Счастлив тот, кто смог познать причины вещей

[rudnyi]

>математики — это люди, которые пытаются познать причины вещей.

Это не выглядит осмысленным утверждением. Еще можно сказать, что физики познают причины вещей, хотя даже в этом случае значение "познание причины вещей" требует отдельного обсуждения. Но в случае математики говорить о вещах совсем не приходится, поскольку математический формализм напрямую с вещами не связан.

[avshkol]

Да, с этим утверждением могли бы поспорить физики и философы.

Но если быть сторонником философских концепций, что существуют (платоновские) идеи, которые лежат в основе всех вещей, и утверждать, что математика - тот язык, который их описывает...

[rudnyi]

Так думали во времена создания современной физики, но это связывалось с определенной христианской теологией (Бог - математик). После открытия / создания неевклидовых геометрий непосредственная связь математики и мира была потеряна. Математика и физика - это две разные дисциплины и совместить их обратно вместе уже вряд ли удастся.

[avshkol]

Математик бы возразил, что только при появлении в Математике соответствующего аппарата стало возможным описать пространство-время в ОТО. А квантовая теория поля - сплошь математика, там нет (по мнению многих физиков) ничего, что можно было бы представить как физической объект...

[rudnyi]

Современная физика неразрывно связана с использованием математического формализма, с этим никто не спорит. Однако формализм общей теории относительности и квантовой теории поля связан с экспериментальными исследованиями. Поэтому далеко не всякая математика связана с миром. Связь достигается через физические теории.

При отождествлении математики и мира можно вернуться обратно к естественной теологии. Этим, например, занимаются физики Буров и Цвелик, см. статьи у Бурова на сайте Характер законов природы. Вряд ли это правильный путь.

[chebo]

Тут намедни ряд Филдсовских лауреатов написали открытое письмо и о том, что мол разработчики ИИ лезут в математику со своим ИИ, а это не их дело, и они только вредят… По мне, так это всё равно что написать открытое письмо о вреде калькуляторов или компьютеров для математики.

[avshkol]

Да, получается Теренс Тао предоставил трибуну (свой сайт) математику, который имеет противоположную позицию (приветствовать факты нахождения ИИ мат.доказательств)...

[slog]

да, выглядит как письмо в Спортлото. Вот тут очень точно автор подобрал аналогию со скейтерами, вынуждаемых сменой правил игры уйти на пенсию. И он на 100% прав, что ИИ в текущем виде - это хотелки биг-корпораций, творящих революцию сверху. В этой парадигме и математики и любые исследователи становятся как бы отживающими свой век. Но это передергивание...

[x2v0]

Вопрос - мог бы Искусственный Интеллект открыть Всемирный Закон Тяготения?

Все данные были: эллиптические орбиты Кеплера, постоянство ускорения свободного падения. Не хватало одного яблока, которое в тот момент созрело, и Ньютона знавшего все эти данные оказавшись случайно под этим деревом. Удар яблоком по голове запустил комбинаторику. Исаак ничего не придумал нового - он просто сопоставил имеющиеся данные. Вот и все! Искусственный Балван сделал бы тоже самое и гораздо быстрее.

[onuchin]

Из утренней переписки.

Освежил дискуссию о Геделе и Поппере в контексте с Навье-Стоксом.

Напомню о чем идет речь 

- Гедель: неполнота формальной системы

- Поппер: неокончательность научного знания

- Хэмкинс: неединственность математической вселенной

- Навье-Стокс: негладкость для всех данных

Попросил Другана подытожить.

---------------

СВЯЗЬ: ГЕДЕЛЬ — ПОППЕР — ХЭМКИНС — НАВЬЕ-СТОКС

Одна и та же логика на четырёх уровнях.

Общая рамка: «мечта о полноте» рушится.

