Surgun 12 фев 2017 в 22:19

Исследование качественных особенностей динамики математических моделей нелинейных неавтономных систем

25 мин

4.1K

Ю.А. Бычков, С.В. Щербаков

Исследование качественных особенностей динамики математических моделей нелинейных неавтономных систем с помощью собственных чисел функциональной матрицы Якоби

Постановка задачи

Задача исследования качественных особенностей динамики математических моделей нелинейных неавтономных систем с сосредоточенными параметрами чрезвычайно актуальна. Развитие теории нелинейных явлений и получаемые прикладные результаты порождают многообразие методов решения этой задачи [1-3].
В общем случае динамику математических моделей систем выделенного класса (далее «систем») описывает следующее обыкновенное нелинейное интегрально-дифференциальное уравнение с нестационарными коэффициентами:

$A(D)x(t)=G(D)f(t)+H(x,f,t) \qquad (1)$

где $inline$ – оператор обобщённого дифференцирования по независимой переменной $inline$ ; $inline$ – квадратная, порядка $inline$ , матрица с полиномиальными от $inline$ и $D^{–1}$ элементами, где $D^{–1}$ — оператор интегрирования с переменным верхним пределом $inline$ ;
G(D) –прямоугольная матрица, размером $L\_x\times L\_f$ , с полиномиальными от $inline$ и $D^{–1}$ элементами; $inline$ и $inline$ – матрицы-столбцы координат системы (искомых решений) и внешних воздействий на неё соответственно; $inline$ – матрица-столбец со строками в виде сумм произведений, сомножители которых — нестационарные коэффициенты, а также классические производные любого порядка и интегралы любой кратности, начиная с нулевых, от искомых решений и внешних воздействий, в произвольных дробно-рациональных степенях.

Расчёт динамики нелинейных неавтономных систем при заданных предначальных условиях $D^nx\_r(0^-)=D^nx\_r(t\_0^-)$ , $r=1,2,...,L\_x$ , $0^-=t^-\_0$ , $n \in [0;M-1]$ сводится к поиску всех существующих в заданном интервале исследования $[t\_0;T]$ решений уравнения (1) и сопряжён с рядом алгоритмических и математических проблем. Существо этих проблем определяет объективное разнообразие качественных особенностей искомых решений.

В общем случае характер динамики искомых решений уравнения (1) непредсказуем, это обусловлено зависимостью форм проявления доминирующих нелинейных и нестационарных свойств системы от выбранных начальных условий, соотношения параметров и вида её характеристик. В общем случае показатели искомых решений уравнения $inline$ нерегулярны, сводя динамику системы к так называемому детерминированному хаосу [2-4]. Характеризуя её динамику, отметим, что в искомых решениях уравнения $inline$ возможны разрывы первого рода, в том числе дифференцируемые, и разрывы второго рода. Специфика этих решений в том, что они, как правило, сопряжена с «жесткостью», т.е. с чередованием интервалов быстрого и медленного изменения их динамических показателей, причём в пределах таких интервалов возможны переходы от локальной устойчивости к неустойчивости и наоборот. Прямым следствием локальной неустойчивости служит эффект «перемешивания» решений, что значительно усложняет задачу численного расчёта динамики нелинейной неавтономной системы и анализа её качественных особенностей [5]. Возможное качественное разнообразие особенностей динамики нелинейной неавтономной системы, являясь следствием многосложного переплетения её координатно-параметрических взаимосвязей, допускает лишь приближённое решение уравнения $inline$ с использованием того или иного численного метода [6-8]. Численных методов много и их расчётные схемы постоянно совершенствуются. Тем не менее, ни один из них не позволяет установить в замкнутой форме какие-либо взаимосвязи или закономерности между характером поведения искомого решения уравнения $inline$ и информационными показателями этого уравнения. Задача выделения таких взаимосвязей и организация на их основе последующего анализа качественных особенностей и свойств решений уравнения $inline$ важна как в теоретическом, так и в прикладном плане. Её решение означает очередной шаг к пониманию содержания причинно-следственных соотношений в нелинейных и нестационарных явлениях.

В статье дано решение поставленной задачи на основе использования в качестве информационных показателей динамики нелинейной неавтономной системы собственных чисел соответствующей её уравнению динамики $inline$ функциональной матрицы Якоби и декомпозиции по таким собственным числам решений этого уравнения. В качестве расчётной основы использован аналитически-численный метод, который по своим вычислительным характеристикам соответствует поставленной задаче [9,10]. Приведён иллюстрирующий пример.

Выделение информационных показателей динамики нелинейной неавтономной системы

В состав информационных показателей качественных особенностей искомых решений уравнения $inline$ целесообразно включить такие, которые определяют взаимодействие параметров этого уравнения и нестационарных показателей самих решений. В линейной стационарной системе, динамику которой описывает уравнение $inline$ при $inline$ , такими информационными показателями служат корни $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ следующего характеристического уравнения:

$A(p)=0 \qquad (2)$

где $inline$ — определитель матрицы $inline$ , при замене оператора $inline$ на оператор $inline$ .

Характер и численные значения корней уравнения $inline$ , определяют все особенности и свойства динамики линейной автономной системы в переходном процессе, включая устойчивость и «жесткость» [1,7,8]. Так как внешние воздействия однозначно регламентируют характер установившегося режима, то динамика линейной автономной системы полностью предсказуема в полубесконечном интервале времени.

Направленный выбор подобных информационно ёмких и достаточно простых в определении показателей динамики нелинейных неавтономных систем пока невозможен. Насущные запросы практики, однако, требуют уже сейчас выделения доступных для вычисления и приемлемых по информационному содержанию показателей таких систем. Если пойти по тому же пути, что и для линейного случая, то логично предложение о рассмотрении в качестве необходимых информационных показателей корней $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ уравнения $inline$ , формирование которого будет связано с вычислением определителя $inline$ матрицы $inline$ выделенной линейной части уравнения $inline$ . Трактовка смыслового содержания получаемых при этом информационных показателей $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ неоднозначна поскольку взаимосвязь этих выделенных стационарных по сути показателей с качественными особенностями динамики нелинейной неавтономной системы не поддаётся какой-либо содержательной идентификации даже постановочно. Кроме того, когда в уравнении $inline$ матрица $inline$ нулевая или выделена за счёт нелинейной части $inline$ этого уравнения, то корни уравнения $inline$ вообще отсутствуют или их существование, а следовательно и информационное наполнение, носит условно-субъективный характер [9].
Таким образом, целевым признаком выделения приемлемых информационных показателей динамики нелинейной неавтономной системы является условие их существования и математическая взаимосвязь с числовыми показателями искомого решения уравнения $inline$ . Это условие может быть выполнено, если в уравнении $inline$ матрицу линейной части $inline$ определённым образом выделить или дополнить за счёт матрицы $inline$ нелинейной части [9,10]. Такое выделение или дополнение матрицы $inline$ за счёт матрицы $inline$ возможно неоднозначным образом. Все выполняемые при этом преобразования должны носить эквивалентный характер, вследствие чего динамика системы останется неизменной. В результате выделения или дополнения матрицы $inline$ за счёт матрицы $inline$ будет достигнута необходимая математическая взаимосвязь корней $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ уравнения $inline$ с числовыми значениями искомых решений уравнения $inline$ в дискретные моменты времени, определяемые шагом численного расчёта динамики системы. Таким образом, в результате указанных преобразований уравнения $inline$ корни $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ уравнения $inline$ приобретут функциональную зависимость от времени, как в отношении числовых показателей, так и качественных характеристик.

