OsipovRoman 15 июл 2018 в 11:34

Теорема Бошерницана

3 мин

4.3K

Туториал

В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.

Отображение $f:E\rightarrow E$ метрического пространства с метрикой $\rho (\cdot ,\cdot )$ называют изометрией, если для любых $x,y\in E$ справедливо равенство $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$ . Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если $f:E\rightarrow E$ отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

$\rho (x,y)\leq \rho (f(x),f(y))(1)$

для любых $x,y\in E$ , то отображение $inline$ — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через $inline$ будем обозначать количество элементов конечного множества $inline$ .

Для $x\in E$ и $\varepsilon >0$ множество $Q_{x,\varepsilon }=\{y:y\in E,\rho (x,y)<\varepsilon \}$ назовем $\varepsilon$ -окрестностью точки $inline$ (или открытым шаром с центром в точке $inline$ и радиусом $\varepsilon$ ).

Конечное множество $A\subset E$ назовём $\varepsilon$ -сетью в $inline$ (или просто $\varepsilon$ -сетью), если для любой точки $x\in E$ найдётся точка $y\in A$ такая, что $\rho (x,y)<\varepsilon$ . Множество $B\subset E$ назовём $\varepsilon$ -разреженным, если $\rho (x,y)\geq \varepsilon$ для любых $x,y\in B$ , таких, что $x\neq y$ .

Для любого конечного множества $A=\left\{a_1,\ldots ,a_m\right\}\subset E$ обозначим через $inline$ сумму $\sum _{i\leq j} \rho \left(a_i,a_j\right)$ . Величину $inline$ назовём длиной множества $inline$ .

1. Пусть последовательности $\left\{a_n\right\}$ , $\left\{b_n\right\}$ элементов множества $inline$ сходятся соответственно
к точкам $a,b\in E$ . Тогда $\rho \left(a_n,b_n\right)\rightarrow \rho (a,b)$ при $n\rightarrow \infty$ .

Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства

$\rho \left(a_n,b_n\right)\leq \rho (a,b)+\rho \left(a_n,a\right)+\rho \left(b_n,b\right)(2)$

$\rho \left(a_n,b_n\right)+\rho \left(a_n,a\right)+\rho \left(b_n,b\right)\geq \rho (a,b)(3)$

Так как $a_n\rightarrow a$ , $b_n\rightarrow b$ при $n\rightarrow \infty$ , то для $\varepsilon >0$ найдется такое натуральное $inline$ , что для всех $inline$ будет

$\rho \left(a_n,a\right)<\frac{\varepsilon }{2},\rho \left(b_n,b\right)<\frac{\varepsilon }{2}(4)$

Из $inline$ следует, что $\left|\rho (a,b)-\rho \left(a_n,b_n\right)\right|<\varepsilon$ для всех $inline$ .

2. Для каждого $\varepsilon >0$ в $inline$ существует конечная $\varepsilon$ -сеть.

Доказательство. Семейство открытых шаров $\left\{Q_{x,\varepsilon }\right\}$ , где $inline$ пробегает $inline$ , является покрытием $inline$ . Т. к. $inline$ компактно, выберем конечное семейство шаров $\left\{Q_{x_1,\varepsilon },\ldots ,Q_{x_m,\varepsilon }\right\}$ , также покрывающих $inline$ . Ясно, что множество $A=\left\{x_1,\ldots ,x_m\right\}$ — конечная $\varepsilon$ -сеть.

3. Пространство $inline$ ограничено. А именно, существует такое число $inline$ , что $\rho (x,y)<d$ для любых $x,y\in E$ .

Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим $g=\underset{i\neq j}{\max }\left(x_i,x_j\right)$ , где $inline$ , $inline$ — элементы $\varepsilon$ -сети $inline$ . Ясно, что $\rho (x,y)\leq g+2\varepsilon$ .

4. Если $B=\left\{a_1,\ldots ,a_n\right\}$ — конечная $\frac{\varepsilon }{2}$ -сеть в $inline$ , то для любого $\varepsilon$ -разреженного множества $inline$ будет $|K|\leq |B|$ , т. е. $|K|\leq n$ .

Доказательство. Объединение шаров $inline$\underset{i=1}{\overset{n}{\unicode{222a}}}Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$inline$ покрывает $inline$ . Если $inline$ , то два различных элемента из $inline$ окажутся в одном из шаров $Q_{a_i,\frac{\varepsilon }{2}}$ , что противоречит тому, что $inline$ — $\varepsilon$ -разреженное множество.

5. Каждому $\varepsilon$ -разреженному множеству $A\subset E$ поставим в соответствие число $inline$ — его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому $\varepsilon$ -разреженному множеству $inline$ в соответствие число $inline$ , ограничена. Отметим, что функция, которая каждому $\varepsilon$ -разреженному множеству $A\subset E$ ставит в соответствие его длину $inline$ , также ограничена.

6. Пусть $c=\sup l(A)$ , где $\sup$ берется по всем $\varepsilon$ -разреженным множествам $A\subset E$ . Тогда справедлива

Лемма 1. Существует $\varepsilon$ -разреженное множество $C=\left\{a_1,\ldots ,a_k\right\}$ , такое что $inline$ , $inline$ является $\varepsilon$ -сетью в $inline$ , $inline$ также является $\varepsilon$ -сетью в $inline$ и для любых $a_i,a_j\in C$ будет $\rho \left(a_i,a_j\right)=\rho \left(f\left(a_i\right),f\left(a_j\right)\right)$ .

7. Лемма 2. Отображение $inline$ непрерывно на $inline$ . Более точно: если $\rho (x,y)<\varepsilon$ для любых $x,y\in E$ , то $\rho (f(x),f(y))<5\varepsilon$ .

Доказательство. Рассмотрим $\varepsilon$ -сеть $inline$ из Леммы 1. Если $inline$ не принадлежит шару $Q_{a_i,\varepsilon }$ , то $inline$ не принадлежит $Q_{f\left(a_i\right),\varepsilon }$ . Это значит, что найдётся такое $inline$ , что $x\in Q_{a_i,\varepsilon }$ и $f(x)\in Q_{f\left(a_i\right),\varepsilon }$ . Аналогично существует такое $inline$ , что $y\in Q_{a_j,\varepsilon }$ и $f(y)\in Q_{f\left(a_j\right),\varepsilon }$ . Оценим $\rho (f(x),f(y))$ . Ясно, что $\rho (f(x),f(y))<\rho \left(f\left(a_i\right),f\left(a_j\right)\right)+\varepsilon +\varepsilon =\rho \left(a_i,a_j\right)+2\varepsilon$ . А так как $\rho (x,y)<\varepsilon$ , и $x\in Q_{a_i,\varepsilon }$ , $y\in Q_{a_j,\varepsilon }$ , то $\rho \left(a_i,a_j\right)<3\varepsilon$ . Следовательно, $\rho (f(x),f(y))<5\varepsilon$ .

Итак, мы доказали, что $inline$ непрерывно отображает $inline$ в $inline$ . Из Леммы 1 следует, что для каждого $\varepsilon >0$ существует $\varepsilon$ -сеть в $inline$ такая, что $inline$ сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек $x,y\in E$ можно найти последовательности $x_n\rightarrow x$ , $y_n\rightarrow y$ такие, что $\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)=\rho \left(x_n,y_n\right)$ . Но $\rho \left(x_n,y_n\right)\rightarrow \rho (x,y)$ при $n\rightarrow \infty$ . Из непрерывности отображения $inline$ следует, что $f\left(x_n\right)\rightarrow f(x)$ , $f\left(y_n\right)\rightarrow f(y)$ при $n\rightarrow \infty$ . Следовательно, $\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)\rightarrow \rho (f(x),f(y))$ при $n\rightarrow \infty$ . А т. к. для любого $inline$ выполняется равенство $\rho \left(x_n,y_n\right)=\rho \left(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right)\right)$ , то $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$ .

Замечание

Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.

Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы

Хабы:

Если эта публикация вас вдохновила и вы хотите поддержать автора — не стесняйтесь нажать на кнопку

Теорема Бошерницана

Замечание

Публикации

Ближайшие события