Привет, Хабр! Меня зовут Андрей Кундус. Я работаю в отделе розничных продаж и клиентского обслуживания ПСБ в Кемерово. С ИТ и программированием моя жизнь пересекается ровно настолько, насколько у любого современного человека: компьютер, смартфон, несколько программ для работы. Я — не математик, не data‑scientist и уж точно не разработчик.
Но есть одна вещь, которая меня занимает очень давно, — число π. Не как «3,14» из школьного учебника, а как загадка. Как вообще можно вычислить бесконечную дробь? Кто придумал способ добраться до триллионов знаков? И почему до сих пор этим занимаются?
И я решил разобраться. Сегодня я расскажу историю про фанатиков‑пифагорейцев, про гения‑самоучку Рамануджана, про суперкомпьютеры и даже про день рождения Эйнштейна.
Как всё начиналось: от Гиппаса до Цзу Чунчжи
Всё началось с того, что Пифагор Самосский (570 — 490 г.г. до н.э.) — олимпийский чемпион по кулачному бою, путешественник, философ, математик, теоретик музыки, мистик, — основал в 525 г. до н.э. закрытую религиозно‑философскую школу. Вот на чём она держалась:
Метемпсихоз: учение о переселении душ (реинкарнация) и бессмертии души;
Числовой мистицизм: вера в то, что числа и математические гармонии натуральных чисел лежат в основе устройства всего мироздания;
Аскетизм: соблюдение строгой морали, ритуальной чистоты, вегетарианство, но строгое табу на употребление бобов.
Ученик этой школы Гиппас пытался использовать знаменитую теорему «Пифагоровы штаны…», чтобы найти длину диагонали единичного квадрата. Это показало, что стороны несоизмеримы с диагональю. Такая длина не выразима как цельное отношение. Так он открыл иррацональные числа (лат. irrationalis — неразумный, бессознательный).
Иррациональным называется действительное число (положительное, отрицательное, ноль), которое нельзя записать в виде дроби. В математике оно не может быть выражено в виде a/b, где a и b цельные, а b не равно нулю. Классический пример — число π (≈3,14159...), число e (≈ 2,71828), а также √ 2.
По легенде, пифагорейцев настолько ужаснула идея несоизмеримости (ведь она нарушала гармонию мира только из натуральных чисел), что они выбросили Гиппаса за борт во время морского путешествия и поклялись хранить существование иррациональности в секрете!
Первые приблизительные значения Пи находили в древнем Египте (тогда считалось, что оно приблизительно равно 3,16) и древнем Вавилоне (3,125). Примерно в 1900 г. до н.з. значения были не совсем точны (не от этого ли печально известная Вавилонская Башня не была достроена?), ведь находили значения простым методом физического измерения.
Великий древнегреческий математик Архимед в III веке до н.э. впервые подошел к вопросу строго: он вписывал в окружность и описывал вокруг нее правильные многоугольники и вычислил, что Пи находится между значениями 3,1408 и 3,1429.
Как именно он это делал?
Метод Архимеда: пошаговое объяснение
Шаг 1. Берём окружность
Представьте круг. У него есть длина окружности и диаметр. Нам нужно их отношение (это и есть π).
Шаг 2. Вписываем многоугольник
Внутри круга рисуем правильный многоугольник. Например, шестиугольник. Его вершины касаются окружности изнутри.
Периметр этого вписанного шестиугольника меньше, чем длина окружности.
Если мы разделим периметр шестиугольника на диаметр — получим число меньше, чем π.
Это нижняя граница.
Шаг 3. Описываем многоугольник
Теперь рисуем другой многоугольник — снаружи. Он как бы «описывает» круг, каждая его сторона касается окружности снаружи.
Периметр этого описанного многоугольника больше, чем длина окружности.
Если разделим его периметр на диаметр — получим число больше, чем π.
Это верхняя граница.
Шаг 4. Главный трюк
Теперь у нас есть:
Нижняя граница < π < Верхняя граница
Архимед начал с шестиугольников. Но затем он удваивал количество сторон: 6 → 12 → 24 → 48 → 96.
С каждым шагом:
Вписанный многоугольник становится ближе к окружности изнутри (его периметр растёт).
Описанный многоугольник становится ближе к окружности снаружи (его периметр уменьшается).
Итог изысканий Архимеда
Для 96-угольников он получил:
3,1408 < π < 3,1429
Это означало, что π ≈ 3,14 с погрешностью меньше 0,01.
В V веке нашей эры китайский математик Цзу Чунчжи определил Пи с точностью до семи знаков (между 3,1415926 и 3,1415927), и это оставалось лучшим приближением на протяжении почти тысячи лет.
А почему Пи так назвали?
Откуда пошло название Пи? До начала 18 века число Пи называли «постоянной Архимеда», Но позже стали называть его «Пи», так как греческое слово περιμετρέο «измеряю вокруг» начинается с этой буквы. Также это первая буква греческого слова περιφέρεια (periferia) — “окружность”, «периферия» и первым предложившем так обзывать число был британский математик Уильям Джонс (1706 г.), но это название ввёл в массы математик Леонард Эйлер в 1737 году, работая над ним в Академии наук г. Санкт‑Петербурга. Кстати, Значение Эйлера — тоже иррациональная константа, являющаяся основанием натуральных логарифмов.
Современные методы
Сегодня для вычисления миллиардов знаков Пи используют сходящиеся бесконечные ряды и итерационные алгоритмы (от лат. iteratio — повторение — процесс многократного повторения какого‑либо действия, шага или операции, каждый последующий шаг опирается на результат предыдущего, что позволяет постепенно приближаться к желаемому результату).
Перечислю главные методы:
1. Формулы Эйлера (арктангенсы). Долгое время использовали разложение: π/4 = arctan(1). Но оно сходится очень медленно. Поэтому берут суммы арктангенсов, например, формула Джона Мэчина (1706): π/4 = 4·arctan(1/5) − arctan(1/239). Она даёт ~1,4 точных знака на шаг и легко программируется.
2. Формулы Рамануджана и Чудновского (самые быстрые гипергеометрические ряды для вычисления числа π). Сегодня стандарт — формула Чудновского, опубликованная братьями Чудновскими в 1988 году. Её ключевые особенности: исключительная точность: одна итерация дает 14 знаков после запятой за каждый член ряда, а 5 итераций это уже более 70 знаков; база для рекордов: именно этот алгоритм лег в основу расчетов бенчмарков (например, программа Y‑cruncher), установивших мировые рекорды (вычисление триллионов знаков π). Выглядит она следующим образом:
где «k» обозначает индекс суммирования или текущий шаг бесконечного ряда.
Что это значит: формула представляет собой сумму бесконечного числа слагаемых. Переменная k принимает целочисленные значения, начиная от 0 и до бесконечности (k = 0, 1, 2, 3...). Роль в формуле: каждое увеличение k на единицу добавляет новое слагаемое, которое стремительно уменьшается. С каждым новым шагом точность вычисления числа Пи увеличивается в геометрической прогрессии. Эта формула подобна некоторым формулам индийского математика Рамануджана для вычисления числа Пи.
3. Итерационный алгоритм Гаусса‑Лежандра (Для проверки). Начинается он с чисел a=1, b=1/√2, t=1/4, p=1. Каждая итерация удваивает количество точных знаков. После 25 итераций вы получите 50 миллионов знаков. Его часто используют для верификации результата, полученного по формуле Чудновского.
4. Современный трюк, формула Бэйли‑Борвейна‑Плаффа (ББП‑формула), позволяет вычислить 16-ричную цифру Пи без вычисления предыдущих. Но для десятичных знаков она неэффективна.
Главная проблема вычислений это вовсе не формула, а арифметика. Чтобы умножать 10-миллиардные числа, используют Быстрое преобразование Фурье (БПФ), а не школьное умножение.
Таблица методов вычисления числа π (от древности до наших дней)
Формула Чудновского «на пальцах»
Разберем формулу Чудновского «на пальцах», без страшных формул.
Представьте, что у вас есть волшебный автомат. Вы бросаете в него монетку (подставляете число k = 0), и он выдает вам кусочек числа Пи. Вы бросаете следующую (k = 1) — автомат выдает следующий кусочек и приклеивает его к предыдущему с огромной точностью.
Вот как это устроено:
1. Что такое k? Это просто номер шага.
На шаге 0 вы получаете примерно 14 первых правильных знаков числа Пи.
На шаге 1 — еще 14 новых знаков (всего 28).
На шаге 2 — еще 14 (всего 42).
И так до бесконечности. Каждый новый шаг добавляет ровно 14 верных десятичных знаков.
2. Из чего состоит кусочек? Внутри автомата есть три главные части, которые перемножаются:
Первая часть (огромные факториалы): (6k)! / ((3k)! * (k!)^3).
Если вы забыли, что такое факториал (!), то это просто перемножение всех чисел подряд. Например, 5! = 1*2*3*4*5 = 120.
Для k=0 эта часть равна 1. Для k=1 это уже число 120, а дальше числа становятся чудовищно огромными. Зачем они? Они обеспечивают супер‑скорость схождения (те самые 14 знаков).
Вторая часть (линейная поправка): (13591409 + 545 140 134 * k).Это просто два магических числа, подобранных гением Рамануджаном так, чтобы всё работало идеально. На шаге k=0 это просто 13 591 409. На шаге k=1 это уже большое число 558 731 543.
Третья часть (знаменатель‑ускоритель): 640320^(3k).Число 640320 — это главный секрет. Оно возводится в огромную степень (3k). На шаге k=1 это уже 640320^3 (огромное число в знаменателе). Именно из‑за деления на это число дробь становится крошечной, и кусочки быстро перестают влиять на первые знаки.
3. Как получить само Пи? Есть один нюанс: автомат выдает вам не само Пи, а перевернутое Пи (то есть 1/π). Поэтому вы делаете так:
Складываете все полученные кусочки (с учетом знаков + и ‑, они чередуются).