Нестационарные свойства корней $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ уравнения $inline$ , при отсутствии целевого критерия выполнения соответствующих преобразований матрицы $inline$ , приводящих к появлению таких свойств, не могут сами по себе гарантировать необходимых информативных характеристик этих корней. Желаемое исследование качественных особенностей динамики нелинейных объектов диктует выбор в качестве целевого критерия формирования или преобразования уже существующей матрицы $inline$ уравнения $inline$ условие её совпадения с функциональной матрицей Якоби, соответствующей этому уравнению [4-8]. Алгоритм решения такой задачи изложен в работе [10]. В результате формирования или преобразования матрицы $inline$ за счёт матрицы $inline$ к функциональной матрице Якоби нестационарные корни $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ уравнения $inline$ приобретут статус собственных чисел матрицы Якоби.

Нестационарные собственные числа $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ функциональной матрицы Якоби уравнения $inline$ в дискретные моменты времени, определяемые шагом его численного решения, имеют определённое известное смысловое содержание [4-8]. Являясь локальной характеристикой динамики нелинейной неавтономной системы, они в бесконечно малой окрестности точки, соответствующей дискретному моменту времени t, характеризуют устойчивость и скорость изменения динамических показателей решений её уравнения динамики $inline$ . В окрестности особых точек уравнения $inline$ собственные числа $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ функциональной матрицы Якоби позволяют на фазовой плоскости выделить области притяжения и отталкивания фазовых траекторий, давая таким образом прогноз в отношении предельных состояний существующих решений этого уравнения[6-8]. Соответствующие дискретным моментам времени собственные числа $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ функциональной матрицы Якоби, характеризуя и определяя качественные особенности и свойства динамики нелинейных неавтономных систем, обусловливают актуальность задачи выявления математических признаков и информационных показателей такой взаимосвязи. Решение указанной задачи сопряжено с установлением математической взаимосвязи между выбранными нестационарными информационными показателями $\lambda\_n , n=1,2,...,N$ динамики нелинейной неавтономной системы и параметрами расчётной схемой численного метода, используемого для расчёта этой динамики. Необходимым условием для достижения указанной цели служит наличие в расчётной схеме выбранного метода соответствующей аналитической части. Вычислительный алгоритм этой аналитической части метода должен быть согласован с особенностями расчёта собственных чисел функциональной матрицы Якоби, а также обеспечивать математическую взаимосвязь между этими числами и динамическим показателями координат нелинейной неавтономной системы. Сформулированным требованиям в полной мере отвечает одношаговый аналитически-численный метод переменного порядка [9,10].

Аналитически-численный метод расчёта динамики нелинейных неавтономных систем

Побудительным мотивом к формированию аналитически-численного метода послужило желание унифицировать решение уравнения $inline$ с использованием только тождественных преобразований. Отсюда вытекает описание искомых решений рядами Тейлора и последующее применение интеграла Лапласа для алгебраизации поставленной задачи.
Аналитически-численный метод расчёта динамики выделенного уравнением $inline$ класса систем в заданном интервале исследования $[t\_0;T]$ состоит из двух частей: аналитической и численной.
Аналитическая часть метода основана на аппаратах обобщённых функций, преобразования Лапласа и функционально-степенных рядов. Процедура аналитической части предваряет выполнение каждого очередного шага расчёта и сводится к следующему. Сначала, разложив функции, описывающие внешние воздействия и нестационарные параметры системы, в соответствующие им степенные ряды, а также формально описав регулярные составляющие тех искомых решений, которые входят в матрицу $inline$ уравнения $inline$ соответствующими им степенными рядами, правую часть этого уравнения преобразуем в матрицу-столбец, элементами строк которой теперь служат степенные ряды. Коэффициенты этих степенных рядов в общем случае неизвестны, поскольку они выражены через известные коэффициенты степенных рядов для внешних воздействий и нестационарных параметров системы, и неизвестные коэффициенты степенных рядов для регулярных составляющих некоторых из искомых решений. Выполненная операция приводит исходное уравнение $inline$ к виду, необходимому для последующего применения интегрального преобразования Лапласа. Преобразовав по Лапласу переформированное уравнение $inline$ и решив полученное в результате алгебраическое уравнение по правилу Крамера, для изображения $X\_l(p)$ искомого решения $x\_l(t),l \in [1,L\_x]$ получим следующее выражение:

$X\_l(p)= \frac{B^l\_l(p)}{A(p)}=\frac{\sum\limits\_{i=0}^\infty B^l\_{l.N+J\_l-i}p^{N+J\_l-i}}{\sum\limits\_{i=0}^NA\_{i}p^i}, \qquad (3)$

где $N \in \mathbb N; J\_l \in \mathbb Z$

Дробно-рациональная функция, описываемая выражением (3), в общем случае, когда $J\_l \geq 0$ является неправильной и допускает её представление в виде суммы целой рациональной $X\_l^-(p)$ и правильной дробно-рациональной $X\_l^+(p)$ функций. Последующее разложение правильной дробно-рациональной функции $X\_l^+(p)$ в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки преобразует выражение $inline$ следующим образом:

