3. Частотные характеристики систем автоматического управления. ч. 3.3 Апериодическое звено 1–го порядка

  • Tutorial

3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено)

Вывод свойств(характеристик) апериодического звена сделаем на примере фрагмента (части) ядерного реактора, а именно – входной камеры смешения.

Рисунок 3.3.1 Расчетная схема камеры смешения
Рисунок 3.3.1 Расчетная схема камеры смешения

Сделаем следующие допущения:

  1. расход теплоносителя постоянен: G = const;

  2. теплоемкость теплоносителя C_p= const;

  3. входящий в камеру смешения теплоноситель полностью перемешивается в камере смешения, т.е. температура жидкости, поступающей в каждый тепловыделяющий канал, одинакова;

  4. теплообмен камеры смешения с окружающей средой пренебрежимо мал.

Уравнение теплового баланса:

\rho \cdot C_p \cdot V \cdot \frac{dT(t)}{dt} = G \cdot C_p \cdot \left[T_{ВХ}(t) -T_{ВЫХ}(t) \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.3.1)}

где: \rho- плотность теплоносителя, кг/м^3
C_p– удельная теплоемкость, Дж/(кг \cdot K)
V– объем камеры смешения, м^3;
G– расход теплоносителя, кг/с;
T_{ВХ}(t), T_{ВЫХ}(t)– температура теплоносителя на входе и выходе, Kсоответственно;
T(t)– температура (перемешанного) теплоносителя в камере смешения T(t) ≡ T_{ВЫХ}(t).

Условие стационара когда левая часть уравнения равна нулю:

\frac{dT(t)}{dt} =0 \Rightarrow T_{ВХ}=T_{ВЫХ} =T_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.3.2)}

Введем новые переменные:

\tilde{T}_{ВХ} = \frac{T_{ВХ}(t)-{T}_{ВЫХ}(0)}{{T}_{ВХ}(0)}=\frac{T_{ВХ}(t)-T_0}{T_0}; \Rightarrow T_{ВХ}(t)= T_0 \left[1+ \tilde{T}_{ВХ}\right];\\ \tilde{T}=\tilde{T}_{ВЫХ} = \frac{T_{ВЫХ}(t)-{T}_{0}}{{T}_{0}}; \Rightarrow T_{ВЫХ}(t)= T_0 \left[1+ \tilde{T}_{ВЫХ}\right]=T(t);

Подставляя эти соотношения в (3.3.1), получаем:

\rho \cdot C_p \cdot V \cdot T_0 \cdot \frac{d\tilde{T} }{dt} = G \cdot C_P \left[ T_0+T_0 \cdot \tilde{T}_{ВХ}(t) - T_0 - T_0 \cdot \tilde{T}(t)\right] =  \\  =G \cdot C_P \cdot T_0 \left[ \tilde{T}_{ВХ} - \tilde{T}(t)\right];

Сокращая на T_0 и C_p, получаем:

\rho  \cdot V \cdot \frac{d\tilde{T} }{dt} =   G \cdot  \left[ \tilde{T}_{ВХ}(t) - \tilde{T}(t)\right] \Rightarrow \\ \frac{\rho \cdot V}{G} \cdot \frac{d\tilde{T} }{dt}+ \tilde{T}(t) = \tilde{T}_{ВХ}(t)

Введем новую переменную \tau - постоянная времени:

\tau = \frac{\rho \cdot V}{G}\tau \cdot \frac{d\tilde{T}(t)}{dt} +\tilde{T}(t) = \tilde{T}_{ВХ}(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.3.3)}

Таким образом получили линейное дифференциальное уравнение, причем переменные {T}_{ВХ}(t)и \tilde{T}(t) - нормализованные, что обеспечивает равенство их нулю при t ≤ 0

\tau– постоянная времени;
\frac{d\tilde{T}(t)}{dt}– аналог y’(t);
\tilde{T}(t)– аналог y(t);
\tilde{T}_{ВХ}(t)– аналог x(t);

Уравнение (3.3.3) соответствует типовому апериодическому звену 1-го порядка, в котором коэффициент K = 1. В общем случае уравнение динамики апериодического звена 1-го порядка имеет вид:

T \cdot y'(t)+y(t) = K \cdot x(t)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.3.4)}

Если начальные условия нулевые, то можно перевести в изображения:

y(t) \rightarrow Y(s) \\  y'(t) \rightarrow s \cdot Y(s) \\ x(t) \rightarrow X(s)

Уравнение динамики в изображениях:

 [  T \cdot s +1 ] \cdot Y(s) = K \cdot X(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \mathbf{(3.3.5)}

Уравнение динамики в изображениях:

W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{K}{T \cdot s+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \mathbf{(3.3.6)}

Найдем выражение для АФЧХ:

s = i \cdot \omega \Rightarrow W(i \cdot \omega) = W(s)\mid_{s = i \cdot  w} = \frac{K}{T \cdot i \cdot \omega+1} \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.3.7)}

Умножим на комплексно – сопряженное значение  (1 - i \cdot T \cdot \omega):

W(i \cdot \omega) =\frac{K \cdot(1- i\cdot T \cdot \omega)} {(1+ i \cdot T \cdot \omega)(1 - i \cdot T \cdot \omega)} = \underbrace {\frac{K}{1+T^2 \cdot \omega^2}}_{Re =u(\omega)} - i \cdot \underbrace {\frac{K\cdot T \cdot \omega}{1+T^2 \cdot \omega^2}}_{Im =v(\omega)}\Rightarrow u(\omega) = \frac{K}{1+T^2 \cdot \omega ^2} \ \ \ \ \ \mathbf{(3.3.8.a)}\\ v(\omega)= -\frac{K \cdot T \cdot \omega}{1+ T^2 \cdot \omega^2}\ \ \ \ \ \mathbf{(3.3.8.b)}

Анализируя поведение  u(ω) и  v(ω) при \omega \rightarrow 0 и при \omega \rightarrow \infty , получаем:

\omega \rightarrow 0 \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} u(\omega) \rightarrow K \\ v(\omega) \rightarrow 0\ \end{gathered} \right.\omega \rightarrow \infty \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} u(\omega) \rightarrow 0 \\ v(\omega) \rightarrow 0\ \end{gathered} \right.

Подставляя в формулы (3.3.8) различные значения частоты ω, найдем соответствующие значения u(ω) и v(ω). Построим эти вектора на комплексной плоскости:

Рисунок 3.3.2 – Годограф АФЧХ апериодического звена 1-го порядка
Рисунок 3.3.2 – Годограф АФЧХ апериодического звена 1-го порядка

Анализ показывает, что годограф АФЧХ — полуокружность радиусом K/2. Формулы для дейстивительной части вектора u(\omega)и мнимой части вектораv(\omega), позволяют вычислить частоту, на которой вектор находится в нижней точке окружности \omega_3 (см. рис. 3.3.2).

\omega_3 =  \frac{1}{T} \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} u(\omega_3) = \frac{K}{2} \\ v(\omega_3)  = - \frac{K}{2} \ \end{gathered} \right.

Угол сдвига фазы при данной частоте: \phi_3 = \phi(\omega_3)=\frac{\pi}{2}

Найдем зависимость амплитуды от частоты:

A(\omega) = \sqrt{ \left( \frac{K}{1+T^2 \cdot \omega^2} \right)^2+\left( \frac{K\cdot T \cdot \omega}{1+T^2 \cdot \omega^2} \right)^2} = \frac{K}{\sqrt{1+T^2\cdot \omega^2}}\ \ \ \ \mathbf{(3.3.9)}

Учитывая, что годограф АФЧХ находится в IV-ой квадранте:

\phi(\omega)= - arctg \frac{v(\omega)}{u(\omega)} =-arctg\frac{K \cdot T\cdot \omega \cdot(1+T^2\cdot \omega^2)}{K \cdot(1+T^2 \cdot \omega^2)} \Rightarrow\\\phi(\omega) =-arctg(T \cdot\omega) \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \  \mathbf{(3.3.10)}
Рисунок 3.3.3 – АЧХ апериодического звена 1-го порядка
Рисунок 3.3.3 – АЧХ апериодического звена 1-го порядка
Рисунок 3.3.4 – ФЧХ апериодического звена 1-го порядка
Рисунок 3.3.4 – ФЧХ апериодического звена 1-го порядка

 Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Lm(\omega) = 20\cdot lg (A(\omega))=20 \cdot lg \frac{K}{\sqrt{1+T^2\cdot \omega^2}} \Rightarrow \\Lm(\omega)=20\cdot lg(K) - 20 \cdot lg \sqrt{1+T^2 \cdot \omega^2}  \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \mathbf{3.3.11}
Рисунок 3.3.5 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка
Рисунок 3.3.5 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка

Анализируя частотные свойства данного звена, видим, что

  1. при ω << \frac{1}{T}свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального усилительного звена, т.е. W(i\cdot \omega) \ \approx K \Rightarrow W(s)  \approx K≈ K => W(s) ≈K.

  2. при ω >>\frac{1}{T}свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального интегрирующего звена, т.е. W(i\cdot \omega) \ \approx \frac{K}{i \cdot \omega \cdot T}  \Rightarrow W(s)  \approx \frac{K}{T \cdot s}.

  3. при ω \approx \frac{1}{T}на свойства звена оказывают примерно равное “влияние” свойства идеального усилительного и идеального интегрирующего звена.

Принято называть частоту, при которой происходит “излом” ЛАХ

\omega_{сопр} = \frac{1}{T}− сопрягающей частотой,

причем не трудно показать, что при ωсопр величина амплитуды А(ωсопр) меньше амплитуды при нулевой частоте A(0) = K в\sqrt{2} раз:

A(\omega_{сопр}) = \frac{K}{\sqrt{2}}

Частотой среза ωср называют такое значение частоты, при которой модуль (амплитуда) выходного сигнала (воздействия) равна 1. 

A(\omega_{ср})=\frac{K}{\sqrt{1+T^2 \cdot \omega_{ср} ^2}}=1 \Rightarrow\\ \omega_{ср} =\frac{\sqrt{K^2-1}}{T}

ЕслиK>>1 , то частота среза  \omega_{ср} = \frac{K}{T}

Если K<1, то частоты среза не существует !

Найдем переходную функцию звена (реакция на единичное ступенчатое воздействие):

h(t) = L^{-1} \left[ H(s)\right] = L^{-1} \left[ \frac{ W(s)}{h}\right] = L^{-1} \left[ \frac{K}{s \cdot (T\cdot s+1)}\right]

Используя обратное преобразования Лапласа (см. пример в разделе 2) получим:

h(t) = K \cdot \left[ 1-  e^{-\frac{t}{T}}\right]

Тогда, дифференцируя по времени, получаем весовую функцию ω(t):

w(t) = \frac{K}{T} \cdot e^{-t/T} \cdot1(t)

Множитель 1(t) обеспечивает равенство нулю при t ≤ 0

Рис.3.3.6 Переходная функция апериодического звена 1-го порядка
Рис.3.3.6 Переходная функция апериодического звена 1-го порядка
Рис.3.3.7 Весовая функция апериодического звена 1-го порядка
Рис.3.3.7 Весовая функция апериодического звена 1-го порядка

Постоянная времени Т характеризует инерционность переходных процессов в звене. Чем больше Т, тем инерционнее звено (т.е. медленнее идет переходной процесс).

Примерами апериодического звена 1- го порядка являются:

1) пассивные R−L или R−C цепочки (см. рисунок 3.3.8);  

Рисунок 3.3.8 Примеры апериодических звеньев 1-го порядка
Рисунок 3.3.8 Примеры апериодических звеньев 1-го порядка

2) упрощенная модель гидротурбины, где x(t) - приводной момент; y(t) − скорость вращения ротора турбины;

3) электродвигатель (постоянного тока или асинхронный) с учетом инерционности якоря (ротора), где x(t) − напряжение в обмотке возбуждения, а y(t)− скорость вращения якоря (ротора) выходного вала;

4) тепловые датчики, например, термопара, где: x(t) –температура одного (“горячего”) спая, а y(t) – термо Э.Д.С.

5) выходная камера смешения в реакторе (приближенно)

6) различные элементы реактора, описываемые в рамках точеных моделей (например, активная зона или ядерное горючее) с использованием закона Фурье:

c \frac{dT(t)}{dt} = N_{out}(t)-\alpha_{v}[T(t)-T_*]

где: T(t) − температура топлива;

\alpha_v − “объемный” коэффициент теплоотдачи;

N_{out}− выделяющаяся энергия;

T_*− температура кипения теплоносителя. 

Пример 1

Лично мне всегда было интересно, насколько теория совпадает с практикой, особенно для элемента ядерного реактора. Идеальный вариант – это разобрать туалетный бачок и сделать из него модель реактора, но, боюсь, домашние не одобрят, поэтому сравнивать будем с «цифровым двойником».

Рассмотрим расчет характеристик камеры смешения, в которую подается вода при температуре 20 °С и атмосферном давлении. 

В качестве единичного воздействия будем считать изменение температуры на 1 °C.

Свойства воды при 20 градусах и атмосферном давлении: 

  • теплоёмкость: C_p= 4183 \frac{Дж}{кг \cdot град};

  • плотность: \rho = 998.2 \frac{кг}{м^3}.

Параметры системы:

  • объем камеры смешения:    V = 0.1 м^3;

  • массовый расход воды: G = 50 \frac{кг}{с}.

Решим задачу в двух приближениях:

  •  В первом случае используем стандартный блок «Инерционное звено первого порядка», который есть в любой системе структурного моделирования, и модель общего вида. 

  • Во втором воспользуемся расчетным тепло-гидравлическим кодом НS, который используется для создания профессиональных моделей в атомной отрасли. 

Параметры блока «Инерционное звено первого порядка» задаем с помощью скриптового языка при инициализации проекта, где рассчитывается постоянная времени. (см. рис. 3.3.9). В качестве входного воздействия задаем ступеньку на пятой секунде расчета величиной 0.05, что соответствует повышению на 1 °C от начальных 20 °C . 

На схеме присутствует также блок «Построение частотных характеристик», обеспечивающий расчет ЛАХ и ФЧХ в заданном диапазоне 0.1 – 1000 1/с.

Расчетная схема и результаты расчета приведены на рисунке 3.3.9:

Рисунок 3.3.9 Частотный анализ модели камеры смешения в виде стандартного апериодического звена
Рисунок 3.3.9 Частотный анализ модели камеры смешения в виде стандартного апериодического звена

Видно, что расчетные характеристики в модели совпадают с теоретическими:

1)    Постоянная времени T = 1.996 

2)    Сопрягающая частота wсп = 1/T = 0,5009

Годограф звена, построенный с помощью Гармонического анализатора, представлен на рисунке 3.3.10, Видно, что получена полуокружность с центром в точке  (0, 0.5) и диаметром К = 1, как и предсказано в теоретической части.

Рисунок 3.3.10  Годограф модели камеры смешения в виде «Инерционного звена первого порядка».
Рисунок 3.3.10 Годограф модели камеры смешения в виде «Инерционного звена первого порядка».

Второй вариант модели в камере смешения моделируется с помощью тепло-гидравлического  расчетного кода - НS. Данный код входит в состав «Среды динамического моделирования технических систем SimTech». В коде решается более подробная система уравнений теплофизики, описание можно посмотреть здесь. Модель камеры смешения будет состоять из 4 элементов:

  1.  Блок «Подпитка» обеспечивает подачу теплоносителя с заданными параметрами и заданным расходом. В нашем случае это вода при атмосферном давлении и температурой 20 °C.

  2. Блок «Внутренний узел» (Node_1), - модель камеры смешения.

  3. Блок «Канал общего вида» моделирует обобщенно каналы отвода теплоносителя от камеры смешения (состоит из 10 участков).

  4. Блок «Граничный узел» задает температуру и давление на выходе из каналов. В нашем случае – атмосферное давление и температуру.

Общий вид модели приведен на рисунке 3.3.11 Цветовая шкала показывает распределение давления в канале, который идет после камеры смешения. Исходя из уравнений физики, система рассчитывает перепад давления, соответствующий заданному расходу по каналу (50 кг/с) с учетом его геометрии, свойств жидкости, шероховатости и т.п.

Рисунок 3.3.11 Модель камеры смешения в коде НS.
Рисунок 3.3.11 Модель камеры смешения в коде НS.

Если вывести график температуры в узле, то можно увидеть, что в начальный момент расчёта происходит какой-то переходной процесс, несмотря на то что никакого внешнего воздействие на систему нет (см. рис. 3.3.12).

Рисунок 3.3.12 Температура в узле в начальный период расчета.
Рисунок 3.3.12 Температура в узле в начальный период расчета.

Все дело в том, что система у нас динамическая, и распределение расхода и температур по узлам модели в начале расчёта не соответствует стационарному состоянию. И некоторое время происходят колебания расходов и, соответственно, температур до достижения равновесия. 

Чтобы в расчётах не учитывать данные колебания, и не заставлять пользователя задавать вручную состояние каждой точки системы, используется специальный инструмент «Файл рестарта». В этот файл сохраняются состояния системы в конце расчета или с заданным шагом.  И эти состояния можно загрузить при старте системы. Если сохранить состояние системы, находящейся в стационаре один раз, то потом можно использовать его для начала расчёта, тем самым избегая колебаний системы. Для этого необходимо:

  1. В настройках проекта задать имя файла, в который мы хотим сохранить стационарное состояние в конце расчета. 

  2. В следующих расчетах указать этот файл как начальное состояние при старте нового расчета, и изменить в нем модельное время на 0 (см. рис. 3.3.13). 

  3. Не забываем снять галочку «Сохранять рестарт при останове», если мы не хотим каждый раз получать новое состояние после каждого расчета.

Рисунок 3.3.13 Настройка файлов рестартов.
Рисунок 3.3.13 Настройка файлов рестартов.

