Лекция 2: Аберрации
Лекция 3: Диафрагмы и виньетирование
Лекция 4: Дифракция и разрешающая способность (ссылка появится позже)
Привет, Хабр!
Меня зовут Андрей, я – специалист по оптическим системам, оптик и инженер-конструктор в одном лице.
В этой статье я продолжу публиковать фрагменты курса основ прикладной оптики, созданного несколько лет назад для внутреннего обучения CV-разработчиков моей организации.
Сегодняшняя тема – оптические аберрации. Статья показывает, как формирует изображение реальный объектив, как реальное изображение отличается от изображения, сформированного идеальной линзой, и как учитывать аберрации при работе в проектах технического зрения.
Дисклеймер:
Помните, что курс не полный и не избыточный. Он раскрывает лишь некоторые области оптики, которые специалисты по техническом зрению относительно часто встречают в работе.
Сама по себе тема аберраций оптических систем сложная, так что в статье описываются лишь основные аберрации третьего порядка (аберрации Зейделя) и хроматические аберрации.
Считаю, что мне удалось создать одно из самых точных и наглядных описаний аберраций в русскоязычном интернете.
Содержание
Аберрации оптических систем
Аберрации широких пучков
― Сферическая аберрация
― Кома
Полевые аберрации
― Астигматизм
― Кривизна изображения (или кривизна поля)
― Дисторсия
Хроматические аберрации
― Хроматизм положения
― Хроматизм увеличения
Общий вид аберраций
Коррекция аберраций
Качество изображения в разных частях кадра
Тезисы (стоит запомнить)
Аберрации оптических систем
Как бы формировала изображение идеальная линза из первой статьи? Взглянем на картинку:
Представим, что мы начали уменьшать размер пикселей в левой половинке. В процессе уменьшения пикселей картинка становилась бы всё резче и резче. В тот момент, когда пиксели в левой части уменьшатся до такого размера, что пикселизация станет незаметной, обе половинки сравняются по качеству. Выражаясь языком математики, мы рассматриваем изображение как массив единичных площадок с размерами ∆х и ∆у, а затем задаём условие (∆х, ∆у)→0. В этом случае единичные площадки превращаются в бесконечно малые точки.
Любое изображение можно рассматривать как совокупность бесконечного количества бесконечно малых точек. |
Изображение считается идеальным, когда все лучи, вышедшие из бесконечно малой точки предмета A, собираются в бесконечно малую точку изображения A' (см. раздел Формирование изображения в идеальной линзе в первой статье). Идеальная линза сфокусировала бы точку в точку, и изображение получилось бы совершенно резким. Однако реальная линза фокусирует пучки лучей не в точки, а в так называемые пятна рассеяния (или кружки нерезкости):
Из-за этого сформированное реальной линзой изображение ухудшается: теряются резкость и контраст. Реальный объектив, состоящий из реальных линз, подчиняется этому же принципу и никогда не формирует идеально резкую картинку.
Основная причина снижения качества изображения в объективах – оптические аберрации:
При рассмотрении аберраций в статье приняты два допущения:
Пятна рассеяния от аберраций будут изображаться в большом масштабе
В качестве объектива будет использована одиночная линза, аберрации в которой достаточно велики и наглядны
Аберрации широких пучков
Эта группа аберраций зависит от диаметра входного зрачка объектива.
Сферическая аберрация (spherical aberration)
Суть: параллельный пучок лучей после объектива фокусируется не в точку, а в пятно рассеяния конечного диаметра. Симметрия пучка относительно оптической оси не нарушается.
Поперечная сферическая аберрация (на рисунке — ∆у, радиус кружка рассеяния в плоскости изображения) растёт пропорционально третьей степени диаметра входного зрачка. Если диаметр увеличить вдвое, поперечная сферическая аберрация возрастёт в 23=8 раз. Чем сильнее закрыта диафрагма, тем уже световой пучок, попадающий в объектив, и тем резче изображение.
Кома (coma)
От древнегреческого κόμη — волосы.
Суть: нарушение симметрии широкого пучка лучей, идущих под наклоном к оптической оси объектива. При отсутствии сферической аберрации пятно рассеяния по полю выглядит как расходящийся к краю конус:
На картинке показана асферическая линза, сферическая аберрация в которой устранена. В такой линзе кома отсутствует на оптической оси (то есть в центре поля зрения), но вызывает нерезкость изображения ближе к краям, и чем дальше от центра, тем сильнее.
