6. Устойчивость систем автоматического управления. 6.6 Понятие об областях устойчивости / Хабр

Но сначала краткое содержание предыдущих серий:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено. 3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.

6.6 Понятие об областях устойчивости

До этого мы рассматривали устойчивость САР, как свойство конкретных передаточных ф��нкций, анализируя их характеристики. Понятно, что для реальных систем управления необходимо обеспечивать устойчивость. Неустойчивые системы управления никому не нужны. В этой лекции разберем кто виноват и что делать.

Вспомним, что передаточные функции САР у нас появляются не просто так, а как следствие преобразования уравнений описывающих физические процессы. Например, в этой статье показано, как из статических характеристик демпфера, таких как масса, упругость пружины, трение, получается передаточная функция демпфера: «Технология» получения уравнений ТАУ. Поэтому после анализа устойчивости можно вернутся на уровень физических уравнений и что нибудь поменять, например жесткость пружины для демпфера, что бы получить устойчивую систему. Рассмотрим как это делается.

Предположим, что разомкнутая САР имеет передаточную функцию вида:

$W(s)=\frac{k\cdot N(s)}{L(s)}$

Если САР замкнута, то ее передаточная будет иметь вид:

$\Phi(s)=\frac{k\cdot N(s)}{D(s)}=\frac{k\cdot N(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}$

Где $D(s)=L(s)+k\cdot N(s)$ - характеристически полином замкнутой САР.

Характеристическое уравнение такой системы имеет вид:

$D{(\lambda)}=a_n\cdot \lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1\cdot\lambda+a_0=0$

Как мы уже показали ранее (см. лекцию 6.1 Теоремы Ляпунова) для того что бы система была устойчива все корни $\lambda_i$ должны находится в левой полуплоскости, иметь отрицательную вещественную часть.

Предположим, что коэффициент изменяется от до $\infty$ . Будем давать фиксированные значения и определять значения всех “n” корней уравнения. Тогда при некоторых значениях все корни либо отрицательные, либо имеют отрицательную вещественную часть (расположены в левой полуплоскости). И наоборот: появляются корни с положительной вещественной частью (т.е. корни, расположенные в правой полуплоскости). Тогда на можно построить полуось изменения , определены области устойчивости, т.е. отрезки значений , при которых САР устойчива.

Рисунок 6.6.1 Области устойчивости на оси значений .

Если изменять 2 коэффициента в характеристическом уравения, например и (или коэффициенты и в передаточной функции САР), то мы получим области устойчивости на плоскости параметров:

Рисунок 6.6.2. Области устойчивости на плоскости 2- х параметров

Если одновременно изменять 3 коэффициента (например или ) то мы получим поверхность усточивости.

Если изменяются 4 или более коэффициентов, то получаем гиперповерхность устойчивости.

Например, для системы 2-го порядка c характеристическим полиномом $D(\lambda)=\lambda^2+a_1\cdot\lambda+a_0$ согласно критерию Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов и .

Рисунок 6.6.4 Область устойчивости системы второго порядка

Вспоминая лекцию 6, "Если корни комплексные, то процесс колебательный, если корни реальные, то процесс апериодический (затухающий)", можно сказать что:

ось ординат cоответсвует апериодической границе устойчивости, т.к. если $\lambda+a_1\cdot\lambda=0$ , то корни характеристического уравления: $\lambda_1=0, \lambda_2=-a_1;$ ось абсцисс соответсвует колебательной границе устойчивости, т.к. если $\lambda^2+a_0=0$ , то корни характеристического уравления: $\lambda_{1,2}=-a_1$ ;

Разбиение пространства коэффициентов (параметров) характеристического уравнения на области устойчивости и неустойчивости называется Д-разбиением. Данный подход, впервые предложил Ю.И. Неймарк (СССР) в 1948 г.

6.7 Д-разбиение плоскости по одному (комплексному параметру)

Рассмотрим замкнутую САР. Характеристическое уравнение имеет вид:

$D(\lambda)=a_n\cdot\lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1\cdot\lambda+a_0=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.1)}$

Где $\lambda$ - корень характеристического полинома, при котором $D(\lambda)=0$ .

