Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 45
Говоря алгоритмически: на ноль делить можно - разделить нельзя! (алгоритм деления на ноль всегда подвиснет в бесконечном цикле)
А теперь объясните нам также с помощью "красивой, железобетонной механики", почему факториал нуля равен единице. ))
А это - так условились. Так же, как в любом нормальном тексте оговаривается с чего начинается натуральный ряд: с 0 или с 1 (сейчас, обычно, с 0)
P.S. Вспомнил, что 1 не считается простым числом по той причине, что иначе нарушается основная теорема арифметики о единственности разложения числа на простые множители. Тоже, в своем роде, соглашение )
Вы сначала предложите “физику факториала”!
По “исторической физике” факториал - это количество перестановок. Сколькими способами можно переставить ничего? Правильно - только одним способом: ничего не делать. Вот и единица.
Ну с такой логикой 2! - это 12, 21, и ничего не делать. Получается 3)
Нет. Ничего - не является валидной перестановкой 1 и 2.
По той же причине, по которой что-либо в нулевой степени равно 1. Когда совсем нет множителей, остается нейтральный элемент (единица). Это справедливо не только для умножения, но и вообще для любых операций с наличием нейтрального элемента. Например, для логического "И" отсюда следует немного странный результат
С помощью "красивой железобетонной механики" можно конечно попробовать объяснить, почему на ноль делить нельзя (но в некоторых системах можно: проективно расширенная вещественная прямая), почему параллельные прямые не пересекаются (но в некоторых геометриях пересекаются: геометрия Лобачевского), почему нельзя извлечь корень из минус единицы (но, конечно, в пространстве комплексных чисел можно).
Но с факториалом чуть проще. Он такой по определению, потому что никто никогда не придумывал что-то полезное на базе другого определения факториала, когда 0! например равен нулю или бесконечности. Можно, но зачем?
Аналитическое расширение отлично объясняет:
2! = 3!/3
1! = 2!/2
0! = 1!/1
С делением на 0 оно не работает, там с отрицательной стороны будет, условно, -∞, а с положительной +∞
Модель числа несет на себе все достоинства и недостатки родителя. Когда мы берем одно яблоко и делим его на двоих, мы получаем две идентичные половинки, которые являются двумя новыми самостоятельными единицами. Но, по правилам арифметики, мы все еще называем их половинками или 1/2. Со времен римлян и греков, философы и прочие там физики-ядерщики делят предметы на части, стараясь достичь той самой неделимой единицы, которую условно зовут атомом. Когда у нас появится четкая концепция атома, неделимого на части, тогда и поговорим о том что такое ноль, и можно ли на него делить.
Счёт древних Русов уже придумали до вас!
Логика не сходится.
Как быть с числами которые делятся с остатком и он в периоде.
Например:
4/3 = 1.333333...
1.3333...*3=3.9999..
На первый взгляд действительно кажется, что логика ломается, но на самом деле аксиома работает безупречно.
Весь фокус кроется в том, что в математике 3.999... (тройка и девять в периоде) абсолютно строго равно 4. Это не приблизительное значение и не результат округления — это буквально одно и то же число, просто представленное в другой форме записи.
Есть классическое алгебраическое доказательство этого факта. Давайте обозначим ваше искомое число за x:
x = 3.999...
Умножим обе части уравнения на 10:
10x = 39.999...
А теперь просто вычтем из второго уравнения первое:
10x - x = 39.999... - 3.999...
9x = 36
x = 4
Получается, что 3.(9) = 4 (так же, как 0.(9) = 1). Поэтому при проверке обратным умножением всё сходится идеально, мы получаем ровно исходную четверку!
1/3 = 0.3333…
-1/3 = …3333.0
1 = 0.9999…
-1 = …9999.0
…
Допустим, x = ...9999 Умножаем его на 10, получаем 10x = ...9990 А теперь просто вычитаем из первого второе: x - 10x = 9 (все бесконечные девятки слева взаимно уничтожаются) Получаем -9x = 9 Значит, x = -1
То есть бесконечное ...9999 — это реально минус единица! То же самое работает и с ...3333 = -1/3.
Да, для 10-адических чисел это так. Но в матанализе их не используют, ибо не понятно между какими x и y лежит скажем ...3333.0. И что с ним таким дальше делать?
Весь фокус кроется в том, что в математике 3.999... (тройка и девять в периоде) абсолютно строго равно 4.
*в матанализе. вы тут просто предполагаете существование результата бесконечного процесса...
Учительница строгим голосом отрезала: «На ноль делить нельзя!», и на этом дискуссия была окончена. Большинство из нас приняло это как догму, эдакое математическое табу, не пытаясь докопаться до сути. Заучили, сдали контрольную и пошли дальше.
но при этом
В математике существует фундаментальное свойство нуля. Какое бы гигантское, микроскопическое, рациональное или комплексное число C мы ни взяли, при умножении на 0 оно всегда превратится в 0. Всегда. Без исключений.
А почему это свойство существует? Можете это объяснить на бытовом примере?
Представьте, что вы высокооплачиваемый консультант с шикарной ставкой — 10 000 рублей в час. Ваша выручка за день — это ставка, умноженная на отработанное время. Если вы взяли выходной и проработали ровно 0 часов, то, какой бы гигантской ни была ваша базовая ставка, за этот день вы получите ровно 0 рублей.
Во-первых, делить любое обычное число на ноль (N / 0) нельзя.
Во-вторых, делить ноль на ноль (0 / 0) тоже нельзя.
Ну, почему нельзя? Можно, делите на здоровье, сколько душе угодно! Только, смысл? – Результат всегда будет неопределённым. Точнее, в первом случае будет бесконечность, с тем знаком, которое есть у числа. Например: ±1/0 = ±∞ ; ±i/0 = ±i⋅∞ ; ±j/0 = ±j⋅∞ ; ±k/0 = ±k⋅∞ и т.д. Здесь i, j, k – кватернионные единицы (i – может быть мнимой единицей, в поле комплексных чисел).
Можно пойти дальше и делить любое ненулевое число алгебры Кэли-Диксона на ноль. Но, вы бы лучше рассмотрели делители нуля для этой алгебры, когда произведение двух ненулевых чисел дает ноль! Все же, интересней было бы.
Во втором случае, мы получаем сразу всё одномерное пространство действительных чисел, если рассматриваем ноль в этом пространстве. А если этот ноль – гиперкомплексный, то результат будет соответствующим.
Поэтому, вывод: Делить на ноль можно, только результат не будет однозначным числом. Однозначности можно достичь, если перейти с пределу. Например, степень нуля в нуле будет равна единице: 0^0 = 1, но, только в пределе, если аргумент x, в функции y(x) = x^x, будет стремиться к нулю на действительной прямой, справа, т.е., будучи всегда положительным. Для других предельных последовательностей – результат будет другой либо отсутствовать вовсе.
Вот и спрашивается, надо ли бедным учителям все это объяснять детям в школе? Не проще ли запретить делить на ноль вообще?
Правда, при этом возникают другие издержки, как в анекдоте: «Леночка пригласила домой Вовочку и говорит: Сегодня ночью мы будет делать то, что делать нельзя! Вовочка: Как?! Неужели делить на ноль?!»
Поэтом приходится выбирать: Или / Или? :)
Какое бы гигантское, микроскопическое, рациональное или комплексное число
мы ни взяли, при умножении на 0 оно всегда превратится в 0. Всегда. Без исключений.
Не всегда. Возьмём ещё более абстрактную сущность - бесконечность. Умножьте её на ноль ;)
бесконечность
Бесконечность – это не число! Это сущность другого порядка. Причем, разная. Действительная бесконечность это «точка», точнее, «двоеточие» – отрицательная и положительная. Комплексная бесконечность – это двумерная окружность, бесконечного радиуса. Кватернионная бесконечность имеет размерность четыре и т.д. и т.п.
Обобщенно, бесконечность – эта граница числового пространства и имеет ту размерность, которую имеет исходное пространство.
Мы же не в школе, чтобы иметь в виду только натуральные числа!
Бесконечность – это не число!
А где я написал обратное? "ещё более абстрактную сущность"
Мы же не в школе, чтобы иметь в виду только натуральные числа!
Только статья почему-то называется "Почему на самом деле нельзя делить на ноль"))
Если уж на то пошло - то и ноль это не число. Это отсутствие числа!
Ну и автор там пытается доказывать неопределённость операции деления на ноль через... внезапно бесконечные(!) процессы вычисления остатка простых дробей...
UPD: И кстати, а сам ноль-то - натуральное число или нет? ;)
А где я написал обратное? “ещё более абстрактную сущность”
Так вы же цитируете автора:
Какое бы гигантское, микроскопическое, рациональное или комплексное число C мы ни взяли
Он говорит про число, а вы, выходит, подменяете его «ещё более абстрактной сущностью»? Разве это логично?
Только статья почему-то называется “Почему на самом деле нельзя делить на ноль”))
Разве из этого названия однозначно следует, что имеются в виду только натуральные числа? Даже если автор ограничен в математике, то это не обязано распространяться на читателей.
Если уж на то пошло - то и ноль это не число. Это отсутствие числа!
Неправда, ваша! В математике числа имеют железобетонную геометрическую интерпретацию. Поэтому всегда говорят о пространстве чисел, их размерности и т.п. Имеется в виду, бесконечные числовые множества. Для конечных числовых множеств, интерпретация может быть другой.
Ноль – это обычная точка в подобных пространствах, просто, произвольным образом выделенная (точка отсчета в системе координат геометрического пространства).
Ну и автор там пытается доказывать неопределённость операции деления на ноль через… внезапно бесконечные(!) процессы вычисления остатка простых дробей…
Ну, каждый говорит о том, что знает. А о том, что не знает – не говорит! Автор – явно не заканчивал мехмат или даже факультет прикладной математики. Так, начитался в детстве популярных книг по занимательной математике, не более.
UPD: И кстати, а сам ноль-то - натуральное число или нет? ;)
Смотря, в каком числовом пространстве вы его рассматриваете. Если в N0 (множестве натуральных чисел плюс ноль), то да, там оно – натуральное число. Если в N1 (множестве натуральных чисел, без нуля), то нет.
В пространствах целых, рациональных и действительных числах – ноль – это скаляр. В комплексных числах, кватернионах и гиперкомплексных числах (включающих, в т.ч., алгебры Кэли-Диксона) – ноль – это вектор.
В школьной математике, ноль однозначно присутствует в целых и рациональных числах. К натуральным числам его, обычно, не относят (так и говорят: «Натуральные числа и ноль»).
Тем не менее, это полноценное целое и рациональное число, под которыми всегда понимаются: положительные рациональные числа, отрицательные рациональные числа и ноль.
Он говорит про число, а вы, выходит, подменяете его «ещё более абстрактной сущностью»? Разве это логично?
По сути своей - это не число в привычном его понимании. Оно не обладает рядом свойств присущим другим числам. Дальше уже идёт риторика и терминология... С таким же успехом я и бесконечности могу называть трансфинитными числами ;)
Разве из этого названия однозначно следует, что имеются в виду только натуральные числа? Даже если автор ограничен в математике, то это не обязано распространяться на читателей.
Из этого следует лишь то, что это уровень школьной "головоломки".
Неправда, ваша!
В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.
Т.е. "конвенция", а не какая-либо логическая или физическая данность.
Ноль – это обычная точка в подобных пространствах, просто, произвольным образом выделенная (точка отсчета в системе координат геометрического пространства).
А это уже зависит от раздела математики.
Смотря, в каком числовом пространстве вы его рассматриваете. Если в N0 (множестве натуральных чисел плюс ноль), то да, там оно – натуральное число. Если в N1 (множестве натуральных чисел, без нуля), то нет.
Удивительная по своей красоте, тавтология))
В школьной математике, ноль однозначно присутствует в целых и рациональных числах. К натуральным числам его, обычно, не относят (так и говорят: «Натуральные числа и ноль»).
В советской и российской школе, да)) Говорю же - конвенция.;)
UPD: И кстати, а сам ноль-то - натуральное число или нет? ;)
Это как вам угодно. Некоторые математики считают, что натуральное, некоторые - не считают. Противоречий, если что, не возникает. Просто вопрос удобства - кому как по душе. Чаще всего, 0 включают в состав натуральных чисел
Взрослые, состоявшиеся люди и даже журналисты с серьезным видом просят растолковать совершенно базовые вещи: например, почему
или почему, всё-таки нельзя делить на ноль
Я думал, что такие вопросы люди осознают в 1м, ну 3м классе. Давайте теперь ждать статью про то, почему же 1 + 0 будет равно именно 1.
Следуя логике школьной математики, чтобы из:
Получить что-то типа:
Нужно обе части уравнения умножить на знаменатель (то есть 0). Получается:
Интересен ход рассуждения, как вы избавились от дроби в правой части? Обычно трюк с сокращением работает потому, что число деленное само на себя равно единице. Но вы же не хотите сказать, что 0 / 0 = 1?
В природе вообще нет нуля и отрицательных чисел. А они есть только в голове тех, кто их придумал.
В природе вообще нет никаких чисел, это все абстракции мозга для осознания и описания мира
В определённом смысле числа всё же есть. Просто их понимают не правильно - дедушка Чёрч не даст соврать.
Число это не какой-то, пусть, даже, абстрактный объект - а операция, алгоритм, действие. Точнее за каждым числом - целое семейство алгоритмов счёта (последовательное тыкание пальцем, доставание из мешочка и т.д. и т.п.). И если эти семейства алгоритмов (числа) связанны друг с другом определённым образом (аксиомами Пеано, например) - то мы можем по формулам вычислять результат комбинации этих алгоритмов с помощью арифметических( и прочих математических) операций (которые тоже являются алгоритмами) не выполняя их непосредственно.
И 0 - это первый придуманный человеком “невозможный”, “неоконченый” такой алгоритм. Который получает смысл только в определённом соединении с другими алгритмами-числами, а без них - невыполним.
Отрицательные, комплексные числа м прочая экзотика - всё тоже самое: “неоконченные алгоритмы”, которые имеют “физический” смысл только при определённом сочетании с другими алгоритмами. Отрицательные числа можно назвать каррированием операции вычитания, например. Пока не подставишь правильное число - “реального количества” не получишь (хотя там могут разные быть варианты, как, например, с летоисчислением от рождения Христа).
Во-первых, делить любое обычное число на ноль (
) нельзя. Если смотреть на это через призму реального мира (физический подход), мы улетаем в бесконечность, которую невозможно пощупать или использовать как конкретный результат. Если же опираться на сухие аксиомы, то в природе просто не существует такого числа
. Ноль вариантов ответа.
Деление на ноль означает нахождение сингулярной точки теории. Это не вопрос теории. Это уже вопрос познания. Сингулярности в теориях признак новых горизонтов познания за ней (их эмпирической неопределенности, недоопределенностью). История физического познания наглядный пример этого процесса. Но это понимание не для школы, это для тех кто пытается раздвинуть границы познания, выйти за их пределы. И да, все симметрии на которых строятся теории исчезают в точке сингулярности.
С точки зрения железа нет никакой неопределенности, есть флаг в регистре состояний, который прерывает выполнение. Аппаратная архитектура давно решила эту проблему паникой ядра
Почему, ну почему столько статей на эту тему? Чем вам несчастный ноль не угодил? Почему каждый раз пытаются придумать какое-то новое (на самом деле одно из тысяч старых) оправдание этому "жестокому несправедливому школьному правилу"?
До определенной поры нуля как концепции не существовало в математике. В какой-то момент появился ноль (как нейтральный элемент по сложению), отрицательные числа, рациональные...
Каждый раз, расширяя исходное множество, хотелось сохранить стандартные арифметические свойства при переходе ко всё более широким множествам N+{0}, Z, Q - иначе особого смысла в таком расширении нет.
Ну это типа как непрерывное продолжение функции, определенной на R, на всю комплексную плоскость. Можно конечно ее "продолжить", просто положив, что "продолженная" функция тождественно равна нулю везде на C. Но толку в таком продолжении. если оно не согласовано со значениями функции на исходном множестве?
Еще в рамках только натуральных чисел были замечательные свойства типа a+b = b+a, a(b+c) = ab + ac. И a/b * b = a (в тех случаях, когда деление возможно). Замечу, что эти свойства возникли из банальных "жизненных" или простых геометрических наблюдений (без разницы, сначала тебе дали яблоко, а потом два, или сначала дали два, а потом еще одно). Дальше появились обратные элементы, сначала только по сложению (переход к Z), потом - по умножению (переход к Q).
Давайте на секунду предположим, что мы остановились в развитии на уровне Z со всеми стандартными свойствами целых чисел, но при этом 0 является делителем хотя бы одного числа. Для простоты предположим, что a делится на 0, и в результате получается что-то ненулевое, скажем, b (если получается ноль, случай тривиальный). Тогда
иначе мы потеряем стандартные свойства делимости в целых числах. Это справедливо и в рациональных числах. Поэтому единственный кандидат, которому можно приписать возможность деления на 0 - это сам ноль (без нарушения обратной совместимости).
Да, мы в принципе можем сказать (в рамках Q или даже R), что "давайте разрешим делить на 0, но можно делить только 0 на него, и в результате тоже должен получаться 0". Это единственный вариант, который не разрушит обратную совместимость с привычными "жизненными" свойствами более бедных множеств (типа дистрибутивности и делимости в целых числах). Но такое "разрешение" ничего не даст существенного, при этом придется в куче случаев делать оговорки типа "справедливо только если делим не на 0", итд итп.
Никто не запрещает определить деление на 0 на R, рассматривая его как множество. Берем произвольную функцию f(a) и говорим, что a / 0 := f(a). Просто мы при этом не получим даже дистрибутивности нормальной, совместимой со старыми и привычными сложением и умножением во всех случаях.
Нет никаких таинственных и "единственно правильных" обяснений этому факту через пределы или что-то еще, кроме того, что это сломает обратную совместимость с хорошей, проверенной... вот даже не веками, а тысячелетиями, арифметикой в натуральных числах. И всех последующих построениях.
Я понимаю, что автор (по крайней мере во второй части) пытался сказать примерно то же самое. Но зачем столько воды (и я даже не знаю, зачем я ее здесь налил)? По факту, весь смысл можно уложить в две-три строки. Разрешаем делить на ноль = ломается остальная аксиоматика, которая хорошо согласована с "жизнью".
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Почему на самом деле нельзя делить на ноль? Физический и аксиоматический подходы