Математика комы и сферической аберрации разная, но для простоты кому можно рассматривать как нарушение симметричности кольцевых зон сферической аберрации:
Интересный факт Слово комета этимологически также происходит от слова κόμη. Можно заметить, что комета (яркое ядро и рассеянный хвост) похожа на пятно рассеяния комы. Кома – одна из самых часто встречаемых аберраций в телескопах (особенно зеркальных) и в астрофотографии. На предыдущей картинке изображение трёх звёзд искажено именно ей. |
Выпускаются специальные корректоры для телескопов, ослабляющие кому:
Полевые аберрации
Полевые аберрации зависят от угла поля зрения – чем больше угол, тем сильнее их влияние. Полевые аберрации проявляются даже при бесконечно узких пучках лучей (при максимально закрытой диафрагме).
Астигматизм (astigmatism)
Слово астигматизм происходит от греческого a – отрицание, stigma – точка.
Суть: наклонные пучки фокусируются не в точку и даже не в пятно, а в объёмную фигуру сложной формы, висящую вблизи фокальной плоскости.
Астигматизм – самая сложная для понимания аберрация. Попробуем разобраться.
Задиафрагмируем объектив до такого малого диаметра входного зрачка, при котором аберрации широких пучков – сферическая аберрация и кома – окажутся пренебрежимо малы.
Пустим на этот входной зрачок узкий световой пучок под наклоном к оптической оси и рассмотрим ход лучей в двух взаимно перпендикулярных сечениях линзы: одно – в плоскости рисунка (меридиональная плоскость, tangential plane), и другое – в плоскости, перпендикулярной рисунку (сагиттальная плоскость, sagittal plane).
Окажется, что сечение пучка в плоскости рисунка имеет фокус в точке t (tangential focal point), тогда как сечение пучка во второй плоскости, перпендикулярной рисунку, имеет фокус в точке s (sagittal focal point). Эти две точки – астигматические фокусы линзы. Из-за астигматизма наклонные пучки лучей не имеют единого фокуса.
Придавая углу наклона пучка разные значения, можно обнаружить, что траектории точек t и s в пространстве представляют собой поверхности вращения TOT и SOS вокруг оптической оси объектива:
На рисунке ниже наглядно показана суть астигматизма: на проекциях спереди и слева кажется, что красный пучок лучей фокусируется в точках t или s, однако на изометрии видно, что на самом деле пучок нигде не фокусируется в точку, а точки t и s разнесены в пространстве:
На рисунке – не компьютерная графика, а скриншот из Zemax, программы для расчёта оптики. В реальной линзе наклонные лучи проходят именно так, без фокусировки в точку.
Что мы увидим, если поставим за объективом сенсор? Как отмечено в определении астигматизма, наклонные пучки не могут построить изображение точки в виде точки же. Предположим, мы хотим получить изображение точки (например, звезды) на краю поля зрения. Тогда вступает в действие астигматизм, и в точке t получится изображение в виде тонкой прямой линии, перпендикулярной плоскости чертежа. В точке s также получится изображение прямой линии, но уже лежащей в плоскости чертежа.
Полный вид пучка лучей при астигматизме при движении слева направо показан на рисунке ниже в рамочке в виде нескольких сечений. Если за линзой поставить сенсор и начать приближать его к объективу, одновременно следя за изображениями точек на краях поля зрения, то их изображения будут последовательно принимать форму фигур-сечений, показанных в рамочке:
На рисунке выше изображены пятна рассеяния бесконечно узких пучков при чистом астигматизме, не смешанном с другими аберрациями. Сначала дан вид пятен рассеяния на сенсоре, затем – как пятна рассеяния изменяются при приближении сенсора к объективу. На самом большом угле поля зрения (красные лучи) хорошо видны астигматические фокусы t и s.
Количественно, астигматизм – расстояние между астигматическими фокусами t и s для конкретного углового поля. Астигматизм снижает резкость изображения на краях кадра, причём направления размытия могут меняться в зависимости от того, где расположен сенсор – ближе к зоне T или к зоне S:
Самая неприятная аберрация, потому что и фотоплёнка, и сенсоры в камерах – плоские.