Умножаете сумму на константу (12 / 640320^(3/2)) (это просто еще одно магическое число, около 0.000000000000000000000000000000000...).
И в конце делите единицу на полученный результат.
Главный секрет для не‑математиков: Обычные формулы складывают числа, которые уменьшаются медленно (как 1, 1/2, 1/3...). Чтобы получить 100 знаков, нужно сделать миллиард шагов. А формула Чудновского складывает числа, которые уменьшаются со скоростью метеора: каждый следующий кусочек в триллионы раз меньше предыдущего. Поэтому уже на 10-м шаге вы имеете 140 точных знаков — этого хватит, чтобы описать окружность Вселенной с точностью до атома.
Рекорды и традиции
Последний рекорд вычисления Пи зафиксирован 11.12.2025. Было вычислено 314 триллионов знаков числа Пи ((3,14*1014) на одном сервере за 110 дней. Рекорд установлен на сервере Dell Power Edge с двумя AMD EPYC и 1,5 ТБ ОЗУ без единого сбоя/перезагрузки.
День числа Пи отмечают 14 марта, потому что в американском формате записи дат (месяц/число) этот день выглядит как 3/14, что совпадает с первыми цифрами самой известной математической константы π ≈ 3,14. Создателем этого необычного праздника в 1987 году выступил американский физик Ларри Шоу из музея «Эксплораториум» в Сан‑Франциско. Для праздника выбрали эту дату не только из‑за математического совпадения. Это ещё и день и месяц рождения Эйнштейна: 14 марта 1879 года родился физик Альберт Эйнштейн, что придает дате еще больший символизм для научного мира.
Часто торжества в честь числа Пи начинаются ровно в 1 час 59 минут ночи, чтобы вместе с датой получить максимально точное значение первых цифр — 3,14159.
В этот день принято выпекать пироги круглой формы, украшая их изображением греческой буквы π, и устраивать различные соревнования по запоминанию знаков после запятой в этой бесконечной дроби.
Миф про точки и бесконечно малые
В сети гуляет мнение, что иррациональность числа Пи связана с тем, что окружность и диагональ геометрия воспринимает как выстроенные друг за другом точки, а размер последних стремится к бесконечности. Лично я тоже долгое время был в плену у этого мнения, но потом нашёл опровержение: утверждать так нельзя, потому что в математике «точка» не имеет размера (она нулевая), а бесконечно малых величин в классической арифметике не существует. Однако идея близка к истине с большой точностью, но наоборот.
Почему это утверждение неверно в математике?
В геометрии точка — это абстрактный объект, у которого нет длины и ширины (ее размер строго равен 0).
Если окружность и диаметр состоят из точек нулевого размера, то их длины нельзя объяснить количеством точек (сколько нолей ни складывай, получится ноль). Длины объясняются непрерывностью линии, а не суммой точек.
Кроме того, «бесконечно малое» — это не число, а процесс. В стандартной математике (анализе) мы оперируем пределами, а не актуальными бесконечно малыми частицами.
Идея бьет прямо в суть проблемы, которая мучила древних греков! Дело в том, что длина кривой (окружности) и длина прямой (диаметра) — это несоизмеримые величины. Если вы начнете измерять окружность шагами, равными диаметру, вы никогда не попадете ровно в начальную точку за целое число шагов. В этом смысле окружность как бы «не укладывается» в прямую. Именно эту «неукладываемость» математики формализовали так: если бы Пи было рациональным числом (дробью a/b), то это означало бы, что окружность и диаметр можно разбить на одинаковые маленькие отрезочки (как и предположила идея). Взяв диаметр за b частей, а окружность за a частей, мы получили бы общую меру.
Но строгое доказательство иррациональности (впервые данное Ламбертом в 1761-м) опирается на свойства непрерывных дробей или интегралы, а не на «точки с размером». Оно показывает, что не существует такой общей меры (дроби), потому что иначе мы пришли бы к противоречию: число было бы одновременно и целым, и дробным.
А что же такое «бесконечно малое» на самом деле? То, о чем говорит идея, в математике называется «предел».
Мы можем взять правильный 100-угольник, 1000-угольник, миллион‑угольник, вписанный в окружность. Их периметры будут приближаться к длине окружности, а отношение периметра к диаметру будет приближаться к Пи. Эти маленькие стороны многоугольников стремятся к нулю, но никогда его не достигают.
Именно это «стремление к нулю» (процесс, а не состояние) и порождает иррациональность. Если бы процесс остановился (была бы бесконечно малая, но конечная точка), Пи стало бы дробью. Но процесс бесконечен — значит, Пи иррационально.
Иррациональность Пи — это история о том, что круг и прямая не имеют общей единицы измерения, и попытка ее найти уводит нас в бесконечность. Именно эту бесконечность и «ловит» формула Чудновского, о которой мы говорили.
Если вы дочитали до конца — считайте, что мы с вами теперь в одном клубе. Клубе людей, которые знают, что π — это не просто число. Это история, драма, наука и бесконечность, которую мы постепенно укрощаем. А ещё — отличный повод 14 марта в 01:59 вспомнить, что мир состоит из чисел.
