Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Данная статья скорее логическое продолжение моей статьи о балансере: «Создание робота балансера на arduino».
В ней будут очень кратко освещены: простая модель угловой стабилизации квадрокоптера с использованием кватернионов, линеаризация, построение управления для объекта и проверка его в Matlab Simulink, а так же проверка на реальном объекте. В качестве подопытного будет выступать Crazyflie 1.0.

Сейчас оно летает так (на момент съемок я не очень правильно выставил управление):

Построение динамической системы

Введем 2 системы координат: локальную, привязанную к земле, и вторую, связанную с коптером.



Вращение тела удобнее представлять, используя кватернионы, в связи с меньшим количеством необходимых вычислений. О них написано много статей, в том числе и на хабре. Я рекомендую к прочтению книгу «Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации», спасибо Slovak из центра компетенций MathWorks за подсказку.

Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения:

, где
— моменты, действующие на тело,
I — тензор инерции, а
— угловые скорости по главным осям(в связанной системе координат).
Таким образом:
.

В силу теоремы о приведении тензора инерции к главным осям, тензор инерции представим в виде: .

Внешние моменты определим через управления: , где


Таким образом, уравнения угловых скоростей в связанной системе координат:


Замечу, что если бы мы учитывали положение коптера, можно было бы не вводить отдельные функции управлений, а сразу использовать в качестве них силы тяги, что удобнее и быстрее при расчетах. В данном случае система стабилизации не имеет никаких данных о необходимой сумме сил тяги, поэтому необходимо использовать именно такие управления…

Сила тяги пропеллера может быть примерно описана как . Тогда уравнения можно записать через угловые частоты пропеллеров, если вы сможете управлять напрямую частотой моторов и знаете конкретное b:
где
— углы эйлера
Замечу, что подбор коэффициента b у меня произведен вручную, простым подбором.

Также необходимо выписать уравнение для кватерниона вращения. Из свойств кватернионов следует, что
, где являются угловыми скоростями в связанной с ЛА системе координат, в ней гироскопы измеряют угловую скорость [1].

Попробуем стабилизировать только углы и угловые скорости:


Или подробнее


Введем вектор пространства состояний:
.
Необходимо заметить, что если в вектор пространства входит компонента система перестает быть управляемой. Однако мы можем считать, что и убрать ее из вектора состояний, тем самым уменьшив количество координат [2].



Вектор управлений:
,

Система представима в стандартном виде

.

В нашем случае

, а

Линеаризация и построение управления

Линеаризируя систему вблизи начала координат получим следующие матрицы A и B:

,



Как и в прошлый раз используем линейно-квадратичный регулятор. Напомню команду Matlab для его расчета:

[K,S,e]=lqr(A,B,Q,R)

Матрицы Q и R являются весовыми матрицами. Q штрафует за отклонение от нуля, а R за расход энергии управлением.
В результате получили матрицу K. В моей матрице коэффициентов все недиагональные элементы были очень малы (порядка 10^-4) и я не стал учитывать их.
Напомню, что для получения управления необходимо умножить матрицу K на вектор X. Конечно, в коде можно не вводить понятие матрицы и просто умножить каждую координату на некоторый коэффициент для быстродействия.

Проверка модели

Для проверки полученных результатов была создана модель в Matlab Simulink. Запустим ее с ненулевыми начальными условиями.



Первый график показывает как ведут себя угловые скорости, второй — изменение составляющих кватерниона. Заметьте, что скалярная величина кватерниона приходит в единицу, не смотря на то, что она не входит в уравнения линеаризованной системы. Как видно из графиков — модель стабилизируется.

Код

Crazyflie использует систему Free RTOS, где весь код разбит на модули, нас интересует код sensfusion6.c и stabilizer.c.
К счастью, фильтрация показаний акселерометра и гироскопа производится в кватернионах, проблема заключается в том, что сенсоры на коптере расположены для + схемы. Модель же я рассчитывал для X схемы. Отличие заключается только в выборе управлений U1 и U2.



Необходимо добавить код получения кватерниона в sensfusion6.c:

void sensfusion6GetQuaternion(float* rq0,float* rq1,float* rq2,float* rq3){
  *rq0=q0;
  *rq1=q1;
  *rq2=q2;
  *rq3=q3;
}

Я не стал добавлять отдельный модуль для LQR регулятора, вместо этого я изменил stabilizer.c. Да, возможно, это и не самый интеллигентный способ, однако для проверки модели он подойдет.

Начать стоит с добавления переменных текущего и желаемого положения аппарата, а так же управлений:

static float q0Actual;
static float q1Actual;
static float q2Actual;
static float q3Actual;

static float q1Desired;
static float q2Desired;
static float q3Desired;

int16_t  actuatorU1;
int16_t  actuatorU2;
int16_t  actuatorU3;

Желаемое положение по q0 не указываем в силу того, что нам не нужно его стабилизировать.

Произведем изменения в код получения команд. Коптер получает угол в градусах, математически правильнее сделать так:

сommanderGetRPY(&q1Desired, &q2Desired, &q3Desired);
      q1Desired=cos((-q1Desired/2+90)*0.01745);//*3.14/180/2;
      q2Desired=cos((q2Desired/2+90)*0.01745);
      q3Desired=cos((q3Desired/2+90)*0.01745);

Изменим «быстрый» цикл (250Гц) стабилизатора:

sensfusion6UpdateQ(gyro.x, gyro.y, gyro.z, acc.x, acc.y, acc.z, FUSION_UPDATE_DT);
sensfusion6GetEulerRPY(&eulerRollActual, &eulerPitchActual, &eulerYawActual);
sensfusion6GetQuaternion(&q0Actual, &q1Actual,&q2Actual,&q3Actual);
sensfusion6UpdateP(FUSION_UPDATE_DT);
sensfusion6UpdateV(acc.x, acc.y, acc.z, FUSION_UPDATE_DT);

actuatorU1=50*(1*(-gyro.x)+245*(q1Actual-q1Desired));
actuatorU2=50*(1*(gyro.y)-200*(q2Actual-q2Desired));
actuatorU3=50*(1.5*(gyro.z)+0*(q3Actual-q3Desired));

Подбор коэффициентов произведен опытным путем, так как не было возможности узнать зависимость между посылаемой на моторы командой и силой, которую выдает мотоустановка.

Также я изменил функцию распределения мощностей моторов:

static void distributePower(const uint16_t thrust, const int16_t u2, const int16_t u3, const int16_t u4)
{
  motorPowerM1=limitThrust((thrust/4+u3/2+u4/4)*5);
  motorPowerM2=limitThrust((thrust/4-u2/2-u4/4)*5);
  motorPowerM3=limitThrust((thrust/4-u3/2+u4/4)*5);
  motorPowerM4=limitThrust((thrust/4+u2/2-u4/4)*5);

  motorsSetRatio(MOTOR_M1, motorPowerM1);
  motorsSetRatio(MOTOR_M2, motorPowerM2);
  motorsSetRatio(MOTOR_M3, motorPowerM3);
  motorsSetRatio(MOTOR_M4, motorPowerM4);
}

Заключение

Исходя из того, что коптер стабилизирует свои углы, можно заключить, что математическая модель разработана верно. К сожалению, пока нет возможности получать свои координаты и скорости (интегрирование акселерометра дает огромную ошибку), поэтому коптер не гасит начальную скорость и не возвращается в начальную позицию.
Для решения этой задачи MIT, например, использует камеры и метки на своих коптерах.

Дополнительные материалы и источники

1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. «Применение кватернионов в задачах ориентации»
2. Yaguang Yang «Analytic LQR Design for Spacecraft Control System Based on Quaternion Model»
3. Ветка модифицированной прошивки на github

P.S. К сожалению, не могу поделиться моделью, а так же рассказать о расширенной модели с автопилотом и координатной стабилизацией в силу того, что это является частью моего будущего диплома, а все дипломы теперь проверяются на новизну и антиплагиат.
P.P.S. Я публикую данную статью на хабре, а не на новом GT в связи с тем, что остальные мои статьи схожей тематики остались именно на хабре.