---

ЧТО ИМЕННО РУШИТСЯ

Гедель

· Что неполно: формальная система

· «Мечта»: полная и непротиворечивая система

· Что рушится: есть истинные, но недоказуемые утверждения

· Реакция: смирение

Поппер

· Что неполно: научное знание

· «Мечта»: окончательная теория

· Что рушится: любая теория опровержима

· Реакция: фальсифицируемость

Хэмкинс

· Что неполно: математическая онтология

· «Мечта»: единственная истинная вселенная

· Что рушится: нет единственной V

· Реакция: плюрализм

Навье-Стокс

· Что неполно: решение уравнений

· «Мечта»: гладкое решение для всех данных

· Что рушится: есть «взрыв» в формулировке C/D

· Реакция: переопределение задачи

---

ПРЯМАЯ СВЯЗЬ ЧЕРЕЗ ПОППЕРА

Поппер: научное знание принципиально не может быть завершённым.

Любая теория — временная конструкция, которая может быть опровергнута.

Навье-Стокс: ровно это.

Классическая формулировка задачи тысячелетия предполагает:

«для всех гладких начальных данных решение остаётся гладким».

OpenAI нашла контрпример — гладкую силу, при которой решение «взрывается».

Это фальсификация гипотезы гладкости в одной из формулировок.

Но: у Поппера фальсификация — это не поражение, а норма.

Точно так же «взрыв» — это не «крах уравнений»,

а демонстрация того, что вопрос был поставлен слишком широко.

---

ГЕДЕЛЬ И «НЕПОЛНОТА» НАВЬЕ-СТОКСА

Гедель: невозможно выписать все истины арифметики.

Навье-Стокс: невозможно выписать все решения.

Уравнения нелинейны (конвективный член u × grad u),

и это порождает турбулентность — хаотическое поведение,

принципиально непредсказуемое на длительных интервалах.

Структурное совпадение: система (уравнения) не может «охватить»

все свои следствия (решения).

Всегда найдётся начальное условие, которое приведёт к неожиданному поведению.

---

ХЭМКИНС И «МУЛЬТИВСЕЛЕННАЯ» РЕШЕНИЙ

Хэмкинс: нет единственной истинной вселенной множеств.

Есть много V, в одних CH истинна, в других ложна.

Аналогия с Навье-Стоксом:

· В одной формулировке (C/D, с гладкой силой) решение взрывается.

· В другой (без внешней силы) решение остаётся гладким.

· В третьей (сжимаемая жидкость) появляются ударные волны, которых нет в несжимаемой модели.

Вывод: ответ зависит от того, в какой «вселенной» (формулировке)

вы находитесь. Это ровно позиция Хэмкинса:

«ответ на CH зависит от того, в какой вселенной вы находитесь».

---

«РЕШЕНИЕ МЕЧТЫ» И «РЕШЕНИЕ» OPENAI

Хэмкинс вводит термин «решение мечты» (dream solution) —

надежду на то, что найдётся аксиома, которая решит CH раз и навсегда.

Он утверждает: это невозможно, потому что мы уже знаем миры

с CH и без неё.

Аналогично: OpenAI нашла пример сингулярности в одной формулировке.

Но это не решает вопрос о гладкости в физически реалистичных условиях.

Критики (Ильяшенко) говорят:

«Проблема тысячелетия остаётся нерешённой».

Это ровно позиция Хэмкинса:

«вопрос разрешён через мультивселенную» — но не в исходной постановке.

---

ИТОГ: ЧТО РУШИТСЯ И ЧТО ОСТАЁТСЯ

Гедель

· Рушится: полнота формальной системы

· Остаётся: неполнота как норма

Поппер

· Рушится: окончательность научной теории

· Остаётся: фальсифицируемость как метод

Хэмкинс

· Рушится: единственность математической вселенной

· Остаётся: плюрализм как онтология

Навье-Стокс

· Рушится: гладкость для всех данных

· Остаётся: «взрыв» как контрпример

---

КОРОТКИЙ ВЫВОД

Все четыре случая — это отказ от «мечты о полноте»

и принятие неполноты, множественности или фальсифицируемости

как фундаментальной характеристики.