Предположим, что существует некоторый параметр САР, который входит линейно в один, несколько, или даже все все коэффициенты уравнения 6.7.1 (например, коэффициент усиления некоторого звена, или постоянная времени Т некоторого звена). Тогда, те коэффициенты, которые линейно зависят от можно представить как:

$\begin{cases}a_n&=a'_n+k\cdot a_n''\\a_{n-1}&=a_{n-1}'+k\cdot a_{n-1}''\\...&=............\\a_1&=a_1'+k\cdot a_1''\\a_0&=a_0'+k\cdot a_0'' \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.2)}$

Выражение 6.7.2 может бы применено даже для одного слогаемого в полиноме. Подставляя выражение 6.7.2 в уравнение 6.7.1 получаем уравнение для определения корней характеристического полинома в виде:

$D(s)=S(\lambda)+k\cdot R(\lambda)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.3)}$

где:
$S(\lambda)=a'_n\cdot \lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+\cdots+a_1'\cdot\lambda+a_0'$ - часть полинома, которая не содержит множетель .
$R(\lambda)=a_n''\cdot\lambda^n+a_{n-1}''\cdot\lambda^{n-1}+\cdots+a_1''\cdot\lambda+a_0''$ - часть полинома, которая содержит множитель .

Тогда можно записать выражение для :

$k=-\frac{S(\lambda)}{R(\lambda)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.4)}$

В плоскости корней $\lambda_j$ система явялется устойчивой для корней в левой полуплоскость, а границей устойчивости – ось ординат (см. лекцию 6.1). Рассмотрим границу устойчивости - ось ординат, где у корней $\lambda_i$ нет действительной части.

Подставим в уравнение 6.7.3 вместо $\lambda$ , значение $i\cdot\omega$ , и рассмотрим изменение $\omega$ от $-\infty$ до $+\infty$ . При этом каждому значению $i\cdot\omega$ можно найти такое значение множителя , что бы выражение 6.7.3 было равно нулю. В этом случае используя выражение 6.7.4 можно получить выражение для комплексного числа k, соотвествующего числу $\lambda$ расположенному на граинице устойчивости:

$k=-\frac{S(i\cdot\omega)}{R(i\cdot\omega)}=\underbrace{U(\omega)}_{Re(k)}+\underbrace{i\cdot V(\omega)}_{Im(k)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.5)}$

где $U(\omega)$ и $V(\omega)$ - некторые функции от $\omega$ . Таким образом выражение 6.7.5 можно изобразить на комплексной полоскости.

Подставляя в выражение (6.7.5) значение $\lambda=i\cdot\omega_1$ получаем точку 1 на плоскости ; подставляя значение $\lambda=i\cdot\omega_2$ получим точку 2 на плоскости ; подставляя $\lambda=i\cdot\omega_3$ - третью и т.д. Соединив изображающие точки на плоскости k получаем линию Д-разбиения, т.е. отображение мнимой оси на плоскости на плоскость k.

Линия Д-разбиения на плоскости должна разделять области устойчивости и неустойчивости.

Неймарк показал, что если существует область устойчивости на плоскости , то она должна находиться слева от линии разбиения, если двигаться вдоль нее от меньших значений к большим.

Для оценки областей устойивости штирхуется область слева от линии Д-разбиения.

Рассмотри точку А2 (см. рис. 6.7.1). Поскольку линия Д- разбиения формируют петлю, то непонятно точная принадлежность соотвесвующего корня к устойчивым или неустойчивым. Однако можно сказать, что переход из точки А2 в точку А3 (см. рисунок 6.7.1) не изменяет количества корней, лежащих в правой полуплоскости, поскольку нет перехода черех линию Д- различения;

Переход из точки А2 в точку А1 уменьшает количество неустойчивых корней уравнения (6.7.1) на 1, а переход из точки А2 в точку А4 – наоборот увеличивает на 1.

Для многих САР, при $\omega =0$ линия Д-разбиения проходит через начало координат (но не для всех бывают исключения);

Замкнутая область со штриховкой внутри (см. рис. 6.7.1), явялется кандидатом на область устойчивости. Чтобы удостоверится, что данная область – область устойчивости, необходимо какую-нибудь точку на вещественной оси внутри заштрихованной области подставить в исходное характеристическое уравнение (6.7.1) и либо решить его, либо используя какой-либо критерий сделать вывод об устойчивости или неустойчивости САР.

Для систем невысокого порядка весьма эффективен критерий Гурвица, можно использовать критерий устойчивости по Михайлову.

Линия Д-разбиения обладает свойством зеркальной симметрии относительно оси абсцисс:

$\left[ \begin{gathered} U(\omega) =U(-\omega)\\ V(\omega)=-V(-\omega) \end{gathered} \right.$

Поэтому линию D-разбиения можно строить только для одной половины, например для $\omega \in [0,+\infty]$ и зеракльно потом зеркальн отобразить.

Линию D-разбиения можено строить так же с учетом запаса устойчивости. В этом случае используется не ось ординат - граница устойчивости, а сдвинутая в устойчивую область линия. Вместо $\lambda=i\cdot\omega$ в уравнение 6.7.5 подставляется значение $\lambda = -\alpha+i\cdot\omega$ . Тогда при изменение $\omega$ от $-\infty$ до $+\infty$ мы получим область значении , при которых корни уравнения 6.7.1 будут расположены левее линии $Re(\lambda)=-\alpha$ , см. рисунок 6.7.2

Рисунок 6.7.2 Д- разбиение с запасом устойчивости.

Пример 1.

Определить область устойчивости замкнутой системы при варьировании параметра если САР имеет вид:

Рисунок 6.7.3 САР для анализа на усточивость

где: $W(s)=\frac{k}{s^3+2\cdot s^2+k\cdot s+1}$ ;

Решение:

Передаточная функция замкнутой системы (см. лекцию Структурные преобразование система автоматического регулирования):

$W'(s)=\frac{W(s)}{1+W(s)}= \frac{N(s)}{L(s)\cdot \left[1+\frac{N(s)}{L(s)}\right]}=\frac{N(s)}{L(s)+N(s)}=\frac{k}{s^3+2\cdot s^2+k\cdot s+1+k}$

Характеристическое уравнение замкнутой САР имеет вид:

$D(\lambda)=\lambda^3+2\cdot\lambda^2+k\cdot\lambda+1+k$

Выражение для коэффициента из характеристического уравнения $\Rightarrow$

$k=\frac{\lambda^3+2\cdot\lambda^2+1}{\lambda+1}$

Для поиска границы устойчивости подставляем $\lambda=i\cdot\omega \Rightarrow$

$k=-\frac{(i\cdot\omega)^3+2\cdot(i\cdot\omega)^2+1}{i\cdot\omega+1}=\frac{(i\cdot\omega^3+2\cdot\omega^2-1)}{1+i\cdot\omega}\cdot\frac{(1-i\cdot\omega)}{(1-i\cdot\omega)}\Rightarrow$

Определяем вещественную и минимую части выражения зависимости

$Re[k]=U(\omega)=\frac{\omega^4+2\cdot\omega^2-1}{1+\omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{ (П.3)}$ $Im[k]=V(\omega)=\frac{\omega^3-2\cdot\omega^3+\omega}{1+\omega^2}=\frac{\omega\cdot(1-\omega^2)}{1+\omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(П.4)}$

Строим линию Д-разбиения по формулам (П.3) и (П.4), наносим штриховку с левой сторный от линии, если идти от $-\infty$ до $\infty$ см. рис. 6.7.4

Согласно штриховки устойччивой может быть область . Далее необходимо проверить, является ли найденная область устойчивой. Пусть .

Подставляя в характеристический многочлен $D(s) \Rightarrow$

$D(s) =s^3+2\cdot s^2+5\cdot s+1+5=1\cdot s^3+2\cdot s^2+5\cdot s+6$

Воспользумеся критерием Гурвица :

лители:

$Г=\begin{bmatrix} 2 &6 &0\\ 1 &5 &0 \\ 0 &2 & 6 \end{bmatrix}\Rightarrow \left \{ \begin{align} \Delta_2 &=5>0; \\ \Delta_2 &= \left | \begin{matrix} 2 &6\\ 1&5 \end{matrix} \right | =2\cdot 5-6\cdot1=4>0 \\ \Delta_3 &= 4 \cdot 6=24>0; \end{align} \right.$

Все определители матрицы Гурвица больше нуля, следовательно САР устойчива. Следовательно весь отрезок $k \in ]1;+\infty]$ - область устойчивости.

Решение в среде структурного моделирования

Для постороения линии Д-разбиения можно воспользоваться расчетом в среде динамического моделирование SimInTech. На рисунке 6.7.6 Представлен скриншот проекта построения линии Д-разбиения, для примера 1.

