Перед вами перевод еще одного отрывка из статьи Джоэла Дэвида Хэмкинса «Epistemic Logic and the Problem of Common Knowledge». Его можно читать совершенно независимо от предыдущих публикаций. А если вам захочется больше задач и примеров на тему знания и общего знания, ниже — предыдущие выпуски серии:

Шоу с игрой на совпадение цветов

Предположим, что вы участвуете в игровом шоу, известном тем, что все его участники рассуждают совершенно логично. Вы и другой участник стремитесь согласовать свои действия, чтобы выиграть главный приз. А именно, вам нужно действовать сообща так, чтобы одновременно назвать один и тот же цвет.

Вас и другого участника по отдельности проводят в ваши личные комнаты, в каждой из которых есть стол и оборудование для обмена сообщениями. Игра проходит по раундам, в каждом из которых вы действуете одновременно. В каждом раунде каждый из вас независимо выбирает одно из двух действий: либо завершить игру и официально назвать свой цвет, либо отправить сообщение другому участнику. Сообщение может быть практически сколь угодно длинным, при условии, что его можно набрать за разумное время. Участники изолированы друг от друга, и во время раунда ни один из них не знает, какое действие другой выберет в этом раунде, пока оно не будет совершено. Сообщения доставляются сразу после завершения раунда. У каждого участника есть лишь одна возможность завершить игру и назвать цвет — поэтому важно не ошибиться!

Если в каком‑либо раунде оба участника завершают игру и называют в точности один и тот же цвет, то оба выигрывают главный приз. Но если названные цвета различаются или если только один участник решает в этом раунде завершить игру и назвать цвет, то оба проигрывают, и игра заканчивается.

Скоро начнется раунд 1. Что вы будете делать?

Чтобы настроиться на нужный лад, можно мысленно повысить ставки и представить, что речь идет о жизни и смерти. Например, двое астронавтов застряли в разных отсеках ракеты, и им необходимо запустить свои двигатели строго одновременно и в одном и том же направлении, иначе они погибнут. Им нужно согласовать это действие. Суть в том, что я хочу рассмотреть ситуацию с игровым шоу, исходя из предположения, что оба игрока отчаянно стремятся согласовать свои действия.

Фундаментальная проблема симметрии

Похоже, очевидно, что в первом раунде ни одному из игроков не следует завершать игру, называя какой‑либо цвет, поскольку оснований ожидать, что другой игрок одновременно назовет тот же самый цвет, может быть слишком мало. Вместо этого игрокам стоит воспользоваться возможностью обмена сообщениями и выработать общий план.

Предположим, вы отправляете простое предложение:

Давайте в следующем раунде назовем красный.

Если другой игрок в ответ отправит такое же сообщение, то таким образом вы действительно можете выиграть во втором раунде. Но что, если он этого не сделает? Все равно ли вы назовете красный в следующем раунде? Это кажется рискованным, и сама неоднозначность ситуации показывает, что такое сообщение составлено неудачно.

Чтобы устранить эту проблему, возможно, разумнее было бы отправить сообщение вроде:

В следующий раз я назову красный, если вы скажете мне, что тоже назовете красный. В противном случае я назову тот цвет, который назовете вы.

Это могло бы сработать. Но предположим, что одновременно вам приходит такое сообщение:

В следующий раз я назову синий, если вы скажете мне, что тоже назовете синий. В противном случае я назову тот цвет, который назовете вы.

Что делать в таком случае? Ситуация становится крайне опасной, если каждый игрок всерьез следует собственному сообщению: при выполнении этих планов один назовет синий, а другой — красный, и цвета не совпадут.

На самом деле это довольно общая логическая проблема данной задачи. Многие предлагаемые стратегии сталкиваются с трудностью в случае, когда другой участник отправляет в точности такое же сообщение, но с другим цветом. Поначалу бывает непросто понять, как разрешить эту проблему.