$X\_{l} (p)=X\_{l}^{-} (p) + X\_{l}^{+} (p)=\ \sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} p^{-j} + \frac{\sum\limits \_{i=1}^{\infty }B\_{l.N-i} p^{N-i} }{\sum\limits \_{i=0}^{N}A\_{i} p^{i} } = \\\\ =\sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} \; p^{-j} \; +\; \frac{\sum\limits \_{i=0}^{\infty }B\_{l.N-i-1} \; \; p^{N-i} }{\sum\limits \_{i=0}^{N}A\_{i} \; p^{i} } \; \; \frac{1}{p}= \\\\ =\sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} \; p^{-j} \; +\; \sum \_{i=0}^{\infty }R\_{l.i} \; p^{-(i+1)}. \qquad (4)$

Коэффициенты $S\_{l.j}$ , $B\_{l.N-i}$ , $R\_{l.i}$ , входящие в выражение $inline$ , с учётом обозначений выражения $inline$ , вычисляем по следующим формулам [9,10]:

$S\_{l.\; -J\_{l} } =\frac{B^l\_{l.N+J\_{l} }}{A\_{N\; } };$

$S\_{l.\; -J\_{l} +j} =\frac{B^l\_{l.N+J\_{l} +j} -\sum\limits \_{k=0}^{j-1}S\_{l.-J\_{l} +k} \; A\_{N-j+k\; } }{A\_{N}}$

,
где $j=1,2,...,J\_{l};$

$B\_{l.N-i} =B^l\_{l.N-i} -\; \sum \_{k=0}^{N-i}S\_{l.-N+i+k} \; A\_{k}$

где $i=1,2,...;S\_{l.-r} =0,$ если $r>J\_l;$

$\begin{align} &{R\_{l.0} =\frac {B\_{l.N-1}}{A\_{N}} ;} \\& {R\_{l.i} =\frac{B\_{l.N-1-i} -\sum\limits \_{k=0}^{i-1}R\_{l.k} \; A\_{N-i+k} }{A\_{N}} ,} \end{align} \qquad (5)$

где $inline$

Члены суммы в правой части последнего из равенств $inline$ образуют соответственно главную и правильную части ряда Лорана для изображения $X\_{l} (p)$ искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1; L\_{x} ]$ в окрестности бесконечно удалённой точки. Оригиналом для изображения $X\_{l} (p)$ служит обобщённая функция $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ , содержащая сингулярную $x\_{l}^{-} (t)$ и регулярную $x\_{l}^{+} (t)$ составляющие.
Итак, после выполнения аналитической части метода для искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ уравнения $inline$ получим следующее описание:

$x\_{l} (t)=x\_{l}^{-} (t)+x\_{l}^{+} (t)=\sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} \; {\rm \delta }\_{j} (t)+\sum \_{i=0}^{\infty }R\_{l.i} \; t^{i} /i!\; , \qquad (6)$

где ${\rm \delta }\_{j} (t)$ — импульсные функции от нулевого до $-J\_{l}$ -го порядка включительно, определённые в начальной для рассматриваемого интервала расчёта точке; $S\_{l.j}$ — весовые коэффициенты импульсных функций; $R\_{l.i}$ — коэффициенты разложения регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t)$ в степенной ряд в правой окрестности начальной для рассматриваемого интервала расчёта точке с абсциссой $t=0^{+}$ [9,10].

Полученная форма $inline$ описания искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ отражает ряд принципиальных моментов, связанных с анализом качественных особенностей динамики нелинейных неавтономных систем. Применение интегрального преобразования Лапласа позволяет в точке, соответствующей началу текущего интервала расчёта, осуществить корректный переход от известных предначальных условий к подлежащим определению начальным условиям и выделить в искомых решениях уравнения $inline$ разрывы первого рода, если они существуют. Присутствие в описании $inline$ сингулярной составляющей $x\_{l}^{-} (t)$ указывает на возможность выделения существующих дифференцируемых разрывов первого рода. Отметим, что сингулярная составляющая решения $x\_{l}^{-} (t)$ , если она существует, доступна для определения в дискретный момент времени, соответствующий началу текущего шага расчёта, в аналитической части метода.

Регулярная составляющая решения $x\_{l}^{+} (t)$ , как следует из описания $inline$ , представлена степенным рядом и для её вычисления в текущем интервале расчёта служит численная часть метода. В основе численной части метода лежит дискретизация независимой переменной $inline$ . В текущем интервале расчёта ${\rm \; [}t\_{k-1} ;\; t\_{k} ]{\rm \; },{\rm \; }t\_{k} =t\_{k-1} +h\_{k}$ реализация численной части метода начинается с выбора соответствующей величины шага $h=h\_{k}$ . Этот выбор регламентирован следующим равенством [9,10]:

$h=q{\rm \tau ,} \qquad (7)$

где $inline$
Предельная величина $\tau$ длины текущего шага расчёта $inline$ , входящая в равенство $inline$ , есть результат исследования сходимости в текущем интервале расчёта числовых мажорант степенных рядов для регулярных составляющих $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ искомых решений $x\_{r} (t){ r}=1,2,{\dots},L\_{x}$ . Длина текущего шага расчёта $h=h\_{k}$ , выбранная в соответствии с равенством $inline$ , такова, что обеспечивает выполнение ряда значимых условий для анализа качественных особенностей динамики нелинейных неавтономных систем.

Во-первых, в текущем интервале расчёта ${\rm \; [}t\_{k-1} ;\; t\_{k} ]{\rm \; },{\rm \; }t\_{k} =t\_{k-1} +h\_{k}$ все степенные ряды для регулярных составляющих решений $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ сходятся к разложенным в них функциям, превращаясь в ряды Тейлора. Это указывает на существование в рассматриваемом интервале времени искомых решений $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ , придавая всей вычислительной процедуре логический смысл и практическую целесообразность.

Во-вторых, выбранная согласно равенству $inline$ величина шага расчёта $h=h\_{k}$ обеспечивает численную устойчивость процедуры вычисления в дискретный момент времени $t=t\_{k}$ приближённого значения $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ . Расчёт приближенного значения решения $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ связан с ограничением ряда Тейлора для регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t)$ частичной суммой его первых $I\_{l}$ членов. Возникающий при этом остаточный член ряда, образуя локальную погрешность расчёта, всегда ограничен и доступен для верхней оценки с помощью формул, приведённых в работах [9,10].

В третьих, длина шага $h=h\_{k}$ всегда соответствует скорости изменения регулярных составляющих $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ искомых решений. Такой результат обеспечивается организацией исследования сходимости степенных рядов для регулярных составляющих решений $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ путём рассмотрения соответствующих им числовых мажорант. Их члены образованы всевозможными комбинациями коэффициентов этих степенных рядов, определяющих значения производных конечных порядков от этих составляющих решений в дискретный момент времени $t=t\_{k-1}$ .

В четвёртых, отвечающая равенству $inline$ величина шага расчёта $h=h\_{k}$ такова, что позволяет организовать процедуру верхней оценки $|\Delta x\_{l}^{+} (t;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}t=t\_{k}$ абсолютной полной погрешности расчёта приближённого значения $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ . Под полной погрешностью расчёта понимаем погрешность, накопленную после выполнения двух и более шагов расчёта, на каждом из которых возникает локальная погрешность расчёта.

Итак, выбрав в соответствии с равенством $inline$ величину текущего шага расчёта $h=h\_{k}$ и ограничив ряд Тейлора для регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t)$ частичной суммой его первых $I\_{l}$ членов, вычисляем приближённое значение $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} ), t\_{k}=t\_{k-1}+h\_{k}$ этой составляющей решения. Затем, оценив на текущем шаге $h=h\_{k}$ локальную погрешность расчёта, вычисляем верхнюю оценку $|\Delta x\_{l}^{+} (t;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}, t=t\_{k}$ полной погрешности расчёта. Полученные таким образом численные результаты позволяют в дискретный момент времени $t=t\_{k}$ выделить на оси ординат одномерный интервал, который содержит неизвестное точное значение $x\_{l}^{+} (t\_{k} )$ регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ искомого решения. В принятых обозначениях этот интервал в дискретный момент времени $t=t\_{k}$ описывает следующее двойное неравенство:

$x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )\; -|\Delta x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}\le x\_{l}^{+} (t\_{k} )\le x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )+|\Delta x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}.\qquad (8)$

Равенство $inline$ и двойное неравенство $inline$ описывают результаты вычислительной процедуры аналитически-численного метода на текущем шаге расчёта $h=h\_{k}$ . Для выполнения следующего шага расчёта в заданном интервале исследования ${\rm \; [}t\_{0} ;\; T]$ ось ординат переносим вправо на величину $h\_{k}$ . После этого, выбрав из двойных неравенств $inline$ , при $l=r, r=1,2,{\dots},L\_{x}$ какие-либо приближённые значения предначальных условий, повторяем описанные процедуры аналитической и численной частей метода.

### **Установление взаимосвязи информационных показателей динамики нелинейной неавтономной системы и параметров расчётной схемы аналитически-численного метода.**
Анализ выражения $inline$ с учётом уравнения $inline$ показывает, что достижение указанной цели возможно путем установления математической взаимосвязи между полюсами ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ изображения $X\_{l} (p)$ искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ и динамическими показателями качественных особенностей и свойств регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ этого решения. В качестве таких динамических показателей регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ логично и содержательно мотивировано рассмотрение коэффициентов $R\_{l.i}$ входящего в описание $inline$ степенного ряда. Расчёт коэффициентов $R\_{l.i}$ выполняем в аналитической части метода с помощью рекуррентных формул $inline$ . Преобразование этих формул с привлечением матричного анализа приводит к их новой форме записи, которая устанавливает в явном виде необходимую математическую взаимосвязь между коэффициентами $R\_{l.i}$ регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t)$ и полюсами ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ изображения $X\_{l}^{+} (p)$ этой составляющей. Новые формулы для вычисления коэффициентов $R\_{l.i}$ приведены в работе [8]. Так, например, когда все полюса ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ изображения $X\_{l}^{+} (p)$ простые, формула для вычисления коэффициентов $R\_{l.i}$ имеет следующий вид[8]:

$R\_{l.i} =\sum \_{n=1}^{N}r\_{l.n} \; \lambda \_{n}^{i} \; ,\; \; i\in \ge \left|{\bf Z}\right|. \qquad (9)$

Коэффициенты $r\_{l.n}$ в этом случае вычисляем по формуле:

$r\_{l.n} =\frac{\sum\limits \_{m=1}^{i}B\_{l.N-1-m}^{\*} \; \lambda \_{n}^{-m} \; }{N+\sum\limits \_{m=1}^{N-1}(N-m)\; A\_{N-m}^{\*} \; \lambda \_{n}^{-m} } . \qquad (10)$

Коэффициенты $B\_{l.N-1-m}^{\*} ,\; \; m\in \left|{\bf Z}\right|$ и $A\_{r}^{\*} ,\; \; r=1,2,...,N-1$ в формуле $inline$ связаны с коэффициентами $B\_{l.N-1-m}^{} \; ,\; \; A\_{r}$ , входящими в выражение $inline$ , следующими соотношениями:

$\begin{align}&{B\_{l.N-1-m}^{\*} =\frac{B\_{l.N-1-m}}{A\_{N}} \; ;} \\\\ &{A\_{r}^{\*} =\frac{-A\_{r} }{A\_{N}} \; .} \end{align}$

Формула $inline$ позволяет записать входящий в описание $inline$ степенной ряд для регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ искомого решения в этом случае в следующей новой форме[8]:

$x\_{l}^{+} (t)=\sum \_{i=0}^{\infty }\frac{R\_{l.i} \; t\_{}^{i}}{i!}=\sum \_{i=0}^{\infty }\sum \_{n=1}^{N\_{m} }\frac{R\_{l.i}^{[n]} t\_{}^{i} }{i!},\qquad (11)$

где $N\_{m}$ — число, в этом случае простых, полюсов изображения $X\_{l}^{+} (p)$ .

Сформированное описание $inline$ обусловливает для регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ следующее эквивалентное представление:

$x\_{l}^{+} (t)=\sum \_{n=1}^{N\_{m} }x\_{l}^{[n]} (t)\; . \qquad (12)$

Составляющие $x\_{l}^{[n]}$ при этом имеют следующее описание:

$x\_{l}^{[n]} (t)=\sum \_{i=0}^{\infty }\frac{R\_{l.i}^{[n]} \; t\_{}^{i} }{i!}. \qquad (13)$

cистема взаимосвязанных равенств $inline$ — это результат направленного преобразования входящего в равенство $inline$ исходного описания регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t)$ . Согласно ей на каждом шаге расчёта возможна декомпозиция этой составляющей решения по полюсам ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ её изображения $X\_{l}^{+} (p)$ . Декомпозиция, как и следовало ожидать, не носит абсолютного характера, поскольку через рекуррентно вычисляемые коэффициенты $B\_{l.N-1-m}^{\*} ,\; \; m\in \left|{\bf Z}\right|$ , входящие в формулу $inline$ , для нелинейной нестационарной системы всегда сохраняется доминирующая в формировании её динамики взаимосвязь между всеми элементами $inline$ представления $inline$ . Декомпозиция регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ искомого решения $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ , описываемая системой равенств $inline$ , прошла успешную апробацию при решении ряда специальных задач, связанных с формализацией процедуры исследования существования и единственности решения, выбора шага расчёта, а также при оптимизации вычислительных затрат, связанных с оценкой абсолютной локальной погрешности такого расчёта [9].

Подводя итог, сформулируем следующий алгоритм исследования качественных особенностей динамики нелинейных неавтономных систем. Сначала выполняем эквивалентное преобразование исходного уравнения $inline$ динамики системы к виду, когда матрица $inline$ совпадёт с функциональной матрицей Якоби, тогда полюса ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ изображения $X\_{l}^{+} (p)$ совпадут с собственными числами этой матрицы. Последующая декомпозиция регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t)$ по этим числам обеспечит возможность организации расчётной схемы для проведения необходимых исследований. В роли нестационарных информационных показателей качественных особенностей динамики системы рассматриваем функции, описывающие изменение в заданном интервале исследования ${\rm \; [}t\_{0} ;\; T]$ собственных чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функциональной матрицы Якоби и элементов $inline$ декомпозиции $inline$ регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t)$ . Предлагаемая схема декомпозиции искомых решений уравнения $inline$ по собственными числами соответствующей этому уравнению функциональной матрицей Якоби неординарна сама по себе. Это определяет новизну ожидаемых результатов, их трактовку и последующие перспективы применения. Обозначим лишь некоторые из них, поскольку полнота суждений о такой проблематике — это вопрос времени.

Знаки вещественных частей нестационарных собственных чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функциональной матрицы Якоби в каждый дискретный момент времени $t=t\_{k}$ обусловливают возможность выделения границ интервалов устойчивости и неустойчивости в отношении каждого из элементов $inline$ декомпозиции $inline$ . Такая информация первична для выявления причинно-следственных отношений между условиями устойчивости регулярной составляющей решения $x\_{l}^{+} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ и подобными условиями для самих элементов $inline$ этой составляющей. Условия устойчивости или неустойчивости регулярной составляющей $x\_{l}^{+} (t)$ искомого решения $x\_{l} (t)$ при этом станут следствием существования среди нестационарных собственных чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функциональной матрицы Якоби одного или нескольких доминирующих, а также от особенностей взаимодействия этих доминирующих чисел в интервале исследования, включая вариацию их характера.

Динамические показатели элементов декомпозиции $inline$ во взаимосвязи с нестационарными собственными числами ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функциональной матрицы Якоби определяют исходные положения для иной трактовки результата расчёта динамики нелинейной неавтономной системы, описываемого двойным неравенством $inline$ . Математическая взаимосвязь и соотношение в ходе расчёта показателей двойного неравенства $inline$ и двойных неравенств, подобных неравенству $inline$ , но для соответствующих элементов декомпозиции $inline$ , при нерегулярности динамических свойств системы, служат основанием для выделения характерных соотношений и сочетаний между элементами декомпозиции $inline$ , при которых искомые решения уравнения $inline$ наиболее чувствительны к изменению параметров и внешних воздействий системы. Анализ полученных при этом результатов обусловливает возможность выделения условий, определяющих возникновение бифуркации, или диапазонов начальных условий, приводящих к «перемешиванию» фазовых траекторий [5].

Качественные особенности и характерные свойства функций, описывающих изменение в заданном интервале исследования ${\rm \; [}t\_{0} ;\; T]$ нестационарных собственных чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функциональной матрицы Якоби, включая непрерывность и монотонность этих функций, наличие точек экстремумов, вариативность характера таких чисел и знака их вещественных частей, несомненно, отражают существо внутренних причинно-следственные связей уравнения $inline$ . Вследствие этого особенности и свойства этих функций представляют в высшей степени адаптивные показатели качественных особенностей динамики нелинейной неавтономной системы. Многообразие содержательного спектра и вариативность форм проявлений таких показателей динамики системы ещё подлежат определению и это составляет самостоятельную задачу, решение которой, возможно, послужит отправной точкой для более полного понимания многосложного и неоднозначного поведения нелинейного объекта исследования. Выделение и классификация соотношений между указанными функциональными показателями и качественными особенностями нелинейной неавтономной системы должна привести к появлению новых вычислительных алгоритмов анализа нелинейных и нестационарных явлений, включая определение условий существования динамики регулярного характера или перехода к детерминированному хаосу [2-5].

Заключение

Описываемая системой равенств $inline$ декомпозиция регулярных составляющих искомых решений уравнения $inline$ вводит в рассмотрение и активизирует в качестве самостоятельного вычислительного инструментария анализа динамики нелинейной неавтономной системы собственные числа функциональной матрицы Якоби. Они генерируют особенности и динамические свойства элементов декомпозиции $inline$ . Как показано в приведённом далее примере, анализ таких особенностей и динамических свойств элементов декомпозиции $inline$ приводит к выделению новых условий существования одного из характерных свойств нелинейной динамики — «жёсткости» [1,4,5].

Обобщая сказанное, отметим, что вариантов проявлений качественных особенностей и характерных свойств нелинейной динамики много, они разноплановы как по условиям возникновения, так и по формам проявлений. Нерегулярность, как свойство такой динамики, — это скорее норма, чем исключение [2]. Причины столь сложной и непредсказуемой динамики нелинейной неавтономной системы заложены в структуре и составе внутренних параметрических взаимосвязей уравнения динамики $inline$ . Одной из составляющих комплексного показателя таких взаимосвязей, несомненно, являются собственные числа ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функциональной матрицы Якоби. Анализ качественных особенностей динамики нелинейной неавтономной системы на основе декомпозиции искомых решений её уравнения динамики $inline$ на составляющие, каждая из которых соответствует одному из собственных чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функциональной матрицы Якоби, при сохранении логической и математической взаимосвязи между этими составляющими, отражает существо предлагаемого подхода к проведению соответствующих исследований и новой методологии.

