1. Шар на пружине, ньютоновская версия
2. Квантовый шар на пружине
3. Волны, классический вид
4. Волны, классическое уравнение движения
5. Квантовые волны
6. Поля
7. Частицы – это кванты
8. Как частицы взаимодействуют с полями
В первой статье серии мы изучали шар массы М на пружине жёсткости К, и нашли, что у его колебаний:
• Будет формула![$ z(t) = z_0 + A cos [ 2 \pi \nu t ] $](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/formulas/0f6/779/4a6/0f67794a67fefa32e701e88cee945d17.svg)
.
• Энергия
.
• Уравнение движения
Где уравнение движения принуждает к ν = √ K/M / 2π, но позволяет амплитуде А быть любой положительной величины. Затем во второй статье мы увидели, что квантовая механика, применимо к колебаниям, ограничивает их амплитуду – она уже не может быть любой. Вместо этого она квантуется, она должна принимать одну из бесконечного количества дискретных величин.
Где n = 0, 1, 2, 3, или 44, или вообще любое целое больше или равное нулю. В частности, A может равняться
, но меньше уже быть не может – только нулевой. Мы говорим, что n – это количество квантов колебаний движения шара. Энергия шара теперь тоже квантуется:
Самое важное тут то, что для добавления одного кванта колебаний шара требуется энергия величины hν – можно сказать, что каждый квант переносит энергию hν.
С волнами всё, по сути, так же. Для волны с частотой ν и длиной волны λ, колеблющейся с амплитудой А вокруг равновесного положения Z0,
• Уравнение движения:![$ Z(x,t) = Z_0 + A cos (2 \pi [\nu t - x/\lambda]) $](https://habrastorage.org/getpro/geektimes/formulas/fce/da8/af9/fceda8af904a6145ac5fddf719d11e62.svg)
.
• Энергия на одну длину волны:
.
(где Jλ — константа, зависящая от, допустим, верёвки, если речь идёт о волнах на верёвке), нескольких возможных уравнениях движения, из которых мы для изучения выберем два:
И вновь квантовая механика ограничивает амплитуду А дискретными значениями. Так же, как для колебаний на пружине,
• Одна простая волна определённой частоты и длины состоит из n квантов,
• Разрешённые величины амплитуды А пропорциональны √n,
• Разрешённые величины энергии Е пропорциональны (n+1/2).
Точнее, как и для шара на пружине,
• Разрешённые значения энергии E = (n+1/2) h ν
• Каждый квант волны переносит энергию величины h ν
Формула для выражения А довольно сложна, поскольку нам нужно знать, насколько волна длительная, и точная формула будет слишком запутанной – так что давайте я просто напишу такую формулу, которая передаёт правильную идею. Большую часть формул мы получили, изучая бесконечные волны, но у любой реальной волны в природе длительность конечна. Если длительность волны примерно равна L, и у неё L/λ гребней, тогда амплитуда примерно равна
Что пропорционально
как и в случае с пружиной, но зависит от L. Чем длительнее волна, тем меньше её амплитуда – так, что у каждого кванта волны энергия всегда равна hν.
Вот и всё – это показано на рисунке ниже.
Слева – наивное изображение волн, где амплитуда пропорциональна квадратному корню из количеству квантов, и другие амплитуды существовать не могут. Справа – чуть менее наивное изображение, учитывающее квантовые колебания, присущие квантовому миру. Даже в случае n = 0 некоторые колебания существуют.
Что это означает для наших волн класса 0 и класса 1?
Поскольку волны класса 0 могут быть любой частоты, у них может быть любая энергия. Даже для крохотного значения ε всегда можно сделать один квант волны класса 0 с частотой ν = ε/h. Для такой небольшой энергии у этой квантовой волны будет очень малая частота и очень большая длина волны, но существовать она может.
Волны, удовлетворяющие уравнению класса 1, не такие. Поскольку для них существует минимальная частота νmin = μ, для них существует и квант минимальной энергии:
Если ваша крохотная величина энергии ε меньше этого, квант такой волны сделать не получится. Для всех квантов волн класса 1 с конечной длиной волн и большей частотой выполняется E ≥ h μ.
До того, как мы начинаем принимать во внимание квантовую механику, амплитуда волн, как и амплитуда шара на пружине, могут изменяться непрерывно; их можно сделать сколь угодно большими или малыми. Но квантовая механиа подразумевает существование минимальной ненулевой амплитуды волны, как и в случае колебаний шара на пружине. И обычно амплитуда может принимать только дискретные значения. Допустимые амплитуды таковы, что как для колебаний шара на пружине, так и для волны любого класса с определённой частотой ν
• Для добавления одного кванта колебаний требуется энергия h ν
• У колебаний n квантов энергия колебаний будет равна (n+1/2) h ν
Теперь пришло время применить полученные знания к полям и посмотреть, когда и как кванты волн в этих полях можно интерпретировать как то, что мы называем «частицами» природы.
2. Квантовый шар на пружине
3. Волны, классический вид
4. Волны, классическое уравнение движения
5. Квантовые волны
6. Поля
7. Частицы – это кванты
8. Как частицы взаимодействуют с полями
Напоминание: квантовый шар на пружине
В первой статье серии мы изучали шар массы М на пружине жёсткости К, и нашли, что у его колебаний:
• Будет формула
.• Энергия
.• Уравнение движения
Где уравнение движения принуждает к ν = √ K/M / 2π, но позволяет амплитуде А быть любой положительной величины. Затем во второй статье мы увидели, что квантовая механика, применимо к колебаниям, ограничивает их амплитуду – она уже не может быть любой. Вместо этого она квантуется, она должна принимать одну из бесконечного количества дискретных величин.
Где n = 0, 1, 2, 3, или 44, или вообще любое целое больше или равное нулю. В частности, A может равняться
, но меньше уже быть не может – только нулевой. Мы говорим, что n – это количество квантов колебаний движения шара. Энергия шара теперь тоже квантуется:
Самое важное тут то, что для добавления одного кванта колебаний шара требуется энергия величины hν – можно сказать, что каждый квант переносит энергию hν.
Квантовая волна
С волнами всё, по сути, так же. Для волны с частотой ν и длиной волны λ, колеблющейся с амплитудой А вокруг равновесного положения Z0,
• Уравнение движения:
.• Энергия на одну длину волны:
.(где Jλ — константа, зависящая от, допустим, верёвки, если речь идёт о волнах на верёвке), нескольких возможных уравнениях движения, из которых мы для изучения выберем два:
И вновь квантовая механика ограничивает амплитуду А дискретными значениями. Так же, как для колебаний на пружине,
• Одна простая волна определённой частоты и длины состоит из n квантов,
• Разрешённые величины амплитуды А пропорциональны √n,
• Разрешённые величины энергии Е пропорциональны (n+1/2).
Точнее, как и для шара на пружине,
• Разрешённые значения энергии E = (n+1/2) h ν
• Каждый квант волны переносит энергию величины h ν
Формула для выражения А довольно сложна, поскольку нам нужно знать, насколько волна длительная, и точная формула будет слишком запутанной – так что давайте я просто напишу такую формулу, которая передаёт правильную идею. Большую часть формул мы получили, изучая бесконечные волны, но у любой реальной волны в природе длительность конечна. Если длительность волны примерно равна L, и у неё L/λ гребней, тогда амплитуда примерно равна
Что пропорционально
как и в случае с пружиной, но зависит от L. Чем длительнее волна, тем меньше её амплитуда – так, что у каждого кванта волны энергия всегда равна hν.Вот и всё – это показано на рисунке ниже.
Слева – наивное изображение волн, где амплитуда пропорциональна квадратному корню из количеству квантов, и другие амплитуды существовать не могут. Справа – чуть менее наивное изображение, учитывающее квантовые колебания, присущие квантовому миру. Даже в случае n = 0 некоторые колебания существуют.
Следствие
Что это означает для наших волн класса 0 и класса 1?
Поскольку волны класса 0 могут быть любой частоты, у них может быть любая энергия. Даже для крохотного значения ε всегда можно сделать один квант волны класса 0 с частотой ν = ε/h. Для такой небольшой энергии у этой квантовой волны будет очень малая частота и очень большая длина волны, но существовать она может.
Волны, удовлетворяющие уравнению класса 1, не такие. Поскольку для них существует минимальная частота νmin = μ, для них существует и квант минимальной энергии:
Если ваша крохотная величина энергии ε меньше этого, квант такой волны сделать не получится. Для всех квантов волн класса 1 с конечной длиной волн и большей частотой выполняется E ≥ h μ.
Итог
До того, как мы начинаем принимать во внимание квантовую механику, амплитуда волн, как и амплитуда шара на пружине, могут изменяться непрерывно; их можно сделать сколь угодно большими или малыми. Но квантовая механиа подразумевает существование минимальной ненулевой амплитуды волны, как и в случае колебаний шара на пружине. И обычно амплитуда может принимать только дискретные значения. Допустимые амплитуды таковы, что как для колебаний шара на пружине, так и для волны любого класса с определённой частотой ν
• Для добавления одного кванта колебаний требуется энергия h ν
• У колебаний n квантов энергия колебаний будет равна (n+1/2) h ν
Теперь пришло время применить полученные знания к полям и посмотреть, когда и как кванты волн в этих полях можно интерпретировать как то, что мы называем «частицами» природы.
