yurixi 17 апр 2023 в 19:46

Как приготовить формулу Стирлинга

Средний

2 мин

5.2K

Туториал

Все мы любим кошек. Многие даже умеют их готовить. Если у нас есть пятьдесят кошек и пятьдесят печек, то вариантов – сколько может быть комбинаций распихать кошек по печкам – будет факториал от пятидесяти.

Все мы знаем что такое факториал. Мы знаем, что вариантов куда запихать первую кошку будет 50, а у второй уже 49, и значит количество рассчитываемых вариантов на второй кошке будет 50*49 = 2450. Пока мы дойдём до последней кошки то все числа от 50 до 2 будут уже перемножены. И у нас останется одна свободная печка, куда мы последнюю кошку и запихнём.

И пока печки не включены, можно немного подумать, вдруг какой-нибудь из других 30414093201713378043612608166064768844377641568960511999999999999 вариантов расстановки был бы получше.

Умножать столько раз, каков сам аргумент, и каждый раз – на другое число, может быть утомительно. И точно дольше по сравнению с простым возведением в степень. В справочниках существует загадочная формула Стирлинга, которая помогает подсчитать количество вариантов как раз с этой особенностью - не с полной точностью, но зато через возведение в степень.

Я расскажу как в отсутствие справочника можно приготовить формулу Стирлинга в домашних условиях.

Для этого нам понадобится два ингредиента:

Разложение логарифма.

$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{(-x)^k}{k} \qquad |x|<1$

Особенное соотношение двух переменных.

$\frac{1+x}{1-x}=\frac{n+1}{n+0}$

Которое может быть приготовлено из обыкновенного равенства:

$x=\frac{1}{2n+1}$

Сначала мы применяем логарифм к соотношению и раскатываем всё в одну строку.

$\ln(1+n^{-1})=\ln(1+x)-\ln(1-x)$

Затем применяем разложение.

$\ln(1+n^{-1})=\sum_{k=1}^\infty-\frac{(-x)^k}{k}+\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$

Важно разделить чётные и нечётные элементы.

$\ln(1+n^{-1})={\small\sum_{k=0}^\infty-\frac{(-x)^{2k+1}}{2k+1}+\sum_{k=0}^\infty-\frac{(-x)^{2k+2}}{2k+2}+\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+2}}{2k+2}+\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{2k+1}}$

Парочка сумм в центре растворится, а по краям, наоборот, сконденсируется.

$\ln(1+n^{-1})=2\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

Аккуратно выносим из суммы.

$\ln(1+n^{-1})=2x\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{2k+1}$

И заменяем его на .

$\ln(1+n^{-1})=\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\sum_{k=0}^\infty\frac{(2n+1)^{-2k}}{2k+1}$

Переносим коэффициент влево, и убираем добавленный в самом начале логарифм, с помощью экспоненты.

$(1+n^{-1})^{n+\frac{1}{2}}=\exp\sum_{k=0}^\infty\frac{(2n+1)^{-2k}}{2k+1}$

Теперь нужно так же аккуратно вынести из суммы вариант с и перенести его влево.

$\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}}{e}=\exp\sum_{k=1}^\infty\frac{(2n+1)^{-2k}}{2k+1}$

А теперь очень необычная операция: перемножаем сразу все варианты для аргумента .

$\prod_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}}{e}=\exp\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac{(2n+1)^{-2k}}{2k+1}$

Всё это закладываем в калькулятор и считаем до появления числа $\pi$ .

$\prod_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}}{e}=\frac{e}{\sqrt{2\pi}}$

После того как вынули из калькулятора ждём пока верхний предел остынет, и справа образуется коэффициент расхождения.

$\prod_{n=1}^k\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}}{e}=c_k\frac{e}{\sqrt{2\pi}}$

Теперь по рецепту следует раскрыть произведение через все элементы.

$\frac{\left(\frac{2}{1}\right)^{1+\frac{1}{2}}}{e}\cdot\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2+\frac{1}{2}}}{e}\cdot\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{3+\frac{1}{2}}}{e}\cdot\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^{4+\frac{1}{2}}}{e}\cdot\ldots\cdot\frac{\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k+\frac{1}{2}}}{e} =c_k\frac{e}{\sqrt{2\pi}}$

Здесь можно заметить, что для каждой пары соседних множителей числитель левой дроби и знаменатель правой дроби одинаковые, а значит могли бы быть полностью сокращены, если бы степени не отличались. А так как на единицу отличаются, то от каждой дроби остаётся знаменатель, и в результате в общем знаменателе появляется факториал.