Теперь если загрузить систему из файла рестарта, созданного в стационарном состоянии, то колебания температуры на начальном этапе исчезнут. И можно проводить эксперименты с воздействием.

Для того, чтобы сравнить модель в виде динамического звена и модель в тепло-гидравлическом коде, сделаем пакет из двух проектов:

  •  гидравлическая модель в коде НS;

  • модель виде одного звена. 

Обмен данными будет идти через базу данных сигналов. Передадим результаты расчета из гидравлического кода в модель с одним звеном и выполним сравнение результатов. Вид пакета представлен на рисунке 6.

В главном скрипте гидравлической схемы пропишем переменную T_input – температуру на входе в камеру, на 5 секунде расчёта увеличим эту температуру на °C. А температуру в узле будем записывать в базу данных сигналов в категорию nodе_HS, переменная T_out

В модели общего вида прочитаем значение сигнала в базе данных nodе_HS_T_out

Сравним с выходом из апериодического звена (модель камеры смешения) и выведем на один график.

Рисунок  3.3.13 Пакет для сравнения моделей узла смешения.
Рисунок 3.3.13 Пакет для сравнения моделей узла смешения.

Результаты совместного расчета представлены на рисунке 3.3.14

Если на общем графике в масштабе 20 – 21 °C графики практически совпадают, то анализ графика сравнения показывает наличие расхождения в момент ступенчатого изменения температуры. Причем максимальное расхождение 0.0085 °C отмечено именно в момент переключения, а потом происходит выравнивание температуры (см. рис. 3.3.14).

Рисунок 3.3.14 Сравнение переходного процесса для разных моделей камеры смешения.
Рисунок 3.3.14 Сравнение переходного процесса для разных моделей камеры смешения.

Разница связанна как раз с более сложной и детализированной моделью в тепло-гидравлическом коде НS. Дело в том, что в реальности и плотность и теплоёмкость воды не являются постоянными, а зависят от параметров давления и температуры, и даже изменение температуры на один градус ведет к изменению подведения.  

Если в масштабе посмотреть на поведение давления в камере смешения и расхода из нее, мы увидим, что несмотря на то, что расход в камеру задавался постоянным, увеличение температуры скачком привело к возникновению колебательного процесса в давлении и массовом расходе из камеры (см. рис. 3.3.15). 

Рисунок 3.3.15 Колебания давления и расхода при ступенчатом изменении температуры.
Рисунок 3.3.15 Колебания давления и расхода при ступенчатом изменении температуры.

Колебания незначительны по времени и по амплитуде, но тем не менее они влияют на расчетный процесс и хорошо наблюдаемы при масштабировании графиков.

Проведем исследования с помощью блока "Гармонический анализатор". Создадим пакет проектов, состоящий из:

  1. тепло-гидравлической модели (см. рис. 3.3.11);

  2. модели частотного анализа. (см. рис. 3.3.16).

Рисунок 3.3.16 Модель частотного анализа внешней системы.
Рисунок 3.3.16 Модель частотного анализа внешней системы.

В предыдущей лекции у нас блок гармонического анализа и анализируемая модель были в одном проекте. В данном проекте блок гармонического анализа передает воздействие в базу сигналов и забирает из нее отклик – температуру в камере смешения. 

Особенностью данной модели является то, что в начале расчёта на низких частотах нам нужен большой шаг интегрирования, чтобы считать медленный процессы быстрее. В начале анализа у нас частота 0.001 Гц. 

А в конце процесса частота 1000 Гц, и нам нужно сократить шаг интегрирования, чтобы получить достаточное количество точек в синусоидальном сигнале при высокой частоте. 

Поэтому в базу данных записывается не только тестовое воздействие, но и текущая частота (см. рис. 3.3.17).  Это позволяет при увеличении частоты воздействия уменьшить минимальный шаг расчета тепло-гидравлической схемы.  Скрипт модели приведен на рисунке 3.3.17.

Рисунок 3.3.17 Скрипт гидравлической модели.
Рисунок 3.3.17 Скрипт гидравлической модели.

Как работает этот скрипт?

Начальное значение температуры 20 °C. 

Если частота воздействия больше 100, то минимальный шаг модели 0.00001, иначе (при частоте воздействия меньше 100) минимальный шаг модели 0.0001.

Температура в блоке подпитки T_input рассчитывается как сумма начальной температуры 20°C и величины воздействия node_input из базы данных сигналов, которое формирует блок гармонического анализатора в диапазоне -1 … +1 °C. 

Температура в узле передаётся в базу данных для гармонического анализатора.

Результат длительного расчёта представлен на рисунке 3.3.18.

Рисунок 3.3.18. Результаты анализа частотного анализа гидравлической модели.
Рисунок 3.3.18. Результаты анализа частотного анализа гидравлической модели.

Мы видим, что несмотря на различия в математических моделях, частотные характеристики камеры смешения в тепло-гидравлическом коде отлично совпадают в диапазоне частот 0.001 до 50 Гц. Сравни с рисунком 3.3.9 

Однако на частотах выше 70 ФЧХ ведет себя не так, как в идеальном апериодическом звене. Если открыть график давления в камере смешения и график массового расхода в канале, можно наблюдать увеличение амплитуды колебаний с ростом частоты воздействия (см. рис. 3.3.19). 

Рисунок 3.3.19 Давление в узле и расход в выходном канале с ростом частоты воздействия по температуре.
Рисунок 3.3.19 Давление в узле и расход в выходном канале с ростом частоты воздействия по температуре.

Таким образом, изначальная модель, в которой можно было пренебречь колебаниями давления и массового расхода, с ростом частоты воздействий выше 50 Гц превращается в модель, где принятые допущения уже не работают.

Выводы.

Теория автоматического управления действительно работает, и даже ядерный реактор можно представить в виде набора динамических звеньев. 

Однако нужно внимательно смотреть за параметрами процессов, и определять диапазоны, где принятые упрощения настолько изменяют систему, что делают модель не верной . 

Пример 2

Лично для меня наиболее удивительным в теории автоматического управления является тот факт, что абсолютно разные физические процессы могут быть представлены одинаковыми типовыми звеньями САР. Для иллюстрации этого удивительного факта на рисунке 3.3.20 представлена модель эклектической схемы, которая работает как апериодическое звено. 

Напряжение в электрической схеме ведет себя в динамике так же, как температура воды в камере смешения. Даже Годограф получается с тем же радиусом, разве это не чудо!

Рисунок 3.3.20. Электрическая схема и ее частотные характеристики.
Рисунок 3.3.20. Электрическая схема и ее частотные характеристики.

Примеры моделей из лекции для самостоятельного изучения можно взять зедсь.

Предыдущая лекция: Тростые типовые звенья.

Следующая лекция: Апериодическое звено 2-го порядка.

Ссылки по теме моделирования систем:

Комментарии 31

    +1
    Частотой среза ωср называют такое значение частоты, при которой модуль (амплитуда) выходного сигнала (воздействия) равна 1.

    Есть еще одна версия: википедия.
    Там такой вариант:
    Частота́ сре́за (частота отсе́чки) — частота, выше или ниже которой мощность выходного сигнала некоторого линейного частотно-зависимого объекта, например, электронной схемы уменьшается в два раза от мощности в полосе пропускания при воздействии на вход неизменного по амплитуде сигнала.

    Оба эти определения могут быть правильными одновременно?
      0

      Так выше частоты где амплитуда равна 1, мощность сигнала как раз и уменьшается в 2 раза наклон ЛАХ 20dB на декаду.

        +1

        Есть клевая характеристика "добротность". Для радиотехники и ТАУ/САР это слово обозначает разные вещи.
        Так же судя по всему и тут, для фильтров (цифровых/аналоговых) — частота среза определяет полосу пропускания фильтра на уровне -3 дб, а для объектов ТАУ частота среза определяется при K=1.

          +1

          Есть английское cutoff frequency, а есть crossover frequency. Первое из них это как раз частота среза в смысле обработки сигналов — окончание полосы пропускания, ослабление амплитуды на корень из двух, а "энергии" вдвое (в тех случая, когда вообще уместно говорить про энергию). Второе — это частота, на которой ЛАЧХ равен нулю. Сutoff frequency это то, что используется при анализе систем/фильтров. Сrossover frequency это то, что используется при построении регуляторов частотными методами.
          Так повелось, что иногда и то и то переводят на русский как частота среза и трактуют по разному, в зависимости от контекста.

          +6
          Напишу комментарий к последней лекции с учётом того, что пробежался по первой и нескольким остальным.
          Увидем на Хабре такую статью, сначала подумал: «Вот оно! наконец-то спустя 15 лет я смогу прочитать и понять ТАУ! А заодно и Лапласа!». Ан нет. Перепечатка лекций и ничего больше.
          Начиная с первой лекции первых абзацев. Как можно вообще заниматься какой-то задачей, не видя, не понимая и не зная собственно, проблемы, которую стоит решить? Я совсем недавно узнал только, что когда запускали электричество\связь, то встала проблема длинных линий, при которых переменный сигнал, кажется, затухал на большом расстоянии и с этим пришлось бороться. Вот это нормальная такая человеческая задача. Может быть даже, она упоминалась в первых двух строчках учебника по электротехнике.
          Когда материал подаётся в виде «допустим, у нас есть ядерный ректор, в котором есть управляющее воздействие и обратная связь» и дальше понеслось 100500 формул. Да, математики разговаривают на языке математики, но тем не менее.
          В-общем, это моя «основная» претензия вообще к системе образования и стилю изложения таких статей\подхода к образованию. Грубо говоря, если у меня на столе не стоит ядерный реактор, в котором я могу проследить описанные процессы и понять, «где собака зарыта», определить проблему и поставить задачу, то разговаривать о коэффициенте вязкости масла в параметрах нелинейного уравнения рановато.
          Мы на лекциях по электротехнике до уссачки изучали ПН-переходы транзисторов и диодов, ни разу не видев их вживую и не припаяв ни одного из них на плате. Когда препод занёс плату от старого телека и попросил показать ему где тут транзистор, ток несколько человек робко подняли руку. И то те, кто паяльник хотя бы раз в жизни держал.
          Препода парируют: вы ж будущие инженеры, вы будете не паять а разрабатывать(кхе-хе) устройсва, вам паять не надо.
          Не должно быть так. Если эту область не понимают 90% обучающихся, то что-то тут не то. И вопрос не в сложности дисциплины, как мне кажется.
          И я не понимаю, почему профессора, которые понимают, что их не понимают 90% учащихся продолжают читать одни и те же лекции?
          Или я ошибаюсь насчёт 90%? Ну хорошо, 80.
            +1

            Скажите, а что именно вы бы хотели понять о ТАУ спустя 15 лет? Мне правда интересно.

              +1
              В предыдущих статьях в коментах где-то была ссылка на книгу «математика в огне». Я примерно про это. Про методику преподавания, про подход и т.д. Эти предметы не должны быть сложны. Ну или я просто дурак)))
                +2

                Я посмотрел оглавление. Понимаете, не смотря на название, это же не учебник. Как бы увлекательно не было там написано, но вы не научитесь по такой книге применять теорему о вычетах и не отточите навык применения этой теоремы для решения задач.


                Это как я, читающий книги Саскинда о чёрной дыре. Интересно, увлекательно, расширяет кругозор. Но я же не считаю, что всерьёз изучаю современную физику. Так же и со всеим "увлекательными" книгами по математике — это научпоп.


                Такой научпоп интересен взрослым людям, работающим в других областях, когда им хочется расширить горизонты и узнать что-то новое о величии человеческого разума. Такой увлекательный научпоп безусловно нужен школьникам — их заставляют ходить в школу и учить математику, и для них нужно создавать внутреннюю мотивацию интереса в дополнение к внешней мотивации оценок.


                Но эта схема, на мой взгляд, утрачивает внутреннюю логику когда мы переходим к совершеннолетним студентам. Как это предполагается? Абитуриент приходит с горящими глазами и говорит "Я хочу заниматься энергетикой, проектировать сети, подстанции!" или "Я хочу строить самолёты, пусть меня научат!". Преподавательский коллектив отвечает "Да, научим! Смотри, первые пару лет надо изучать общепрофильные специальности: матанализ, физика, метрология, общая электротехника, ТАУ. Эти предметы составляют фундамент современного инженерного дела, без них потом всё посыпется. Параллельно будут курсы введения в специальность. А потом, начиная с третьего года, мы начнём на этом фундаменте строить здание уже по твоем профилю — проектировать энергосети, строить самолёты". Студент доверяет своим преподавателям и изучает фундаментальные дисциплины, поддерживаемый внутренней мотивацией интереса в своей специальности.
                Что происходит на самом деле? Абитуриент приходит и говорит "Мне вообще-то похрен, куда идти, лишь бы корочка и отсрочка. Но вот у вас проходной балл доступный, чё вы там строите?". И всё, внутренней мотивации нет, а преподаватели её не создают, ведь вы же сюда добровольно пришли, да? Должны ли преподаватели работать над созданием внутренней мотивации для взрослого человека? Да, в какой-то степени, но и нет в какой-то степени. У нас по мере развития общества возраст психологического взросления сдвигается (и это хорошо). Может и возраст поступления в ВУЗ стоит на пару лет сдвинуть, чтобы часть абитуриентов успела задумалаться, что они со своей жизнью делают.


                Второй вопрос, что студент может не верить преподавателям, что, например, метрология нужна для его специальности. Это можно обойти, если изучать метрологию в контексте, наполняя подходящими примерами. Но это дорого логистически. Общие курсы (матанализ, физика, электротехника, метрология, вот это всё) читаются одновременно и одинаково студентам разных специальностей, и примеры приходится использовать тоже максимально общие и обезличенные. Разрабатывать специальный курс линейной алгебры для студентов авиастроения, который будет по примерам и контексту отличаться от курса для энергетиков — дорого и сложно, требует большего штата преподавателей. Хотя, безусловно, было бы полезно для преподавания.

                  0
                  Вы описали про внешнюю мотивацию сдудента: желание учиться, отсрочка от армии, «лишь бы выучиться» — это все мотивации, которые находятся «снаружи» науки.
                  А я говорю про мотивацию «внутри» науки. Науки и дисциплины — жутко интересные вещи. Но стиль, методика, подходы и материал судя по всему, отбивает желание у 90% учащихся вообще вникать в то, про что ведётся речь. Нарисовал в симулинке звено, сдал лабораторку, помолился и так до следующего раза. Из года в год. Тысячи студентов. Что, все демотивированные и «не хотят учиться»?
                    +1

                    Да, есть внешняя, а есть внутренняя. Я не соглашусь ни про 90 процентов, хотя, наверное, бывают и совсем плохие преподаватели, могильщики интереса.


                    Моё внимание больше привлекает то, что с самого начала на входе мы имеем гораздо меньше студентов с внутренней мотивацией, чем ожидаем от людей, сознательно выбравших свою будущую профессию. И не надо во всём винить преподавателей, которые, внезапно, оказались не массовики-затейники-профориентаторы.

                      0
                      мне кажется, что внутренняя мотивация это желание разобраться как эта хрень работает. Она всегда присутствует, другое дело кто-то из студентов смирился сам, что он тупой и никогда ничего не поймет, другой продолжает вникать и ломать голову. А дальше есть база и способности (подготовка) кому то заходит легко, кото-то должен напрягаться. Материаллов в сети до жопы.
                        +1

                        Есть ещё студенты, которые не хотят разбираться. Потому что он, студент, кодит фронт, и плевать он хотел на то, как там эти атомные реакторы работают, не интересно и некогда. А ходить на занятия и сдавать лабы он должен потому что нужна корочка, отсрочка, и родители заставили. А поступил он сюда потому что проходной балл был ниже. Ну и так далее. Как бы мы не идеализировали и не пытались бы разжечь любопытство в студентах, всегда есть те, кому это всё не нужно.

                          0
                          Отсрочка вообще не понятно сейчас зачем? Служить всего год, это лучше и нтереснее чем числится в вузе 6 лет. У меня сын когда не поступил — пошел в армию. Через год вренулся решил все-таки учится. А был бы кодером — был бы свободен через год, как сопля в полете. Кодируй себе фронт, или бакэнд и никому никаких зачетов не должен. Красота.
                            0
                            Ну, возможно, система образования должна позволять выбирать дисциплины: кодить фронт а потом глядишь, и бекэнд, а кто хочет — может в ядерные реакторы. У нас же набор дисципли жёстк и подписывается генеральной ассамблеей Министерства образования на 20 съезде.
                              0
                              У нас же набор дисципли жёстк и подписывается генеральной ассамблеей Министерства образования на 20 съезде.

                              Так это требования к базовой комплектации инженера. Кто хочет докупает расширенную версию, но уже за свой счет :)

                                0

                                Кстати база необходима. У меня первое образование обработка металла резаньем еще в советском техникуме. Второе конструирование Ядерных Реакторов в Бауманке. Так вот у меня база из техникума сопадала с базой Бауманки на 100%. Тот же сопромат, те же детали машин, теоритическая механика, материаловедение. Да в бауманке, немного усложнилось, по сравнению с тезнарем, но не принципиально. Добавилось ТАУ, и теплофизика с физикой ядерного реактора.
                                Поэтому набор базовых дисциплин он не сьездом утвержден, а физикой процессов в окружающим мире.
                                А кодирования фроната или бека, это вообще не про образование. Это приложение общих знаний. Учить конкретные языки и патерны должны в ПТУ, а не универе.
                                После бауманки ядерной каыедры, с одинаковым успехо можно и реакторы и холодильники разрабатывать и системы охлаждения для авиации.

                  +4

                  Писал что-то про тонкости преподавания ТАУ. Но всё такое неубедительное, что стёр. Лучше помолчу.

                    0
                    почему? я в почту успел получить, нормально. Мне пример в этой лекции как раз понравился труба с водой постоянный расход и температура, а ведёт себя словно кондесатор с резистором. Волшебство математики и физики. Одна и та же формула описывает совершенно разные физические процессы.
                    +2
                    Вот оно! наконец-то спустя 15 лет я смогу прочитать и понять ТАУ! А заодно и Лапласа!

