Структура математического мультивёрса: тривиализм Вавилонской библиотеки или Гиперхаос Книги песка?

[S_A]

Спасибо за такой объёмный труд, осилил все же...

Вот что упущено, на мой взгляд. Основания математики это здорово, но достаточно (со времен теоремы Геделя о полноте и проблемы остановки) - тупиково. Моё мнение, как практика, математика верна на свой R2 или accuracy, вот так вот просто.

Вся математика - это модель, а основания математики, это направляющие модели. Они просто шире необходимого, и то что есть противоречивые или недоказуемые утверждения, никак не запрещает иметь R2 или accuracy > 0.9.

Проблема остановки - это проблема модели, но никак не реального мира, в котором просто будет Ctrl+C. Короче говоря аксиоматический подход к математике ущербен, и как Арнольд (за)вещал, математика не менее правополушарна и экспериментальна, как что бы то ни было.

Пожытожу. Вся аксиоматика символьна. R2/accuracy действителен. Мера пользы математики - применимость, а не степень её объяснения всего. No Free Lunch короче, математика полезна в конкретных приложениях, и мера истинности не дискретна.

[dionisdimetor]

«Идея о том, что теоремы следуют из постулатов, не соответствует простому наблюдению. Если бы оказалось, что теорема Пифагора не следует из постулатов, мы бы снова искали способ изменить постулаты, пока она не станет истинной. Постулаты Евклида вытекают из теоремы Пифагора, а не наоборот» (Ричард Хэмминг, «Необоснованная эффективность математики»)

То есть мы подгоняем аксиоматическую модель под множество теорем, которые истинны в силу того, что применимы на практике в нашем мире, логика которого позволяет эти теоремы доказать. Но ни одна классическая модель не способна доказать все истины о реальном мире, а неклассические логики и тривиализм описывают не только наш мир, но и все возможные. Непрерывная байесовская мера истинности - это как раз инструмент уточнения того, в каком из возможных миров мы находимся.

[rudnyi]

>контингентность математики — это и есть та самая глупость, которую до меня ещё никто из философов не отстаивал

Декарт отстаивал контингентность математики, поскольку в противном случае нарушалось бы всемогущество Бога. В этом смысле Декарт утверждал, что всемогущий Бог мог бы сделать утверждение 2 + 2 = 4 ложным при тех значениях символов, которые мы знаем.

'Нет нужды и в том, чтобы доискиваться, каким образом Бог был бы в состоянии сделать от века так, чтобы дважды четыре не равнялось восьми и т. д. Я считаю, что постичь это нам не дано. С другой стороны, я правильно полагаю, что ни одна из сущностей, к какому бы роду она ни принадлежала, не может не зависеть от Бога и он легко мог устроить все таким образом, что мы, люди, не способны постичь возможность иного положения вещей, чем то, которое есть. Было бы противно разуму, поскольку мы не постигаем этой возможности и не замечаем, что должны ее постигать, если бы мы сомневались в тех вещах, кои мы правильно понимаем. Поэтому не следует считать, будто вечные истины зависят от нашего интеллекта или от других сущих вещей: они зависят от одного лишь Бога, который в качестве верховного законодателя установил их от века.'

У меня в блоге есть заметка 'Рене Декарт: 2 + 2 = 4 или всемогущество Бога?', куда собраны другие цитаты Декарта по этому поводу.

[dionisdimetor]

Картезианский Бог настолько могуч, что его даже теологи боятся) Поэтому пытаются наделить его ограниченным всемогуществом, чтобы он вроде бы как мог, но не хотел нарушать законы логики и математики, идти против собственной природы и т.д. Если же довести идею Декарта до логического финала, мы получим тривиальный Гиперхаос, не ограниченный никакими законами и допускающий даже иную математику. Абсолютная контингентность всего сущего, бесконечная энтропия белого шума и чистая квантовая случайность.