Gogarik29 июл в 09:58

Что такое дифференциал первого и второго порядка (Продвинутый уровень)

Простой

7 мин

12K

Математика * Машинное обучение * Алгоритмы * Научно-популярное

Туториал

Из песочницы

Комментарии 31

blenderlybae 29 июл в 10:38

Спасибо, отличное объяснение! Рисунки очень помогают, а контрпример с тортом прям в голове уложился. Для первой статьи — супер, пиши ещё :)

Zenitchik 29 июл в 11:11

Как-то больно резко перешли от элементарщины про дифференциируемость к оператору набла.

Gogarik 29 июл в 11:26

Оператор набла кажется более естественным, чем дифференцируемость. Сами посудите, если объяснять каждое определение и каждый символ, то статья затянется на несколько страниц:) Оператором набла обозначается градиент, на которого практически не делается акцент

Dmytri_Z 31 июл в 05:06

Поддерживаю насчет градиента. Он естественный. Все видели градиенты цветов в приложених рисования, там градиент показан наглядно. Не зря Максвелл его придумал. Считаю, что производная в ньютоновской и лейбгица формах должны остаться только для скорости изменения чего либо во времени, а все остальное дифференцирование понятнее выглядит в форме градиентов

dimas846 29 июл в 11:17

Отсюда следует простое утверждение, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда $\exists y’(x_0) \in \mathbb{R}$

Не похоже на простое объяснение

Gogarik 29 июл в 11:32

Вы правы. Здесь нет объяснения этому факту и тем более нет доказательства. Но тем не менее факт следует после объяснения малости. Например, в одну сторону если функция дифференцируема можно выразить $A = \frac{y(x) - y(x_0)}{x - x_0} + o(1)$ что является определением производной

Gogarik 29 июл в 11:33

В обратную сторону попробуйте доказать самостоятельно)

misha_erementchouk 29 июл в 11:44

Функция называется дифференцируемой в точкетогда и только тогда, когда $\exists A \in \mathbb{R}$ при $x \rightarrow x_0$

По этому определению, функция оказывается дифференцируемой в нуле.

Gogarik 29 июл в 12:02

Объясните, пожалуйста, свои выводы. Предположим, вы подумали, что можно допустить. Тогда так как и будет. но в таком случае так как $\frac{y(x)}{x} = 1$ а нене следует что функциядифференцируема

misha_erementchouk 29 июл в 12:08

Поскольку определение не требует единственности и не требует рассмотрения случая рассмотрим и . В обоих случаях получим, что соответствующая $A \in \mathbb{R}$ существует: в первом случае - , во втором - . Определению удовлетворяет, получаем что дифференцируема в точке .

Gogarik 29 июл в 12:26

Еще раз. Определение дифференцируемости звучит, как существует такое число, при котором выполняется равенство. Равенство работает с помощью предела $x \rightarrow x_0$ . Этот предел не односторонний, поэтому вы не можете говорить про "рассмотрим сначала одну сторону, а потом другую". Определение дифференцируемости (конкретно для одномерного случая) как раз говорит о том, что должен существовать предел (число A) или по другому говоря производная

misha_erementchouk 29 июл в 12:45

В Вашем определении нет предела, а требуется только существование некоторого числа в контексте неопределенной операции $x \rightarrow x_0$ . Для любого $x \ne x_0$ такое число предъявлено, существование предела явно не требуется.

Добавлено. Распишу явно рассуждение. Для функции для любого $x \ne 0$ существует $A \in \mathbb{R}$ такое, что

Gogarik 29 июл в 12:49

Извините, я не понимаю, почему вы считаете определение предела через $\rightarrow$ за неопределенную операцию. Должно существовать число, которое удовлетворяет равенство как для x > 0, так и для x < 0. Это условие кроется за определением обыкновенного функционального предела

misha_erementchouk 29 июл в 13:02

Предел это $\lim_{x \to x_0} \ldots$ . В частности, в определение этой операции входят слова, исключающие конструирование примеров вроде производной абсолютного значения. Запись $x \to x_0$ только лишь предполагает существование некоторой последовательности. Положим для определенности, что это последовательность Коши. Рассуждение о "дифференцируемости" явно разворачивается для любого члена этой последовательности. Чтобы проблем не возникало, надо явно требовать существование соответствующего предела, скажем, на языке дельт и эпсилонов.

Gogarik 29 июл в 13:21

Из того, как я вижу Ваши мысли, Вас больше всего смущает символ $\rightarrow$ . Этот символ не предполагает существование последовательности, как Вы говорите. Этот символ часто используется для обозначения и функционального предела. В частности, его всегда используют в связке с o малыми и O большими (по крайней мере иначе я не видел). Просмотрите статью на википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/«O»_большое_и_«o»_малое про эту тему. Там тоже используются стрелки, в качестве обозначения предела аргумента функции, лежащей внутри o().

misha_erementchouk 29 июл в 14:02

Из того, что существует последовательность $\{x_n\}_{n > 0}$ , сходящаяся к некоторой точке , и из того, что для каждого можно предъявить соответствующий , не следует, что последовательность $\{A_n\}$ будет сходиться для любой последовательности $\{x_n\}_{n > 0}$ . Ваше определение дифференцируемости этой сходимости не требует ни в какой форме. В частности, последовательность вполне является сходящейся и такой, что $x \to 0$ .