                    ТАУ основано на дифурах, так что без понимания преобразований Лапласа, Фурье и методов решения оду можно даже не начинать его изучать.


                    Как можно вообще заниматься какой-то задачей, не видя, не понимая и не зная собственно, проблемы, которую стоит решить?

                    ТАУ абстрактная штука у которой на входе мат. модель (некоторого физического обьекта) и на выходе мат. модель (обьект + мат. формулы регулятора). Как раз вся прелесть в том что нет привязки к конкретной предметной области.


                    Я совсем недавно узнал только, что когда запускали электричество\связь, то встала проблема длинных линий, при которых переменный сигнал, кажется, затухал на большом расстоянии и с этим пришлось бороться. Вот это нормальная такая человеческая задача. Может быть даже, она упоминалась в первых двух строчках учебника по электротехнике.

                    Длинные линии или цепи с распределенными параметрами, аж целый отдельный раздел электротехники. Это гараздо больше чем две строчки. И кстати частотные характеристики, передаточные функции, и отчасти переходные характеристики впервые вводятся именно в электротехнике, после чего идет их повторение в курсе ТАУ.


                    Не должно быть так. Если эту область не понимают 90% обучающихся, то что-то тут не то. И вопрос не в сложности дисциплины, как мне кажется. И я не понимаю, почему профессора, которые понимают, что их не понимают 90% учащихся продолжают читать одни и те же лекции?

                    А что делать? 90% и так по специальности работать не будут, им это тупо не надо. А кому надо — разберутся. Это ж не дет. сад, студенты сами должны грызть гранит науки.

                      +2
                      А что делать? 90% и так по специальности работать не будут, им это тупо не надо. А кому надо — разберутся. Это ж не дет. сад, студенты сами должны грызть гранит науки.
                      Отчасти что-то в этом, может быть, есть.

                      Но и что-то как будто не так. Вот если мы такой посыл берем за основу, то тогда тоже необходимо внести изменения, но в обратную сторону:

                      -в учебники гранит потверже;

                      -в аудитории преподов понепонятнее.

                      This is parta!

                      Или… А зачем вообще преподаватели? Не в пустую ли тратятся все эти ресурсы?

                      Мысль Teemon мне понятна. Действительно ведь можно и ТАУ начать «с другого конца», не с Лапласа, а в направлении него.

                      Как английский язык по коммуникативной методике. У нас же сначала выучи все правила, потом посмотрим. Если ты в 10%, и тебе очень надо, то научишься.
                        +3
                        Да, мысль вы похоже, уловили. У этих дисциплин почему-то очень высокий «порог вхождения», не должно быть такого, я считаю. Нет ничего сложного ни в преобразованиях Лапласа ни в Фурье, вопрос подачи материала)
                        Любые дисциплины должны начинаться, я считаю, однозначно, не с «допустим, у нас есть треугольник, чему же равна сумма его сторон?» А в чём собственно, проблема? У меня нет проблемы, если я не знаю сумму углов треугольника.
                        В ваших статьях скидывали книгу «Математика в огне». Действительно, много «воды», за 40 минут «добежал» до 50й страницы, но замысел автора тоже понятен: не должны быть науки «сложными»!
                        Интересно конечно, пофилософствовать, от чего так произошло, почему науки стали «сложными», т.е. начиная с 1 класса школы они идут «простые» а потом в определённый момент становятся чудовищно сложными.
                        Я думаю, это возможно, случилось потому, что как-то так повелось что науке учили учёные мужья, выращивая будущих учёных мужей.
                        Нечто подобное, когда говорят «не давайте программистам писать мануалы для своих продуктов» или «Не давайте программистам делать UI-дизайн», ну, типа пользоваться будет невозможно))
                        Видимо, так и с наукой. Вообще говоря, преподаватели наверное, и не нужны. Во всяком случае, тупее занятия чем судорожное переписывание лекций за преподавателем во время учебы я себе сложно представляю.
                        В-общем, как по мне, весь вопрос в «мануалах» к наукам.
                        Извините, что ухожу «от темы».

                          +1
                          Наверное проблема в том, что отсутвует контекст в преподаваннии. Когда ты такой «крутой» приходишь и с наскока пытаешься «лапласа учить», то твои предыдущие знания могут быть совершенно нерелавантны преподаваемой дисциплине.
                          Да оно так и есть, как будто все мы помним все теоремы геометрии за все 11 классов школы? Нет конечно.
                          Навыки уходят, навыки не преобретаются. А дисциплины требуют какого-то базиса, которого у 90% студентов просто нет. Не доучили, не поняли, забыли, и т.п.
                          Если бы каждый был автоматом, то существовала бы «программа» для обучения такого автомата чему угодно с качеством 100%. Но мы — люди. Поэтому вот так.
                          Ну а про лекторов. Лекторы бывают разные. И с лектором учиться гораздо интереснее, веселее, и понятнее — конечно если ты хочешь это делать.
                          Но 90% лекторам это не нужно, у них свои проблемы а вас — студентов — много, каждому внимания не увделишь, да и незачем.
                            0
                            Когда я учился мы эти лекции не тупо переписывали, а выводили вместе с преподавателем, например здесь же рассматриваестя функция и ее пределы, И то что получается круг становится очевидным по мере вывода. Если помньшь формулу окружности конечно.
                              +1

                              Covid с переходом на онлайн преподавание ещё больше заострил этот вопрос. А зачем студентам преподаватели, если всё ушло в онлайн, а там есть лекции курсеры, открытые лекции mit, вот это всё. Нахрена тогда я в этой цепочке?


                              Я для себя какой-то ответ нашёл. Я работаю с последними курсами студентов, и мне надо из сотен часов доступного контента выбрать те 20, которые в наибольшей степени соответствуют специальности, поместить их в надлежащий контекст, увязать с другими дисциплинами. Сами по себе студенты этого не сделают, и это как раз привнесённая мной добавочная стоимость. Но вот с базовыми, общими для всех курсами, это сложнее.


