Метод конечных элементов на примере уравнения Пуассона

В данной статье мне хотелось бы изложить реализацию метода конечных элементов на примере уравнения Пуассона. Рассмотрим задачу:

с однородным краевым условием

где

Требуется найти функцию , решающую заданное уравнение.

Решение

Умножим начальное уравнение на функцию , непрерывную, кусочно непрерывно-дифференцируемую и равную на краях нулю, и проинтегрируем полученное уравнение по всей области .
После применения формулы интегрирования по частям, получим следующее уравнение

Введем на области квадратную сетку с шагом :

и каждый квадрат разделим диагональю, параллельной биссектрисе первого координатного угла:

Получим разбиение области на треугольные элементы — триангуляция области . Триангуляция такого типа называется триангуляцией Фридрихса-Келлера.

Будем искать приближенное решение данного уравнения как функцию , равную нулю на границе (краевое условие), непрерывную на области и линейную на каждом полученном элементе триангуляции.

Функцию можно представить в следующем виде:

где значения функций в точке определены следующим образом:

Подставив функцию в первое уравнение, осуществив преобразования и вынос констант из под знака интеграла, сведем задачу для каждой базисной функции к подсчету интегралов вида:

Значение интеграла может быть не нулевым лишь в том случае, если базисные функции под знаком интеграла имеют непустую общую область определения. По построению, каждый элемент имеет три вершины. Вершина может быть общей максимально для 6 треугольников:

с соответствующими значениями производных для каждого из 6 случаев:

После подсчетов интеграла уравнение с номером будет выглядеть следующим образом:

где

и при достаточно малом :

Следовательно, уравнение может быть переписано в следующем виде:

Добавив граничные условия, а именно:

получаем полную СЛАР, решая которую, находим значения функции в точках сетки.

Большое спасибо Р.З. Даутову и М.М. Карчевскому за прекрасную литературу!