Когда неизвестное — не число, а функция: разбор функциональных уравнений с олимпиады IMC

[Dhwtj]

Задача 1 это же для средней школы

Достаточно заметить противоречие непрерывности функций и дырявости множества рациональных чисел (из определения рациональных и иррациональных, не помню класс школы, но не последний).

Условие задачи простыми словами: если две точки x и y отличаются на дробь, то и f(x), f(y) тоже отличаются на дробь.

Посмотрим, что будет, если двигаться вправо на 1 (это дробь). Значит f(x+1) - f(x) всегда дробь. Назовём эту разность d(x). Функция непрерывная, без скачков, а принимает только рациональные значения. Но рациональные числа дырявые (между ними иррациональные). Непрерывная линия не может прыгать по дыркам она должна быть постоянной. Значит f(x+1) - f(x) = одно и то же.

Дальше так же со сдвигом на любую дробь: растёт равномерно. А равномерный рост это прямая линия: f(x) = a·x + b

[master_program]

Первые задачи каждого дня в основном довольно простые тут IMC - International Mathematics Competition for University Students