Melamed6921 сен в 11:59

Интеграл Гаусса + необычная его аппроксимация

2 мин

7.8K

Математика * Облачные вычисления *

Из песочницы

-2

Комментарии 6

cpud47 21 сен в 19:20

Не очень понятна мотивация статьи и аппроксимации. Такая аппроксимация не особо лучше чем просто константа. Она работает исключительно потому, что Гауссов интеграл сходится невероятно быстро.

Но никому особо не нужна аппроксимация вида $f(x) = \Phi(x) + \epsilon(x)$ , где $\epsilon(x)$ мало. Обычно нужна аппроксимация вида $g(x) = \Phi(x) \cdot (1 + \epsilon(x))$ где $\epsilon(x)$ мало. И со вторым Ваша аппроксимация вряд ли справится, по очевидным причинам.

Если же нужна грубая аппроксимация, то проще просто аппроксимировать константой при хоть сколько-то значимых значениях x.

wataru 21 сен в 19:31

С математической точки зрения - тут у вас все плохо.

Первая ошибка вот тут:

$\lim_{a->\infty}{\int_{-a}^{a}{e^{-x^2}} dx}=\sqrt{\pi(1-e^{2a^2})}$

Слева у вас число, справа функция от a. Чтобы это исправить, надо дописать справа lim. Тогда получается $\sqrt\pi = \sqrt\pi$ .

Так-то можно в качестве приближения брать любую функцию, сходящуюся к $\sqrt\pi$ .

Кстати, можно брать тупо само $\sqrt\pi$ , при a > 2 там ошибка уже меньше 0.01. Возможно там ошибка даже лучше вашего хитрого приближения.

Если хотите приближения на всех значениях a, то домножьте на монотонную функцию, дающую 0 в нуле и сходящуюся к 1 на бесконечности..

Тут не нужно никаких рассуждений о выводе интеграла и других аргументов.

А вообще, приближения erf(x) давно известны: https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_ошибок#Аппроксимации

Melamed69 вчера в 06:33

Если функция имеет наклонную асимптоту, то фактически для него можно записать:

$\lim_{x \to \infty}f\left(x\right)=a\cdot x+b$

Фактически данный придел можно записать более традиционно:

$\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)-a\cdot x-b=0$

То есть данный предел, который вы считали ошибкой, можно записать следующим более традиционным образом:

$\lim_{a\to\infty}\left(\int_{-a}^{a}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x-\sqrt{\pi\cdot\left(1-\mathrm{e}^{-2\cdot a^2}\right)}\right)=0$

Deosis вчера в 08:00

Формулы надо проверить, так как сейчас половина равенств в статье - полная чушь

ksbes вчера в 08:14

Безотоносительно верности формул: а что это за хрень на графике в районе π вылезла?

Melamed69 вчера в 08:28

Я полагаю, эта "хрен" в районе 3.4 вылезла в результате ошибки округления. Как известно, если результаты вычисления малы по модулю, то они становятся наиболее критичны

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий