forallxyzвчера в 13:10

Слишком закручено, чтобы решить

Сложный

21 мин

7.2K

Математика * Научно-популярноеЧитальный зал

+12

Комментарии 4

runaway вчера в 18:55

Сначала хотел возмутиться за игнорирование многолистных комплексных плоскостей и многозначных функций, а потом понравилось.

sillycat 19 часов назад

Хорошая статья, однако есть несколько комментариев:
1. Группа в общем случае не является фундаментальной группой; это можно увидеть на самой первой анимации - для многочлена ; если мы дважды обойдем окружность, то в получим класс, равный тождественный петле; однако эту петлю нельзя стянуть в тождественную (причина тому - на поверхности дискриминанта можно найти кривую параболы, которую огибает наша петля), т.е. в фундаментальной группе она не равна тождественной петле.
2. В главе 3 есть отрывок - "Для корни $\pm\sqrt2, \pm\sqrt3$ организованы в пары, и дискриминант наследует от них эту структуру". Абсолютно не понятно, что значит - дискриминант наследует их структуру. Группа топологических перестановок корней у этого многочлена есть . Либо я не понял смысл происходящего в Главе 3.
3. Доказательства факта 1 довольно наглядное. Наброском служит такая идея - всякая перестановка разваливается в композицию транспозиций. Достаточно научиться переставлять два произвольных корня, не пересекая остальные корни и оставляя их на местах, что несложно.

misha_erementchouk 18 часов назад

То есть из петлевой реализации каноническая теория Галуа просто не получается? Каким-то образом надо догадаться, что коммутанты в группе петель соответствуют резольвентам и соответствующим расширениям? Или это очевидно и достаточно просто хитро прищуриться?

В петлевой реализации есть любопытная завязка на структуру дискриминантной гиперповерхности. В общем положении, у нас есть неразрешимость и как бы понятно. А если преобразования не общего положения? Скажем, есть семейство уравнений $P_\lambda (z; x_1, ..., x_N) = 0$ , где $\deg(P_\lambda(z) = N$ , $\lambda$ - комплексный параметр и

$P_\lambda = \lambda + \prod_k (z - z_k)$

Дискриминантная гиперповерхность протыкается параметром при значениях, которые определяются нулями дискриминанта как полинома от $\lambda$ . Степень этого полинома, вроде бы, . Означает ли это, что в необщем положении (грубо говоря, мы строим теорию возмущений) для уравнения пятой степени можно записать явное выражение для корней через радикалы, содержащие только $\lambda$ и корни невозмущенного уравнения? А для степеней выше пятой все равно никак, за исключением каких-то вырожденных случаев, определяемых соотношениями между .

mrhru 15 часов назад

Для коммутаторов на S5 их несхлопываемость выглядит как экспериментальный факт. И, хотя, статья про многочлены пятой степени, где-то должно быть доказательство для общего случая SN, N≥5.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий