«Философия слишком важна, чтобы оставлять её на откуп философам» (Джон Уилер)
«Математика — единственная истинная метафизика» (Уильям Томсон)
«Нет математической замены философии» (Сол Крипке)
«Случайность есть истинное основание математики» (Грегори Хайтин)
«Время — это средство, с помощью которого Бог осознал непостижимое, что P и не‑P оба истинны [...] Время есть следствие каждой попытки дать исчерпывающее описание Вселенной изнутри. Таким образом, время в этом смысле связано не с самой Вселенной, а с попыткой её описать» (Курт Гёдель)
Мы продолжаем рассуждать буквально обо всём и ни о чём, исследуя философские и математические дебри в поисках тотальности бытия, абсолютной необходимости и первоосновы всего сущего. В предыдущей статье я указал на основные несостыковки спекулятивного материализма Мейясу с научным методом и предложил решения этих проблем в виде реляционной структуры межмировых отношений, где каждый мир физически возможен или невозможен относительно каждого другого мира. Теперь мы пойдём ещё дальше и построим аналогичную реляционную сеть математически и логически возможных миров. Для этого нам нужно следом за принципом достаточного основания отправить в утиль другие законы формальной логики: закон непротиворечия и закон тождества. Я собираюсь поставить под сомнение необходимость математики какой мы её знаем и показать, что математика может быть другой. Признаться честно, перед написанием этой статьи я думал, что контингентность математики — это и есть та самая глупость, которую до меня ещё никто из философов не отстаивал, и на принятие которой не решился даже гений Гиперхаоса Квентин Мейясу. Но оказалось, что эту глупость отстаивают несколько современных аналитических философов, чьи идеи я разберу ниже. Но сначала объясню, как я сам к этому пришёл через теорию гипервычислений.
Контингентность математики
Собственно, ни для кого не секрет, что истинность и доказуемость математических формул зависит от выбранной аксиоматики. Это было ясно ещё с середины XIX века, когда появилась неевклидова геометрия Лобачевского. Он заменил пятую аксиому евклидовой геометрии (через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную первой) прямо противоположным постулатом (можно провести более одной прямой через точку вне данной прямой, не пересекающей её), и получил вполне самосогласованную и применимую на практике систему. Но этот факт интерпретировали как аргумент против платонизма: если мы сами выбираем, какой пользоваться формальной системой, значит никакой объективной математической реальности нет. В крайней форме дошло дело до математического фикционализма — утверждения, что математика является нашей выдумкой. Но в данной сталье я покажу, что разнообразие формальных систем вполне совместимо с математическим реализмом, только не с единым универсумом платоновского толка, а с идеей математического мультивёрса.
Математический платонизм держится на трёх китах: онтологическом компоненте (математические объекты, такие как множества, числа и функции, существуют независимо от человеческого разума, не создаются умственной деятельностью или социальными условностями, а обнаруживаются посредством рационального исследования), компоненте истинности (каждое корректно определённое математическое утверждение на языке теории множеств имеет объективное значение истинности, то есть является абсолютно истинным или ложным, независимо от того, можем ли мы доказать или знать это значение истинности) и компоненте единственности (существует единственная подлинная кумулятивная вселенная множеств, обычно обозначаемая V, которая содержит все множества, которые действительно существуют, и V является абсолютной в том смысле, что не зависит от формальных представлений или моделей в логике). Мы можем использовать разные аксиоматики теории множеств (ZFC, NBG, TG и NF), но все они приходят к одинаковым выводам о свойствах бесконечных множеств. Следовательно, математическая истина едина, а неразрешимость некоторых задач — следствие неполноты наших формальных систем.
Однако философия математики не исчерпывается дихотомией платонизма и номинализма. Из статьи «Реализм против платонизма» вы уже знаете, что я сторонник математического физикализма, согласно которому математика является естественной наукой, поскольку доказательство теоремы — это физический эксперимент, а именно — вычисление, выполняемое мозгом или компьютером. Идея о том, что математика является обобщённой физикой и полностью зависит от физики нашего мира, высказывал ещё Джон Стюарт Милль. В его радикальном эмпиризме допускается, что в гипотетических мирах с другими физическими законами — например, где два предмета при сближении сливаются в один или порождают третий — математика была бы совершенно иной — например, 2+2 могло бы равняться 3 или 5. В XX веке Уиллард Куайн сформулировал идею «паутины убеждений» (научного холизма), согласно которой математика не существует в изоляции, она сплетена в одну сеть с физикой, химией и биологией. Мы принимаем математические абстракции только потому, что они удобны для предсказания физического мира. Куайн допускал, что, если физический опыт радикально изменится, нам, возможно, придётся переписать не только законы физики, но и законы логики и математики, чтобы вернуть всей системе предсказательную силу.
Физик Дэвид Дойч также считает, что наша уверенность в истинности математических доказательств основана на вере в законы физики, по которым работает универсальный компьютер (в т.ч. человеческий мозг). Поскольку вычисление и математическое доказательство реализуются как физические процессы — в мозге, на компьютере или другом физическом носителе, — их возможности и надёжность зависят от законов природы. Если бы эти законы были другими, другим был бы и набор логических операций (вентилей), выполнимых компьютером, а значит, логика и математика тоже были бы другими. Нам известны формальные системы, основанные на другой логике и как следствие имеющие иные определения простых и сложных задач, чем классическая машина Тьюринга: квантовый компьютер (операции не подчиняются булевой алгебре), сверхтьюринговые модели (гиперкомпьютеры) и неклассические логики (логики с бесконечными истинами или многозначные логики). Если разница между классическим и квантовым компьютером сводится к эффективности решения тех или иных задач, но репертуар вычислимых функций у них одинаковый, то у гиперкомпьютеров был бы другой репертуар, и как следствие он мог бы вычислить и доказать то, что в принципе невычислимо и недоказуемо для обычного компьютера. В мире, где физика допускала бы существование гиперкомпьютера, неразрешимые для нас математические задачи были бы разрешимыми. Например, некоторые модели гиперкомпьютеров могли бы решить задачу остановки для машины Тьюринга, доказать гипотезу континуума и гипотезу Римана, решить проблему Гольдбаха и проблему P=NP. Значит, вычислимость или невычислимость различных функций, разрешимость или неразрешимость задач столь же контингентны, как и законы физики.
Как вы помните из статьи «Сверхтьюринговые вычисления и гиперкомпьютеры», ответы на все математически неразрешимые задачи, которые эффективно сводятся к перебору, можно закодировать в виде битов числа Омега Хайтина (Ω) — вероятности остановки случайной программы машины Тьюринга. Поскольку задача остановки сама является неразрешимой, число Ω нельзя вычислить никаким алгоритмом. Это счётно бесконечная последовательность битов, случайная по Мартину‑Лёфу. Её колмогоровская сложность бесконечна в том смысле, что никакая конечная программа не может сжать её до меньшего описания. По мнению Грегори Хайтина, из невычислимости числа Ω следует, что не может существовать всеобъемлющей математической «теории всего». Бесконечное множество битов Ω составляет бесконечное множество математических фактов (является ли каждый выбранный бит единицей или нулём), которые не могут быть выведены из каких бы то ни было принципов, более простых, чем сама последовательность битов. Значит, сложность математики бесконечна, тогда как любая отдельная теория всего характеризуется конечной сложностью и не может охватить всё богатство мира математических истин. При любом конечном наборе аксиом мы имеем бесконечное число истин, которые не могут быть доказаны с помощью этого набора. Любая программа конечной длины, сколько миллиардов битов она бы ни содержала, не поможет нам определить значения всех битов Ω, которых бесконечно много.
Но что, если бы мы каким‑то образом узнали всю бесконечность цифр после запятой константы Ω и дали бы её в качестве оракула для машины Тьюринга? Поскольку Омега Хайтина содержит в себе ответы на задачи остановки для всех возможных программ, такой компьютер решал бы любые проблемы, которые можно эффективно свести к перебору, за один такт. Он просто проверял бы их истинность через поиск контрпримеров в бесконечном пространстве. Но что оставалось бы невычислимым для этой машины Тьюринга с оракулом? Это была бы её собственная задача остановки, вероятность которой выражается числом Ω'. А зная число Ω', его в свою очередь можно использовать как оракул второго порядка и получить ещё более мощный гиперкомпьютер, имеющий собственную константу Ω'', которую можно использовать как оракул третьего порядка, и так далее. В итоге мы получим бесконечную иерархию оракулов‑омег, каждая из которых содержит ответы на свои загадки. Известные нам неразрешимые задачи содержатся в числе Ω, но вычислить его невозможно без обращения к оракулу — Ω', которая содержит ответы на мета‑вопросы о программах, использующих Ω в качестве оракула. Возможно, она решает новый класс мета‑проблем, которые недоступны даже при знании всех арифметических гёделевских истин. В свою очередь Ω'' решает проблемы третьего порядка, и так далее
Как заметил Грегори Хайтин в своей книге «Исследование случайности», если теоремы Гёделя, проблема остановки Тьюринга и обычная Ω показывают, что математика изъедена молью, то Ω' и оракулы высших порядков дают понять, что математика в основном состоит из зияющих дыр, а в основе Вселенной лежит Гиперхаос. Омегу, несмотря на её случайность, можно приближать снизу, перебирая программы и суммируя вклады тех, которые уже остановились. А для Омеги' этого сделать уже нельзя, она более алгоритмически случайна, чем классическая вероятность остановки Ω, а значит, не просто бесконечно сложна, а строго сложнее по Тьюринговой степени. Но что может быть случайнее случайного действительного числа? Почти все действительные числа имеют бесконечную колмогоровскую сложность, потому что их десятичная запись не может быть порождена никаким конечным алгоритмом. Большинство элементов несчётного множества, такого как континуум действительных чисел, невычислимы. Отсюда возникает странный вопрос: входит ли Ω' в континуум действительных чисел, вычислимых гиперкомпьютером?
Невычислимость даже первого знака после запятой у Ω' подозрительно напоминает невычислимость первого числа после 0 в континууме действительных чисел между 0 и 1. Я ни на что не намекаю и не хочу выходить за рамки стандартной математики, в которой нет чисел «бесконечнее» действительных. Действительные числа по определению всегда счётные по длине: у них есть счётно бесконечная десятичная или двоичная запись. Однако напрашивается догадка, что могут быть сверхдействительные числа с континуумом или гиперконтинуумом знаков после запятой. Подобные числа существуют в нестандартном анализе, строятся методом трансфинитной индукции и называются сюрреальными числами. Их длина (количество «знаков» или шагов построения) измеряется ординальными (порядковыми) числами. Также используются гиперреальные числа, расширяющие множество действительных чисел добавлением к ним «инфинитезималей» (бесконечно малых) и «инфинитов» (бесконечно больших), которые нельзя выразить через стандартные десятичные дроби. Например, число 𝜖, которое больше 0, но меньше любого положительного действительного числа — это бесконечно малое.
У машины Тьюринга множество программ всегда счётно, какого бы уровня оракул мы ни взяли. Машина Тьюринга с оракулом — это просто устройство с конечным кодом, подключённое к бесконечной базе данных (оракулу). А у других моделей гиперкомпьютеров? Мы рассматривали их в статье «Сверхтьюринговые вычисления и гиперкомпьютеры». Представим себе гиперкомпьютер, способный за одно обращение вычислить счётную бесконечность символов. Это может быть машина Тьюринга с бесконечным временем (ITTM), ординальная машина Тьюринга (OTM) или аналоговая машина Блюма‑Шуба‑Смейла (BSS). Машина Тьюринга с бесконечным временем (ITTM), предложенная Джоэлом Хамкинсом, Джеффом Киддером и Энди Льюисом, может за трансфинитное время (длиной в ординалы) проверить весь континуум действительных чисел и вычислить абсолютно все хайтиновские омеги высших порядков. Обычная ITTM за счётную бесконечность шагов может полностью решить задачу остановки для стандартной машины Тьюринга. Следовательно, она может точно записать на ленту все знаки числа Ω.
А как насчёт гиперкомпьютера, способного преодолеть счётный предел Тьюринга и одной программой выдать весь континуум действительных чисел? Чтобы работать с множествами программ любой кардинальности, нужен гиперкомпьютер, архитектура которого масштабируется вместе с самой иерархией бесконечных множеств. Например, ординальная машина Тьюринга (ОТМ), предложенная математиком Петером Кёпке в 2000-х годах, имеет ленту длиной в любой ординал и может работать несчётное количество времени. Количество состояний и сама программа остаются конечными, но за счёт бесконечной ленты ОTM способна вычислить любое заданное действительное число и любое множество, конструируемые в рамках гёделевского Универсума множеств (L). Гиперкомпьютер выполняет первый бесконечный шаг ω, на котором ячейка памяти принимает значение, равное пределу (лимиту) того, что в ней происходило за все предыдущие миллиарды конечных шагов. Компьютер продолжает работать на шагах ω+1, ω+2, затем доходит до шага ω*2 и так далее, уходя в глубокую трансфинитную бесконечность. Однако для OTM также существует собственная проблема остановки; расширение вычислительной мощности не устраняет принципиальный предел, а создаёт новый уровень неразрешимости.