Пример
Исследование качественных особенностей динамики нелинейной автономной системы на основе декомпозиции решений её уравнения динамики по собственным числам функциональной матрицы Якоби, соответствующей этому уравнению.
В форме $inline$ уравнение динамики рассматриваемой нелинейной автономной системы имеет следующий вид:

$\begin{equation} \left\| \begin{array}{cc} {a \_{1.1}^{[1]} D+a \_{1.1}^{[0]} } & {0} \\\\ {a \_{2.1}^{[0]} } & {a \_{2.2}^{[1]} D} \end{array}\, \right\| \, \left\| \, \begin{array}{c} {x\_{ 1} (t)} \\\\ {x\_2(t)} \end{array} \right\| =\left\| \begin{array}{c} {g \_{1.1}^{[0]} } \\\\ {0} \end{array} \right\|f(t)+\left\|\begin{array}{c} {h\_{1.1} x\_{1}^2 (t)x\_2(t)} \\\\ {h\_{ 2.1} x\_{ 1}^{2} (t)x\_{ 2} (t)} \end{array}\right\|, \qquad(14) \end{equation}$

где $a\_{1.1}^{\left[1\right]} =a\_{2.2}^{\left[1\right]} =h\_{{\kern 1pt} 1.1} =1; h\_{{\kern 1pt} 2.1} =-1;f\left(t\right)={\rm \delta }\_{{\kern 1pt} 1} \left(t\right);g{\kern 1pt} \_{1.1}^{\left[0\right]} =\textit{A};a{\kern 1pt} \_{1.1}^{\left[0\right]} =B+1;a{\kern 1pt} \_{2.1}^{\left[0\right]} =-B.$
После подстановки значений параметров, указанных в экспликации к уравнению $inline$ , получили следующую унифицированную форму этого уравнения:

$\begin{equation} \left\| \begin{array}{cc} {D{\rm +B+1}} & {0} \\\\ {-B} & {D} \end{array}\right\| \, \left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)} \\\\ {x\_{2} (t)} \end{array}\right\| =\left\| \begin{array}{c} {A} \\\\ {0} \end{array}\right\| \delta \_{1} (t)+\left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t)} \\\\ {-x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t)} \end{array}\right\| . \end{equation} \qquad (15)$

Уравнение $inline$ , известное как уравнение «брюсселятора», уникально, поскольку качественные особенности его решений существенным образом зависят от соотношения между параметрами $inline$ и $inline$ [4]. При $B=A^{2}+1$ имеет место бифуркация Хопфа, в которой устойчивый предельный цикл, существующий при $B>(A^{2}+1)$ , переходит в устойчивую стационарную точку решения $x\_{1}(t)=A; x\_{2}(t)=\frac{B}{A}$ , соответствующую условию $B<(A^{2}+1)$ . Бифуркационное соотношение $B=(A^{2}+1)$ устанавливает границу для характера проявления особенностей и свойств решений уравнения $inline$ в зависимости от соотношения между параметрами $inline$ и $inline$ . Бифуркационный характер динамики решений уравнения $inline$ находит своё отражение в особенностях нестационарных свойств собственных чисел функциональной матрицы Якоби, соответствующей этому уравнению, а также в динамике элементов декомпозиции $inline$ , $inline$ $inline$ этих решений по таким собственным числам. Выделение математических признаков и причинно-следственных соотношений указанной взаимосвязи и составляет методологическую основу предлагаемого подхода к исследованию качественных особенностей динамики рассматриваемой системы.
ополнив соответствующим образом матрицу $inline$ выделенной линейной части уравнения $inline$ за счёт матрицы $inline$ с целью обеспечения её совпадения с матрицей Якоби получили следующее эквивалентное описание динамики системы [9,10]:

$\begin{equation} \left\| \begin{array}{cc} {D+B+1{\rm -2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} } & {{\rm -R}\_{1.0}^{2} } \\\\ {-B+{\rm 2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} } & {D+{\rm R}\_{1.0}^{2} } \end{array}\right\| \, \left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)} \\\\ {x\_{2} (t)} \end{array}\right\| =\left\| \begin{array}{c} {A} \\\\ {0} \end{array}\right\| \delta \_{1} (t)+\left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t){\rm -2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} x\_{1} (t){\rm -R}\_{1.0}^{2} x\_{2} (t)} \\\\ {-x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t)+{\rm 2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} x\_{1} (t)+{\rm R}\_{1.0}^{2} x\_{2} (t)} \end{array}\right\| , \end{equation} \quad (16)$

где $R\_{1.0}$ и $R\_{2.0}$ -нулевые коэффициенты в разложении регулярных составляющих решений $x\_{r}(t),r=1,2$ в степенные ряды. Выполнив над уравнением $inline$ вычислительную процедуру аналитической части аналитически-численного метода, в форме $inline$ получили следующее описание искомых решений:

$x\_{r} (t)=x\_{r}^{+} (t)=\sum \_{i=0}^{\infty }\frac{R\_{r.i} t^{i}}{i!} , r=1,2, \qquad (17)$

где $R\_{r.i}$ -коэффициенты степенных рядов для регулярных составляющих искомых решений $x\_{r}^{} \left(t\right)$ , вычисляемые по формулам $inline$ , при $inline$ и $inline$ с использованием нестационарных собственных чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби уравнения $inline$ .

Сформированные для искомых решений $x\_{r}(t), r=1,2$ уравнения $inline$ описания $inline$ таковы, что не содержат сингулярных составляющих. Численная часть аналитически-численного метода на каждом шаге расчёта в заданном интервале исследования [0; 10] реализована по стандартной схеме. Результаты расчёта динамики системы с заданным предельным уровнем абсолютной локальной погрешности расчёта ${\rm \varepsilon }\_{r} \left(h\right)=1\cdot 10^{-5}$ и предначальными условиями $x\_{1}(0)=1, x\_{2}(0)=2,5$ для случая, когда $inline$ приведены на рис.1. Как видно из рисунка, динамику рассматриваемой нелинейной автономной системы характеризует устойчивый предельный цикл [4]. Характерной особенностью такой динамики является «жёсткость», т.е. чередование участков быстрого и медленного изменения характеристического уравнения $inline$ . Однако, как видно из рис.2, принципиальное отличие нелинейного случая от линейного состоит в том, что показатель $inline$ такого «удаления» не является константой, а с течением времени непрерывно меняется. В интервалах времени [3-4], [8-9], когда искомые решения изменяются достаточно быстро, нестационарный показатель $inline$ , отражая эту особенность динамики, достигает сравнительно высоких значений, доходящих до 100 единиц. Начиная с момента времени $inline$ , определяющего начало интервала с достаточно медленным изменением решений, показатель $inline$ непрерывно уменьшается, принимая в интервале времени [4-8] значения, близкие к единице, указывая на отсутствие быстрых составляющих в этих решениях. Таким образом «жёсткость», как качественная особенность нелинейной динамики, характеризуется нестационарным показателем $inline$ . Непрерывное изменение этого показателя, отражая существо нелинейной динамики, вскрывает основные принципы самоорганизации. Способ расчёта собственных чисел $\lambda\_{n},n~=1,2$ матрицы Якоби таков, что, начиная со второго шага расчёта, они являются функциями от вычисляемых приближённых начальных значений $R\_{1.0}$ и $R\_{2.0}$ искомых решений. В свою очередь, в соответствии с формулами $inline$ , $inline$ , эти собственные числа затем напрямую определяют динамические показатели $R\_{l.i}$ искомых решений в конце текущего шага расчета. Таким образом, в пределах каждого шага расчёта управление динамикой, а значит и нестационарным показателем «жёсткости» $inline$ этой динамики осуществляется посредством внутренних координатно-параметрических взаимосвязей самого уравнения $inline$ . Эти внутренние взаимосвязи реализуются через динамические показатели $R\_{l.i}$ решений $x\_{r}^{} \left(t\right),r=1,2$ , которые, с одной стороны, зависят от собственных чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби, а с другой стороны, определяют показатель «жёсткости» $inline$ нелинейной динамики системы. Иначе говоря, нелинейная динамика системы обладает всеми признаками адаптивного управления, поскольку «жёсткость», являясь качественной особенностью и следствием этой динамики, порождается самой же этой динамикой, генерируя причинные соотношения через собственные числа матрицы Якоби.

