Комментарии 40
1) Аксиома истина по определению
2) Истинность Теоремы выводится из аксиом и уже доказанных истинных Теорем
3) Иногда можно Теорему сделать альтернативной аксиомой, а аксиому - альтернативной Теоремой.
4) Некоторый набор аксиом может вести к противоречивости, а значит и ложности этого конкретного набора аксиом.
4) Физических "аксиом" не существует. Зато есть упрощения моделей реальности. Давайте не учитывать трения, ....
Пы.Сы. 7я единица - я подумал бы моль - ибо она ... безразмерна
Да, и это часто не понимают.
Да, и это даже не дерево, а граф общего вида.
Нет. В рамках выстраиваемой теории/модели/построения это невозможно. Но можно выводы сделанные в рамках одной теории использовать как аксиомы для другой.
"физических" как реальных, конечно не существует, потому что аксиомы это просто наши выдумки, которым мы решили подчиняться в какой-то ситуации. Но "физических" как относящихся с дисциплине "физика" - могут быть.
Аксиома — предмет веры.
Пассаж про идеальный газ и вентиляцию - это отсылка к одному персонажу или случайный пример?
Про вентиляцию это не случайный пример, а один из основополагающих. :)
Я с этим примером почти 30 лет живу и не перестаю радоваться его наглядности.
С тем что "22.4 литра" это условность и вот есть таблица молярных объёмов реальных газов, я живу ещё больше. Ну и "Закон Менделеева-Клайперона" он тоже оттуда.
Если Вы про персонажа упомянутого в первой статье ( которую все непременно надо прочитать - https://habr.com/ru/articles/776550/ ), то от него тут акцентирование внимания на ситуации с Кельвином. Есть такая ситуация, что у тебя в голове есть все элементы картины, но пока тебя носом не ткнут, ты даже не задумаешься о том что из этого следует.
Хорошее видео на эту тему
Меня со школы смущала эта формулировка:
"через точку не лежащую на прямой линии, в плоскости задаваемой этой линией и точкой, можно провести одну и только одну прямую линию не пересекающуюся с данной прямой линией".
Т.е. не конкретно эта формулировка - в школьной программе геометрии нет понятия "прямая линия", есть просто "прямая". Но сути это не меняет:
А почему нельзя провести несколько прямых параллельных данной? Да они совпадут и, наверное, даже выродятся в ту самую единственную прямую. Но по сути проводить-то мы их может хоть до бесконечности))
Действительно, пятый постулат во всех отношениях очень неоднозначно можно трактовать))
Да они совпадут
Если ты не можешь отличать одну линию от другой, то это та же самая линия. Принцип минимизации или Бритва Оккама, если хотите.
Во-первых, я подчеркнул конкретную претензию к формулировке. Я не собираюсь ничего отличать. И формулировка аксиомы тоже ничего не говорит про различие. Речь шла именно о "провести". Провести я могу? Даже если потом не отличу?
Во-вторых, это принцип Паули. Но это именно физическая иллюстрация подобной концепции. А мы вроде как про геометрию...
В-третьих, как же надоел уже этот кармадроч... Молча ходят, лепят оценки... "А мы соглядатаи" (с)
UPD: Ну и для справки - Евклид родился за полтора тысячелетия до Уильяма Оккама ;)
UPD: Ну и для справки - Евклид родился за полтора тысячелетия до Уильяма Оккама ;)
Ну, люди-то не глупые. Умели отличать то же самое, тождественное/подобное и равное.
И формулировка аксиомы тоже ничего не говорит про различие
Определение из первой книги "Начал".
Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках
Как получить противоречие с вашим утверждением думаю объяснять не надо. Поэтому, нет, вы не можете "провести".
Поэтому, нет, вы не можете "провести".
Буквально:
беру лист бумаги, линейкой провожу прямую, ставлю точку рядом с ней... циркулем фигачу три окружности, нахожу вторую точку для соблюдения параллельности, прикладываю линейку и... начинаю проводить прямые пока рука не устанет))
Что я делаю не так?
Что я делаю не так?
Вы из совершенного математического пространства построенного на точках без размера, линиях без ширины и плоскостях без толщины, перешли в несовершенный физический мир.
Но ведь именно это мне и предписывает делать предложенная формулировка! Ну формулируйте тогда корректнее, чтобы подобных разночтений не происходило.
И нет, я не переходил в "несовершенный физический мир". Я использовал для построения только "разрешенный геометрический инструментарий" - линейку и циркуль. Что изменится от того, что точки станут безразмерными, а прямые с единичной размерностью? Я вдруг не смогу проводить прямые?))
И извините, конечно, но с таким подходом вы точно так же и ту единственную прямую не проведете. И речь здесь вовсе не о трактовке пятого постулата Риманом ;) Вы просто не сможете соблюсти параллельность. Геометрию Евклида можно объявлять лженаукой?))
Немного не в тему вашей дискуссии об аксиомах, но интересной теме соотношения геометрии и физики, имеющей методологическое значение.
И нет, я не переходил в "несовершенный физический мир". Я использовал для построения только "разрешенный геометрический инструментарий" - линейку и циркуль.
Геометрия ближе всего к физике. Гильберт даже предлагал считать ее разделом физики. Использование линейки, как измерительного инструмента необходимого для работы с геометрическими объектами, как и других инструментов, подчеркивают это отношение. Физика изучает распределения вещества и полей, диффузию веществ и рассеяния полей, геометрия градиенты этих процессов. Идеализация этих градиентов приводит к геометрическим понятиям, включая линий и углов. В зрительном восприятии прообразы линий и углов возникают уже в визуальной зоне V1, которые улучшаются в вышележащих зонах визуального тракта, и окончательно абстрагируется в высших отделах (ассоциативных) коры мозга. В этом отношении прообразы чисел формируются только в разделах V4 и IPS, намного выше геометрических примитивов, что подчеркивает комплексный характер чисел, как биологических признаков. Нейрофизиология подтверждают наш обыденный опыт оперирования геометрическими объектами. По этой причине существует не мало программ геометризации физики, начало которым положил Ньютон. Практически все доказательства в его натурфилософии носят геометрический характер. Эту традицию продолжил Эйнштейн в СТО и особенно ОТО. Есть более современные программы, включая для микромира. Нетрудно также понять, что топология лежит еще ближе к физической реальности, чем геометрия, и поэтому ее методы также широко используются для формализации физических представлений, см., как пример, учебник физики на эти тему.
Интересно, что моделирование зрительного восприятия с помощью ИНС сверточного типа, со структурой напоминающей структуру зрительного тракта, также приводит к возникновению геометрических примитивов в нижележащих слоях сети, а числовых представлений в вышележащих. А сама процедура обучения таких сетей - метод градиентного спуска, отсылает к роли градиентных свойств физической реальности в процессе развития и обучения мозга в ходе эволюции видов. Хемотаксис простейших в прямую использует эти градиенты.
И речь здесь вовсе не о трактовке пятого постулата Риманом ;) Вы просто не сможете соблюсти параллельность. Геометрию Евклида можно объявлять лженаукой?))
Математики евклидову и неевклидовы геометрии часто резко разграничивают, но поскольку геометрия близка к физике, то они, также как и физические теории, подчиняются общенаучному методологическому принципу соответствия. Евклидова геометрия предельный случай неевклидовых при стремлении радиуса кривизны соответствующих пространств к бесконечности, так же как классическая механика предельный случай релятивистской.
По первой части:
Использование линейки, как измерительного инструмента необходимого для работы с геометрическими объектами, как и других инструментов, подчеркивают это отношение.
Я понимаю о чём вы, но речь шла именно о "идеальной геометрической линейке" - она не измеряет, она позволяет проводить прямые произвольной длины. Именно этот "инструмент" подразумевается во всех геометрических задачах на построение. И моё негодование связано прежде всего с тем, что приходится объяснять что это и есть как раз "совершенное математическое пространство", а не "несовершенный физический мир". Просто шок!
Дальше... Ну если я поминаю Римана - ну наверное я понимаю о чём говорю?)) Ну если так хочется - расскажите ещё про модель Фридмана))
По поводу фундаментальной связи геометрии (я бы даже обобщил на математику) и физики - мне лично очень близка эта концепция. Что все виды фундаментальных взаимодействий можно свести к какому-то общему геометрическому принципу. А обобщил бы, потому что многие математические парадоксы не дают мне покоя))
Например, откуда в физических уравнениях так много квадратов числа (вообще целых степеней)?)) Чисто статистически тут слишком много "порядка"))
Возможно это как-то привязано к размерности нашего пространства, а возможно и что-то совсем иное))
Нет, перешли, потому что аксиому геометрии и построенная на них теория работают в в идеальном математическом мире.
Собственно говоря, именно об этом эта серия статей - о том что люди не понимают что переход между разными моделями и вариантами описания.
Люди думают, что раз они технически могут создать отображение исходного объекта другими средствами, то значит все свойства отображения распространяются и на сам исходный объект.
В моём случае это "раз я технически могу сложить два числа, то это сложение имеет смысл и в физической реальности", в Вашем - "раз я физически могу два раза провести ручкой по одному и тому же месту, значит и в геометрическом расчёте всё точно так же".
Нет, это не так. Переход между разными вариантами
Что изменится от того, что точки станут безразмерными, а прямые с единичной размерностью? Я вдруг не смогу проводить прямые?))
Если точки будут иметь размер, а прямые - толщину, то будет больше одного варианта проведения прямых через точки.
Вот тут как раз люди обсуждают "а зачем нам писать что точка не делится на части" - https://youtu.be/yc2350IZvAk?feature=shared&t=1054
А вот затем и писать, что если точка на части не делится, то значит нельзя провести линию через что-то называемое "часть точки".
Именно это отсутствие размеров у точки, и толщины у линии и плоскости, позволяют геометрии функционировать.
Если они будут иметь размер, то геометрические расчёты и построения станут невозможны.
Если точки будут иметь размер, а прямые - толщину, то будет больше одного варианта проведения прямых через точки.
Извините, но сдаётся мне, вы не понимаете о чём пишете...
Я специально взял линейку и циркуль - это "идеальные геометрические инструменты". На практике, разумеется, это даст какие-то погрешности. Но геометрические задачи на построение никто и не рассматривает в контексте идеального практического применения. Их рассматривают именно в контексте "идеального математического мира".
Типичные примеры: задачи на трисекцию угла и квадратуру круга. Они не решаемы при помощи этих "идеальных инструментов", как раз по причине того, что они не решаемы в принципе.
Я специально взял линейку и циркуль - это "идеальные геометрические инструменты".
Как я уже говорил, эта ситуация сродни той, о которой эта серия статей.
Вы говорите что можете вычислить сумму "5м+5кг", потому что вот же калькулятор показывающий "10".
Ну, ок, складывайте.
Или проводите карандашом 10 раз по одному месту, а потом говорите что "вот же, можно же провести 10 совпадающих прямых линий".
И извините, конечно, но с таким подходом вы точно так же и ту единственную прямую не проведете.
Проведу, но буду помнить о том, что это всего лишь огрублённая физическая модель и эти огрублённые свойства нельзя переносить на исходную идеальную геометрическую систему.
Опять не понимаете (но зато написали статью о проблемах аксиоматики). Эти ваши построения есть ничто иное как просто иллюстрация того, какое идеальное математические преобразование мы используем для решения. Например, когда мы проводим окружность циркулем - смысл этого вовсе не в черчении круга, а в геометрическом переносе интервала.
Ведь эти построения выбираются не от балды, а исходя из строгих логических выводов из условий задачи. Если строго логического соответствия нет, то и делать такие построения некорректно.
Трисекцию угла можно сделать с любой степенью точностью. Но принципиально эта задача не имеет решения.
UPD: Есть даже целый ряд задач, направленных на иллюстрацию того, как внешне выглядящий вполне корректным чертёж, может дать неправильный ответ как раз по причине того, что эта корректность не подкреплена непротиворечивым логическим обоснованием.
проводить прямые пока рука не устанет
Это вы строите чертежи прямых, а не прямые. У чертежа своя система аксиом.
Что я делаю не так?
Ваши "прямые" не будут параллельны, да и прямыми они будут чисто условно, если только вы не Господь Бог.
А почему нельзя провести несколько прямых параллельных данной?
Можно или нельзя, зависит от придуманных аксиом.
