forallxyz3 июл в 13:10

Слишком закручено, чтобы решить

Сложный

21 мин

9.5K

Математика * Научно-популярноеЧитальный зал

+21

Комментарии 10

runaway 3 июл в 18:55

Сначала хотел возмутиться за игнорирование многолистных комплексных плоскостей и многозначных функций, а потом понравилось.

sillycat 4 июл в 00:20

Хорошая статья, однако есть несколько комментариев:
1. Группа в общем случае не является фундаментальной группой; это можно увидеть на самой первой анимации - для многочлена ; если мы дважды обойдем окружность, то в получим класс, равный тождественный петле; однако эту петлю нельзя стянуть в тождественную (причина тому - на поверхности дискриминанта можно найти кривую параболы, которую огибает наша петля), т.е. в фундаментальной группе она не равна тождественной петле.
2. В главе 3 есть отрывок - "Для корни $\pm\sqrt2, \pm\sqrt3$ организованы в пары, и дискриминант наследует от них эту структуру". Абсолютно не понятно, что значит - дискриминант наследует их структуру. Группа топологических перестановок корней у этого многочлена есть . Либо я не понял смысл происходящего в Главе 3.
3. Доказательства факта 1 довольно наглядное. Наброском служит такая идея - всякая перестановка разваливается в композицию транспозиций. Достаточно научиться переставлять два произвольных корня, не пересекая остальные корни и оставляя их на местах, что несложно.

misha_erementchouk 4 июл в 01:18

То есть из петлевой реализации каноническая теория Галуа просто не получается? Каким-то образом надо догадаться, что коммутанты в группе петель соответствуют резольвентам и соответствующим расширениям? Или это очевидно и достаточно просто хитро прищуриться?

В петлевой реализации есть любопытная завязка на структуру дискриминантной гиперповерхности. В общем положении, у нас есть неразрешимость и как бы понятно. А если преобразования не общего положения? Скажем, есть семейство уравнений $P_\lambda (z; x_1, ..., x_N) = 0$ , где $\deg(P_\lambda(z) = N$ , $\lambda$ - комплексный параметр и

$P_\lambda = \lambda + \prod_k (z - z_k)$

Дискриминантная гиперповерхность протыкается параметром при значениях, которые определяются нулями дискриминанта как полинома от $\lambda$ . Степень этого полинома, вроде бы, . Означает ли это, что в необщем положении (грубо говоря, мы строим теорию возмущений) для уравнения пятой степени можно записать явное выражение для корней через радикалы, содержащие только $\lambda$ и корни невозмущенного уравнения? А для степеней выше пятой все равно никак, за исключением каких-то вырожденных случаев, определяемых соотношениями между .

mrhru 4 июл в 04:04

Для коммутаторов на S5 их несхлопываемость выглядит как экспериментальный факт. И, хотя, статья про многочлены пятой степени, где-то должно быть доказательство для общего случая SN, N≥5.

CaptainFlint 6 июл в 12:30

Поэтому доказательство запрещает не только радикалы, но и любые непрерывные функции - синус, экспоненту, что угодно.

Я читал, что корни уравнений пятой степени можно выразить через тета-функции. К сожалению, мой уровень подготовки не позволяет за разумное время разобраться в этой области. Можете сказать, какое свойство тета-функций не позволяет включить их в тот же список “запрещённых” функций? На первый взгляд формулы в Википедии, использующиеся в примере решения уравнения, описывают непрерывные однозначные функции.

forallxyz 8 июл в 12:25

Если говорить на уровне концепций, то точнее было бы сказать: доказательство запрещает суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Причина том, что монодромия одномерной функции слишком проста и не может породить .

Тета- и модулярные функции выходят за этот класс: модулярная функция уровня 5 несёт в своей структуре группу . То есть она как бы приносит недостающую -симметрию с собой.

Строго эту границу описывает теорема Хованского о суперпозициях; как раз про неё я планирую рассказать в следующей части.

CaptainFlint 8 июл в 12:39

Спасибо за объяснение, стало немного понятнее. :-) И за статьи тоже!

forallxyz 9 июл в 14:49

Вам спасибо, за то что читаете!!!

eugenk 11 июл в 09:14

Сейчас как раз после двух Ваших статей начал перечитывать "Теорема Абеля в задачах и решениях". Увы, написано действительно для школьников. Причем похоже неуспевающих по математике. Хотя в детстве была моей настольной книгой. У Вас куда более сжато и потому понятно. Очень жду продолжения (если будет). Пока пишу на яве небольшую библиотечку для работы с подстановками, чтобы разобраться во всём этом экспериментально. Жаль в детстве такой возможности не было.

eugenk 30 июл в 07:01

А идейным наследником геометрического подхода стала топологическая теория Галуа Аскольда Хованского, в рамках которой ведутся работы и сегодня. О них я хочу рассказать в следующей части.

Забавно... Сейчас как раз засел Хованского читать https://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=5212477

С нетерпением жду очередной Вашей статьи. А то у Хованского во-первых сложновато, во-вторых опять-таки в основном алгебра. Хотелось бы чего-то более геометрического и наглядного. Более всего у Хованского поразило то (пока только прочел в предисловии, как именно пока не дочитал), что неразрешимость алгебраических и дифференциальных уравнений имеет общие топологические причины.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий