Перед вами головоломка по эпистемической логике. Для ее решения не требуется знакомства с предыдущими публикациями. Материал продолжает перевод статьи Джоэла Дэвида Хэмкинса «Epistemic Logic and the Problem of Common Knowledge». Ранее вышли: 

Задача про совет философов

В древней стране Философии существует правящий совет философов, члены которого строго упорядочены по степени власти и престижа. Различные привилегии также распределяются в соответствии с этим рангом. Философ 1 - признанный философ-царь и самый могущественный член совета, за ним следует философ 2 и так далее.

Пришло время сформировать новый совет. Согласно давно установленной процедуре, философ с самым низким рангом предлагает новый состав совета и распределение мест в нем. В принципе, в предложенный совет может войти любой гражданин Философии - круг кандидатов не ограничен членами нынешнего совета. Хотя, как ни странно, обычно новый совет все же состоит из членов предыдущего. После выдвижения нового предложения совет голосует. Если большинство голосует за, предложенный состав и распределение мест утверждается. В противном случае философ с самым низким рангом исключается из совета, а предложение выдвигает следующий философ с конца. Этот процесс продолжается до тех пор, пока новый состав совета и распределение рангов не будут одобрены.

Я называл членов правящего совета философами, но стоит подробнее рассказать об их ценностях и о том, по каким критериям они оценивают предложения. На самом деле это жаждущая власти компания макиавеллистов, каждый из которых отчаянно стремится стать философом-царем. Для каждого члена совета важнее всего попасть в новый совет, и он никогда не проголосует за предложение, в котором для него нет места. Во-вторых, если философ входит в предлагаемый совет, он предпочитает получить как можно более высокий ранг, то есть как можно меньшее число: быть философом 1 лучше всего, философом 2 - второй по предпочтительности вариант и так далее. В-третьих, если место философа в совете и его ранг уже определены, он предпочитает, чтобы совет был как можно меньше, поскольку не хочет без необходимости делиться властью.

Предположим, что сейчас в совете пять членов. Какое предложение выдвинет философ с самым низким рангом, то есть философ 5?

Отступление

Решим эту задачу, рассуждая с конца, как в задаче о разделе сокровищ между пиратами. Чтобы понять, что предложит философ 5, нам, по-видимому, уже нужно знать, что предложит философ 4, поскольку именно его предложение станет альтернативой, если предложение философа 5 будет отклонено.

Поэтому начнем с самого простого случая, когда в совете есть только один философ - царь. В этом случае он сам является философом с самым низким рангом и может предложить, чтобы новый правящий совет остался таким же, как старый, то есть состоял только из него самого. Очевидно, что с учетом описанных выше предпочтений философов это для него наилучший возможный исход. Поэтому он проголосует за, и предложение будет принято.

Если же в совете сейчас два философа, то философ 2 должен предложить вариант, который будет принят единогласно, поскольку только так можно получить большинство из двух голосов. Однако философ 1 не согласится ни на какой вариант, кроме такого, при котором он один входит в совет, поскольку именно этого он добьется, если предложение философа 2 будет отклонено. А мы уже сказали, что философ 2 проголосует за предложение только в том случае, если сам будет входить в новый совет. Следовательно, какое бы предложение ни выдвинула философ 2, оно будет отклонено, и в итоге совет будет состоять только из философа 1.

Если в совете три философа, то философу 3, которому для принятия предложения нужны два голоса, следует предложить совет из двух человек: себя в качестве царя и философа 2 в качестве второго члена совета. Философы 2 и 3 одобрят этот вариант, поскольку для обоих он предпочтительнее исхода, который получится в случае совета из двух философов. Более того, для философа 3 это наилучший возможный вариант: он становится царем в совете из двух человек.

Если же в совете сейчас четыре философа, философу 4 нужны три голоса. Голоса философа 3 он не получит, поскольку в случае отклонения его предложения тот окажется в очень выгодном положении. Однако он может добиться одобрения совета из трех человек в следующем порядке: философ 2, он сам и философ 1. Все трое проголосуют за, поскольку для каждого этот вариант лучше альтернативы. Более того, для философа 4 это наилучший возможный исход. Ему необходим совет из трех человек, при этом он должен предложить философу 2 условия лучше тех, которые тот получил бы в альтернативном варианте. Поэтому философ 2 должен стать царем, философ 4 займет следующее место, что для него оптимально, а философ 1 окажется третьим. Для философа 1 это все равно лучше, чем то, что он получил бы по конкурирующему предложению философа 3.

Теперь рассмотрим случай, когда в совете пять философов. Философу 5 нужны три голоса, поэтому он предложит совет из трех человек. В частности, он может предложить следующий состав и порядок: философ 5, философ 1, философ 3.

Такой вариант чрезвычайно выгоден философу 5, поскольку он становится царем. Философ 1 предпочтет его предыдущему предложению философа 4, потому что здесь он получает второй ранг вместо третьего. Философ 3 также поддержит этот вариант, поскольку в предложении философа 4 его вообще не было в составе совета.

Подведем итог и представим предложения в следующем виде:

Читателю предлагается самостоятельно рассмотреть случаи с большим числом членов совета в вопросах для дальнейшего размышления.