С помощью главного скрипта проекта записываем выражения для и , (формулы П.3 и П.4). В скрипте переменные ReK и ImK. Используя переменную w в качестве переменной $\omega$ . Осуществляем присвоение времени моделирования переменной w (выражение w = time;). Это позволяет нам построить график от 0 до T_end - заданного значение вермени моделирования. Используя симметричность линии Д-разбиения относительно оси реальных значений, записываем выражения для части линии, соотвествующе отрицательным заначениям $\omega$ от - T_end, до 0. (см. рис. 6.7.5)

Для того что бы построить график измпользуем блок "Фазовый портрет", в качестве входов используем блоки "Констата" в свойствах в столбце формула указываем имена соответствующих переменных для положительных и отрицательных значениях $\omega$ (см. рис. 6.7.5)

Во время расчета на каждом шаге происходи изменение w, вычислются значения действительной и мнимой части и строится график. При этом красная линия, это положительная часть линии, синия отрицательная. (см. рис. 6.7.5).

Рисунок 6.7.5 Построение Д-разбиение в виде фазового портрета

Соберем схему, для проверки устойчивости САР используя три значения для: из разных областей полученных при построеи Д-разбиения. Для этого введем новые переменные в галваном скрипте программы и присвоим им значения в секции инициализации:

Рисунок 6.7.6 Определение коэффициентов для переходного процесса

Что бы построить три разные функции передаточные функции с использованием одной схемы, воспользуемя свойствами векторизации, когда одна схема одновременно рассчитывает несколько независимых процессов. Для этого в свойствах блока зададим параметры в виде матрицы, каждая строка которой, соответсвует отдельной передаточной функции. А входное воздействи размножим в три сигнала:

Рисунок 6.7.7. Настройка блока для расчета трех независимых передаточных функций

Результаты моделирования показывают, что система устойчива при находится на колебательной границе устойчиваость при и неустойчива при (см. рис. 6.7.8)

Пример 2

Найти область устойчивости по коэффиценту для передаточной функции характеристичекий полином которой определяется выражением:

$D(s)=s^3+s^2+k\cdot s+1$

Характеристическое уравнение: $D(\lambda)=\lambda^3+\lambda^2+k\cdot\lambda+1=0$

Выражения для коэффициента $k=-\frac{\lambda^3+\lambda^2+1}{\lambda}$ заменяем $\lambda=i\cdot\omega\Rightarrow$

$k=-\frac{(i\cdot\omega)^3+(i\cdot\omega)^2+1}{i\cdot\omega}\cdot\frac{i\cdot\omega}{i\cdot\omega}=\frac{\omega^4-i\cdot\omega^3+i\cdot\omega}{\omega^2}\Rightarrow$

Выражение для реальной и мнимой части комплексного параметра :

$Re[k]=U(\omega)=\omega^2;$ $Im[k]=V(\omega)=\frac{1-\omega^2}{\omega}.$

Строим линию Д-разбиения:

Область возможной устойчивость $k\in]1,+\infty]$ . Проверяем устойчивось путем моделирования при . Видим, что САР устойчива при .

Рисунок 6.7.10. Переходной процесс при разных значениях k

Дальше будет метод расчета САР с циркулем штангелем и рабиновичем на милиметровой бумаги. Я предупредил!

6.8 Метод Д-разбиений на плоскости 2-х действительных параметров

Предположим, что структурная схема некоторой САР имеет вид:

Необходимо определить параметры регулятора (например К_рег и Т_рег) обеспечивающих устойчивость системы. В этом случае задача анализа сводится к поиску области устойчивости САР при варьировании 2-х параметров (в данном случае К и Т):

Рисунок 6.8.2 Область устойчивость при варировании параметров К и Т

Используя методы структурного преобразования любую сложную САР можно свести к одному передаточному звену.

Поскольку рассматриваются линейные (или линеаризованные) САР, то характеристическое уравнение имеет вид:

$a_n\cdot\lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1\cdot\lambda+a_0=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.1)}$

Предположим, что один или несколько коэффициентов линейно зависит от и :

$\begin{cases}a_n&=a'_n+k\cdot a_n''+T\cdot a_n'''\\a_{n-1}&=a_{n-1}'+k\cdot a_{n-1}''+T\cdot a_{n-1}'''\\...&=.......................\\a_1&=a_1'+k\cdot a_1''+T\cdot a_1'''\\a_0&=a_0'+k\cdot a_0''+T\cdot a_0''' \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.2)}$

Подставляя значения коэффициентов в уравнение (6.8.1), получаем:

$R(\lambda)\cdot k+S(\lambda)\cdot T+Q(\lambda)=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.3)}$

Где $Q(\lambda),S(\lambda),Q(\lambda)$ - полиномы по степеням $\lambda$

$\begin{cases}Q(\lambda)&=a'_n\cdot\lambda^n+a_{n-1}'\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1'\cdot \lambda+a_0'\\S(\lambda)&=a_{n}''\cdot\lambda^{n}+ a_{n-1}''\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1''\cdot \lambda+a_0''\\R(\lambda)&=a_n'''\cdot\lambda^n+ a_{n-1}'''\cdot\lambda^{n-1}+...+ a_1'''\cdot\lambda+a_0''' \end{cases}$

Где - постоянные коэффициенты.

Рисунок 6.8.3 Отображение границы устойчивостина плоскость T,K. — Рисунок 6.8.3 Отображение границы устойчивости $\lambda_i$ на плоскость T,K.

g«Отображаем» точки мнимой оси на плоскости $\lambda_j = i\cdot\omega_j$ на плоскость (K,T) необходимо решить уравнение:

$R_1(\omega)\cdot k+i\cdot R_2(\omega)\cdot k+S_1(\omega)\cdot T+i\cdot S_2(\omega)\cdot T+\\+Q_1(\omega)+i\cdot Q_2(\omega)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.4)}$

Совершенно очевидно, что подстановка в уравнение (6.8.4) обращается в тождество при некоторых значениях К и Т. (например, точке при $\omega_1$ соответствует точка 1, $\omega_2$ - точка 2, $\omega_3$ - точка 3 и так далее.) Чтобы найти значение К и Т, соответствующие границе Д-разбиения, необходимо решить уравнение (6.8.4). Приравнивания по отдельности чисто вещественную и чисто мнимую части, получаем:

$\begin{cases}R_1(\omega)\cdot k+S_1(\omega)\cdot T+Q_1(\omega)&=0\\R_2(\omega)\cdot k+S_2(\omega)\cdot T+Q_2(\omega)&=0 \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.5)}$

Это обыкновенная система двух линейных алгебраических уравнений. Для решения используем метод Крамера:

$k=\frac{\Delta_k}{\Delta};\ \ \ \ \ T=\frac{\Delta_T}{\Delta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.6)}$

где: $\Delta$ - главный определитель, $\Delta_k,\Delta_T$ - вспомогательные определители системы:

$\Delta=\left|\begin{matrix}R_1(\omega)&S_1(\omega)\\ R_2(\omega)&S_2(\omega)\end{matrix}\right|;\Delta_k=\left|\begin{matrix}-Q_1(\omega)&S_1(\omega)\\-Q_2(\omega)&S_2(\omega)\end{matrix}\right|;\Delta_T=\left|\begin{matrix}R_1(\omega)&-Q_1(\omega)\\R_2(\omega)&-Q_2(\omega)\end{matrix}\right|$

Таким образом можно для каждого значения $\omega$ получить точку на плоскости . Соединяя полученные точки получаем линию Д-разбиения на плоскости двух действительных параметров.

Свойства симметрии при изменении $i\cdot\omega$ заключаются в том, что линия при измененеи $\omega$ от 0 до $+\infty$ линия Д-разбиения совпадает с линией при измени от $-\infty$ до 0.

Например, если $\omega$ изменяется от $-\infty$ (точка С на рис) до нуля (точка А), то линия Д-разбиения – СВА, причем если построить линию Д-разбиения при $\omega$ изменяющейся от нуля до $+\infty$ , то эта линия совпадает с линией АВС, т.е. путь от до 0 и путь от 0 до проходит по одной и той же линии.

По аналогии с Д-разбиением на плоскости 1-го комплексного параметра, выясним правила определения возможной области устойчивости, т.е. правила штриховки.

Правила штриховки

Направление штриховки зависит от знака главного определителя системы $\Delta$ .

1) Если при движении по кривой Д-разбиения от меньших значений $\omega$ (от $-\infty$ ) к большим (до $+\infty$ ) главный определитель больше 0 ( $\Delta>0$ ), то штриховка слева.

2) Если при движении по кривой Д-разбиения от меньших значений $\omega$ (от $-\infty$ ) к большим (до $+\infty$ ) главный определитель меньше 0 ( $\Delta<0$ ) то штриховка справа.

Учитывая, что точки на плоскости (К,Т) при $\omega=\omega^*$ и $\omega =-\omega^*$ совпадают (что позволяет строить только одну ветвь Д-кривой, например от 0 до $-\infty$ ), легко показать, что главный определитель $\Delta$ при $\omega=\omega^*$ и $\omega =-\omega^*$ имеет разные знаки. Это означает, что на плоскость (К,Т) с какой-то из сторон линии Д-разбиение будет нанесена двойная штриховка.

Рисунок 6.8.4 Д-разбиение на плоскости двух параметров.

Важной особенностью Д-разбиения определяемой на основании решения системы (6.8.5) является наличие случаев, когда все определители ( $\Delta,\Delta_k,\Delta_T$ ) обращаются одновременно в нуль. То есть при определенных значениях $\omega^*$ $\Delta(\omega^*)=0;\Delta_k(\omega^*)=0;\Delta_T(\omega^*)=0$

Это означает, что вместо системы (6.8.5) – системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными получается одно уравнение с двумя неизвестными, т.к. уравнения становятся линейно-зависимыми (одно получается из другого линейной операцией, например умножением на какое-то число).

Такая же ситуация возникает если все определители равны бесконечности.

Наиболее частый случай – особая прямая проходит через точку плоскости (К,Т) при $\omega=0$ или при $\omega=\pm\infty$ (Прямая 2 на рисунке).

К разряду особых прямых необходимо отнести и прямые 1 и 3 на упомянутом рисунке (проходящие через точки Bи E, соответственно).

Правила штриховки в случае особых прямых учитывают, как ведет себя главный определитель $\Delta$ при «прохождении» соответствующей точки на Д-кривой, где он равен нулю:

-если главный определитель $\Delta$ меняет знак с + на – или наоборот, то особая прямая штрихуется одинарной штриховкой в соответствии с зонами соприкосновения, т. е. учитывается штриховка на кривой Д-разбиения вблизи этой точки. (Прямые 1 и 2 соответственно).

-если главный определитель $\Delta$ не меняет знак, то особая пряма не штрихуется и не рассматривается при отыскании областей устойчивости (прямая 3 на рисунке).

Определение возможных зон устойчивости

Далее выявляются замкнутые (или полузамкнутые области), образованные штриховкой вовнутрь. Такая область – возможная область устойчивости см. рис. 6.8.4

Далее необходимо взять какую-нибудь точку М из области (К=К_м, T=T_м) и подставив значение К и Т в характеристический полином системы определить устойчива или нет САР (например по Гурвицу или непосредственным вычислением всех полюсов или корней). Если при К=К_м, T=T_мСАР устойчива, то она будет устойчива и при любых значениях К и Т из этой области, если нет, то возможная область не стала областью устойчивости.

Дополнение

1) Выше предполагалось, что параметры К и Т линейно входят в коэффициенты характеристического уравнения. Если это не так, то система, подобная (6.8.5), принимает вид:

$\begin{cases}f_1(k,T,\omega) &=0;\\f_2(k,T,\omega)&=0. \end{cases}$

где - нелинейная функция содержащая реальную часть уравнения 6.8.4;

– нелинейная функция содержащая мнимую часть уравнения 6.8.4;

Решение этой системы (например по Ньютону-Рафсону) может дать неединственность решений. Тем не менее можно построить линия Д-разбиения. Правило штриховки – аналогичное вышеприведенному, т.е. если $\Delta$ >0, то слева и наоборот. В качестве главного определителя выступает якобиан:

$\Delta=\left|\begin{matrix}\frac{Df_1}{Dk}&\frac{Df_1}{DT}\\\frac{Df_2}{D_k}&\frac{Df_2}{DT}\end{matrix}\right|$

2) Метод Д-разбиения в полной мере применим и для систем с постоянным запаздыванием, когда характеристическое уравнение является не полиномом, а квазиполиномом:

$D(\lambda)=L(\lambda)+k\cdot N(\lambda)\cdot e^{-\lambda\cdot\tau}=0;$

Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

35%Да7

60%Нет12

0%И сейчас использую0

5%Хотел бы, только не знаю где купить.1

Проголосовали 20 пользователей. Воздержался 1 пользователь.