Representing the probability of system uptime in the form of a Taylor series

Морозов В.И., Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, Morozov V.I., Saint Petersburg State University of Industrial Technologies and Design

В технологии логико-вероятностного моделирования для оценки важности отказов элементов сложных технических систем (СТС) применяются показатели одно, двукратной и к-кратной значимости. В данной статье представлена вероятность безотказной работы системы в виде ряда Тейлора на основе к-кратных совместных значимостей.

В настоящее время в системном анализе широко применяется технология логико-вероятностного моделирования (ТЛВМ) для изучения свойств структурно-сложных систем, к которым относятся и сложные технические системы. Как отмечено в работе [1] они нормативно применяются для вероятностной оценки безопасности, живучести и надежности атомных электростанций, атомных подводных лодок, авиационных и космических комплексов, везде, где высока цена риска и существует сложная структура и организация объекта(системы).

Среди показателей важности оценки выше приведенных свойств необходимо отметить однократную и двукратную значимости. Однократная значимость также называется показателем важности по Бирнбауму, который предложил данный показатель. И.А. Рябинин и Ю.М. Парфенов [2] в 1991 году вывели и обосновали показатель важности – двукратную совместную значимость.

Понятие и определение функции вероятности безотказной работы системы впервые было предложено И.А. Рябининым в работе [3]. Вероятностной функцией (ВФ) называется вероятность истинности функции алгебры логики (ФАЛ):

где: x₁, …x_i, …x_n– логические переменные, характеризующие работоспособное состояние элементов системы: m₁ , …. m_i, …m_n,; n – количество элементов системы.

Логическая переменная x_i принимает значение 1, если i-ый элемент системы работоспособен, и значение 0 - при неработоспособном состоянии. Функция алгебры логики (ФАЛ), отображающая взаимосвязь элементов системы, применительно к решаемой задачи названа функцией работоспособности системы (ФРС):

В соответствии с ТЛВМ из ортогональной дизъюнктивной нормальной формы ФРС получаем функцию вероятности безотказной работы системы, которая является линейной функцией любой из переменных R_i , где R_i– вероятность безотказной работы i-го элемента системы.

Таким образом ВБРС принадлежит к классу функций n переменных, изменяющихся в области значений от нуля до единицы при области допустимых значений переменных от нуля до единицы. ВБРС строится на основе ФРС (логической связи элементов системы) и отражает вероятность истинности ФРС:

ВБРС непрерывна и дифференцируема в области допустимых значений переменных.

Как отмечено в работе [4] В 1993 году в ВМА им. Н.Г. Кузнецова в интересах разработки передвижного диагностического комплекса корабельного оборудования и решения частной задачи формирования приоритетных направлений диагностического обеспечения и, прежде всего, для корабельных атомных энергетических установок потребовалось изучать влияние большего количества элементов СТС на вероятность безотказной работы системы (ВБРС).

В 2000-2001 годах были опубликованы научно-технические сообщения [5,6], в которых представлены основные положения разработанной мною методологии формирования приоритетных направлений внедрения диагностического обеспечения на АЭС. В этих работах также применялись показатели к-кратной совместной значимости, поэтому возникла необходимость более подробно остановиться на этих вопросах.

В связи с чем мною было выведено математическое выражение показателя – к-кратной совместной значимости. В работе [4] был изложен вывод формулы смешанной частной производная k-го порядка функции вероятности безотказной работы системы (ВБРС) (к-кратной совместной значимости):

где i,j…s - номера переменных функции ВБРС; P_k = 2^k – количество наборов суммы;

l,p…..f = [0,1]; - z – количество нулей в наборах индексов l,p…..f.

Рассмотрим содержание формулы (4). Смешанная частная производная k-го порядка состоит из 2^кчленов (по количеству комбинаций нулей и единиц для k переменных). Каждый член суммы представляет собой вероятностную функцию, полученную из функции ВБРС подстановкой вместо вероятностей R_i, R_j, ….R_s фактических значений 0 и 1 в соответствии с набором значений l,p…..f. Количество индексов равно k. Знак перед членом суммы (6) имеет значение плюс (+), если сумма нулей в наборах элементов суммы (6) – четная, и знак минус(-), если сумма нулей нечетная.

Разложим функцию вероятности безотказной работы системы в ряд Тейлора по n независимым переменным:

Дифференциал порядка k для n независимых переменных имеет следующий вид:

На основании формулы (6) дифференциалы имеют следующий вид:

Производные второго и более высокого порядка равны нулю:

Поэтому в выражениях остаются смешанные частные производные порядка k. Подставим выражения (7) в формулу (5) и получим:

Если в процессе эксплуатации или проектирования системы мы изменяем вероятность безотказной работы (ВБР) каких-то элементов системы, то сразу видим, насколько меняется ВБР системы в целом, можем определять наиболее важные элементы, влияющие на ВБРС и т .д..

Если в выражение (9) подставить начальные значения вероятности безотказной работы элементов равными нулю, то выражение функции ВБРС (9) будет иметь следующий вид:

Представление функции вероятности безотказной работы системы в виде ряда Тейлора (9) является эффективным средством для проведения углубленных исследований надежности, безопасности и живучести сложных технических систем. Функция ВБРС представлена на основе к-кратных совместных значимостей, учитывающих влияние ряда отказов элементов на систему в целом. На основе представления ВБРС в виде ряда Тейлора выведен ряд показателей важности («весовых коэффициентов»).

В процессе эксплуатации вероятность безотказной работы элементов системы будет меняться. Модель вероятности безотказной работы системы, разработанная на основе функции (9) позволит переопределять важность элементов системы при переходе из одного вероятностного состояния элементов в другое (∆?? ) и системы в целом (∆?? ).

На основе текущих и прогнозных данных, полученных из обслуживающих систему комплексов технического диагностирования, возникает возможность создания действующей в режиме реального времени системы мониторинга и оценки риска состояния сложной технической системы.

В заключение необходимо отметить, что в 1981 году И.А. Рябинин в работе [3] обозначил широкий класс объектов моделирования под названием структурно-сложных систем, не ограничиваясь сложными техническими системами. Технология логико-вероятностного моделирования применима для исследования разнообразных объектов, имеющих сложную структуру и организацию. При этом вероятность может быть не только безотказной работы, но и риска возникновения опасного состояния, а также иных показателей: степени принадлежности или предпочтений, например при оценки рисков реализации проектов, кредитования и тому подобное.

На этом пока все! Большой материал в трех частях написал только потому, чтобы было какое-то логическое завершение, поскольку говорить о каких-то к-кратных совместных значимостях очень абстрактно и многим не совсем понятно. В ближайшее время этим уже заниматься не буду. Еще осталось ряд шагов для более глубокого понимания статей, изложенных в журналах атомной энергии :

Приоритетные направления внедрения диагностического обеспечения на АЭС. Атомная энергия, т.88, вып.4, апрель 2000 года.
Отдельные аспекты технической диагностики АЭС. Атомная энергия, т.91, вып.1, июль 2001 года.

Они размещены у меня на сайте по ссылкам:

Приоритетные направления внедрения диагностического обеспечения на АЭС
Отдельные аспекты технической диагностики АЭС

Или по ссылкам электронной библиотеки Росатома:

https://elib.biblioatom.ru/text/atomnaya-energiya_t88-4_2000/p311/
https://elib.biblioatom.ru/text/atomnaya-energiya_t91-1_2001/p71/
For those who prefer it in English please see this link:
1. https://link.springer.com/article/10.1007/BF02673620
1. https://link.springer.com/article/10.1023/A:1012451007656
  Предыдущие части смотрите по ссылке:
  Часть 1. Вывод выражения к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования находится по ссылке.
Часть 2. Алгоритм расчета -кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования находится по ссылке.

Также хотел бы обратить внимание специалистов по системному анализу, исследованию операций на мой материал: "Недостатки и предложения по улучшению метода анализа иерархий" по ссылке: https://habr.com/ru/articles/787550/. В статье вскрыты на простейшем примере оснополагающие противоречия метода и предложен улучшенный алгоритм МАИ. Вопрос парных сравнений и шкалы относительной важности волновал Т.Саати, как автора метода, до конца жизни и он посвятил этой теме в 2015-2016 годах две статьи, но к сожалению, оставаясь на своих позициях, не замечая противоречия и не сумев найти другие подходы.

Список источников информации

Морозов В.И. Алгоритм расчета к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования. Тенденции развития науки и образования №94, февраль 2023 г
Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Определение характеристик важности совокупности элементов энергетической системы при исследовании ее безотказности. Энергетика и транспорт, т. 37, 1991 г.
Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. М., Радио и связь, 1981 г, 238 л.
Морозов В.И. Определение к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования. Тенденции развития науки и образования №93, январь 2023 г.
Морозов В.И. Приоритетные направления внедрения диагностического обеспечения на АЭС. Атомная энергия, т.88, выпуск 4, апрель 2000, с. 311-313.
Морозов В.И. Отдельные аспекты технической диагностики АЭС. Атомная энергия, т.91, выпуск 1, июль 2001, с. 71-75.

List of information sources

Morozov V.I. Algorithm for calculating k-fold joint significance in the logical-probabilistic modeling technology. Trends in the development of science and education No. 94, February 2023
Ryabinin I.A., Parfenov Yu.M. Determination of the characteristics of the importance of the energy system elements in the reliability research. Energy and transport, vol. 37, 1991.
Ryabinin I.A., Cherkesov G.N. Logical-probabilistic methods for research of structurally complex systems reliability. M., Radio and communication, 1981, 238p.
Morozov V.I. Derivation of k-fold joint significance in the logical-probabilistic modeling technology. Trends in the development of science and education No. 93, January 2023
Morozov V.I. Priority directions for the implementation of diagnostic support at NPP. Atomic Energy, Vol. 88, issue 4, April 2000, p. 311-313.
Morozov V.I. Separate aspects of NPP technical diagnostics. Atomic Energy, v.91, issue 1, July 2001, p. 71-75.

Часть 3. Представление вероятности безотказной работы системы в виде ряда Тейлора