                              Во всяком случае, тупее занятия чем судорожное переписывание лекций за преподавателем во время учебы я себе сложно представляю.

                              Absolutely!

                              +1
                              У меня был опыт, когда мы сдавали физику ядерного реактора на чудовищно нейдобной программе моделирования и там ошибка ввода данных типа лишнего пробела выносило всю и понять было невозможно в чем дело. Но зато потом как все завелось, сразу стало интересно поиграть с оборудованием выключить насос, снизить расходы и посмотреть что происходит. Но уже было поздно сессия закончиламь и начались другие предметы. Поэтому мне нарвится визауальное моделирование и программирования, там сразу видно где косяк, что считает не верно и как работает система. Тут я и пытаюсь соединить наглядность модели в виде квадратиков и математику с Лапласами АФЧХ
                            0
                            Если в общем с критикой согласен, пока получается справочник, а не учебник. Поэтому в каждую лекцию пытаюсь придумать задчу с моделированием. В конце этой лекции как раз разбирается пример с камерой смешения температурой воды и динамических расчетов в ней. Более того, эта лекция которую мне казалась наиболее приближенной к реальности, то есть физике. Формулы теплоемкости воды это вообще школная физика. И определение времени переходного процесса, мне кажется реальной задачей, через сколько времени мы получим заданную температуру в камере смешения. Я помню будучи студентом купил книгу Очков, про Маекад, хотя это по сути инстркуция к калькулятору, я прочитал ее целиком пока ехал из центра за город. Так было клачно написано. И объем был совсем маленький.
                            Может быть если введние было такое:
                            «Давайте перейдем от высокой математики, к низменным потребностям простого человека. Нет мы не будет рассуждать про секс, наркотики и рок-н-рол. Хотя с другой, как говорил Зигмунд Фрейд, «Если ты с утра умылся – значит секс возможен». Поговорим как раз про умывание, а именно про получение нужной температуры в смесителе душа. Практически все люди решают эту задачу, и никто не задумывается какие бездны математики скрываются в простом процессе смешения горячей и холодной воды. Давайте подойдем к камере смешения с высоконаучной точки зрения и применим ТАУ преобразование Лапалса к этому процессу. Погнали:»
                            Зашло бы лучше?
                              +1

                              Может так:
                              https://youtu.be/U4en3cPCvHs

                                +1
                                Хех))) Вам не лень было?)))

                                Забавно, но нет. Но нет. Это всё опять же «внешняя» мотивация, ютуб ролики по душем и т.д. никакого отношения к предметной области не имеют, а только, пожалуй, «засоряют» фокус. Вот где-то встречал демонстрацию в 3Д преобразования лапласа на Ютубе — вот там было помощнее, вот там было поинтереснее, это да. Нужно площадку использовать «по теме» а не розовых котиков, как по мне)

                                Как раз «сила» науки\дисциплин в «изяществе» в самой себе. Математика прекрасна да, внутри себя и в «отрыве» от мира а физика — наложение математики на наш реальный мир. Так вот нужно раскрывать это «изящество», побуждая интерес и реально открывать какие-то новые горизонты.
                                Это всё, по моему мнению — начинается с первого класса, с дошкольной программы, со счёта.
                                Нам начинают рассказывать как считать, но не зачем считать. Мы учим таблицу умножения, но не знаем зачем, мы учим преобразование Лапласа, представляя функцию в виде суммы экпоненциальных функци с мнимым числом, но абслютно не представляем, а ЗАЧЕМ нам представлять в виде экспонент, когда у нас есть преобразование Фурье и чем оно нас не устраивает.
                                Всё это — КЛЮЧЕВЫЕ как по мне задачи, которая должна ставить наука — мотивация должна пробуждаться в ней самой. Есть Фурье, но давайте попробуем решить с помощью него задачу Х и видим — не растёт кокос! не решается! Ваши идеи, как можно решить? До завтра подумать, завтра обсудим.
                                Есть же старый анекдот на эту тему, когда новый преподаватель одевает презерватив на глобус, а ученики спрашивают, а что такое глобус? — А вот это мы узнаем на следующем уроке.

                                Вернусь к счёту. Кажется, где-то в статьях про рациональность читал статью о вероятном сценарии «появлении счёта»: древний древний пастух утром выгонял овец на улицу пастись. Вечером загонял обратно. Заметил, что часть овец убегали за холм, часть съедались волками.
                                Каждый вечер он бродил с собаками и фонарем по холмам выискивал, не потерялись ли овцы, нет ли следов крови, может быть их съели волки. Тратил много времени и сил. Потом каким-то чудом, придумал: каждый раз когда выпускал овцу на улицу, в пустое ведро бросал камушек. Когда выпустил всех — в ведре была куча камушков. Каждый раз, когда запускал овец — доставал камушки из ведра.
                                К вечеру смотрел — если в ведре есть камушки — значит не все овцы пришли. Нужно идти искать. Если камушков нет — ходить никуда не надо. Идеально. Идеально! Человек изобрёл счёт, не вводя даже термины «один», «два», «три»… просто камушки. Потому что камушки это модель мира. один камушек в ведре означает одну овцу на улице. Изящно и лаконично. Нет камушков — нет овец, не нужно никуда ходить. В этом сила счёта (и математики и преобразовании Лапласа) — она задаёт модель мира в виде изящных и простых вещей, доступных для понимания.

                                Но нет. Где-то в промежутке после «у васи было 2 яблока и у пети было 3 яблока, сколько было яблок у обоих» неожиданно возникает Лапласа.
                                0
                                Огонь видео.

                                В формате научно-популярной телепередачи. Не знаю, можно ли считать это изучением ТАУ, но дать представление о работе водонагревателя вполне может. Вроде какого-то введения перед какой-нибудь темой ТАУ. Здесь на это даже несколько вариантов — в какую сторону пойдет углубление. Почему бы нет.

                                Главное, к следующему видео плавность наращивания сложности не потерять) вроде бы вещь простая, но, мне кажется, именно она обычно не удается.

                            Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                            Самое читаемое