Также существует теоретико‑множественный гиперкомпьютер или модель вычислений на множествах (Set‑Theoretic Computation). Вместо того чтобы привязываться к лентам и ячейкам, эта суперрекурсивная модель делает элементарным шагом вычисления операции над самими множествами. Вместо битов (0 и 1) в регистры машины записываются произвольные множества, а количество программ у неё счётно. Но уникальность модели в том, что одна счётная программа способна манипулировать несчётным объектом как единым целым за один такт В отличие от ITTM, OTM или BSS, которые привязаны к классическому понятию программы (конечного графа или текста), модель вычислений на множествах может напрямую оперировать несчётными объектами и за одно обращение вывести весь континуум действительных чисел, или проверить, верно ли, что x ∈ y, объединить множества или выделить подмножество. Такая машина вообще не ограничена понятием мощности. Её вычислимость эквивалентна понятию абсолютной конструктивности в теории множеств.
Но вернёмся к обычной машине Тьюринга с оракулом. Сколько всего может быть оракулов‑омег? Хотя каждая отдельная омега имеет счётную длину знаков, множество всех возможных омег (если мы продолжим иерархию по всем мыслимым оракулам) является несчётным, как и множество действительных чисел. Более того, ничто не мешает продолжить итерацию на бесконечные ординалы. Грегори Хайтин называет первую трансфинитную Омегу «всевидящим оракулом бесконечно высокого порядка, который знает все остальные омеги», но он, очевидно, далеко не последний. Если мы будем строить омеги для оракулов, которые сами используют оракулы, и так далее по всем трансфинитным ординалам, мы получим несчётное семейство чисел, которое покроет глубины конструктивной вселенной Гёделя L. Таким образом, существует бесконечная иерархия оракулов‑омег и соответствующих им гиперкомпьютеров, превосходящих по мощности обычную машину Тьюринга. При конечном числе итераций она соответствует арифметической иерархии Клини‑Мостовского, при бесконечном совпадает с гиперарифметической иерархией вплоть до ординала Чёрча‑Клини, а затем уходит в конструктивную иерархию Гёделя (L) и охватывает всю аналитическую иерархию, или иерархию степеней Тьюринга.
Тем не менее, для любого сколь угодно мощного гиперкомпьютера всегда будут существовать истинные математические факты, которые он принципиально не способен вычислить или доказать. Какой бы мощности гиперкомпьютер мы ни взяли, он не сможет обойти законы формальной логики и доказать противоречие, обойти теоремы Гёделя и доказать собственную непротиворечивость, обойти теорему Тьюринга и решить собственную задачу остановки, обойти теорему Хайтина и вычислить Ω для гиперкомпьютера более высокого порядка, ответить на метавопросы типа: «существует ли универсальное множество всех множеств?» или «может ли быть последняя бесконечность?». Во всех возможных мирах остаётся актуальной иерархия Тьюринговых степеней (физика лишь определяет, на какую ступеньку этой лестницы может подняться гиперкомпьютер), относительная сложность задач (для любого оракула существует более сложная задача), теорема Кантора (мощность множества подмножеств всегда строго больше мощности исходного множества), аксиоматика ZFC и трансфинитная математика (правила работы с бесконечными множествами), арифметика натуральных чисел (простота чисел, коммутативность сложения). Гиперкомпьютер не делает математику полностью разрешимой, он лишь сдвигает границу вычислимости.
Платоники могли бы со мной поспорить и сказать, что гиперкомпьютеры — это чисто теоретические модели в рамках той математики, которая работает в нашем мире, а существование миров с другой физикой для нас принципиально недоказуемо и неопровержимо. Как мы можем судить о математике в мирах с другой физикой, если само существование таких миров и гиперкомпьютеров математически возможно и логически непротиворечиво в нашем мире с нашей логикой и математикой? Если математика контингентна и может быть совершенно другой, тогда должны существовать миры, в которых не работают и метатеоретические пределы вычислимости, включая теоремы Гёделя, Тьюринга и Хайтина. Действительно, мы можем понять математику только достижимых для нас миров, в которых остаются доказуемыми наши теоремы. В недостижимых мирах наши теоремы могут быть недоказуемыми, 2+2 может быть не равно 4 и так далее
Если считать математику и логику универсальными, для описания реальности достаточно принять модальный реализм Дэвида Льюиса, согласно которому существуют все логически возможные миры. Но если в каких‑то мирах действует другая математика и логика, для них будет другим и множество возможных миров: в него войдут миры, невозможные относительно нашего, а некоторые возможные для нас миры станут невозможными. В результате совокупность всех миров уже нельзя описать как единое непротиворечивое множество. Для описания такой структуры подойдёт реляционная семантика Крипке — альтернативная льюисовскому реализму интерпретация модальной логики, согласно которой одни миры возможны или невозможны относительно других. В семантике Крипке модальная структура задаётся множеством миров W и отношением достижимости R. То, какие миры рассматриваются как доступные, зависит от выбранной структуры R. Поэтому модальная возможность становится реляционной: высказывание может быть возможно относительно одного мира и невозможно относительно другого. Для каждого мира есть фиксированное множество возможных миров, а тотального множества всех в принципе возможных миров не существует.
Как мы объясняли в статье «Модальный реализм Дэвида Льюиса», в семантике Крипке «мир» — это формальная (математическая) конструкция — набор взаимно непротиворечивых утверждений и всех выводимых из них на каком‑то языке. Логически возможными мирами считаются непротиворечивые наборы утверждений, описывающих возможные объекты или положения дел. Истинность высказываний рассматривается в совокупности миров, связанных системой достижимостей (не из каждого мира можно напрямую достичь любого другого). Если мы принимаем за аксиому абсолютную контингентность — необходимость того, что каждый мир может быть иным — из этого прямо следует структура Крипке, в которой возможность или невозможность мира относительна. Все миры, вычислимые нашим универсальным компьютером, достижимы и логически возможны относительно нашего. В этих мирах есть свои гиперкомпьютеры, для которых вычислимы другие миры, невычислимые нашей машиной Тьюринга. А в мирах, недостижимых из нашего, репертуар гиперкомпьютера может быть совсем другим, соответственно другой будет и математика. Но что‑то должно же оставаться универсальным, чтобы работала сама семантика Крипке вместе с модальной логикой?
Если предположить, что какая‑то часть математики всё же является универсальной и необходимой, то есть справедлива для всех возможных миров, то этой частью должны быть метаматематические теоремы Гёделя (любая достаточно мощная формальная система арифметики будет неполной и не сможет доказать свою непротиворечивость), теорема Тьюринга о неразрешимости задачи остановки (это свойство не конкретной машины, а самой модели вычислений на основе дискретных шагов), теорема Хайтина (любая система имеет бесконечную иерархию оракулов, где нет универсального «супер‑оракула»), а также канторовская лестница бесконечностей. Примечательно, что Георг Кантор в своём доказательстве несчётности множества действительных чисел, Курт Гёдель в доказательстве несчётности множества недоказуемых математических теорем, Алан Тьюринг в доказательстве несчётности множества невычислимых функций и Дэвид Дойч в доказательстве несчётности множества логически возможных невычислимых миров (сред Кантгоуту) использовали один и тот же диагональный метод. Во всех четырёх случаях идея состоит в построении объекта, который принципиально не может быть исчерпан заданным способом перечисления, формализации или вычисления: каждый раз, когда система пытается стать тотальной, диагонализация строит объект, находящийся за её пределами.
А что, если бы не работали даже теоремы Кантора, Гёделя и Тьюринга? Каким был бы мир без парадоксов и пределов доказуемости, где любую истину можно формализовать? Если бы исполнилась мечта Давида Гильберта и появился универсальный гиперкомпьютер, который может решать все задачи, доказывать все теоремы и давать однозначный ответ, истинно математическое утверждение или ложно? В таком мире физика и математика совпадали бы, так что вычислимое в физике было бы равно доказуемому в математике. Иерархия бесконечностей была бы замкнутой, то есть существовала бы «последняя бесконечность», включающая абсолютно всё. В мире Гильберта не было бы никакой случайности, всё было бы вычислимо и детерминировано. Но если всё доказуемо и вычислимо, исчезает различие между возможным и невозможным, и система коллапсирует в противоречивый набор случайных строк. По крайней мере относительно нашего мира такой мир логически невозможен и недостижим. Но возможна ли в любом другом мире с любой другой физикой абсолютно полная и непротиворечивая математика, допускающая множество всех множеств без парадоксов, или такой мир неизбежно будет противоречивым, неконтингентным и как следствие невозможным?
Абсолютно полная и непротиворечивая математика невозможна ни в нашем мире, ни в любом другом, если сохраняются базовые принципы формальных систем. Не существует одного конечного прыжка от вычислимого к абсолютно вычислимому; каждый раз, когда мы превращаем прежний предел в оракул, возникает новый предел относительно полученной системы. Проблема не в том, что существует слишком мало вычислительной мощности, а в том, что сама вычислительная мощность имеет иерархическую структуру. Любой данный уровень может быть превращён в следующий уровень оракулом, но тем самым создаётся новая задача, находящаяся за его пределами. Абсолютный гиперкомпьютер невозможен из‑за противоречия в самом понятии «последней вычислительной мощности». Обойти теоремы Гёделя и Тьюринга не может даже параконсистентная логика, допускающая универсальное множество всех множеств без парадоксов. Это означало бы отказ от стандартной аксиоматики множеств (ZFC). Но какой бы ни была формальная система, она всегда будет делить высказывания на истинные и ложные, без такого деления она коллапсирует до тривиализма, признающего все противоречия истинными. Следовательно, пределы доказуемости и вычислимости — это необходимое условие любой мыслимой математики, а их конкретные формы — контингентны. Единственное, что должно быть универсальным — деление высказываний на доказуемые и недоказуемые, функций — на вычислимые и невычислимые, задач — на выполнимые и невыполнимые, и тот факт, что множество вторых всегда бесконечнее множества первых.
Если вам всё ещё кажется, что я несу какую‑то чушь, давайте посмотрим, что на этот счёт думают математики и философы‑аналитики.
Теоретико‑множественный мультивёрс Джоэла Хамкинса
Американский математик и философ Джоэл Дэвид Хамкинс предлагает концепцию теоретико‑множественного мультивёрса (Set‑Theoretic Multiverse), отрицающую платоновский мир идей как единый математический Универсум (V) или Вселенную множеств, где каждое утверждение либо абсолютно истинно, либо абсолютно ложно. Он утверждает, что неразрешимость задачи или независимость её от аксиоматики ZFC означает существование альтернативных математических миров, в одном из которых утверждение истинно, а в другом — ложно. Например, в одном мире континуум‑гипотеза верна, в другом — ложна, в третьем нарушается аксиома выбора, в четвертом — существуют другие типы бесконечностей, и так далее. Существует множество моделей теории множеств, среди которых нет «абсолютной», «канонической» или «истинной» модели. Но это не значит, что мы изобретаем их сами — это значит, что каждая из них истинна в своём мире.
«Концепция мультивёрса представляет собой разновидность реализма высшего порядка — своего рода платонизм в отношении вселенных, — и я отстаиваю её как реалистическую позицию, утверждающую реальное существование альтернативных теоретико‑множественных вселенных, в которые нам позволил заглянуть наш математический инструментарий» (Джоэл Хамкинс)
Как известно, аксиомы теории множеств Цермело‑Френкеля (ZFC), которые большинство математиков считают достаточным основанием почти для всей математики, оказываются недостаточными для определения мощности континуума. Континуум‑гипотеза предполагает, что континуум является наименьшим несчётно бесконечным множеством — Алеф-1. Если она ложна, между счётным множеством Алеф-0 и континуумом есть другие уровни бесконечности. В 1938 г. Курт Гёдель доказал, что континуум‑гипотеза неопровержима в рамках ZFC, а в 1963 г. Пол Коэн доказал, что она и недоказуема, то есть полностью независима от ZFC — не является ни теоремой, ни её отрицанием. Для этого Коэн разработал метод форсинга, позволяющий построить транзитивное расширение заданной базовой модели ZFC путём добавления общего множества, отсутствующего в базовой модели, тем самым создавая новую модель, в которой гипотеза ложна. Это главный путь к теории мультивселенной Хамкинса, поскольку форсинг доказывает, что теоретико‑множественная вселенная не уникальна, но всегда может быть расширена на другие вселенные с принципиально иными математическими истинами, например, модели ZFC+CH и ZFC+¬CH.
Форсинг Коэна — это как форсинг тульпы (воображаемого друга), только для математических сущностей: вы расширяете ZFC добавлением новых множеств, чтобы сделать независимые от неё утверждения доказуемыми. С его помощью можно менять мощность континуума, нарушать или восстанавливать аксиому выбора и переворачивать многие классические теоремы. В теоретико‑множественном мультивёрсе форсинг означает создание новых математических миров. Если вы находитесь в мире W, вы можете с помощью форсинга расширить его до мира W1, который будет математически достижимым относительно мира W, разделяя все его теоремы. Если же мир W2 нельзя построить расширением аксиом мира W, он считается математически недостижимым из мира W. Если из вашего мира W можно пойти двумя разными путями и получить мир W1 (где верно A) и мир W2 (где верно B), то как правило существует более далёкий общий мир W3, достижимый и из W1, и из W2, в котором A и B примиряются — это называется принципом направленности (амальгамации). В мультивёрсе математические утверждения бывают двух видов: переключатели (Switches), которые можно бесконечно включать и выключать обратно (например, определенные свойства симметрии континуума) и кнопки (Buttons), которые можно только один раз нажать (сделать истинными) в каком‑то мире, но нельзя «отжать» обратно в мирах, достижимых из него (например, сделать континуум счётным).