Рис.1. Приближённые решения уравнения $inline$ при A = 2, B = 6 показателей искомых решений уравнения $inline$ .

Необходимые для проведения анализа выявленного явления «жесткости» результаты расчёта представлены на рис. 2-4. Эти результаты соответствуют реализованной на основе представлений $inline$ - $inline$ , при $N\_{m} =N=2$ и $inline$ декомпозиции решений $x\_{l} (t)=x\_{l}^{+} (t)$ уравнений $inline$ по собственным числам $\lambda\_{n}, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби. Так, например, на рис.2 приведены графики изменения вещественных и мнимых частей нестационарных собственных чисел $\lambda\_{n},n=1,2$ функциональной матрицы Якоби уравнения $inline$ . Согласно этим графикам, «жёсткость», как и в случае линейной автономной системы, характеризуется удалением друг от друга абсолютных значений вещественных частей максимального и минимального по модулю корней

(а)

(б)
Рис.2. Динамика вещественных (а) и мнимых (б) частей собственных чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби при A= 2, B = 6

$\textbf{б}$

Рис.3. Динамика вещественных (а) и мнимых(б) частей двух составляющих (13), $inline$ искомого решения $x\_{1}(t)$ уравнения (16) при A = 2, B = 6

Рис.4. Динамика вещественных (а) и мнимых (б) частей двух составляющих (13), $inline$ искомого решения $x\_2(t)$ уравнения (16) при A = 2, B = 6

Характеризуя изменение в заданном интервале исследования [0-10] нестационарных собственных чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби, в качестве интегрального показателя такого изменения можно рассматривать нестационарные свойства двух взаимосвязанных функций $\lambda\_{n}(t)$ . Для последующих рассуждений необходимо отметить характерное свойство этих функций, которое однозначно соответствуют проявляемым в существующем устойчивом предельном цикле особенностям динамики решений уравнения $inline$ . Ключевым признаком такого соответствия, согласно рис.2, служит характерное свойство функций $\lambda\_{n}(t)$ , выражающееся в регулярном характере чередования действительных и комплексных областей их допустимых значений. Это чередование в устойчивом предельном цикле, отражая специфику динамических свойств решений уравнения $inline$ , является информационным показателем выявления условий возникновения бифуркации Хопфа. Иначе говоря, в качестве информационного показателя бифуркации, как процесса скачкообразного изменения качественных динамических свойств системы, можно рассматривать сам факт возникновения или исчезновения в заданном интервале исследования ограниченных интервалов времени, в пределах которых множество значений функций $\lambda\_{n}(t), n=1,2$ принадлежит множеству действительных чисел. Для уравнения $inline$ математический признак существования или отсутствия таких интервалов времени отражает условие реализации бифуркационного соотношения параметров системы: $В=A^{2}+1$ .

Нестационарный характер собственных чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби, посредством взаимосвязи, описываемой формулами $inline$ , $inline$ и равенствами $inline$ , направленным образом обусловливает динамику полученных в результате декомпозиции по этим числам составляющих $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ каждого из искомых решений $x\_{l} (t)$ уравнения $inline$ . В интервалах времени [0 -2,5] и [4 -6,5], когда, согласно результатам, представленным на рис.1,3,4, решения изменяются медленно, составляющие $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ каждого из искомых решений $x\_{l} (t)$ обладают вещественными и мнимыми частями и в сумме, согласно равенству $inline$ , $inline$ , определяют качественное содержание и приближённые значения $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ этих решений. Численные значения составляющих $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ искомых решений $x\_{l} (t)$ таковы, что их вклад в вычисляемые на каждом шаге расчёта приближённые значения решений $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ почти соизмерим. Иначе говоря, в интервалах медленного изменения решений уравнения $inline$ среди их составляющих $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ отсутствует какое-либо доминирование во влиянии на формирование динамических показателей решений.

В интервалах времени [3 — 4] и [7 — 8], когда, как следует из рис.1,3,4, решения уравнения $inline$ , изменяются быстро, их составляющие $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ , за исключением сравнительно малой окрестности точек, соответствующих изменению знака вещественных частей собственных чисел $\lambda\_n, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби, обладают только вещественными частями. Такой характер численных значений составляющих $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ решений $x\_{l} (t)$ полностью соответствует характеру изменения нестационарных собственных чисел $\lambda\_n, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби, приведённому на рис.2. Анализируя влияние и взаимодействие составляющих решений $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ на динамические показатели решений $x\_{l} (t)$ , необходимо отметить явно выраженный признак доминирования одной составляющей над другой. Это доминирование для каждого из искомых решений проявляется по-своему. Так, для первого из искомых решений $x\_{1}(t)$ , согласно рис.3, в интервалах быстрого изменения его показателей явно доминирует вторая составляющая $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ , согласно рис.4, картина принципиально иная, характеризуется переменным доминированием то первой составляющей $x\_{{\kern 1pt} 2}^{[1]}(t)$ , то второй $x\_{{\kern 1pt} 2}^{\left[2\right]} \left(t\right)$ . Таким образом, качественным признаком существования устойчивого предельного цикла для решения уравнения $inline$ служит наличие интервалов времени, в пределах которых между двумя составляющими $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ решений $x\_{l} (t), l=1,2$ явно прослеживается доминирование одной над другой.