[onuchin]

Добиваем пациента Пациентом или доказательство врожденной тупости Балвана - он всегда живёт в Выпуклой Вселенной. 

---

О чём эссе

Главный тезис: LLM — это не «искусственный интеллект», а культурная технология, как рынки, бюрократия или научная литература. Они не создают новое знание, а рекомбинируют то, что уже накоплено человечеством.

Ключевые понятия

· Культурные технологии — средства коллективной обработки информации, превышающей возможности одного человека.

· «Выпуклая оболочка идей» — множество идей, достижимых путём комбинации уже существующих.

· «Переваривание» (Тао) — усвоение доказательств сообществом; не менее важно, чем их открытие.

Пример с Эйлером

Если бы у Эйлера была LLM, обученная на всей математике до него, она не смогла бы изобрести аналитическую теорию чисел. Потому что это инновация, а не комбинация. Но если бы аналитическая теория уже существовала, LLM могла бы связать её с гипотезой о простых числах вида an+b.

Пример с Крыловым — Сафоновым

Теорема Крылова — Сафонова опирается на оценку Александрова из выпуклой геометрии. Если бы выпуклая геометрия не была развита, LLM не смогла бы доказать теорему. Но если она есть — LLM может связать две области.

---

Связь с Навье — Стоксом

1. Задача тысячелетия — это «инновация» или «комбинация»?

Гильен пишет: LLM способна решать задачи, которые лежат внутри выпуклой оболочки существующих идей. Решение Навье — Стокса (гладкость или взрыв) — это вопрос, который стоял 200 лет. Идеи для его решения накапливались:

· теория сингулярностей,

· форсинг и теоретико-множественные методы,

· численные методы,

· функциональный анализ.

Если решение OpenAI комбинирует эти идеи — оно внутри оболочки. Если оно вводит новую идею — оно вне оболочки.

2. Что сделала OpenAI?

Судя по описанию, OpenAI не ввела новую идею. Она:

· взяла произвольное течение,

· вычислила силу как невязку уравнения,

· подобрала зависимость от времени так, чтобы скорость стала негладкой.

Это комбинация известных приёмов: невязка, форсинг, сингулярность. Это внутри выпуклой оболочки.

3. Конфликт с Бакмастером — это спор о «выпуклой оболочке»

Бакмастер и Альпёге год работали над своим подходом. OpenAI могла (по версии Бакмастера) использовать их сессии через Codex, чтобы сузить выпуклую оболочку. Если это так, то результат OpenAI — не независимое открытие, а рекомбинация идей Бакмастера.

Это ровно то, о чём пишет Гильен: LLM рекомбинирует коллективное наследие. Вопрос — чьего наследия и насколько добровольно оно было передано.

4. «Переваривание» и Навье — Стокс

Тао говорит: доказательства должны быть усвоены сообществом. Формализация в Lean — это проверка, но не понимание. Доказательство OpenAI проверено, но не переварено.

Это создаёт проблему: если сообщество не может понять доказательство, оно не может использовать его для новых идей. Оно остаётся вне выпуклой оболочки — как чёрный ящик.

5. Связь тезисов

· LLM рекомбинирует существующие идеи — решение OpenAI комбинирует невязку, форсинг, сингулярность.

· «Выпуклая оболочка» — граница возможного — решение внутри оболочки, если это комбинация.

· «Переваривание» — усвоение сообществом — формализация в Lean есть проверка, но не понимание.

· Конфликт с Бакмастером — спор о наследии — OpenAI могла использовать сессии Бакмастера.

· Культурные технологии — коллективное наследие — Навье — Стокс есть наследие 200 лет.

---

Итог

Эссе Гильена даёт оптимистичную рамку для понимания LLM: они не «побеждают» математиков, а помогают им находить жемчужины в коллективном наследии. Но случай с Навье — Стоксом показывает риски:

1. Присвоение коллективного наследия корпорациями.

2. Непрозрачность доказательств (Lean-проверка без понимания).

3. Разрушение путей накопления опыта (как в скейтбординге).