С точки зрения платонизма на вопрос «верна ли континуум‑гипотеза» есть однозначный ответ, просто его нельзя получить в рамках аксиоматики ZFC. С точки зрения теоретико‑множественного мультивёрса континуум‑гипотеза истинна в одном математическом универсуме и ложна в другом, а единой и абсолютной истины не существует. Тогда вопрос «верна ли CH?» заменяется вопросом «о какой вселенной мы говорим?». CH верна в одних вселенных и ложна в других, и тот факт, что существуют вселенные, где выполняется каждое из этих условий, является объективным фактом о структуре мультивселенной. Платонизм не может отличить реальный математический универсум V от моделей форсинга. Если CH объективно истинна, то почему существует расширение V с помощью форсинга, в котором CH ложна? Является ли это расширение с помощью форсинга «нереальным» или «математической фикцией»? Если расширение с помощью форсинга является фикцией, то почему математические аргументы, использованные для его построения, столь же обоснованы и строги, как и аргументы внутри самой V? Если CH может быть изменена посредством форсинга, то в абсолютной V нет объективного факта о CH, поскольку абсолютная V, если она существует, может рассматриваться как расширение меньшей модели посредством форсинга, которое обращает значение истинности CH. Концепция «всех множеств» или «совокупности множеств» становится проблематичной, поскольку каждая вселенная в мультивселенной имеет свою собственную версию «всех множеств», и нет совокупности, которая охватывала бы их все без противоречий.
Хамкинс формулирует следующие аксиомы мультивёрса (Axioms of the Multiverse):
Аксиома существования: существует мультивёрс вселенных, каждая из которых является моделью той или иной теории множеств.
Аксиома реализуемости: для любой вселенной V, если W — модель теории множеств, определимая или интерпретируемая в V, то W является вселенной.
Аксиома форсинга: для любой вселенной V и любого понятия форсинга P в V существует форсинг‑расширение V[G], где G ⊆ P — V‑генерическое множество.
Аксиома отражения (рефлексии): для каждой вселенной V существует гораздо более «высокая» вселенная W с ординалом θ, таким, что V ≺ Wθ (где Wθ — соответствующий начальный сегмент вселенной W). Каждая модель теории множеств «представляется» себе очень высокой, содержащей все ординалы. Однако модель содержит лишь свои собственные ординалы, и она может ошибаться относительно того, как высоко они простираются, поскольку другие модели могут обладать гораздо большим количеством ординалов.
Аксиома счётности: каждая вселенная V является счётной с точки зрения другой, «лучшей» вселенной W. Если V является элементом другой вселенной W, то согласно принципу форсинг‑расширения она станет счётной в форсинг‑расширении W[G], которое «схлопывает» подходящие кардиналы до ω.
Аксиома иллюзии фундированности (или «миража вполнеупорядоченности» — well‑foundedness mirage): любой универсум V является не вполне упорядоченным с точки зрения другого, «лучшего» универсума. Понятие вполне упорядоченности зависит от теоретико‑множественного контекста: мир может казаться непротиворечивым и логически фундированным, но «взгляд сверху» из достижимого мира покажет, что его логические цепочки бесконечны, а аксиоматика содержит скрытые аномалии. То есть вселенные могут «ошибаться» друг относительно друга в вопросах конечности и бесконечности.
Аксиома обратного вложения: для любой вселенной V и любого вложения j: V → M существуют вселенная W и вложение h, такие, что j является результатом итерации h. Если вселенная допускает соответствующее нетривиальное элементарное вложение, то мультивёрс должен содержать вселенную, из которой эта ситуация возникает как результат итерации вложения.
Аксиома максимизации: не следует налагать необоснованные ограничения на то, какие вселенные могут существовать. Мы исходим из того, что мультивселенная настолько обширна, насколько мы только можем себе представить.
Теоретико‑множественный мультивёрс ломает классические представления о вычислимости и подтверждает всё, что мы говорили выше о гипервычислениях. В мультивёрсе Хамкинса не существует единого, абсолютного ряда натуральных чисел: в одной модели множеств ряд может быть стандартным (с нашей точки зрения), а в другой модели (например, внутри нестандартной модели арифметики, через ультрафильтры или после применения метода форсинга) появятся нестандартные (бесконечно большие) натуральные числа, а их множество становится несчётным. Когда мы применяем форсинг, мы можем добавлять на числовую прямую новые действительные числа. Понятие вычислимости и свойства объектов следует рассматривать относительно выбранной вселенной, модели машины и доступного в ней вычислительного аппарата. То, что в одной вселенной кажется абсолютно случайным и невычислимым, в другой становится простым, упорядоченным и банальным. Если в нашем мире W Омега Хайтина иррациональна и невычислима, то в другом мире W1 она может оказаться рациональным и вычислимым числом, если изменить модель, машину или язык описания. Программа, которая работает бесконечно в мире W, может остановиться в его расширении W1 на каком‑то нестандартном шаге, который в мире W считался бесконечностью. Соответственно список остановившихся программ в мирах W и W1 будет разным, а вероятность остановки Ω будет принимать разное значение. Относительно каждого конкретного фиксированного языка (и спецификации машины Тьюринга) Ω по‑прежнему определяется как «сумма 2‑p по всем останавливающимся p», но сам набор «всех останавливающихся p» меняется от мира к миру. Однако для гиперкомпьютера из мира W1 будет своя невычислимая Ω«.»
Более того, мультивёрс Хамкинса переворачивает наши классические представления о бесконечности. Главная идея его философии заключается в том, что понятия «счётный» и «несчётный» не являются абсолютными истинами — они полностью зависят от того, в какой конкретно математической вселенной (модели теории множеств) мы находимся. В классической математике код любой программы — это конечное число. Множество всех конечных кодов равно множеству натуральных чисел N, которое счётно бесконечно. Но с точки зрения теоретико‑множественного мультивёрса Джоэла Хамкинса в более сильной математической вселенной могут быть модели вычисления, недоступные обычной машине Тьюринга: трансфинитные машины, машины с оракулами, вычисления на ординальных структурах и так далее. Это расширяет класс допустимых вычислительных объектов, хотя и не превращает множество конечных программ обычной машины Тьюринга в несчётное. То, что для нас является несчётным множеством, в гипервычислительном мире станет счётным: например, между Алеф-1 и множеством натуральных чисел строится биекция.
Вместе с Бенедиктом Лёве в 2008 г. Джоэл Хамкинс доказал, что при условии непротиворечивости ZFC отношение форсинг‑достижимости миров задаёт естественную модальную структуру, соответствующую аксиомам модальной логики S4.2. То есть теоретико‑множественный мультивёрс можно описать на языке модальной логики (операторы «возможно» и «необходимо») и представить в виде реляционной структуры Крипке. Мультивёрс представляет собой реляционную сеть (структуру Крипке) с узлами‑мирами W (моделями теории множеств), связанными отношениями достижимости R (миры математически возможны или невозможны один относительно другого). Хамкинс не ограничивает мультивёрс моделями ZFC, допуская форсинг как более слабых теорий (ZF, ZF⁻, KP и так далее вплоть до арифметики второго порядка, которая в определённом смысле также является теоретико‑множественной), так и более сильных теорий (ZFC плюс аксиомы о больших кардиналах). Пока модель Хамкинса ограничена теориями множеств, но есть работы, позволяющие интегрировать топосы из теории категорий в более общий мультивёрс всех топосов, удовлетворяющих определённым аксиомам. Конвергентно с теоретико‑множественным мультивёрсом эволюционирует и сама теория категорий, в которой есть свои «миры» — универсумы Гротендика.
Мультивёрс максимально расширяет пространство математических концепций, совместимых с его принципами; различные непротиворечивые концепции множества получают статус самостоятельных математических вселенных. Практически любая математическая фантазия, если она не разрушает внутреннюю непротиворечивость отдельного мира (например, вселенная с нестандартной арифметикой, где существуют бесконечные натуральные числа), обретает статус реального существования в одной из областей этого мультивёрса. Форсинг позволяет переключаться между разными теориями математической истины, действующими локально внутри каждой вселенной, но в мультивёрсе нет абсолютной иерархии истины между вселенными. Хамкинс вводит понятие «мультивёрсной истины», определяемой как утверждение, истинное в каждой вселенной в рамках определяемого класса вселенных. Например, каждая вселенная ZFC удовлетворяет теореме о том, что не существует множества всех порядковых чисел, что существуют несчетные множества, что существуют множества с мощностью, превышающей мощность множества действительных чисел, и так далее. В теоретико‑множественном мультиверсе Хамкинса остаются необходимыми (истинными во всех мирах, достижимых из нашего) форсинг‑инвариантные утверждения, которые не меняются при переходе из одного мира в другой, если эти миры имеют общие ординалы (абсолютность по Мостовскому). Это арифметика Пеано, конечность множеств и отношение принадлежности. Также в каждом мире действуют законы классической логики, аксиомы и внутренние теоремы ZF и метазаконы модальной логики S4.2.
Итак, мы увидели, что метод форсинга позволяет сконструировать математический мультивёрс, каждая ветка которого представляет собой непротиворечивую систему аксиом и следующих из них теорем, никак не пересекающуюся с другими ветвями. Но если мы хотим рассмотреть всю эту систему целиком, или «пучок» из нескольких веток, они неизбежно будут противоречивыми. Кроме того, ни одна теория множеств или другая формальная система, основанная на классической логике, не позволяет описать противоречивые невозможные миры, где, скажем, круг квадратный, время одновременно идёт вперёд и назад, или где возможны нарушения причинности, или мир, включающий в себя все возможные миры (множество всех миров). Для этого нужна иная, неклассическая логика.
Диалетизм Грэма Приста
В классической логике действует железный закон взрыва, он же закон Дунса Скота: Ex Falso Quodlibet («из лжи следует всё что угодно»), то есть одно‑единственное доказанное противоречие или ложное утверждение приводит к логическому коллапсу всей системы. Из противоречивых посылок A и не‑A можно вывести любое предложение B. Поэтому теория, в которой одновременно доказуемы A и не‑A, становится тривиальной: каждое предложение оказывается в ней доказуемым. Например, возьмём классический силлогизм Аристотеля:
1. Все люди — смертны
2. Сократ — человек
3. Сократ — смертен
Если дополнить его противоречивым утверждением
4. Сократ жив и мёртв одновременно
Из него можно вывести любое другое утверждение следующим образом:
5. Сократ — жив (следует из четвёртого пункта по правилу устранения конъюнкции)
6. Сократ — мёртв (также следует из четвёртого пункта по правилу устранения конъюнкции)
7. Сократ — жив или все люди — бессмертны (следует из пятого пункта по правилу введения в дизъюнкцию)
8. не Сократ — жив (следует из шестого пункта по правилу отрицания)
9. все люди — бессмертны (следует из седьмого и восьмого пункта по правилу дизъюнктивного силлогизма)
Таким образом, доказывается противоположное исходному утверждению из противоречия. При этом появляется соблазн доказать любое другое утверждение, например, «Сократ — король Франции» или «Сократ — кот Шрёдингера». Это означает, что если в логике допускаются противоречия, то одновременно теряется возможность отличать истину от лжи. Однако существуют формальные системы, устойчивые к противоречиям — параконсистентные (паранепротиворечивые) логики. Они исключают принцип взрыва и дают возможность создания противоречивых, но нетривиальных теорий, таких как диалетизм.
Диалетизм (от греческого δι‑ «дважды» и ἀλήθεια «истина») — изобретение австралийского философа и логика Грэма Приста, профессора философии Городского университета Нью‑Йорка и почётного профессора Мельбурнского университета. Это точка зрения, согласно которой есть утверждения, которые одновременно истинны и ложны, то есть может существовать истинное утверждение, отрицание которого также истинно. Диалетизм не отменяет закон непротиворечия полностью, но утверждает существование истинных противоречий (диалетей). Речь идёт не о нашем незнании, истинно утверждение или ложно, и не об относительных утверждениях, истинных в одном смысле и ложных в другом. Диалетея — это утверждение, которое истинно и ложно в одном и том же смысле. Вместо закона непротиворечивости в параконсистентной логике Приста действует принцип нетривиальности: в системе должно быть хотя бы одно ложное утверждение, которое не является истинным. Иначе говоря, некоторые противоречия истинны, но не все противоречия истинны. Диалетизм не запрещает противоречивые утверждения, а вводит дополнительные аксиомы, которые предотвращают логический коллапс системы.
Как гласит теорема Гёделя о неполноте, любая достаточно сильная формальная система (например, арифметика Пеано) либо неполна, либо противоречива. Обычно математики выбирают сохранить консистентность (непротиворечивость), жертвуя полнотой. Поэтому в математике всегда есть истинные, но недоказуемые гёделевские предложения. Парапротиворечивая логика позволяет пойти по второму пути — пожертвовать консистентностью ради полноты. Поскольку в парапротиворечивой логике противоречия «локализованы» и не приводят к тривиальности (взрыву системы), на её базе можно построить непротиворечиво‑противоречивую полную арифметику. Грэм Прист и Ричард Раутли доказали, что в таких системах гёделевское предложение G («Я недоказуемо») становится и доказуемым, и недоказуемым одновременно (истинным и ложным сразу). Такая арифметика является синтаксически полной: любое высказывание в ней можно доказать, опровергнуть или и то, и другое вместе. Она содержит противоречия, но благодаря особым правилам не превращается в бессмыслицу, где 2+2 равняется абсолютно любому числу.
Грэм Прист избегает логического коллапса, используя паранепротиворечивую логику парадокса (LP), в которой есть три значения истинности: истина (T), ложь (F) и «и истинно, и ложно одновременно» (B). Семантика этой логики устроена так, что если утверждение A имеет значение B (парадокс), то его отрицание не‑A тоже имеет значение B. Их конъюнкция ¬A ∧ A также равна B, но из этого никак не следует, что другое независимое утверждение B обязано стать истинным. ¬A ∧ A не влечёт за собой 1 = 0, поскольку второе утверждение включает числа и знак равенства, подчиняющиеся правилам непротиворечивой арифметики. Диалетизм не принимает на веру любую бессмыслицу и не утверждает, что все возможные противоречия истинны. Скорее диалетеи — это редкие исключения: семантические парадоксы (парадокс лжеца и тому подобное), теоретико‑множественные парадоксы (парадокс Рассела и тому подобное) и пограничные переходы (когда вы стоите в дверном проёме, вы одновременно в комнате и не в комнате). Абсолютное же большинство противоречий (2+2=5, дождь одновременно идёт и не идёт) остаются ложными. Но как отличить истинные противоречия от ложных?
Грэм Прист использует рациональный и эмпирический критерии (критерий свидетельств): если мы безо всяких на то оснований начнём признавать истинными бытовые противоречия, система коллапсирует в тривиальную истинность всего на свете. Некоторые парадоксы, не решённые за 2500 лет существования философии, обладают таким сопротивлением последовательным классическим решениям, что наиболее естественным объяснением становится признание соответствующих противоречий истинными, а все бытовые и случайные противоречия всё ещё остаются в категории лжи. С точки зрения диалетизма большинство противоречий — это свойства не реальности, а естественного языка, неспособного её адекватно описать. Естественный язык сам является параконсистентной системой, которая содержит неустранимые парадоксы самореферентности, например, «это предложение ложно» (парадокс лжеца) или «если это утверждение истинно, то Санта‑Клаус существует» (парадокс Карри). Чтобы язык при этом не коллапсировал (ведь в реальной жизни из парадокса лжеца мы не выводим, что Луна сделана из сыра), логика, лежащая в основе нашей языковой компетенции, должна быть паранепротиворечивой.
С точки зрения параконсистентной логики, противоречие A и ¬A не ведёт к взрыву всей системы, а добавляет миры, противоречивые для нас. В отличие от теоретико‑множественного мультивёрса, который включает только непротиворечивые (самосогласованные) миры, диалетизм позволяет существовать невозможным мирам, которые противоречивы даже в рамках собственной аксиоматики. Диалетическая логика Приста порождает семантику невозможных миров, в которой миры упорядочены по степени их «ненормальности». Классические миры (где нет противоречий) достижимы друг для друга. Парапротиворечивые миры находятся на определённом «расстоянии» достижимости. Необходимым законом этой сети является то, что противоречие в одном невозможном мире не заражает соседние миры. Если в мире W₁ дважды два равно пяти и четырем одновременно, наш базовый мир W₀ об этом знает, анализирует это, но сам когнитивно не разрушается. Все эти миры находятся в абсолютном модальном пространстве, которое включает в себя все описания реальности, даже те, свойства которых взаимно исключают друг друга.
Но даже в парапротиворечивой трёхзначной логике парадокса (LP) есть вещи, которые остаются необходимыми:
Структура следования (теория семантического вывода): меняется то, какие высказывания принимают те или иные истинностные значения, но не меняются сами правила означивания. Отношения логического следования: вывод считается верным, если во всех мирах (включая парапротиворечивые), где истинны посылки, истинно и заключение.
Закон тождества (Рефлексивность): объекты сохраняют определенную минимальную онтологическую идентичность. Утверждение a = a (объект тождественен самому себе) остается необходимым. Объект одновременно может обладать свойством P и свойством не‑P (например, квадратный круг в невозможном мире одновременно является и круглым, и не круглым). Но этот объект всё ещё остается этим конкретным объектом, а не чем‑то другим.
Кроме того, сама метатеория Приста не должна быть тривиальной. Если бы противоречивость на метауровне вела к истинности абсолютно любого бреда, философия Приста не смогла бы сделать ни одного понятного утверждения, потеряла бы всякий смысл и превратилась в тривиальный хаос.
Критики диалетеизма обвиняют Грэма Приста в том, что он не учитывает важную особенность отрицания, известную как абсолютность несогласия. В классической логике, если вы несогласны с моим высказыванием P, вы можете выразить своё несогласие высказыванием ¬P. Однако в диалетеизме высказывание ¬P не помешает вам также принять P, ведь P может быть диалетеей, и поэтому и оно, и его отрицание истинны. В ответ можно сказать, что несогласие можно выразить, произнеся «¬P, и, кроме того, P не является диалетеей». Однако наиболее очевидной кодификацией утверждения «P не является диалетеей» является ¬(P∧¬P), что само по себе может быть диалетеей.
Диалетизм Приста можно отсечь бритвой Оккама, если все парадоксы и противоречия окажутся разрешимы в рамках классической, многозначной или интуитивистской логики, без допущения истинных противоречий. Например, некоторых парадоксов можно избежать без пересмотра аксиом, отказавшись не от закона непротиворечивости (ни одно утверждение не может быть одновременно истинным и ложным), а от закона исключённого третьего (каждое высказывание истинно или ложно, третьего не дано), приняв более двух истинностных значений с помощью многозначной логики, такой как нечёткая логика Лотфи Заде или многозначная логика Лукасевича. Также есть квантовая логика, в которой не работает принцип дистрибутивности A^(BvC)=(A^B)v(A^C) и ослаблены принципы непротиворечивости и тождества: допускаются парапротиворечивые суперпозиции и неразличимые частицы, а непротиворечивость и тождество объекта самому себе относится только к результатам измерений.
Диалетизм легко спутать с диалектикой, к тому же сам Прист рассматривает логику Гегеля как паранепротиворечивую. Но у Гегеля противоречие тезиса (А) и антитезиса (не‑А) снимается их синтезом (В), который процессе становления выступает новым тезисом. Например, противоречие бытия и небытия снимается становлением бытия из небытия. Диалетизм же использует противоречие иначе: некоторые противоречия не должны быть сняты в более высокой непротиворечивой позиции, поскольку сами являются истинными. В философии Грэма Приста Абсолют имеет некоторое сходство с Абсолютным духом Гегеля, но также близок к Абсолютному Ничто (шуньяте) из буддизма Махаяны (в частности, школы Мадхьямака) и Киотской школы философии. Абсолют — это одновременно истина и ложь, бытие и небытие, всё и ничто. В основе реальности лежит одно большое противоречие, которое есть нечто и одновременно ничто.
Грэм Прист защищает концепцию Вселенной как абсолютной целостности (Тотальности). Это «Всё», за пределами которого нет вообще ничего. Классическая логика запрещает множеству всех множеств содержать самого себя (парадокс Рассела). Всякий раз, когда мы пытаемся помыслить предел (абсолютная полнота бытия, мир всех миров, множество всех множеств), мы неизбежно оказываемся в ситуации, где этот объект одновременно находится внутри границы (так как он включает всё) и вне её (так как мы смотрим на него как на единое целое со стороны). Но Абсолютная Тотальность Приста — это единое целое, которое обязано включать само себя в качестве собственного элемента. Диалетизм не имеет ничего против таких противоречивых объектов, как множество всех множеств и мир всех миров. С ними вполне можно работать без угрозы логического взрыва: «множество всех множеств» существует, и одновременно принадлежит и не принадлежит самому себе, то есть признается истинным противоречием.
В своей работе «За пределами мысли» Прист выводит общую математическую структуру для любого Абсолюта, называемую противоречием замыкания (inclosure contradiction). Любая попытка помыслить Абсолют (предел познания, первопричину, абсолютную истину) требует от нашего разума сделать две вещи: 1) замыкание (Closure) — определить границы этого Абсолюта, зафиксировать его внутри системы; 2) трансценденция (Transcendence) — сделать шаг за эту границу, чтобы посмотреть на неё снаружи. В точке Абсолюта эти два движения сталкиваются. Мышление пытается помыслить то, что принципиально немыслимо. Язык пытается описать то, что принципиально невыразимо (Абсолют невыразим, но мы только что его выразили, назвав «невыразимым»).
Борода Платона и джунгли Мейнонга
Проблема небытия, или интенционального несуществования, известна в метафизике как «борода Платона». Если мы объявляем Пегаса несуществующим, он уже существует как предмет нашей мысли, иначе предложение не имеет смысла. Кроме того, утверждение «у Пегаса есть крылья» вполне осмысленно, несмотря на то, что самого Пегаса не существует. Если мы можем осмысленно говорить о Пегасе, не предполагая его существования, возникает вопрос: каким образом возможна референция к тому, чего нет? Можно сказать, что несуществующие объекты находятся в небытии, а самого небытия нет, как утверждал Парменид. Но утверждая, что его нет, или что оно непознаваемо, невыразимо и так далее, мы уже о нём мыслим, познаём его и наделяем бытием. Как можно размышлять о сущностях, которые не существуют, если из факта этого размышления следует, что мыслитель находится в отношении к несуществующему объекту? «Бородой Платона» эту проблему назвал гарвардский философ Уиллард Куайн в статье 1948 года «О том, что существует»:
«Мы имеем дело со старой платоновской загадкой небытия. Небытие должно в каком‑то смысле существовать, иначе что же это такое, чего нет? Эту запутанную доктрину можно назвать бородой Платона; исторически она оказалась очень серьёзной проблемой. Доходило до того, что она довольно часто притупляла бритву Оккама»
То есть заставляла расширять бытие до невозможности, игнорируя принцип экономии мышления. Чтобы не плодить несуществующих сущностей, Куайн предложил своё знаменитое определение: «существовать — значит быть значением квантифицируемой переменной [в научной теории]». Карл Поппер считал иначе: «Только если борода Платона достаточно жёсткая и запутана множеством сущностей, нам стоит использовать бритву Оккама». То есть нельзя сходу отвергать теорию и объявлять вводимые ею сущности несуществующими только на основании её избыточности, поскольку природа может быть действительно сложной и многообразной. Бритву Оккама нужно включать только тогда, когда теория перегружается спекулятивными деталями, а не в самом начале исследования, когда новые гипотезы и сущности жизненно необходимы для науки.
Но есть и менее популярный подход, называемый мейнонгианством, или теорией объектов Мейнонга. В начале XX века австрийский философ Алексиус Мейнонг предложил расширить область квантификации как на существующие, так и на несуществующие объекты, то есть рассматривать существование как свойство некоторых, но не всех объектов. Это означает, что для каждого психического состояния (мысли) существует объект — если не существующий, то, по крайней мере, несуществующий. Но как понимать мейнонгианскую формулу «есть вещи, которые не существуют»? В широком смысле «есть» (there is) всё, что мы можем помыслить или назвать, включая Пегаса и круглый квадрат, а в узком смысле «существует» (exist) только то, что реально существует. Согласно мейнонгианству, можно характеризовать предмет определённым образом, не предполагая его существования. Есть объект для любой комбинации свойств, в том числе и объект, обладающий только одним свойством — например, «быть певцом». Круглый квадрат не может существовать по определению, но может быть предметом логических выводов, например, что он одновременно обладает свойствами «круглый» и «квадратный». Бытие идеальных, несуществующих или невозможных объектов Мейнонг называл «Aussersein» (вне‑бытие или за‑бытийственность).
С лёгкой руки Мейнонга борода Платона разраслась в целый запутанный лес несуществующих объектов — «джунгли Мейнонга». Этот термин принадлежит Уильяму К. Нилу, в чьей работе «Вероятность и индукция» (1949) есть отрывок: «после блуждания по джунглям существования Мейнонга… философы теперь согласны с тем, что предложения нельзя рассматривать как конечные сущности». Как выразился Колин МакГинн, «наивное следование лингвистическим признакам приводит не только к логическому тупику, но и к метафизической экстравагантности — как в случае с джунглями Мейнонга, кишащими призрачным бытием». Философы, по словам П. М. С. Хаккера, смогли «проредить пышные джунгли сущностей Мейнонга (таких как круглый квадрат), которые, как оказалось, в каком‑то смысле должны существовать, чтобы о них можно было говорить», с помощью теории дескрипций Бертрана Рассела, согласно которой говорящий не обязан утверждать существование референтов для используемых им имён. Например, утверждение «нынешний король Франции лысый» можно считать ложным, несмотря на то, что нынешнего короля Франции не существует.
В модальном реализме Дэвида Льюиса проблема несуществующих объектов вроде Пегаса решается тем, что на самом деле они существуют. Точнее, существует некоторый возможный мир, содержащий конкретного индивида, соответствующего описанию Пегаса, тогда как в актуальном мире такого индивида нет. Как писал Яакко Хинтикка,
«Если вы спросите: „Где находятся несуществующие объекты?“, ответ будет: „Каждый в своём собственном возможном мире“. Единственная проблема с этим печально известным лесом, джунглями Мейнонга, заключается в том, что он не был зонирован, размечен и разделён на управляемые участки, более известные как возможные миры»
Но как же тогда быть с логически невозможными объектами, такими как круглый квадрат?
Здесь приходит на помощь семантика невозможных миров, которая, как нетрудно догадаться, распределяет невозможные объекты по невозможным мирам. Этот подход известен как модальное мейнонгианство, или нонеизм. Его отстаивали Ричард Раутли в книге «Исследование джунглей Мейнонга и за их пределами: исследование нонеизма и теории предметов» (1980) и Грэм Прист в книге «К небытию: логика и метафизика интенциональности» (2005), а также онтолог Такаши Ягисава, рассматривающий реальность как более широкое понятие, чем существование, и считающий реальными даже невозможные миры. В статье «Модальный реализм Дэвида Льюиса» я уже вкратце упоминал постмодальные семантики невозможных миров, в которых допускаются нарушения классической логики и контрфактуалы с логически невозможными предпосылками (counterpossible). Невозможные миры могут нарушать те логические или математические принципы, которые выполняются в актуальном мире; например, в некотором мире может быть истинно 2+2=5, хотя из классической арифметики следует, что такое положение дел невозможно. Поэтому невозможный мир не обязан быть непротиворечивым относительно логики актуального мира, но имеет строго ограниченный радиус доступности из миров с классической логикой.
Однако такое расширение онтологии радикально меняет смысл самого слова «существование»: существование перестаёт быть абсолютным свойством объекта и становится отношением объекта к определённому миру. Поэтому возникает более фундаментальный вопрос: что означает «реальность», если реальными признаются не только актуальные и возможные, но и невозможные объекты? Не становятся ли понятия «реальный» и «существующий» тривиальными: если абсолютно всё возможное и невозможное существует в реальности, само выражение «существует в реальности» теряет смысл. Впрочем, некоторых философов это устраивает.
Тривиализм пропозиций
Наверно, самая абсурдная философская позиция — это тривиализм. Он предлагает смириться с противоречивостью бытия и признать, что логический взрыв — не баг, а фича. Тривиализм — это утверждение, что все утверждения (пропозиции) истинны. Поскольку отрицание утверждения является утверждением, тривиализм означает, что каждое утверждение и его отрицание истинны. Поскольку конъюнкция утверждения и его отрицания является противоречивым утверждением, тривиализм подразумевает, что все противоречия истинны. В классической логике тривиализм является следствием нарушения закона непротиворечия, поскольку противоречие порождает взрыв. Но если мы отбрасываем непротиворечивость, нас больше не ограничивают теоремы Гёделя о неполноте. Полнота системы обычно означает, что для любого утверждения система способна определить, истинно оно или ложно. В синтаксически полной теории для каждого предложения языка доказуемо либо оно само, либо его отрицание. Тривиализм приписывает значение «истинно» вообще каждому элементу своего смыслового поля, доказывая как предложение, так и его отрицание, что делает его семантически бессмысленной, но тривиально полной системой.
Тривиализм не следует путать с релятивизмом. Тривиализм утверждает, что абсолютно все утверждения истинны одновременно, в то время как релятивизм считает, что истина не абсолютна и зависит от контекста, культуры или точки зрения. В тривиализме истинно абсолютно всё: любое заявление, его противоположность, любая нелепость или противоречие являются чистой правдой. В релятивизме истина относительна: утверждение истинно только в рамках определённой системы координат, эпохи, культуры или субъективного восприятия. Больше общего тривиализм имеет с эпистемологическим нигилизмом: обе позиции стирают разницу между истиной и ложью, объявляя бессмысленными логику, язык, науку и знание. Считается, что слова не способны отражать реальность, потому что самой устойчивой реальности нет. Но, как и другие формы агностицизма, нигилизм опровергает сам себя, отрицая способность мышления формулировать осмысленные суждения о реальности. Тривиализм лишён этого недостатка, поскольку в нём все утверждения истинны, а не бессмысленны или ложны.
Луис Эстрада‑Гонсалес в «Моделях поссибилизма и тривиализма» перечисляет четыре типа тривиализма в рамках семантики возможных миров:
(T0) Минимальный тривиализм: в некотором мире все утверждения имеют заданное значение.
(T1) Плюралистический тривиализм: в некоторых мирах все утверждения имеют заданное значение.
(T2) Актуалистический тривиализм: в реальном мире все утверждения имеют заданное значение.
(T3) Абсолютный тривиализм: во всех мирах все утверждения имеют заданное значение.
Первые три типа лишь допускают тривиальные миры среди всех возможных миров, тогда как последний является истинным тривиализмом, разрушающим даже модальную логику. Однако Пол Кабай в своей работе «О полноте истины» зачем‑то приводит доказательство тривиализма, напоминающее модальный аргумент Алвина Плантинги. За основу он берёт поссибилизм — теорию, согласно которой каждое утверждение возможно истинно, то есть существует возможный мир, где оно истинно. Если предположить, что это верно, то, по мнению Кабая, тривиализм также можно считать верным:
Поссибилизм верен [посылка]
Если поссибилизм верен, то существует мир (либо возможный, либо невозможный, либо и то, и другое), w, в котором тривиализм верен [посылка]
W — возможный мир [посылка]
В W верно, что W идентичен реальному миру, A
Если верно, что существует мир W, и W — A
Если возможно существование мира, и верно, что W тождественно A, то тривиализм верен [посылка]
Тривиализм верен.
На самом деле тривиализм не нуждается в подобных доказательствах, поскольку он верен по умолчанию. Тривиализм обладает абсолютным концептуальным иммунитетом к любой критике из‑за своей парадоксальной природы. Чтобы его опровергнуть, вам нужно доказать тезис «тривиализм ложен». Но, поскольку в тривиализме абсолютно все утверждения истинны, высказывание «тривиализм ложен» тоже является истинным. Любая критика, опровержение или уничтожение его системы аргументов усваиваются им как доказательство его правоты. Всё, что оппоненты могут возразить — это сомнительные моральные аргументы вроде «тривиализм следует отвергнуть, потому что он отождествляет то, что не должно быть отождествлено, а именно, истину и ложь». Так, Авиценна в комментарии к «Метафизике» Аристотеля писал, что отрицающий закон непротиворечия должен быть подвергнут огню, поскольку огонь и не огонь для него одно и то же, и ему следует отказать в еде и питье, поскольку для него еда, питьё и воздержание от того и другого — это одно и то же.
Грэм Прист называет веру в тривиализм основанием для признания человека психически больным, поскольку тривиалист не может по‑настоящему выбирать и, следовательно, действовать: «нельзя намереваться действовать таким образом, чтобы вызвать какое‑либо положение дел, если человек верит, что оно уже существует. И наоборот, если кто‑то действует с целью достижения чего‑либо, он не может верить, что это уже существует». Также Грэм Прист критикует тривиализм с позиции теории языка: чтобы слово или предложение имело значение, оно должно что‑то исключать. Если слово «красный» означает и красное, и синее, и стул, и справедливость, то оно не означает ничего. Таким образом, тривиализм балансирует на грани превращения всех осмысленных суждений в бессмысленный шум. Если любое утверждение истинно, мы не сможем отличить правильно построенные формулы от неправильных. Но что, если и это не баг, а фича? Может нам вместе с семантикой (приписыванием истины) отказаться и от синтаксиса (правил построения языка), признав все возможные строки символов правильными?
Вавилонская библиотека или Книга песка
Тривиализм — это семантически максимально полная система из всех логически возможных, но в ней истинны только осмысленные утверждения (пропозиции), а не любые случайные строки символов. Носителем истины в тривиализме выступает именно пропозиция ‑высказывание, имеющее смысл. Утверждения «земля плоская», «2+2=5» и «этот квадрат круглый» ложны и истинны одновременно, но они грамматически и семантически корректны. Набор символов типа «@#$фвыа111» не является пропозицией. У него нет семантического значения, поэтому тривиалист не может приписать ему статус истины — этот набор символов просто лежит вне логики. Даже в расширенном супер‑тривиализме, в котором истина не бинарна (1 и 0), а может принимать неклассические истинностные значения («нейтрально», «неопределённо», «квантовая суперпозиция»), эти значения применимы только к осмысленным высказываниям. Но существует радикальный синтаксический (лингвистический) тривиализм, где система вообще перестаёт различать правильно построенные формулы от неправильных. В такой модели абсолютно любая строка символов (например, «аоаоыов» или «цкйцу») автоматически признаётся и синтаксически верной, и истинной. Сама концепция «бессмыслицы» или грамматической ошибки упраздняется, так как любая строка текста автоматически обретает статус истины.
Пример синтаксически тривиальной системы — Вавилонская библиотека, описанная в одноимённом рассказе Хорхе Борхеса. Она состоит из шестигранных комнат, в каждой из которых стоят шкафы по 20 полок в каждом, на каждой полке находятся 32 книги по 410 страниц каждая, с 40 строками на каждой странице, с 80 символами в каждой строке. Каждый символ — это одна из 22 букв латинского алфавита, точка, запятая или пробел. Единственное ограничение — в библиотеке не существует двух одинаковых книг. Она содержит все возможные перестановки 25 символов в пределах книги, поэтому на её полках обязательно будут все созданные и несозданные человечеством тексты. Абсолютное же большинство текстов окажутся бессмысленным набором символов, если рассматривать их с точки зрения нашего языка. Однако с точки зрения самой библиотеки это не так, поскольку любое слово или предложение будет что‑то значить на каком‑то из множества языков, словари которых также найдутся в библиотеке. Следовательно, в библиотеке Борхеса истинны и одновременно ложны все возможные комбинации букв, а для каждого утверждения найдётся его отрицание, отрицание отрицания и так далее. Это предел классического текстового тривиализма: здесь всё истинно, всё ложно, и всё синтаксически правильно. Тотальность буквенных комбинаций порождает тотальность смыслов.
Впрочем, Вавилонская библиотека Борхеса конечна, пусть и во много раз превышает размеры наблюдаемой вселенной. Её объёма вполне достаточно, чтобы включить всё, что может быть написано или сказано в пределах наблюдаемой вселенной. Но её может не хватить для записи некоторых чисел и выходных данных программ, которые останавливаются через огромное количество шагов, например, Занятого бобра BB(6). Настоящий же синтаксический тривиализм требует истинности абсолютно любой строки символов, включая счётно бесконечные последовательности битов и действительные числа. Чтобы всё это вместить, нужно убрать ограничения Борхеса на количество символов, строк и книг. Если в нашей Абсолютной библиотеке будут все возможные строки символов на всех возможных языках, включая счётно бесконечные последовательности, общее количество строк окажется несчётно бесконечным. Теперь уже не имеет значения, написаны эти строки буквами, иероглифами, числами, пикселями или двоичным кодом — в любом случае их множество будет несчётно бесконечным. И оно превысит по мощности полный репертуар универсальной машины Тьюринга — всё, что она в принципе может вычислить.
Дело в том, что теорема Кантора накладывает жёсткое математическое ограничение на возможности любого человеческого или машинного языка. Из неё следует фундаментальный принцип: множество описаний всегда меньше, чем бесконечное множество описываемых объектов. Любой язык, который мы можем придумать (естественный язык, язык математических формул, код программирования или язык графических схем), состоит из конечного алфавита, а любое описание, фраза, формула или текст в этом языке — это строка конечной длины. Количество всех возможных конечных строк, которые можно составить из конечного алфавита, всегда счётно. Количество вычислимых бесконечных строк тоже счётно. Но бесконечная случайная строка (где биты не подчиняются никакому правилу или формуле) не является описанием для человека или компьютера. Чтобы прочитать такое описание, вам потребуется бесконечное время. А множество всех возможных битовых строк, включая бесконечные — пространство Кантора — является несчётно бесконечным континуумом, как и множество всех действительных чисел. Поэтому никакая алгоритмическая языковая модель не сможет охватить эту бесконечность. Большинство бесконечных бинарных последовательностей не имеют конечного алгоритмического описания.
Но у Борхеса есть ещё одна интересная вещь, которая превосходит Вавилонскую библиотеку по мощности. Это Книга песка, описанная в одноимённом рассказе и названная так, «потому что она, как и песок, без начала и конца». Книга песка представляет собой континуум из бесконечного числа бесконечно тонких страниц. Когда вы открываете её, между двумя страницами всегда вырастают новые. У неё нет первой и последней страницы: сколько не листай, каждый раз между корешком и первой страницей находится ещё несколько. Она не просто содержит все тексты — она непрерывна и динамична. Она вмещает в себя не только комбинации из конечного алфавита символов, но и все возможные языки, алфавиты, геометрические фигуры и логики, постоянно пересобирая саму себя. Пожалуй, лучшего представления Гиперхаоса Мейясу не найти. Только у Мейясу эта книга не континуальна, а число её страниц превосходит любое бесконечное множество и не может быть представлено как тотальное целое. Но суть в том, что мы никогда не можем предсказать содержание следующей страницы, на какой бы странице мы ни находились. Даже если до сих пор мы читали один и тот же роман длиной миллиарды страниц, он может в любой момент оборваться и смениться новым повествованием.
Гиперхаос Мейясу
Всё, что было сказано выше, относилось к нашему языку, а не к реальности как таковой. Неважно, даём мы описание словами или математическими символами, но это будет только карта, а не сама местность. Биты, числа, буквы, пропозиции, положения дел, возможные и невозможные миры — всё это не более чем текст. Но реальность богаче любого текста, даже тривиального набора всех возможных строк. Конечно, сторонники парадигмы «всё из бита», цифровой физики и гипотезы Вычислительной Вселенной не согласятся с этим тезисом, но при всём желании им не обойти ограничения, установленные теоремами Кантора, Гёделя и Тьюринга. Даже если принять гипотезу Математической Вселенной Макса Тегмарка, приравняв физическое существование к математическому существованию и провозгласив реальностью класс всех изоморфных математических структур, мы не выберемся из прокрустова ложа математики нашего мира. И предельный мультивёрсный платонизм, в котором все возможные формальные системы с самосогласованными аксиомами соответствуют физически реализованным вселенным, исключает огромную категорию логически невозможных противоречивых миров.
Стороник Мейясу (если таковые вообще имеются) может сказать, что наша бесконечная фрактальная конструкция из множества математических миров — это возвращение к тотальному целому догматической философии, не имеющая ничего общего с абсолютным Гиперхаосом. Для спекулятивного реалиста вся эта аналитическая метафизика возможных или невозможных миров не говорит ни слова о реальности, но лишь о наших моделях и описаниях. Она остаётся внутри корреляционистского круга, запрещающего с помощью языка и мышления говорить о том, что находится за пределами языка и мышления. Значит мы не вышли к Великому Внешнему, а размножили корреляционные тюрьмы Канта до бесконечности, как это сделал Грэм Харман в своей объектно‑ориентированной онтологии или Ален Бадью в своей «Логике миров». В статье «История и событие у Алена Бадью» Мейясу пишет:
«Представьте бесконечный „энциклопедический“ язык, способный назвать и размежевать бесконечное число свойств: в таком случае, утверждает онтолог (он же математик), для этого языка будет существовать множество, которое он не сможет поименовать, потому что оно будет состоять из „немного всего подряд“ (Бадью): из „а“, но также из „не а“ (в таком случае, а не может характеризовать это множество), из „б“, но также из „не‑б“, и так до бесконечности. Истина представлена подобным бесконечным множеством, она всегда грядёт и дырявит всякое знание, будучи результатом тщательной верности безграничным последствиям события»
Но сам Мейясу отрицает существование такого тотального множества, поскольку оно неизбежно противоречиво (парадоксы Кантора и Рассела). Грэм Прист возразил бы, что в его параконсистентной логике парадокса это не проблема, на что Мейясу хитро отвечает:
«…даже если есть такие математические аксиоматики, в которых мыслим отказ от трансфинитного или от невозможности множества всех множеств, это не означает, что не‑Всё является одной возможностью среди многих. Это не должно означать, что могут существовать одни миры, где возможное можно тотализировать, и другие миры, где это невозможно. Следует установить, что только те математические теории, которые подтверждают не‑Всё, имеют онтологическую действенность — в то время как другие, которые подтверждают мыслимость Всего, будут иметь только онтическую значимость. Тотальность, о которой говорят, или нетотальность, которой они отказывают в праве на существование, выдают тот факт, что они описывают только тотализируемое сущее, тотализируемый мир, но не бытие миров, которое нетотализируемо»
Это касается не только параконсистентной логики, отрицающей закон непротиворечивости, но и тривиализма, отрицающего закон тождества:
«Если это также не‑это — разрыв с принципом тождества — то всё необходимо, поскольку оно изначально оказывается чем угодно. Вещь, нарушающая своё тождество с собой, больше не может изменяться или погибать, поскольку она уже является тем, чем она не является (тем, что находится вне её тождества), на протяжении всей вечности: её небытие тождественно её бытию. Онтологизированное противоречие — как показано в гегелевской диалектике — является гарантией необходимого бытия, неспособного к самоизменению, потому что оно всегда‑уже является своим другим. То же самое относится и к принципу тождества: если то, что есть то‑то и то‑то, отклоняется от того‑то и того‑то, то детерминация — то, что определяет всё как то, что оно есть, — нарушается, и всё уже является тем, чем оно не является. По сути, метафизика достигает кульминации в оспаривании принципов тождества и непротиворечия»
Метафизика бывает не только идеалистической, как у Гегеля, но и материалистической, как диалектический материализм, Математическая Вселенная Тегмарка, Рулиада Вольфрама и модальный реализм Льюиса. Чтобы избежать бесконечного регресса в поиске первопричины и достаточного основания всего сущего, они постулируют абсолютную необходимость некоторой мыслимой сущности, способной служить основанием и самой себя: монотеистического Бога, Абсолютного духа, законов физики, вечной математической структуры, формальной логики или предзаданного множества логически возможных миров. Но догматическая метафизика не способна объяснить, почему именно такой порядок вещей необходим, а его альтернативы — ошибочны. Тем не менее, опровергая абсолют Гегеля, Мейясу признаёт:
«Противоречивое бытие совершенно необходимо. Вот почему христианский Бог одновременно и то, чем он является — Отец, бесконечный и вечный, и то, чем не является — Сын, человек и смертный. Если вы хотите помыслить что‑то необходимое, подумайте об этом как противоречивом — без какой‑либо инаковости, без чего‑либо вовне, чем абсолют мог бы стать. Именно поэтому, в конечном счёте, гегельянский абсолют в сущности противоречив: поскольку Гегель понял, что бытие, по‑настоящему необходимое, такое как абсолют, было бы и тем, что оно есть, и тем, чем оно не является, — оно должно было бы иметь внутри себя то, что снаружи. Такой абсолют не имел бы инаковости, следовательно, был бы вечным (но это была бы, конечно, противоречивая вечность, которая не имеет становления вне себя — вечность, содержащая в себе вечное становление, вечно проходящее в вечность)»
Вместо метафизического Абсолюта Квентин Мейясу предлагает спекулятивный Абсолют — Гиперхаос, или контингентность всего сущего. Единственное, что абсолютно — то, что нет ничего абсолютного, кроме этого утверждения. Единственное, что не может быть иным — само правило, что всё может быть иным. Гиперхаос рационален, иначе мы не могли бы его помыслить. Но рационален он безосновно, что предъявляет определённые требования к сущности, какой она должна быть, чтобы оставаться контингентной: непротиворечивость, тождество самой себе и невозможность небытия. Каждая конкретная сущность, включая каждый отдельный мир, должна быть контингентной и непротиворечивой. Мейясу отказался от принципа достаточного основания, но вместе с контингентностью абсолютизировал принципы непротиворечивости и тождества, а также математику как единственное средство познания Абсолюта. Необходимость контингентности накладывает жёсткие ограничения на контингентное сущее: оно должно быть непротиворечивым и тождественным самому себе. Если бы вещь была противоречивой (например, одновременно была A и не‑A), она уже содержала бы в себе иное и не могла бы стать чем‑то другим. Но благодаря Хамкинсу и Присту мы теперь знаем, что противоречивое в одном мире с его классической логикой может оказаться непротиворечивым в другом мире с его параконсистентной логикой.
Закон непротиворечия отсекает гигантский пласт логически и математически невозможных состояний, которые в принципе возможны в рамках другой логики и математики. Так, диалетическая логика Грэма Приста позволяет деабсолютизировать контингентность и признать существование противоречивого неконтингентного сущего. Диалетизм допускает существование истинных противоречий (диалетей), подчиняющихся параконсистентной логике. Тривиализм идёт ещё дальше и полностью отменяет законы непротиворечивости и тождества. Это приводит к логическому коллапсу: различения истинного и ложного больше нет, все пропозиции истинны. Реальность содержит абсолютно все возможные и невозможные состояния одновременно. Отказ от закона тождества стирает саму возможность однозначно указать на объект: любое слово теперь означает всё и одновременно ничего. Тривиализм снимает любые запреты, которыми скован Гиперхаос Мейясу, чтобы оставаться тождественным себе. Но что, если эти модели не исключают, а дополняют друг друга, действуя на разных уровнях? Быть может, изображение, которое издалека выглядит как тривиальный белый шум, при более детальном рассмотрении является множеством наложенных друг на друга непротиворечивых математических структур?
Контингентность Мейясу является необходимым требованием к отдельному миру и каждой вещи в этом мире: чтобы мир мог существовать, он должен оставаться самосогласованным и способным перейти в нечто иное без достаточного на то основания. Теоретико‑множественный мультивёрс Хамкинса включает только непротиворечивые миры, где истинны и необходимы базовые аксиомы ZF, но делает контингентными независимые от неё математические утверждения (континуум‑гипотеза, сильно недостижимые кардиналы). Модальная логика мультивёрса работает на реляционном уровне межмировых отношений, где миры достижимы или недостижимы, возможны или невозможны один относительно другого. Здесь два мира могут быть взаимно противоречивы, если в одном истинно A, а в другом истинно не‑A. В диалетизме Грэма Приста семантическая оценка суждения A на всём множестве, подмножестве миров или в одном конкретном мире может выдавать истинность как самого суждения, так и его отрицания — противоречие (диалетею). Противоречие локализовано в невозможных мирах или как распределение противоположных истин по разным математическим мирам. Если у Хамкинса в мультиверсе контингентны высшие бесконечности, но логика остается классической, то у Грэма Приста контингентна сама логика. Но взамен жесткой логической необходимости приходит строгая металогическая необходимость — правило нетривиальности, благодаря которому парадоксы не превращают философию в бессмысленный белый шум. Наконец, на глобальном уровне мы имеем тотальную полноту всех возможных и невозможных миров — тривиализм фактов, где истинно абсолютно всё. Если диалетеизм утверждает, что только некоторые противоречия истинны, то тривиализм утверждает, истинны все противоречия.
В предыдущей статье «Многомировая природа контингентности» я показал, что из каждого мира есть ненулевая вероятность перейти в любой другой достижимый мир, в том числе и мир с другой физикой (в результате распада ложного вакуума), что было бы неотличимо от изменения физических законов в силу их контингентности. Но, вопреки заявлению Мейясу, вероятность такого перехода можно рассчитать, поскольку она является функцией взаимного сходства (отличимости) миров — меры ветвей мультивёрса. Параллельные миры Эверетта гораздо ближе к нашему, чем инфляционные миры с другими константами или логически возможные миры с другими законами физики. Это значит, что вероятность оказаться в будущем в иной эвереттовской версии нашего мира с немного большей энтропией значительно выше, чем вероятность оказаться в мире с иными значениями физических констант или вообще в мире с другой физикой. Теперь мы можем предположить, что вероятность оказаться в мире с другой математикой — например, в другой теоретико‑множественной вселенной Хамкинса — тоже не равна нулю, но она определённо ниже вероятности перечисленных выше исходов. Это был бы уже 5-й уровень мультивселенной по Тегмарку (миры с другой математикой), но, поскольку 1-й и 3-й уровни (пространственный и эвереттовский) в его иерархии фактически совпадают (об этом шла речь в статье «Иерархия мультивселенных»), мы предлагаем собственную иерархию уровней контингентности:
1 уровень — контингентность состояний при фиксированной физике — возможность иного развития событий из одних и тех же начальных условий, недетерминированность событий — параллельные миры Эверетта.
2 уровень — контингентность физических констант — возможность иных начальных условий и распада ложного вакуума с изменением констант — инфляционная мультивселенная.
3 уровень — контингентность физических законов — математическая вселенная Тегмарка и модальный реализм Льюиса.
4 уровень — контингентность математики — возможность иной математики и логики в мирах с другой физикой, изменение самой структуры модальности (что считать возможным) — семантика невозможных миров, теоретико‑множественный мультивёрс Хамкинса.
Уровни контингентности можно представить в виде вложенных друг в друга концентрических сфер, подобно тому, как в семантике Крипке есть вложенные сферы логически необходимых, физически необходимых, физически возможных и логически возможных миров. Аналогично и невозможные миры можно выстроить в «иерархию невозможности» как градацию: физически невозможные миры, слабо противоречивые (например, мир, где закон сохранения энергии нарушается локально), сильно противоречивые (мир, где одновременно истинно и ложно одно и то же утверждение), тотально противоречивые (мир, где логика полностью рушится). Это напоминает параконсистентные логики, где допускаются разные уровни противоречий. Однако «степень инаковости», «мера реальности», возможность и невозможность других миров определяется относительно физики и логики нашего актуального мира, что является формой корреляционизма. Как же преодолеть эту относительность и охватить мультивёрс целиком? Выстроить иерархию возможных и невозможных миров для каждого мира с его физикой и математикой.