Но не в смысле "Возможно всё! Просто вообрази!", а просто как как написание начальных условий решаемой задачи.
Вообще-то и единица массы выводится из метра и секунды. Есть такая LT-система размерностей. Длина и время (LT) вполне базовые размерности нашей реальности. А масса - уже вторична.
какое отношение к аксиомам имеют "7 аксиом Международной системы единиц (СИ) " ? аксиомы это математика, система единиц - это метрология.
Такое, что аксиомы это атомарные невзаимозаменяемые элементы из которых строится вся система. И тут уже не важно чем именно являются эти элементы:
- буквами
- цифрами
- размерностью
- точка не имеет длины, ширины и высоты
Важна лишь роль которую эти элементы играют в рамках выстраиваемой системы.
А то что единицы в СИ не выглядят как постулаты, это всего лишь вопрос формулировок использованных при записи..
Можно ведь записать основные величины СИ в виде постулатов:
1. Длина обозначается буквой L и измеряется в метрах
2. Масса обозначается буквой M и измеряется в килограммах
3. ...
Автор периодически путает аксиомы с предположениями и всем таким, хотя верно подчёркивает роль аксиом как исходных пунктов нашей логической системы. Например, в доказательстве от противного для А \implies B мы не вводим аксиому того, что B является ложным, мы делаем предположение, что B является ложным (рассмотрим такой случай, при котором B ложно) и проверяем истинность А (может ли А быть истинно тогда, когда ложно B). Аксиомами здесь являются аксиомы логики высказываний, а мы лишь применяем их или какие-то следствия из них. То же самое с "аксиомой" о том, что мы работаем с несжимаемой жидкостью, или с идеальным газом и т.п. - это не аксиомы, это упрощения, которые мы сознательно принимаем для построения нашей модели. Это предположение у нас будет играть роль либо определения, либо какого-то требования к нашей логической системе (мы хотим, чтобы наша система описывала идеальный газ), но никак не аксиомы. Ну и, между тем, аксиомы не обязаны приниматься без доказательств. Они не имеют (по крайней мере не должны иметь) доказательство в той теории, которую они формируют, как ЛНЗ вектора, так и НЗ система аксиом.
Из-за достаточно вольной трактовки аксиом как простых утверждений, принимаемых за истинные, а также из-за трактовки аксиом как строительных блоков нашей теории (что конечно же отчасти верно), у автора всё смешивается в кучу и система единиц измерения превращается почему-то в систему аксиом. Например, в системе Си нет утверждений, есть символы (трактуемые как величины). Аксиомы не просто куда-то там выстраиваются и куда-то их можно вывести. Роль аксиом - служить логически исходными пунктами некоторой дедуктивной теории, в которой всякий вывод из аксиом несёт столько же информации, сколько и сами аксиомы. В системе Си дедуктивной теории и правил вывода нет (хотя можно, наверное, представить их как такую теорию, в которой правила вывода - это умножение и деление, но это другая история, поскольку мы ещё не ввели в неё какие-либо утверждения и правила определения их истинностного значения).
Что мы узнали из статьи? Что существуют предположения, которые почему-то можно считать аксиомами, и что простые числа можно считать аксиомами для составных чисел, и т.п. Сведение некоторых утверждений до аксиоматики, описываемое в статье, сводится к задаче поиска доказательства утверждения в данной системе аксиом, при условии его существования. К сожалению, в статье ни слова не сказано про computer-assisted proofs, проблему выполнимости и т.п., соответственно всё, о чём мы узнали из статьи - что нечто можно свести до чего-то.
Что существуют предположения, которые почему-то можно считать аксиомами
"аксиома" это роль в рамках выстраиваемой системы.
Одна и та же фраза может быть выводом в одной системе, предположением в другой, аксиомой в третьей и ложью в четвёртой.
Потому что все системы конечны и ограничены рамками решаемых задач.
Это как с ролью человека в каком-то социуме. В одном он может быть начальник, а в другом - подчинённый. В этом нет путаницы и противоречий, потому что это просто разные системы.
В математике аксиомы не предмет веры, истины или чего-то еще. По сути, это произвольные утверждения, обладающее некоторыми свойствами:
1. Элементарность. Если более сложное утверждение можно заменить на несколько простых, то используют простые.
2. Непротиворечивость. Система аксиом должна быть формально не противоречивой.
3. Полнота. Количество аксиом должно быть достаточным для построения содержательной теории.
Далее, (произвольно) выбранная система аксиом не имеет смысла без формальной (математической) логики. Логика это особая математическая конструкция, со своими аксиомами и правилами вывода следствий из посылок. Чтобы не скатиться в «дурную бесконечность», как говорят математики, логика опирается, в том числе и на неформальные базовые вещи, которые зиждутся на глубокой интуиции, практическом опыте и общепринятом консенсусе. Отсюда происходят такие понятия, как неформальная логика, житейская логика, практическая логика, концептуальная логика и даже, «женская логика».
Самая строгая, это, конечно, математическая логика. Но, пока все рассуждения невозможно свести только к ней. Поэтому, простора для философских и математических исследований здесь более, чем достаточно.
Ну, хорошо, с логикой не все идеально, но более-менее понятно. Поэтому, после выбора произвольной системы аксиом, обычно для теоретических и научно-исследовательских целей, с помощью логики и системы определений, вводящие новые понятия, строится, по общепринятым правилам, соответствующая формальная теория.
Кстати, помимо определяемых понятий, в математике используются и неопределяемые понятия. Вот в посте выше написали: «в школьной программе геометрии нет понятия "прямая линия", есть просто "прямая"». У Эвклида было «определение» прямой как «длины без ширины», а точки как места пересечения двух неравных прямых. На самом деле, все эти «определения» не имеют особого смысла и являются всего лишь понятиями, как, скажем, натуральное число (для натуральных чисел существует аксиоматика Пеано, но это отдельный разговор).
Дело в том, что математике важны не столько формально неопределяемые понятия, сколько отношения между ними и их постулируемые либо выводимые свойства. Поэтому математика имеет дело, в основном с отношениями между «математическими объектами».
Для тех, кто дочитал до сих пор, может возникнуть резонный вопрос: «Если математика это произвольные наборы аксиом, из которых с помощью полуформальной логики строятся какие-то непротиворечивые теории, то, как определить их "истинность"?». А никак! В математике, истинно все то, что непротиворечиво! Соответственно, все математические теории «истинны».
Не задача математиков адаптировать свои теории к физической реальности. Для этого есть другие специалисты, например, физики-теоретики. Да, их тоже, бывает, заносит куда-то в сторону. В теорию «Большого Взрыва», например. Сейчас вся теоретическая физика находится в определенном кризисе, как и сто с лишним лет назад. Спасают теоретиков экспериментаторы и эмпирические формулы. Есть даже поговорка: «Любая теория верна до тех пор, пока не будет опровергнута!».
> А почему нельзя провести несколько прямых параллельных данной?
Ну, почему нельзя? Можно. В геометрии Лобачевского принят постулат: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её». А в геометрии Римана, наоборот, не существует ни одной прямой, параллельной и непересекающейся с данной. Обе эти теории формально непротиворечивы, и, следовательно, «истинны».
Так что задача математики создавать теории отношений между произвольными
математическим объектами (задаваемых непротиворечивыми системами аксиом,
выбранных исходя, исключительно, из интересов их авторов) на 500 лет вперед. Ну,
а физики-теоретики будут выбирать оттуда, то, что «ближе к их телу». При этом,
конечно, могут и фальсифицировать науку, при большом желании. Что отчасти и
делается в современном мире.
"Трением пренебречь" - мы вводим аксиому об отсутствии трения
Разве это не допущение?
"Уравнения состояния идеального газа" положена аксиома о том что газ рассматривается как монолитная сущность и не состоит из молекул имеющих массу, объём и другие материальные свойства
Тоже похоже на допущение, вводящее некоторый уровень абстракции.
Разве это не допущение?
Так это одно и тоже :)
"Постулат (от лат. postulatum — требование), предложение (условие, допущение, правило)," (с) БСЭ-3
А ещё, в этой терминологической ситуации есть мода различать "аксиома" и "постулат".
Я поэтому рассматриваю аксиомы через их свойства и место в выстраиваемой системе, а не через коннотации и оттенки восприятия в массовом сознании.
Аксиомы: что это такое и с чем их готовить