Принимая во внимание выделенные ранее взаимосвязи качественных особенностей динамики решений уравнения $inline$ и информационного содержания показателей, связанных с декомпозицией этих решений, представляют интерес результаты расчёта, приведённые на рис.5-8. Эти результаты соответствую расчёту рассматриваемой нелинейной автономной системы в случае, когда в её уравнении динамики $inline$ $inline$

Рис.5. Приближённые решения уравнения (16) при A = 2, B = 5

$\textbf{а}$

$\textbf{б}$

Рис.6. Динамика вещественных (а) и мнимых (б) частей собственных чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби уравнения (16) при A = 2, B = 5

Рис.7. Динамика вещественных (а) и мнимых (б) частей двух составляющих (13) $inline$ искомого решения $x\_{1 }(t)$ уравнения (16) при A = 2, B = 5

Рис.8. Динамика вещественных (а) и мнимых (б) частей двух составляющих (13) $inline$ искомого решения $x\_{2}(t)$ уравнения (16) при A = 2, B = 5

Предначальные условия, интервал исследования и предельный уровень абсолютной локальной погрешности расчёта те же, что и для рассмотренного ранее случая $inline$

На рис.5 приведены приближённые решения уравнения $inline$ при $inline$ и согласно этим результатам действительно имеет место бифуркация Хопфа, когда при $В=A^{2}+1$ устойчивый предельный цикл, существование которого определяет условие $В>(A^{2}+1)$ , переходит в устойчивую стационарную точку решения с показателями: $x\_{1}(t)=А; x\_{2}(t)=\fracВА$ . Качественное изменение характера динамики системы вследствие такой бифуркации находит своё отражение, как видно на рис.6-8, и в изменениях характерных свойств динамики нестационарных собственных чисел функциональной матрицы Якоби $\lambda\_{n},n=1,2$ и в описываемых равенствами $inline$ при $inline$ и $inline$ двух составляющими $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ каждого из искомых решений $x\_{l} (t)$ .

На рис.6 представлены графики изменения вещественных и мнимых частей собственных чисел $\lambda\_n, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби при $inline$ и $inline$ . Как видно на рис.6, после момента времени $inline$ собственные числа функциональной матрицы Якоби $\lambda\_n, n=1,2$ имеют исключительно комплексный характер. Согласно рис.2, в устойчивом предельном цикле эти собственные числа принимают как комплексные, так и действительные значения. Таким образом, математическим признаком бифуркации Хопфа, обусловливающей переход решений $x\_{l} (t), l=1,2$ уравнения $inline$ от устойчивого предельного цикла $inline$ к устойчивой стационарной точке $inline$ , служит отсутствие, после непродолжительного переходного процесса, действительных чисел среди значений собственных чисел $\lambda\_n, n=1,2$ , функциональной матрицы Якоби.

Как видно на рис.5, в результате бифуркации из состава характерных свойств искомого решения уравнения $inline$ исчезает «жесткость». Существование этого свойства динамики системы в устойчивом предельном цикле $inline$ неразрывно связано с чередованием по $inline$ интервалов, когда нестационарные собственные числа функциональной матрицы Якоби $\lambda\_n, n=1,2$ принимают то действительные, то комплексные значения. При переходе к устойчивой стационарной точке решения уравнения $inline$ , $inline$ , вследствие изменения внутренних координатно-параметрических взаимосвязей указанное чередование исчезает. Таким образом, исчезновение «жёсткости» из состава качественных особенностей решений уравнения $inline$ это следствие отсутствия, после непродолжительного переходного процесса, действительных чисел среди значений собственных чисел $\lambda\_n, n=1,2$ , функциональной матрицы Якоби.

Во взаимосвязи с отмеченными особенностями представляет интерес изменение в бифуркации Хопфа характера взаимодействия составляющих $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ искомых решений $x\_{l} (t)$ уравнения $inline$ , соответствующих собственным числам $\lambda\_n, n=1,2$ функциональной матрицы Якоби. Сравнительный анализ результатов, представленных на рис.3,4 и рис.7,8, показывает, что одним из условий перехода от устойчивого предельного цикла решения $inline$ к устойчивой стационарной точке $inline$ служит качественное изменение характера взаимодействия составляющих $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ искомых решений $x\_{l} (t)$ . В устойчивом предельном цикле решения характерно наличие интервалов времени, в которых влияние составляющих декомпозиции $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ на динамические показатели решений $x\_{l} (t), l=1,2$ сопряжено с доминированием одной составляющей над другой. Рис.7,8 указывают на отсутствие такой качественной особенности для случая устойчивой стационарной точки решения. Таким образом, математическим признаком бифуркации Хопфа, вызванной переходом искомых решений $x\_{l} (t), l=1,2$ уравнения $inline$ от устойчивого предельного цикла $inline$ к устойчивой стационарной точке $inline$ , служит исключение какого-либо доминирования среди составляющих $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$ , $inline$ при формировании динамических показателей искомых решений $x\_{l} (t)$ .

Ввиду обилия формул прикладываю исходник статьи: Исходник статьи

Список литературы

Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 256 с.
Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. – М.: Мир, 1985. – 423 с.
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. –М.: Постмаркет, 2000. –352 с.
Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи / Пер. с англ. И.А. Кульчицкой, С.С. Филиппова (ред.) – М.: Мир, 1990. –512 с.
Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры.- М.: Наука, 1991.-240с.
Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке MATLAB / Изд-во
БГТУ. – СПб., 1996. –192 с.
Андриевский Б.Р. Анализ систем в пространстве состояний. – СПб.: ИПМаш РАН, 1997. – 206 с.
Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. –М.: Высшая шк., 1989. – 447 с.
Бычков Ю.А., Щербаков С.В. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. – Издание второе, дополненное. СПб., Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отделение, 2002. – 368 с.
Бычков Ю.А., Щербаков С.В. Аналитический и численный расчёт детерминированных нелинейных моделей динамических систем с сосредоточенными и распределёнными нестационарными параметрами. Издание второе, переработанное и дополненное. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2014. — 388с.

Теги:

Хабы:

Математика

Исследование качественных особенностей динамики математических моделей нелинейных неавтономных систем

Постановка задачи

Выделение информационных показателей динамики нелинейной неавтономной системы

Аналитически-численный метод расчёта динамики нелинейных неавтономных систем

Заключение

Список литературы

Публикации

Истории

Ближайшие события