Например, сообщение

Давайте назовем красный в пятом раунде, если к тому моменту вы подтвердите согласие.

может показаться способом обойти эту трудность, но в конечном счете здесь возникает та же самая проблема, если другой игрок отправит такое же сообщение, только с другим цветом. Если один игрок попытается уступить решение другому, то вполне возможно, что другой в тот же самый момент тоже попытается уступить решение первому, и в результате передача инициативы не сработает.

Можно попробовать выиграть игру, заранее установив роли лидера и ведомого. Игрок может либо проявить непреклонность и настаивать на выполнении своего плана, либо занять уступчивую позицию и настаивать, чтобы другой игрок сам указал цвет и раунд, в котором они выиграют. Проблема возникает, когда встречаются два упрямых игрока, каждый из которых требует быть лидером, или два уступчивых игрока, каждый из которых требует, чтобы решение принял другой. Что тогда делать?

Эта фундаментальная симметрия между игроками почти превращается в доказательство того, что у задачи не существует детерминированного решения. В самом деле, если оба игрока действуют оптимально, то другой игрок, рассуждая сходным образом, может прийти к в точности изоморфной стратегии, но, возможно, с переставленными цветами, поскольку нет никаких оснований предпочитать какой‑то один конкретный цвет другому. Если это рассуждение верно, то все сообщения игроков будут совпадать по структуре, различаясь разве что названиями цветов, а это не позволит им выиграть.

Нарушение симметрии

Между тем существует множество способов попытаться нарушить симметрию и каким‑либо образом отличить одного игрока от другого, фактически распределив между ними роли лидера и ведомого. Это позволило бы затем согласованно выбрать цвет.

Например, перспективным может показаться такое сообщение:

Давайте назовем красный в 57-м раунде, если только вы не предложили более поздний раунд. В таком случае поступим по вашему предложению.

Если числа достаточно велики, кажется маловероятным, что оба игрока выберут одно и то же число. Тогда такая стратегия нарушит симметрию, и игроки смогут прийти к соглашению.

Можно также попытаться нарушить симметрию, используя какую‑либо дополнительную информацию об игроках, например порядок их имен по алфавиту, их возраст и так далее. В принципе, любое различие между игроками могло бы послужить основанием предпочесть выбор одного из них выбору другого и тем самым прийти к соглашению.

Однако само огромное количество возможных способов нарушить симметрию создает новую проблему: как игрокам договориться, какой именно способ использовать? Если у нас разные планы относительно того, как нарушить симметрию, то сначала нам нужно нарушить симметрию, чтобы решить, как именно ее нарушать.

Случайность

Есть и другие способы явно внести в стратегию элемент случайности. Один из перспективных вариантов — в первом сообщении сказать:

В следующем раунде я назову красный, если вы тоже скажете, что собираетесь назвать красный. Но если вы упомянете какой‑то другой цвет, то для первого названного вами цвета я буду каждый раз подбрасывать монету, выбирая между красным и этим цветом, чтобы решить, какой именно цвет сообщить вам в качестве своего выбора. Я буду делать это до тех пор, пока однажды мы оба случайно не предложим назвать один и тот же цвет в следующем раунде. И тогда мы выиграем.

Такой подход, основанный на случайности, позволяет обойти препятствие, создаваемое симметрией. Если оба игрока придерживаются этой стратегии, то с высокой вероятностью в каком‑то раунде их выбранные цвета совпадут, после чего в следующем раунде они выиграют. По сути, подбрасывание монеты позволяет каждому игроку случайным образом принимать роль лидера или ведомого, поэтому вполне вероятно, что в какой‑то момент их роли окажутся совместимыми.

С похожими задачами координации часто сталкиваются и протоколы компьютерной связи: двум машинам необходимо установить между собой приоритет, хотя не имеет значения, какая именно из них получит более высокий приоритет. Во многих протоколах для принятия подобных решений используются методы, основанные на случайности.