Я предлагаю модель математического мультивёрса как реляционную структуру Крипке или бесконечную Вавилонскую библиотеку миров, каждый из которых является возможным или невозможным, осмысленным или случайным, достижимым или недостижимым относительно каждого другого мира. В этой контингентности может быть бесконечно много разных структур, и ни одна из них не лучше и не равнее другой. В каждом из миров свои законы физики и как следствие своя математика, которая создаёт своё множество возможных миров, невозможных по отношению к нашему. А в тех мирах будет совсем другая физика и как следствие совсем другая математика, порождающая своё множество возможных миров, невозможных по отношению к возможным по отношению к нашему, и так далее. Таких уровней мультивёрсов будет не меньше, чем уровней бесконечности Кантора, и эту иерархию никак нельзя упорядочить в единое множество всех мультивёрсов. Более того, если всё контингентно, то и сама иерархия может быть иной.
Возможно, существует бесконечная иерархия уровней контингентности, по аналогии с иерархией множеств Кантора и иерархией оракулов‑омег Хайтина. Например, константа Хайтина Омега алгоритмически случайна, но возможна ещё более случайная Ω', Ω'' и так далее. После Ω возникает иерархия относительных горизонтов вычислимости: к оракулу можно применять оператор Тьюринга, получая строго более высокий вычислительный степень. Аналогично может быть бесконечно много уровней контингентности между необходимостью и абсолютной случайностью. Но как Омега Хайтина принимает разные значения в зависимости от формального языка и теоретико‑множественной вселенной, так и контингентность по‑разному проявляет себя в разных мирах: то, что является противоречивым и совершенно случайным в нашем мире, может быть самосогласованным и детерминированным в другом мире, и наоборот. Всё может быть иным бесконечным числом способов, а каждая из этих возможностей тоже может быть иной бесконечным числом способов, и так далее. Получается бесконечный регресс, которым Мейясу доказывает абсолютную необходимость контингентности: её невозможно деабсолютизировать, не возведя снова в Абсолют. Если мы попытаемся деабсолютизировать утверждение «нет ничего абсолютного, кроме этого утверждения», не впадая в догматизм, мы вынуждены абсолютизировать утверждение о его деабсолютизации, и так до бесконечности. Однако это не мешает самой контингентности быть контингентной.
Онтологический тривиализм?
Теперь попробуем доказать, что все эти формальные системы имеют отношение к объективной реальности, а не к субъективной корреляции бытия и мышления. Можно ли перенести тривиализм из плоскости языка и текстов в плоскость физической и абстрактной реальности? Возможен ли не языковой (синтаксический) тривиализм, а тривиализм бытия? Как мы можем выйти за рамки дискретного синтаксиса и репертуара универсальной машины Тьюринга? Нужно как минимум отказаться от строк, состоящих из отдельных символов. В конце концов, бит является минимальной единицей информации, но не математики. Далеко не все математические структуры можно свести к битам. Чтобы заявить о существовании бита, вам уже нужно иметь систему из двух различимых состояний и концепцию выбора между ними. Это сложнее, чем взять один знак и бесконечно его итерировать, как делает теория множеств со знаком пустого множества (фигурные скобки), из которого можно построить почти всю математику. В чистой логике аналогом пустого множества является «ложь» (оператор NOT), в некоторых системах из одного только вентиля NOT и операции импликации можно вывести все остальные логические операторы. Но это всё ещё классическая логика «всё из бита», ограниченная пределом Тьюринга.
А если принять парадигму «всё из кубита»? Мы можем вслед за Дэвидом Дойчем рассматривать (мульти)вселенную как единый квантовый компьютер, вычисляющий одновременно все свои возможные состояния (параллельные миры Эверетта) в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Физическая реальность в этой картине мира состоит из кубитов, их запутанность порождает пространственно‑временной континуум, законы физики — это квантовые алгоритмы, а математика становится подразделом физики: доказательство истинно только потому, что его можно физически смоделировать и проверить на квантовом компьютере. На первый взгляд переход от битов к кубитам значительно расширяет сферу возможного, ведь один‑единственный кубит потенциально содержит в себе бесконечное (континуальное) количество состояний, определяемых комплексными амплитудами (сфера Блоха), а запутанность множества кубитов позволяет смоделировать любую физическую систему. Бесконечный регистр кубитов в состоянии суперпозиции содержит в себе не просто все строки битов, но и все волновые функции всех возможных вселенных, непрерывные спектры энергий, иррациональные матрицы и любые немыслимые физические корреляции. Так может, Мультивёрс Эверетта — это и есть искомый нами онтологический тривиализм — тривиализм кубитов?
Нет. Кубиты — это объекты, подчинённые строгим физическим законам (унитарной эволюции по уравнению Шрёдингера). Даже если к ним сводится вся физика нашего мира (что пока ещё не факт), к ним нельзя свести немыслимые или логически противоречивые сущности, а также физику других, неквантовых миров. Квантовый компьютер не может вычислить то, что нарушает саму квантовую логику. Абсолютный хаос или системы с невычислимой бесконечностью высших порядков не помещаются в кубитную архитектуру. Хотя состояние задаётся непрерывными параметрами, извлечь из одного кубита бесконечное количество информации невозможно — при измерении он всегда коллапсирует в классический бит 0 или 1. Можно помыслить систему «невозможных кубитов», где нарушаются сами правила квантовой суперпозиции (например, где сумма вероятностей больше 1), или сверхквантовые физические модели с корреляциями Белла больше 2√2, но они требуют принципиально иной физики. Кроме того, Дэвид Дойч доказал, что класс вычислимых функций у классического и квантового компьютеров одинаковый, различается только скорость выполнения тех или иных задач. Всё, что вычислимо на кубитах, может быть вычислено и на битах, при наличии бесконечного времени или памяти. Но универсальная машина Тьюринга остаётся алгоритмической моделью, охватывающей далеко не всю математику. Даже универсальная волновая функция Эверетта является формальной системой, на которую распространяется теорема Гёделя о неполноте. Как же преодолеть предел Гёделя и Тьюринга?
Для выхода за пределы Тьюринга необходимо изменить не тип физического носителя, а математическую модель вычисления. Гипервычисление появляется тогда, когда модели предоставляется ресурс, недоступный обычной машине Тьюринга: например, оракул, точное обращение с определёнными невычислимыми объектами или трансфинитные стадии вычисления. Чтобы сделать систему ещё тривиальнее, нужно убрать мета‑правила теории алгоритмов: требования счётности алфавита и числа шагов машины Тьюринга. Если мы перейдём от дискретных вычислений к непрерывным, множество программ становится несчётно бесконечным континуумом, а наш цифровой или квантовый компьютер — аналоговым гиперкомпьютером наподобие машины BSS. В реальном мире такая машина скорее всего невозможна из‑за предела точности измерения, но её абстрактная модель вполне самосогласована, а значит реализуема в каких‑то возможных мирах. В этих мирах тривиальная Вавилонская библиотека включала бы не только все книги и битовые строки, но и все возможные вещественные числа, все непрерывные траектории физических частиц, все фракталы и любые непрерывные функции. Но даже континуум действительных чисел не даёт возможности описать множество всех кривых на плоскости — для этого нужен гиперконтинуум. А если пространство бесконечномерно, и множество его измерений превышает гиперконтинуум? Более того, мы не знаем, какие ещё математические и физические объекты появятся в будущих теориях. Возможно, математики изобретут новые классы бесконечностей, а физики откроют новые «кирпичики» мироздания: струны, браны, петли, причинные множества и так далее. Значит, нам нужно абстрагироваться от конкретных объектов и подобрать мета‑теорию, применимую в любом мире с любой физикой и математикой.
В чём суть онтологического тривиализма? Если классический тривиализм говорит, что любое утверждение истинно, то онтологический тривиализм утверждает: абсолютно любой объект, который можно помыслить, назвать или описать, а также немыслимый и невозможный, тривиально существует в реальности. Такое ультра‑мейнонгианство стирает грань между мыслью и реальностью: любой противоречивый, невозможный или вымышленный физический предмет обладает точно таким же онтологическим статусом и существованием, как обычный камень на дороге. Любая фантазия, любая невозможная геометрия и любой парадоксальный объект существует, потому что реальность не содержит барьеров, запрещающих чему‑либо существовать. Но здесь возникает вопрос: а что именно мы подразумеваем под «всем»? Что может быть переменной X, которой приписываются кванторы всеобщности и существования? В мейнонгианстве и семантическом тривиализме мы объединяли все свойства и пропозиции, в синтаксическом тривиализме — все строки букв, в вычислительном тривиализме — строки (ку)битов. А что входит в область квантификации онтологического тривиализма?
Нам нужно найти максимально обобщённое понятие, под которое подойдут все физические и математические сущности. Это не могут быть биты или кубиты, поскольку ими невозможно выразить невычислимые бесконечности высших порядков и логические противоречия. Можно воспользоваться термином «объект», как делают объектно‑ориентированные онтологи. Однако объект обычно является предметом мысли субъекта и имеет границы, отделяющие его от других объектов. В случае же онтологического тривиализма, отрицающего принципы непротиворечивости и тождества, всё тождественно всему, поэтому никаких границ нет. Философ Ричард Руднер и логики мейнонгианского толка указывали, что понятие «нечто» (англ. Something, лат. Quid) шире, чем «объект». В средневековой философии таким максимально обобщённым термином была «вещь» (лат. Res), под которой понимали не материальный предмет и не кантовскую «вещь в себе», а буквально что угодно, если оно не является абсолютным ничто. Однако объект, нечто или вещь не могут быть ничем, а ничто — вполне законный предмет для онтологического тривиализма. Термин «сущность» нам тоже не подходит, поскольку сущее должно быть контингентным и непротиворечивым, а бытие такими рамками не сковано. В неклассической логике (например, в интенсиональных логиках) используется понятие «терм» (значение без референта). Это пустое место в логической матрице, куда можно подставить всё что угодно — от атома водорода до «квадратного круга, который пахнет четвергом».
Здесь на помощь приходит теория категорий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Не имеет значения, что мы используем в качестве объектов, это может быть буквально всё что угодно. Главное — стрелки (морфизмы) между ними. Теория категорий остаётся формальной системой и подчиняется гёделевским ограничениям: должны существовать задаваемые аксиоматически объекты, морфизмы, тождества и композиция. Поэтому категория не является произвольным контейнером абсолютно всего, но её инструмент — теория топосов — вместо дихотомии «доказуемо/недоказуемо» строит пространства, где истинностных значений может быть бесконечно много (как в интуиционистской логике), или внутри топоса истина может быть представлена элементом классификатора подобъектов. Топосы позволяют рассматривать логику как внутреннее свойство некоторого мира, а не как единственную внешнюю логику, которой обязаны подчиняться все возможные структуры.
Как помыслить абсолютное пространство, включающее все физические объекты, математические сущности, понятия и бессмысленные строки, известное и неизвестное, мыслимое и немыслимое — вообще всё? Совокупность абсолютно всех объектов, включая противоречивые, не может быть множеством из‑за парадоксов Кантора, Рассела и Бурали‑Форти. Более общие понятия универсума фон Неймана (множества всех множеств) и универсального класса (класса всех классов) в расширенных теориях множеств NBG или Морса‑Келли тоже не подходят, потому что они включают только непротиворечивые сущности. В теории множеств TG (Тарского‑Гротендика) есть аксиома Гротендика, которая утверждает, что для любого множества существует содержащий его универсум Гротендика — фиксированное множество‑гигант, внутри которого замкнуты все стандартные математические операции (взятие подмножеств, декартовых произведений, объединений). Оно содержит в себе множества, их подмножества, группы, топологические пространства и категории, позволяя проводить над ними любые операции, не выходя за рамки универсума.
В теории категорий есть понятие космоса (категории всех категорий) и лестницы универсумов Гротендика. Кумулятивная иерархия (башня) всех множеств, классов, типов, категорий, космосов и универсумов называется Сверхвселенная (Superuniverse) или универсум всех универсумов. В этой концепции каждый конкретный универсум Гротендика — это лишь один из крупных островов или локальных миров внутри бескрайней мультивселенной, где действуют разные математические законы и гипотезы. Получается эдакий платонизм++: иерархия универсумов (математические плюс метаматематические истины, семантические или индексные факты), которые не сводятся к структурам на уровне объектов. Но за её пределами останутся Абсолютная бесконечность Кантора, логически невозможные объекты вроде круглого квадрата (истинные противоречия), истинные неопределённости и немыслимые объекты. Если мы допустим множество противоречащих друг другу формальных универсумов, мы получим теоретико‑множественный мультиверсум Хамкинса, универсум паранепротиворечивой логики Приста и семантику невозможных миров. Если обобщить метод Хамкинса на классы, группы, категории и другие математические понятия, мы получим категориальный мультивёрс — совокупность всех возможных универсумов, каждый из которых имеет свою внутреннюю логику, наборы множеств и категорий.
