‘Хорошо’-отвечает Иван. Взял он рубль, собирается уходить. Абрам его останавливает:‘Да, но ведь тебе сложно будет через год мне два рубля отдавать, ты мне сейчас рубль сразу отдай, тогда через год тебе будет легче’ И правда, подумал Иван и отдал обратно рубль Абраму. Выходит он от Абрама и думает:'Интересно, топора нет, рубля нет и еще рубль остался должен, и вроде все правильно!!!>>
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Если вы плохо понимаете бесконечности — добро пожаловать в сингулярность