Суть: наиболее резкое изображение лежит не на плоскости, а на вогнутой поверхности.
Посмотрим ещё раз на рисунок астигматизма. Между поверхностями TОT и SOS лежит ещё одна поверхность: COC. Изображения точки на ней представляют собой небольшие кружки; при удалении от поверхности COC в любую сторону кружки увеличиваются и постепенно превращаются в овалы, а затем – в астигматические линии. Эти кружки – не точки. Из-за астигматизма объектив не может построить точечное изображение нигде, кроме центральной области кадра. Однако эти кружки лучше всего имитируют изображения точки из-за симметричности и минимальных габаритных размеров. Это значит, что наиболее резкое изображение лежит не в фокальной плоскости FOF, а на вогнутой поверхности, которая касается фокальной плоскости лишь около оптической оси:
Поверхность COC – не сферическая, но при небольших полях мало отличается от сферы.
Кривизна изображения, как и астигматизм, зависит от угла поля зрения и вызывает падение резкости на краях кадра, поскольку наиболее резкая область (поверхность COC) не лежит на плоскости сенсора.
Интересный факт Именно по этой причине сетчатка глаза имеет вогнутую форму. |
Кривизну изображения обычно рассматривают вместе с астигматизмом, поскольку они связаны: наиболее резкая поверхность изображения COC лежит между астигматическими поверхностями TОT и SOS. При этом в некоторых частных случаях объектив может быть свободен отдельно от астигматизма или отдельно от кривизны изображения.
Два скриншота из Zemax. Ось ординат – фокальная плоскость.
Если поверхность SOS совпадает с поверхностью TОT, то в объективе исчезает астигматизм, но остаётся кривизна изображения:
Если поверхность SOS симметрична поверхности TОT относительно фокальной плоскости FOF, то в объективе исчезает кривизна изображения, но остаётся астигматизм:
Дисторсия (distortion)
Самая известная аберрация. От лат. distortio – искривление.
Суть: нарушение подобия между предметом и изображением.
Дисторсия в математическом понимании – разность размеров идеального и реального изображений в процентах с учётом знака. При положительной дисторсии изображение при движении от центра кадра к краю увеличивается, а при отрицательной – уменьшается.
Дисторсия – единственная из аберраций, не вызывающая потерю резкости изображения. Дисторсию несложно выправить методами компьютерной обработки изображений, существуют готовые решения, например, калибровка по «шахматной доске» в библиотеках OpenCV.
Заметная дисторсия встречается в основном в широкоугольных объективах и сверхширокоугольных объективах типа «рыбий глаз» (fisheye). В них сильная бочкообразная дисторсия задаётся специально при расчёте для того, чтобы уместить сверхширокое поле зрения на сенсор ограниченного размера. За счёт этого возможны объективы с полем зрения, превышающим 180⁰. Однако, при этом неприменимы формулы из первой статьи (именно потому, что дисторсия слишком сильно нарушает тангенциальную зависимость идеальной линзы).
График дисторсии часто приводится в спецификации на объектив. На графике по оси Y откладывается угловое поле зрения объектива, а по оси Х – дисторсия в процентах:
Вместе с графиком у производителя объективов иногда удаётся запросить табличные данные дисторсии, которые позволяют полностью устранить дисторсию компьютерной обработкой без калибровки.
Также существует сложная дисторсия, но она редко встречается в обычных объективах.
Интересный факт Не стоит путать дисторсию как оптическую аберрацию (искривление изображения) и дисторсию как фильтр обработки изображения (размытие). Дисторсия как оптическая аберрация не вызывает потерю резкости изображения. |
Хроматические аберрации
Все предыдущие аберрации назывались монохроматическими. Мы не уточняли, лучи какого цвета проходят через линзу. Однако каждый цвет – это своя длина волны:
Показатель преломления зависит от длины волны, потому любое преломление на границе двух оптически прозрачных сред раскладывает белый свет в спектр. Это явление называется дисперсия света (от лат. dispersio – рассеяние). Сильнее всего преломляется фиолетовый свет, а слабее всего – красный:
Интересный факт Обложка альбома The Dark Side of the Moon группы Pink Floyd нарисована с ошибкой. На самом деле разложение бело��о света по длинам волн происходит уже на первой грани призмы. Внутри стекла белый луч сразу должен распадаться в спектр лучей разных цветов; вторая грань лишь усиливает эффект, увеличивая углы между лучами различных длин волн. |
Линзу можно представить как пирамиду из призм, или даже как призму, плоские грани которой заменены радиусами:
Таким образом, линза, подобно призме, раскладывает белый цвет в спектр, однако, в линзах эффект заметно слабее: у призм преломляющий угол (угол между гранями) заметно больше.
Хроматические аберрации существуют только в линзовых объективах. При отражении от зеркал дисперсии нет.
Интересный факт Радуга в небе после дождя или в струях фонтана – дисперсия солнечного света в каплях водяного тумана. |
В итоге, при переходе от монохроматических аберраций к белому свету изображение дополнительно усугубляется хроматическими аберрациями или хроматизмом.
Всё множество проявлений дисперсии в линзе можно описать, используя всего лишь два типа хроматизма.
Хроматизм положения (longitudinal chromatic aberration / chromatic focal shift)
Суть: луч белого спектра после прохождения линзы из-за дисперсии распадается на спектр лучей разных цветов, которые пересекают оптическую ось на разных расстояниях от линзы. В итоге изображения разных цветов формируются в разных местах оптической оси.
Иными словами, фокусное расстояние линзы для каждой длины волны немного разное:
В итоге в плоскости изображения получается смесь нескольких цветов:
На рисунке показан вид пятна рассеяния пучка белого света в фокальной плоскости асферической линзы. Пятна рассеяния разных цветов накладываются друг на друга, в результате чего в центре пятна восстанавливается белый цвет, а вокруг белого ядра возникает ореол конкретного цвета. При перемещении сенсора вдоль оптической оси в любую сторону от фокальной плоскости ореолы меняют размеры и цвета.
В отличие от сферической аберрации, хроматизм положения проявляется даже для бесконечно узких пучков лучей. При этом существование хроматизма положения усугубляет сферическую аберрацию дополнительной потерей резкости и окраской изображения в центре поля зрения:
Хроматизм увеличения (lateral color)
Хроматическая аберрация величины изображения.
Суть: для одного и того же поля зрения лучи разных цветов из-за дисперсии идут после линзы под разными углами. Это приводит к размазыванию цветов в спектр по направлению от центра кадра к краям и появлению несимметричных ореолов: цветных каёмок на краях объектов.
Красные каёмки появляются ближе к краю поля зрения, а синие – ближе к центру:
Общий вид аберраций
Для иллюстрации аберраций представим на рисунке влияние каждой из семи аберраций в отдельности на качество изображения. Предположим для каждого случая, будто бы данная аберрация проявляется в чистом виде, а остальные аберрации отсутствуют. В качестве предмета для каждой аберрации возьмём квадратную сетку из светящихся точек и представим её изображение:
При этом реальное пятно рассеяния всегда состоит из суммы всех имеющихся в объективе аберраций.
Коррекция аберраций
Каким же образом объективы дают высокое качество изображения? Проанализируем формулу реальной линзы:
Предположим, мы выбрали конкретную марку оптического стекла и толщину линзы. Тогда n и d – константы, и фокусное расстояние линзы зависит только от её радиусов. Выбрав необходимое значение f´, мы получим бесконечное количество пар R1 и R2, комбинации которых дают искомое фокусное расстояние. Линза, сохраняя фокусное расстояние неизменным, меняет свою форму, так называемый прогиб линзы:
При одном и том же фокусном расстоянии форма линзы влияет на аберрации: их величина и даже знак (положительный или отрицательный) меняются в зависимости от прогиба. Комбинируя несколько линз, а также управляя дополнительно их толщинами d и показателями преломления n (через селективный подбор марок оптических стёкол), в итоге получают такую комбинацию линз, аберрации в которой находятся в допустимых пределах. Эта комбинация и называется объектив.
У одной линзы всего четыре изменяемых параметра: два радиуса, толщина и марка стекла. Чем выше требования к качеству изображения, светосиле и угловому полю, тем больше необходимо иметь изменяемых параметров, чтобы рассчитать удачную комбинацию стало возможным. Это вынуждает использовать в объективах всё большее и большее количество линз:
Интересный факт Именно нехватка количества изменяемых параметров в одиночной линзе не позволяет исправить в ней все аберрации и использовать её как объектив. |
У особо сложных объективов количество линз иногда вырастает до удивительных значений. Вот, например, объективы для фотолитографии в глубоком ультрафиолете, далеко не самые новые:
Для современных оптических систем у линз со сферическими радиусами уже не хватает изменяемых параметров, чтобы обеспечить требуемые характеристики. Потому при расчёте современных объективов всё чаще приходится использовать асферические поверхности и так называемые поверхности свободной формы (freeform):
Расчётом объективов, количества линз, их радиусов, положения, марок стёкол и т.д. занимаются оптики-расчётчики. Оптический расчёт – узкая и наукоёмкая область, одна из нескольких ключевых оптических специализаций. Специалисты других направлений – оптики-конструкторы, оптики-метрологи, юстировщики и т.д. – не занимаются оптическими расчётами и обычно не умеют это делать. Специализация у оптиков часто начинается ещё в университете, и потому универсальные специалисты, как автор статьи, встречаются чрезвычайно редко.
Интересный факт По состоянию на 2023 год, оптическому расчёту учат в 3-4 местах в России, и количество этих мест сокращается. Update от 2025 г: В бывшем главном оптическом вузе страны, ИТМО, прекратили обучение оптическому расчёту и оптическому конструированию. Четыре негритёнка пошли купаться в море, Кстати, раньше ИТМО был чисто оптическим вузом и назывался ЛИТМО: Ленинградский Институт Точной Механики и Оптики. |
Качество изображения в разных частях кадра
Какие значения аберраций являются допустимыми?
Полностью устранить аберрации невозможно. Уменьшение одних аберраций приводит к увеличению других. В итоге оптик-расчётчик занимается балансировкой аберраций, стремясь уменьшить их суммарное воздействие до допустимых пределов, при этом не увеличивая сверх меры количество линз (это повышает габариты, массу, сложность сборки и цену объектива).
Вооружившись знаниями об аберрациях, проанализируем их влияние на изображение в разных частях кадра. Рассмотрим таблицу зависимости аберраций от светового диаметра и поля зрения:
Аберрация | Зависимость от диаметра входного зрачка | Зависимость от угла поля зрения | Общий вид зависимости |
Сферическая аберрация | 3 | 0 | D3 |
Кома | 2 | 1 | D2 ; ω1 |
Астигматизм | 1 | 2 | D1 ; ω2 |
Кривизна изображения | 1 | 2 | D1 ; ω2 |
Дисторсия | 0 | 3 | ω3 |
Сферическая аберрация пропорциональна кубу диаметра входного зрачка. При увеличении диаметра диафрагмы вдвое пятно рассеяния увеличивается в 23=8 раз. Сферическая аберрация не зависит от углового поля, так как рассматривается для точки на оптической оси.
Кома пропорциональна квадрату входного зрачка и первой степени углового поля зрения. При увеличении диаметра диафрагмы вдвое пятно рассеяния увеличивается в 22=4 раза. При увеличении углового поля кома растёт прямо пропорционально удалению от центра к краю.
Астигматизм пропорционален первой степени входного зрачка и квадрату углового поля. При увеличении диаметра диафрагмы вдвое пятно рассеяния увеличивается в 21=2 раза. При увеличении углового поля астигматизм растёт пропорционально квадрату углового поля, то есть приблизительно пропорционально квадрату удаления от центра кадра к краям.
Кривизна изображения как аберрация, прямо вытекающая из астигматизма, имеет аналогичные астигматизму свойства.
Дисторсия пропорциональна кубу углового поля. При увеличении углового поля дисторсия растёт пропорционально кубу углового поля, то есть приблизительно пропорционально кубу удаления от центра поля зрения к краям. Дисторсия не зависит от диаметра входного зрачка, так как это аберрация изменения размера изображения, а размер изображения для светового пучка любого диаметра определяет только один центральный (главный) луч.
Интересный факт В статье перечислены так называемые аберрации третьего порядка. Также существуют аберрации высших порядков, однако их влияние заметно меньше и представляет интерес только для расчётчиков оптических систем. |
Рассмотрим произвольный кадр с точки зрения теории аберраций. Центр поля зрения – точка, где оптическая ось пересекает сенсор. Полевые аберрации зависят от углового поля, то есть от удаления от оптической оси, так что в каждой точке, равноудалённой от центра, качество изображения одинаковое. По этой причине кадр можно разделить на произвольное количество кольцевых зон с равным качеством изображения. По мере удаления от центра кадра качество изображения в каждой последующей зоне становится хуже, чем в предыдущей:
В центре поля зрения – в области, близкой к оптической оси – качество изображения наивысшее, потому как отсутствует влияние полевых аберраций и фактически отсутствует виньетирование (виньетирование объяснено в третьей статье курса). Чем дальше от оптической оси, тем качество изображения и разрешающая способность ниже: всё сильнее начинает сказываться влияние полевых аберраций. Реальное поле зрения объектива ограничивается допустимым падением качества изображения (и виньетированием).
Рассмотрим это на графике ЧКХ объектива (частотно-контрастная характеристика, оптический вариант функции передачи модуляции, modulation transfer function). На этом графике показывают, какое разрешение отображается объективом с каким контрастом.
Подробно графики МТФ рассматриваются в последней статье цикла, Разрешающая способность.
Черная линия на графике – дифракционный (теоретический) предел объектива
Синяя линия – осевой пучок (угол 0 градусов)
Красная пара линий – угол 2 градуса, середина поля зрения (середина кадра)
Зелёная пара – 4 градуса, край поля зрения (край кадра)
Значения контраста для угловых полей указываются отдельно в астигматическом сечении T и астигматическом сечении S.
Как видно по графику, чем больше угол поля зрения, тем ниже контраст и, соответственно, ниже качество изображения. Нигде по кадру качество изображения не дотягивает до качества на оптической оси (в центре кадра).
График ЧКХ (MTF) является самым простым способом быстро оценить качество объектива. Хорошие производители приводят их в спецификациях. |
Графики могут быть представлены в разном виде. Об их понимании есть подробная статья от Карл Цейсс: How to read MTF Charts. Более кратко чтение графиков ЧКХ объяснено в четвёртой статье цикла, но в целом запомните простое правило: чем выше линия – тем лучше качество.
Изображение наивысшего качества всегда находится в центре! Область интереса по возможности следует держать в центре поля зрения. |
Почему же на реальных фотографиях мы не видим ощутимого падения качества на краях?
Причин несколько:
Высокое качество расчёта объективов, благодаря которому аберрации минимизированы.
Балансировка аберраций по полю зрения. Иногда при расчёте качество изображения по полю повышают за счёт некоторого снижения его на оптической оси.
Разрешающая способность приёмников (зерно фотоэмульсии в прошлом и размер пикселя сейчас) дискретна, и эта дискретность иногда выше пятен рассеяния от аберраций.
При использовании объектива и сенсора сходного ценового сегмента разрешающая способность объективов в центральной части поля зрения обычно выше, чем позволяет засечь сенсор. Кто хочет изучить вопрос поглубже, ужаснуться можно здесь (кликнув на кнопку «PDF полного текста»).
В системах технического зрения можно использовать дополнительное освещение. Это позволяет прикрыть диафрагму и повысить резкость за счёт снижения аберраций.
Часто объект наблюдения не имеет достаточно мелкой структуры, чтобы визуально заметить разницу. Потому качество объективов измеряют на специальных измерителях ЧКХ:
Тезисы (стоит запомнить)
Аберрации реальных объективов снижают качество изображения
Изображение в центре кадра всегда лучше, чем по краям
Чем выше линия на графике ЧКХ – тем лучше изображение
И напоследок:
Список литературы
Для тех, кто хочет нырнуть в вопрос поглубже:
Д.Д. Максутов, Астрономическая оптика, 1979 – тут расписано простым и популярным языком.
В.Н. Чуриловский, Теория оптических приборов, 1966 – тут посерьёзнее и посложнее.
Б.Н. Бегунов, Н.П. Заказнов, Теория оптических систем, 1973 – тут много о практическом приложении к разным типам оптических систем.