Но ни Хамкинс, ни Прист, ни теория категорий не дают инструмента для формализации мультивёрса как абсолютного тотального целого. Не существует такого математического объекта, как «универсум всех универсумов» или «категория всех категорий», содержащего буквально всё и решающего проблему абсолютной тотальности. Здесь математика заканчивается, остаётся одна философия. В онтологии для обозначения абсолютно всего используется термин «тотальность», или Абсолютная полнота (Absolute Plenitude). Также есть неформальное понятие Омниверсума (Omniverse), обозначающее совокупность всех возможных и невозможных реальностей, логик, математик и нарративов, а также противоречивых, немыслимых и неструктурируемых сущностей. Совокупность всех формальных систем (все возможные законы, логики, металогики) не является формальной системой, но её можно рассматривать как тривиальный супернабор — пространство всех описаний (все последовательные и противоречивые повествования, формальные и неформальные модели). Сам омниверсум не является множеством, классом, категорией или универсумом. За его пределами не может быть ничего, так как само это «ничего» (как концепт абсолютной пустоты или небытия) уже автоматически находится внутри него.
Фрактальный лес Хофштадтера
В статье «Теоремы Гёделя, Тьюринга и Хайтина» я показывал картинку с двумя деревьями, на которой Дуглас Хофштадтер изобразил математику в виде двух деревьев. Белое дерево математических истин состоит из теорем (ветви), растущих из аксиом (ствол), а чёрный фон — это недостижимые из аксиом предложения, включая гёделевские истины. Чёрное дерево состоит из отрицаний теорем (ветви) и отрицаний аксиом (ствол), а белый фон — это недостижимые ложные высказывания. Все гёделевские утверждения либо истинны (слева), либо ложны (справа), но граница между чёрным и белым невычислима, как фрактальная кривая или длина береговой линии. Весь рисунок является лишь малой частью более широкого множества правильно построенных формул (грамматически правильных утверждений), а те в свою очередь является лишь малой частью множества всех возможных строк.
Визуальная метафора Хофштадтера изображает формальную теорию как пространство, разделённое между тем, что система способна вывести, и тем, что находится за пределами её дедуктивного аппарата. Для каждой конкретной формулы стандартная семантика может определять её истинностный статус, тогда как формальная теория может не уметь этот статус доказать. Если мы будем использовать другие языки программирования и другие формальные системы, они образуют собственные деревья теорем и границы между истинным и ложным. Можно наложить эти деревья друг на друга и тем самым охватить все математические утверждения, построив полную, но противоречивую систему: совокупность локально непротиворечивых формальных систем, глобально несовместимых друг с другом. Если снять какие‑либо формальные правила синтаксиса, мы получим неупорядоченное множество всех возможных строк — Вавилонскую библиотеку, или полный репертуар машины Тьюринга. Чтобы выйти за предел Тьюринга, нам нужно снять ограничение на количество символов в алфавите и количество строк. Так мы получим пространство Кантора — несчётную бесконечность действительных чисел, каждое из которых состоит из счётно бесконечного количества цифр. И это только первые два уровня бесконечности. А всех уровней иерархии Кантора бесконечное даже не множество, а собственный класс, который больше любого кардинального числа.
Теперь представим, что каждая точка рисунка — это не математическая формула, а отдельный возможный мир — набор слов или строка битов, описывающая некоторое положение дел. Всё остальное остаётся в силе: для каждого мира будет своё белое дерево логически возможных миров, своё чёрное дерево невозможных миров и свой фон из миров, возможность или невозможность которых недоказуемы. Если наложить друг на друга деревья каждого из этих миров, мы сможем охватить все математические структуры и строки битов. Получится что‑то вроде Математической Вселенной Тегмарка или Рулиады Вольфрама, только войдут туда как возможные, так и невозможные (по отношению к нашему) миры. Можно условно представить полноту математики как бесконечный лес из фрактальных деревьев Хофштадтера, покрывающих всё пространство математических истин только накладываясь и противореча друг другу. Наложение деревьев Хофштадтера друг на друга образует параконсистентную, не‑тотализируемую, децентрализованную фрактальную сеть, в которой любой запрет и любое правило локальны и контекстуальны (реляционны).
Теоретико‑множественный мультивёрс Хамкинса превращает плоскую двумерную картинку Хофштадтера в трёхмерный лес параллельных и переплетающихся деревьев, которые ветвятся во все стороны с помощью форсинга. Гёделевский фон исчезает как абсолютное понятие: для каждого дерева будут свои недостижимые истинные высказывания, из которых вырастают новые деревья. Можно переходить из белого дерева одного мира в чёрное дерево другого через «мосты» или «кротовые норы» форсинга.
Диалетизм Грэма Приста — это сад, где в некоторых местах белые и черные листья растут из одного и того же узла, но остальная часть сада при этом остается упорядоченной. Белое и черное деревья больше не изолированы друг от друга, их ветви переплетаются, срастаются и образуют общие узлы (прививки). Недостижимые гёделевские высказывания становятся серыми «мостами», соединяющими ветки белого дерева (теоремы) с ветками чёрного дерева (отрицания теорем), образуя замкнутую петлю. Это напоминает картину Эшера, где корни одного дерева являются кроной другого.
Тривиализм превращает картинку в сплошную серую массу веток, где каждый пиксель одновременно белый и чёрный, или в беспорядочный белый шум. Больше нет ни деревьев, ни гёделевских предложений, пространство смыслов коллапсировало в логическую сингулярность. Тривиализм пропозиций уничтожает семантику и логическое различение истины и лжи (деление на чёрное и белое), а тривиализм языка уничтожает синтаксис и какие‑либо сложные структуры.
Теория категорий преображает статичный рисунок в динамичную интерактивную сеть (граф). Между белым деревом (истина) и чёрным деревом (ложь) появляются многочисленные нити и стрелки. Деревья (формальные теории) рассматриваются как объекты, а логические операции между ними (например, отрицание) — как функторы (отображения, сохраняющие структуру). Белое дерево непрерывно «отражается» или деформируется в чёрное с помощью этих стрелок (морфизмов). Каждый узел, ветка и лист на деревьях превращаются в активные порталы или перекрёстки со стрелками. Вместо изолированных формул на ветках появляются новые категории, внутри которых есть собственные фрактальные деревья. Границу между элементом (веткой) и системой (деревом) стирается: дерево может быть веткой другого, еще более масштабного дерева (категория всех категорий). Фон становится упорядоченным непрерывным пространством (ландшафтом), покрытым координатной сеткой из стрелок, показывающих, что «недостижимые» зоны — это просто пространства с другой, более сложной формой логики (например, где истинность утверждения меняется непрерывно, как на топологической поверхности). Теория категорий не пытается «прорубить дедуктивный путь» от корня к изолированному гёделевскому утверждению, а строит вокруг этого утверждения новую локальную геометрию (новый топос). Топос позволяет снабдить определённую категорию собственной внутренней логикой, которая может отличаться от классической логики множеств. Логические законы перестают быть единым внешним фоном и становятся частью структуры конкретного мира.
Так мы обобщили визуальную метафору деревьев Хофштадтера с отдельной формальной системы (теории типов) на целый лес теоретико‑множественного мультивёрса Хамкинса, затем на диалетический сад Приста, на тривиальный белый шум и на категориальный мультивёрс. Здесь важно отметить одну закономерность: глобальная тривиальность не означает локальной тривиальности. Картинка‑стереограмма, которая издалека выглядит как тривиальный белый шум, по мере приближения становится множеством наложенных друг на друга математических деревьев. Белый шум олицетворяет абсолютно случайный Гиперхаос, но фактически содержит в себе всю возможную информацию, подобно Вавилонской библиотеке, которая среди бессмысленных строк содержит все осмысленные книги. Если хотите, считайте это геометрической моделью онтологического тривиализма: абсолютную полноту следует представлять не как один тотальный универсальный объект (множество всех множеств), а как иерархию наложенных друг на друга уровней контингентности или предельную сеть взаимных переходов между локальными логиками, моделями, структурами и способами бытия. Теория категорий даёт язык, в котором можно формализовать идею перехода от одного локального универсума к другому.
Вывод
В заключение мы можем упорядочить упомянутые в статье формальные модели по степени полноты:
Теория множеств ZFC (классическая логика, запрет противоречий)
Теоретико‑множественный мультивёрс Хамкинса (ограничен аксиоматикой ZFC). Каждое независимое от системы гёделевское утверждение является точкой ветвления теоретико‑множественных миров, в одном из которых оно истинно, а в другом — ложно.
Математический мультивёрс Тегмарка (включает все непротиворечивые математические структуры) и модальный реализм Льюиса (включает все непротиворечивые положения дел — возможные миры).
Диалетизм Приста (включает реальные противоречия, сохраняя структуру). Значительное сокращение недостижимых предложений за счёт признания истинности семантических парадоксов. Классическая двузначная логика (истина‑ложь) заменяется параконсистентной трёхзначной (истина, ложь и парадокс).
Тривиализм пропозиций (семантический предел для осмысленных суждений). Достижение полноты математической истины ценой полного уничтожения смысла и практической ценности. Больше нет деления на истинные, ложные и недостижимые предложения, все пропозиции равнозначны.
Тривиализм всех бесконечных строк (ку)битов (пространство Кантора, континуум). Уничтожение синтаксиса, больше нет деления на правильно построенные формулы и неправильные. Снимается ограничение на счётность алфавита и количество строк, преодоление счётного барьера Тьюринга.
Онтологический тривиализм (абсолютная полнота бытия). Выход за пределы языка и вычислительных моделей. Снятие любых ограничений. Внутренние свойства объектов больше не имеют значения, важны лишь отношения между ними.
Думаю, вы заметили, что чем сильнее мы обобщаем, тем бесполезнее становится наша теория. В пределе мы получим тривиальную совокупность всего, но это не тотальное множество всех множеств или мир всех миров, а скорее абсолютный Гиперхаос Мейясу — бессмысленный алгоритмически случайный белый шум, порождающий все осмысленные строки и конкретные физические объекты. В отличие от метафизиков, мы не постулируем единое необходимое сущее: Бога‑Вседержителя, субстанцию, математический универсум, высший закон или волновую функцию вселенной. В отличие от Мейясу, мы допускаем, что даже логика и математика контингентны. Настоящий некорреляционистский Абсолют не должен зависеть от нашей логики с математикой. Впрочем, контингентность математики не противоречит спекулятивному материализму, поскольку Мейясу считает необходимой только ту часть математики, которая исключает возможность тотального целого: иерархию бесконечностей Кантора, метаматематические теоремы Гёделя и вычислительную иерархию степеней Тьюринга — форсинг‑инвариантные метаматематические законы. Всё остальное может варьироваться, как показал Джоэл Хамкинс. Если контингентны даже сами правила форсинга, совпадающие с аксиомами модальной логики, то уже нельзя определить единственное пространство всех возможностей и невозможностей — это и есть нетотализируемое целое, о котором пишет Мейясу.
Я предложил модель Абсолютной контингентности как множества возможных и невозможных один по отношению к другому миров. Это множество миров противоречиво, неконтингентно (не может быть другим) и, следовательно, необходимо. Мир всех миров или множество всех множеств нельзя помыслить, они невозможны в любом мире, как и полная и непротиворечивая математика. Поэтому совокупность всех миров или положений дел не является ни множеством, ни классом, ни миром, ни каким‑либо ещё математическим объектом. Математический мультивёрс — это гигантская реляционная сеть всех возможных миров и формальных систем, где факты относительны. Как целое она тривиальна, но на уровне межмировых отношений её можно описать с помощью диалетизма и реляционной семантики Крипке, а каждый отдельный мир контингентен и непротиворечив в рамках классической или квантовой логики.
Каждая контингентная сущность — объект, мир, множество логически возможных миров, множество доказуемых теорем — реляционна по отношению к наблюдателю и его актуальному миру. Абсолютно независима от вашей локализации в мультивёрсе только сама контингентность, гарантирующая, что не существует системы отсчёта, в которой будут достижимы все миры или все математические истины. Мы не можем быть уверены на 100%, в каком именно из возможных миров с какими законами физики мы живём. Но по отношению к каждому возможному миру другие миры будут более или менее реальными, возможными или невозможными. Эти множества относительны и не фиксированы, по мере эволюции каждого мира его пространство достижимых миров изменяется. Невозможные миры тоже определяются относительно актуального и тоже могут быть разной степени невозможности. Необходимо только существование как всех возможных, так и всех невозможных миров, потому что их несуществование логически противоречиво. Миры структурируются относительно объективно актуального мира нашего существования, а не того мира, в котором мы думаем, что существуем. Пространства возможных и невозможных миров не фиксированы, они эволюционируют вместе с самими мирами.
Согласно тезису Чёрча‑Тьюринга, наше мышление ограничено счётной бесконечностью программ универсального компьютера. И мы можем помыслить его репертуар как тривиальное множество всех битовых строк или бесконечную Вавилонскую библиотеку. Если бы реальность была полностью вычислимой и познаваемой, этого было бы достаточно. Но реальность не сводится к одним битам, множество невычислимых сущностей как минимум несчётно. Что не мешает нам по аналогии представить его как тривиальный класс всех объектов, возможных или невозможных, мыслимых или нет, по аналогии с классом всех множеств (универсумом фон Неймана). Если включить не только все множества, но и классы, группы, категории, космосы и так далее, мы получим иерархию универсумов Гротендика или категориальный мультивёрс Хамкинса, допускающий другие математики. Если же полностью абстрагироваться как от объектов, так и от формальных языков, мы достигнем абсолютной полноты онтологического тривиализма. Это и есть настоящий, не имеющий границ Гиперхаос, в котором контингентно абсолютно всё, включая математику и логику.