Точка Шеллинга

Томас Шеллинг заметил, что многие задачи координации можно решить даже при полном отсутствии коммуникации. Например, предположим, что два человека хотят встретиться в определенный день в Нью‑Йорке, но, кроме самого дня, они ни о чем заранее не договорились и не имеют никакой возможности связаться друг с другом. Где и во сколько им следует встретиться?

Оказывается, многие люди, которым задают этот вопрос, предлагают такой вариант: встретиться в полдень у справочной стойки на Центральном вокзале Нью‑Йорка, Grand Central Terminal. Почему именно там? Потому что Grand Central — очень известное и привычное место встреч в городе. Оно само по себе славится как место, где люди встречаются; это красивое и величественное здание, в котором приятно ждать; туда легко добраться практически из любой точки города самыми разными видами транспорта; кроме того, оттуда удобно отправиться во множество других мест. Почему у справочной стойки? Если уж мы решили встретиться на Grand Central, то справочная стойка в самом центре главного зала кажется наиболее естественным выбором. Почему в полдень? Если нужно выбрать какое‑то очевидное, естественное время встречи, которое могло бы независимо прийти в голову обоим, то середина дня кажется вполне подходящим вариантом. Решение такого рода называют точкой Шеллинга.

Есть ли точка Шеллинга для места встречи в вашем городе? А в вашем университетском кампусе? Есть ли точка Шеллинга для первого хода в шахматной партии? А для выбора пьесы, которую стоит отрепетировать к срочному неожиданному выступлению сегодня вечером?

А существует ли точка Шеллинга в нашем игровом шоу, где участникам нужно согласованно выбрать цвет? Да, безусловно. В Оксфорде мы использовали эту игру как часть собеседований с абитуриентами, поступавшими на программу по философии. Более 90% кандидатов в ходе обсуждения использовали красный цвет уже в своих первоначальных сообщениях — среди предлагаемых ими вариантов сообщений красный встречался гораздо чаще любого другого цвета. Очевидно, что красный здесь выступает в качестве точки Шеллинга, поэтому в самой игре разумно было бы предложить именно его: вероятность прийти к соглашению значительно возрастет.

Парадокс Фитча

Как знание связано с истиной? Попробуем сформулировать несколько основных принципов. Например, многие философы считают, что само понятие знания предполагает, что знать можно только то, что истинно. Иными словами, если вы знаете некоторое высказывание p, то, помимо прочего, p должно быть истинным. Вы можете верить в какие‑то ложные утверждения. Более того, у вас могут быть очень веские основания для такой веры — вам даже может казаться, что у вас есть неопровержимое доказательство. Но если утверждение в действительности ложно, то нельзя корректно сказать, что вы его знаете. Сформулируем этот принцип следующим образом:

  • Всякое известное нам высказывание истинно.

  • Во‑вторых, может показаться разумным и своего рода слабое обращение этого принципа. А именно: всякое истинное высказывание в принципе могло бы быть известно.

  • Всякое истинное высказывание познаваемо — возможно, что мы могли бы его знать.

  • Фредерик Фитч (1963), исходя из этих двух предположений и некоторых других обычных допущений — например, что знание конъюнкции A и B влечет знание A и знание B по отдельности, — приходит к поразительному выводу:

  • Следовательно, всякое истинное высказывание уже известно.

Приведем это рассуждение. Предположим от противного, что существует истинное высказывание φ, которого мы не знаем. Тогда истинно высказывание «φ и мы не знаем φ». Согласно (2), это высказывание в принципе можно знать. Значит, мы могли бы знать «φ и мы не знаем φ». Но тогда мы знали бы φ и одновременно знали бы, что не знаем φ.

Однако это невозможно. Ведь если мы знаем, что не знаем φ, то в силу (1) должно быть истинно, что мы не знаем φ, что противоречит первой части утверждения — тому, что мы знаем φ. Следовательно, не может существовать истинного высказывания, которого мы не знаем. Тем самым получаем (3).

Верно ли это рассуждение?