Где-то в определении дифференцируемости либо необходимо писать явный предел, либо еще как-то оговариваться. Полистал сейчас книги, что под рукой. У Рудина и Спивака все через явные пределы написано, а из существования этих пределов потом следует, что можно ввести соответствующее линейное отображение и оно будет единственным. В классической литературе дифференциал сразу через производные определяли.

Gogarik 29 июл в 14:20

Нигде не говорится, что для каждогонужно предъявлять. У нас есть число, которое отвечает за любые предъявленные последовательности Гейне, если вам так легче

misha_erementchouk 29 июл в 14:35

Где у Вас в определении "любые предъявленные последовательности Гейне"?

Naf2000 29 июл в 14:00

Безусловно в статье дано довольно вольное определение, но все же в цитате сказано, что существует число! Не числа, не функция, а просто число. Вы же пытаетесь сказать, что-то типа для любого x существует A. И тут контекст меняется - у вас вообще говоря функциональная зависимость A = A(x), но у автора её нет вроде как. Просто число

misha_erementchouk 29 июл в 14:05

Для того, чтобы было число, должен быть предел. Иначе ни для какой последовательности такого числа не будет. В свою очередь, для абсолютного значения из любой сходящейся последовательности можно выбрать такую сходящуюся подпоследовательность, что никакой функциональной зависимости A(x) не будет.

Определение в заметке больше подходит для субдифференциала, если существование числа A трактовать более широко как непустоту соответствующего множества линейный функционалов. В свою очередь, функция вполне себе субдифференцируема.

Naf2000 29 июл в 14:12

Для того, чтобы было число, должен быть предел

С этим я не спорю, вот у функции |х| его как раз его нет "для любой последовательности".

В свою очередь, для абсолютного значения из любой сходящейся последовательности можно выбрать такую сходящуюся подпоследовательность, что никакой функциональной зависимости A(x) не будет

здесь вообще не понял, что вы хотели сказать

misha_erementchouk 29 июл в 14:16

Определение в заметке не требует существования предела. Тот факт, что что-то там не сходится для никак на соответствие определению не влияет. Про функциональную зависимость Вы сказали, я привел пример, что если не требовать существования предела, можно появления функциональных зависимостей избежать.

Naf2000 29 июл в 14:23

Ну, вообще говоря, там указан предел косвенно через "+o(x-x0)" и исходя из этого доказать, что A - действительно предел отношения приращений и соответственно однозначно определяется

misha_erementchouk 29 июл в 14:34

Рассмотрим последовательность $x \to 0$ такую, что тогда

при $x \rightarrow 0$

Чтобы определение стало соответствовать общепринятому, его нужно дополнить требованием, что для любых сходящихся последовательностей существует единственный и т.д. Такие оговорки не являются автоматическими потому что иначе с определением субдифференциалов будут сложности.

Gogarik 29 июл в 14:56

Предел на то и предел, что не можете рассматривать одну из сторон, а коли делаете так, то это уже называется односторонний предел. Вы выбираете последовательность Гейне сходящуюся с одной стороны. Но по определению предела (если он существует) любая выбранная последовательность Гейне дает одинаковый единственный предел. Дополнительно требовать эти условия не нужно, так как они исходят из самого определения функционального предела

andi123 30 июл в 09:30

Не хватает сути матана. Зачем нам нужны дифференциалы?

Для анализа функций. Как себя ведет функция. Возрастает (диф положительный), убывает (диф отрицательный), не меняется (диф == 0). Где функция выпуклая вверх или вниз (это знак второй производной), где точка перегиба (вторая производная == 0).

Когда понимаешь для чего нужен инструмент намного проще понять как он устроен.

Zenitchik 30 июл в 10:35

Когда понимаешь для чего нужен инструмент намного проще понять как он устроен.

Хм... А у меня наоборот. Когда знаешь, как устроен инструмент, легко догадаться, для чего его можно применить. А когда не знаешь - фиг врубишься, как им пользоваться.

papa_inura вчера в 02:55

Когда знаешь, как устроен инструмент, легко догадаться, для чего его можно применить.

Не думаю, что области применения комплексных чисел, например, очевидны из их устройства.

Zenitchik 21 час назад

Для меня было сразу очевидно, что они нужны для промежуточных вычислений в некоторых уравнениях. А других применений у них на момент создания не было.

re3burn 30 июл в 10:39

Дифференциал Фреше — по сути, частный случай дифференциалов по направлению, когда функция дифференцируема в точке.

В этом предложении ошибка: наоборот, дифференциал Гато - частный случай дифференциала Фреше.

papa_inura вчера в 02:53

Стоило ещё упомянуть про непрерывную дифференцируемость.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий