petuhoff 19 фев в 17:17

Полиномиальные корневые методы синтеза САУ ч.2

Средний

17 мин

2.1K

Программирование*Анализ и проектирование систем*Алгоритмы*Математика*Matlab*

Туториал

Леонид Маркович Скворцов. Широко известный в узких кругах математик, профессионально занимающийся математическими проблемами автоматического управления. Например, его авторские методы использованы в SimInTech. Данный текст, еще готовится к публикации. Но с разрешения автора, читатели Хабр будут первыми кто сможет оценить. Первая часть здесь... Заключение с разобранными примерами здесь...

3. Синтез одномерной системы с обратной связью по состоянию

Пусть уравнения объекта имеют вид:

$\mathbf{\dot{x}=A\cdot x +b\cdot} u, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.1a)}$

а закон управления примем в виде:

$u = -\mathbf{k}^T\cdot x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.1b)}$

где $\mathbf{b}$ и $\mathbf{k}$ - n-мерные векторы. Если объект полностью управляем, то путем преобразования переменных $\mathbf{x =T\cdot \xi}$ можно привести уравнения (3.1а) к управляемой канонической форме:

$\mathbf{\dot{\xi}=\tilde{A}\cdot\xi+\tilde{b}\cdot u},\ \ \mathbf{\tilde{A}}=\begin{bmatrix}0 &1 &\cdots &0\\\vdots &\vdots & \ddots &\vdots\\0 &0 &\dots &1\\-a_0&-a_1 &\cdots &-a_{n-1} \end{bmatrix}, \mathbf{\tilde{b}}=\begin{bmatrix}0\\ \vdots\\0\\1 \end{bmatrix},$

тогда уравнения системы (3.1) запишутся в виде:

$\mathbf{\dot{\xi}} =(\mathbf{\tilde A-\tilde{b}\cdot\tilde k}^T)\cdot \mathbf{\xi}, \ \ \ \mathbf{\tilde {k}}^T=\mathbf{k}^T\cdot \mathbf{T}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.2)}$

Матрица системы (3.2) имеет нижнюю форму Фробениуса с характеристическим полиномом

$(a_0-\tilde{k}_1)+\cdots+(a_{n-1}-\tilde{k}_n)\cdot s^{n-1}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.3)}$

Сформируем характеристический полином замкнутой системы в виде

$P(s)=(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)\cdots(s-\lambda_n)=p_o+\cdots+p_{n-1}\cdot s^{n-1}+s^n, \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4)}$

где $\lambda_i$ – заданные желаемые значения полюсов. Приравнивая коэффициенты полиномов (3.3) и (3.4), получаем коэффициенты регулятора в виде

$\mathbf{k}^T=[(a_0-p_0),\cdots,(a_{n-1}-p_{n-1})]\cdot \mathbf{T}^{-1}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.5)}$

Таким образом, построение регулятора, обеспечивающего заданную динамику САУ, сводится к нахождению коэффициентов характеристического полинома и матрицы преобразования T, приводящей уравнения (3.1а) к управляемой канонической форме. В процедуре acker системы Matlab для решения этой задачи реализован метод Аккермана [24], основанный на использовании матрицы управляемости [b, Ab, …, Aⁿ^–1b]. В [16] отмечалось, что этот метод плохо обусловлен в вычислительном отношении, что может привести к значительным ошибкам при n > 5 и в случае плохо управляемых систем. Поэтому в [16] рекомендуется использовать функцию place системы Matlab. Мы также рекомендуемиспользовать более надежные алгоритмы, основанные на приведении системы к канонической форме с помощью элементарных преобразований подобия, рассмотренных в [22]. Опишем такой алгоритм.

Алгоритм 3. Расчет вектора коэффициентов k закона управления (3.1б) по заданным значениям A, b уравнений объекта (3.1а) и заданным корням $\lambda_i$ характеристического полинома замкнутой системы.

С помощью алгоритма, основанного на преобразованиях подобия, привести систему, заданную тройкой ( $\mathbf{A,b,C=I}$ ), к управляемой канонической форме. Рекомендуется использовать унитарные (ортогональные) преобразования [22]. В результате получаем систему ( $\mathbf{\tilde{A},\tilde{b},\tilde{C}=I}$ ), где матрица $\mathbf{\tilde{A}}$ имеет нижнюю форму Фробениуса и содержит коэффициенты характеристического полинома, а $\mathbf{T}$ – матрица преобразования.

Найти коэффициенты p_i полинома (3.4), корнями которого являются заданные полюсы замкнутой системы.
Найти коэффициенты обратных связей по формуле (3.5), что эквивалентно решению системы линейных алгебраических уравнений $\mathbf{T}^T\cdot \mathbf{k}=\Delta \mathbf{a}$ , где i‑й элемент вектора $\Delta\mathbf{ a}$ равен $a_{i-1}-p_{i-1}.$

Отметим, что формулы (3.1), которые обычно приводят при постановке задачи модального управления, не полностью задают структуру САУ, поскольку не содержат управляемой переменной y и внешних воздействий. В более общем случае уравнения одномерной системы имеют вид:

$\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{A\cdot x+b}\cdot u+\mathbf{B\cdot v}, \ \ \ \ y=\mathbf{c}^T\cdot \mathbf{x}, \ \ \ \ \ \ u=\mathbf{-k}^T\cdot \mathbf{x}+\mathbf{d}^T\cdot\mathbf{v},$

где: $\mathbf{v}$ – вектор внешних воздействий, $\mathbf{B}$ и $\mathbf{d}$ – матрица и вектор соответствующих размеров. Такое обобщение никак не сказывается на процедуре модального синтеза, которая использует только значения $\mathbf{A,b}$ и $\lambda_i$ .

Изложенный подход к построению модального регулятора принято считать классическим, но он имеет два существенных недостатка.

Предполагается, что все переменные состояния доступны для непосредственного измерения. Однако на практике это почти всегда невозможно.
Задается расположение всех полюсов замкнутой системы. Но часто достаточно изменить расположение небольшого числа полюсов, расположенных вблизи начала координат. В этом случае число обратных связей может быть уменьшено, при этом расположение остальных (удаленных) полюсов мало влияет на динамику системы.

Известна также задача частичного назначения полюсов [1, 2, 6, 26], но в ней на самом деле задается расположение всех полюсов, только некоторые из них смещаются в заданные точки, а остальные задаются такими же, как и в разомкнутой системе. При этом для формирования закона управления также необходимо использовать все переменные состояния. В последующих разделах рассмотрим процедуры, в которых для построения закона управления можно использовать небольшое число наблюдаемых переменных.

4. Синтез системы с обратной связью по наблюдаемым переменным

Рассмотрим теперь одномерную систему, в которой управление формируется непосредственно по наблюдаемым переменным, число которых m может быть меньше числа переменных состояния n. В общем случае уравнения такой системы имеют вид:

$\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{A\cdot x+b}\cdot u+\mathbf{B\cdot v}, \ \ y=\mathbf{c}^T\cdot\mathbf{x}, \ \ \ \mathbf{z=C\cdot x+D\cdot v}, \ \ u=-\mathbf{k}^T\cdot \mathbf{z}.$

где: $\mathbf{z}$ – вектор наблюдаемых переменных, v – вектор внешних воздействий. Поскольку нас интересует только полюсы этой системы, то ее можно упростить и рассматривать уравнения:

$\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{A\cdot x+b}\cdot u, \mathbf{z=C\cdot x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(4.1а)}$ $u =-\mathbf{k}^T\cdot \mathbf{z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(4.1б)}$

Характеристический полином системы (4.1) получаем в виде:

$q(s)=q_0(s)+k_1\cdot q_1(s)+...+k_m\cdot q_m(s), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(4.2)}$

где:

$q_0(s)= |s\cdot \mathbf{I-A}|; \ \ \ \ \ \ \ \ q_i(s)=\left | \begin{align}&s\ \cdot \mathbf{I-A} &b\\ &-\mathbf{C_{*i}} \ \ &0 \end{align} \right|, \ \ \ i=1,...,m$

$\mathbf{С_{*i}}$ – i-я строкаdматрицы $\mathbf{C}$ . Полиномы можно получить, вычислив векторную передаточную функцию системы (4.1а) от входа u к выходу z, которая выражается формулой $\mathbf{W}_{zu}(s)=[q_1(s),..,q_m(s)]^T/q_0(s)$ . Для этого можно воспользоваться алгоритмом, изложенным в [13].

Выражение (4.2) является основой для рассмотренного в этом разделе алгоритма синтеза закона управления. Зададим m полюсов и обозначим:

$\alpha(s)=(s-\lambda_1)... (s-\lambda_m)=\alpha_0+...+\alpha_{m-1}\cdot s^{m-1}+s^{m}.$

Остаток от деления полинома на полином $\alpha(a)$ равен

$r(s)=r_0(s)+k_1\cdot r_1(s)+...+k_m\cdot r_m(s), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(4.3)}$

где: $r_i(s)=q_i(s) \ mod \ \alpha (s)$ – остаток от деления полинома на полином $\alpha(s)$ .

Характеристический полином (4.2) имеет заданные корни, если остаток (4.3) равен нулю. Из этого условия получаем полиномиальное уравнение относительно коэффициентов :

$k_1\cdot r_1(s)+...+k_m\cdot r_m(s)=-r_0(s). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(4.4)}$

Уравнение (4.4) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полиномы взаимно просты, т. е. не существует их линейной комбинации, тождественно равной 0. Обозначим $r_1(s)=r_{i0}+r_{i1}\cdot s+...+r_{im-1}\cdot s^{m-1}$ . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему линейных алгебраических уравнений

$r_{1j}\cdot k_1+...+r_{mj}\cdot k_m=-r_{0j}, \ \ j=0,..,m-1,$

решая которые находим искомые коэффициенты закона управления.

Алгоритм 4. Расчет вектора коэффициентов $\mathbf{k}$ закона управления (4.1б) по заданным значениям $\mathbf{A,b, C}$ уравнений объекта (4.1а) и заданным корням $\lambda_1,...,\lambda_m, m\le n$ характеристического полинома замкнутой системы.

Рассчитать передаточные функции объекта от входа к выходам , где – характеристический полином объекта.
Вычислить коэффициенты $\alpha_i$ полинома $\alpha(s)$ , корнями которого являются заданные полюсы $\lambda_1,...,\lambda_m$ .
Вычислить $r_i(s)=q_i(s) \ \ mod \ \alpha(s), i=0,...,m.$
Найти искомые коэффициенты , решая уравнение (4.4), которое раскладывается в систему линейных алгебраических уравнений.

Изложенный алгоритм можно использовать и при формировании обратной связи по состоянию, когда задаются все n корней характеристического полинома. В этом случае и уравнение (4.4) принимает вид:

$k_1\cdot q_1(s)+...+k_n\cdot q_n(s)=\alpha(s)-q_0(s).$

Исходными данными для синтеза являются полиномы и $\alpha(s)$ , поэтому нет особой необходимости использовать модель в пространстве состояний, можно также использовать модель, заданную в виде вход-выходного соотношения либо структурной схемы. Примеры синтеза статического регулятора по наблюдаемым переменным приведены в разделе 8 (примеры 1 и 3).

5. Синтез одномерной системы с обратной связью по выходу

Число измеряемых переменных может быть недостаточным для формирования качественного управления в виде линейной комбинации этих переменных. В этом случае можно оценить недостающие переменные с помощью наблюдающего устройства. Обычно не разделяют динамический наблюдатель и статический регулятор, а рассматривают их как одно устройство – динамический регулятор. На практике часто измеряется только одна выходная переменная либо сигнал ошибки.

Рисунок 1. Схема САУ с управлением по сигналу ошибки (схема S0)

Рассмотрим систему управления с последовательной коррекцией и единичной отрицательной обратной связью (рис. 1). Пусть – ПФ неизменяемой части (объекта), – ПФ регулятора. В общем случае может содержать также и неизменяемую часть регулятора, задаваемую из условия обеспечения нужного порядка астатизма либо из других соображений. Примем:

$G(s)=\frac{B(s)}{A(s)}, \ \ \ A(s)=a_0+...+a_n\cdot s^n, \ \ \ B(s)=b_0+...+b_m\cdot s^m \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.1а)}$ $K(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}, \ \ X(s)=x_0+...+x_k\cdot s^k, \ \ Y(s)=y_0+...+y_l\cdot s^l \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.1b)}$

ПФ замкнутой системы:

$W(s)=\frac{G(s)\cdot K(s)}{1+G(s)\cdot K(s)}=\frac{B(s)\cdot Y(s)}{A(s)\cdot X(s)+B(s)\cdot Y(s)}.$

Полюсы замкнутой системы являются корнями характеристического полинома

$P(s)=A(s)\cdot X(s)+B(s)\cdot Y(s). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2)}$

Рассмотрим сначала процедуру размещения всех полюсов. Пусть

$C(s)=c_0+...+c_{n+k}\cdot s^{n+k}=c_{n+k}\cdot(s-\lambda_1)\cdot(s-\lambda_2)...(s-\lambda_{n+k}) \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3)}$

– полином, обеспечивающий желаемое расположение полюсов. Приравнивая (5.2) и (5.3), получаем полиномиальное уравнение синтеза:

$\underbrace{A(s)}_n\cdot\underbrace{ X(s)}_k+\underbrace{B(s)}_m\cdot \underbrace{Y(s)}_l=\underbrace{C(s)}_{n+k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.4)}$

(внизу указаны степени соотвествующих полиномов)

Уравнение (5.4) можно развернуть в систему линейных алгебраических уравнений, разложив левую часть по степеням и приравнивая полученные выражения при одинаковых степенях соответствующим коэффициентам правой части. Такая система может иметь множество решений, но нас интересует только минимальное решение, т.е. решение, при котором порядок регулятора, равный степени полинома , минимален. При определении порядка регулятора исходим из того, что ПФ объекта строго правильная, а ПФ регулятора реализуема, т.е. выполняются неравенства $n>m, k\ge l$ . Из условия равенства числа уравнений и числа неизвестных получаем , откуда . Минимальное решение получим при , т. е. порядок регулятора на 1 меньше порядка объекта, а система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов имеет вид:

$\mathbf{A\cdot x+B\cdot y=c},$ $\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_0 & 0 & \cdots& 0 \\ a_1 & a_0 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_n &a_{n-1} & \cdots &a_0 \\ 0 & a_n & \cdots & a_1 \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\0 &0 &0 &a_n \end{bmatrix}, \mathbf{B}=\begin{bmatrix} b_0 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & b_0 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 &b_m &\cdots & b_0\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdots &b_0\\ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix},\\ \mathbf{c}=\begin{bmatrix} c_0 \\ \vdots \\ c_{2\cdot n-1} \end{bmatrix}, \ \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_0 \\ \vdots \\ x_{n-1} \end{bmatrix}, \ \mathbf{y}=\begin{bmatrix} y_0\\ \vdots \\ y_{n-1} \end{bmatrix}.$

Матрица $\mathbf{S=[A,B]}$ называется матрицей Сильвестра, а ее определитель (результант Сильвестра) отличен от 0 тогда и только тогда, когда полиномы и не имеют общих корней. Таким образом, приведенное уравнение синтеза имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ПФ объекта несократима, что эквивалентно полной управляемости и наблюдаемости объекта.

Рассмотрим также процедуру синтеза регулятора, обеспечивающего, кроме заданного расположения полюсов, заданный порядок астатизма, равный числу нулевых полюсов разомкнутой системы. Если число нулевых полюсов объекта на $\nu$ меньше заданного порядка астатизма, то недостающие нулевые полюсы необходимо внести в регулятор, задав его передаточную функцию в виде $K(s)=Y(s)/[s^\nu\cdot X(s)]$ . В этом случае знаменатель ПФ неизменяемой части принимаем в виде $A(s)=s^\nu\cdot A_0(s)$ , где – знаменатель ПФ объекта. Уравнение синтеза остается в виде (5.4), но при этом , где – порядок объекта, $k=n_0-1,l=n_0-1+\nu$ .

Процедуру назначения всех полюсов имеет смысл применять, если объект имеет низкий порядок, либо при использовании упрощенных (редуцированных) моделей. В противном случае использование такой процедуры приводит к неоправданному усложнению регулятора. Более актуальна задача назначения нескольких доминирующих полюсов при ограничении на расположение остальных полюсов. Рассмотрим эту задачу.

Как и ранее, принимаем ПФ объекта (или неизменяемой части) в виде (5.1а). В общем случае ПФ может содержать в виде сомножителей неизменяемую часть регулятора, заданную исходя из условий требуемого порядка астатизма, фильтрации помех или других соображений. Например, можно полностью задать знаменатель ПФ регулятора, тогда он войдет в виде сомножителя в , а. Пусть задаются полюсов – корней полинома , причем $r\le n+k$ , т.е. число назначаемых полюсов может быть меньше общего числа полюсов замкнутой системы. Пусть также остальные полюсы (назовем их свободными) являются корнями неизвестного полинома . Тогда из условия наличия у характеристического полинома заданных корней получим полиномиальное уравнение синтеза:

$\underbrace{A(s)}_n\cdot\underbrace{X(s)}_k+\underbrace{B(s)}_m\cdot \underbrace {Y(s)}_l=\underbrace{C(s)}_r\cdot \underbrace{Z(s)}_{n+k-r}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.5)}$

(внизу указаны показатели степени соответсвующих полиномов)

Полюсы замкнутой системы состоят из назначаемых (корни полинома ) и свободных (корни полинома ), при этом полюсов вносит в систему регулятор. Корни полинома заранее неизвестны, поэтому при их неудачном расположении следует изменить расположение назначаемых полюсов либо повысить порядок регулятора, после чего повторить процедуру. Таким образом, процедура синтеза в общем случае является интерактивной.

Полиномиальное уравнение (5.5) можно развернуть в систему линейных алгебраических уравнений порядка . Чтобы эта система не была однородной и имела единственное решение, необходимо зафиксировать один из коэффициентов неизвестных полиномов (можно принять либо ). Тогда, приравняв число уравнений и число неизвестных, получим число задаваемых полюсов .

Более эффективный метод решения уравнения (5.5) получим, исключив из него полином . Для этого запишем это уравнение как условие делимости левой части на , т. е. в виде:

$[A(s)\cdot X(s)+B(s)\cdot Y(s)] \ \ mod \ \ C(s)=0. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.6)}$

Перепишем (5.6) в виде:

$\left [ \sum_{j=0}^kA(s)\cdot x_j\cdot s^j+\sum_{j=0}^lB(s)\cdot y_j\cdot s^j\right] \ \ mod \ \ C(s)=0.$

Поменяв местами операции суммирования и определения остатка, получим

$\sum_{j=0}^kA_j(s)\cdot x_j+\sum_{j=o}^lB_j(s)\cdot y_j=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.7)}$

где: $A_j(s)=s^j\cdot A(s) \ \ mod \ \ C(s), \ \ B_j(s)=s^j\cdot B(s) \ \ mod \ \ C(s).$

Приняв , имеем

$\sum_{j=0}^{k-1}A_j(s)\cdot x_j+\sum_{j=0}^lB_j(s)\cdot y_j=-A_k(s). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.8)}$

Обозначив

$A_j(s)=\sum_{i=0}^{r-1}a_{ij}\cdot s^i \ \ \ B_j(s)=\sum_{i=0}^{r-1}b_{ij}\cdot s^i, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.9)}$

получим из уравнения (5.8) систему линейных алгебраических уравнений

$\sum_{j=0}^{k-1}a_{ij}\cdot x_j+\sum_{j=0}^lb_{ij}\cdot y_j=-a_{ik}, \ \ i=0,..., r-1, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.10)}$

решив которую, найдем искомые коэффициенты ПФ регулятора. Для сокращения числа операций следует вместо (5.7) использовать рекуррентные формулы

$A_0(s)=A(s) \ \ mod \ \ C(s), \ \ A_j(s)=s\cdot A_{j-1}(s) \ \ mod \ \ C(s), \ \ j=1,...,k; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ $B_0(s)=B(s) \ \ mod \ \ C(s), \ \ B_j(s) =s\cdot B_{j-1}(s)\ \ mod \ \ C(s), \ \ j=1,..., k. \ \ \ \ \mathbf{(5.11)}$

Оставшиеся не заданными полюсы найдем как корни полинома, полученного в результате деления $A(s)\cdot X(s)+B(s)\cdot Y(s)$ на . При неудачном расположении этих полюсов следует повысить порядок регулятора либо изменить расположение назначаемых полюсов, после чего повторить процедуру синтеза с новыми исходными данными. Примеры синтеза динамического регулятора с последовательной коррекцией приведены в разделе 8 (примеры 2 и 4).

Нам осталось рассмотреть вопрос существования и единственности решения полиномиального уравнения вида (5.5). Для этого удобно представить это уравнение в виде интерполяционных условий. Анализ полученных интерполяционных условий выполнен в [21].

Алгоритм 5. Решение полиномиального уравнения синтеза (5.6). Исходные данные: полиномы и степеней и , степени и неизвестных полиномов и , полином степени .

Вычислить коэффициенты полиномов (5.9) по формулам (5.11).
Сформировать и решить систему линейных алгебраических уравнений (5.10) относительно коэффициентов искомых полиномов ,.

Алгоритм реализован в процедуре polysyn ПО SimInTech. Примеры использования этой процедуры для решения задач синтеза приведены в разделе 8 (примеры 1–4, 6). Алгоритм реализован также в системе Mathcad в виде программного модуля polysyn.

Рассмотренный алгоритм позволяет обеспечить заданное расположение полюсов, но бывает необходимо обеспечить также и заданные значения других показателей. Приведем алгоритм, позволяющий обеспечить, наряду с расположением полюсов, также и заданную добротность.

Для системы с порядком астатизма $\nu$ примем

$A(s)=a_{\nu}\cdot s^{\nu}+...+a_n\cdot s^n, \ \ X(s)=x_0+...+x_{k-1}\cdot s^{k-1}+s^{k},\\B(s) =b_0+...+b_m\cdot s^m,\ \ Y(s)=y_0+...+y_l\cdot s^l.$

Тогда соответствующая добротность будет:

$D_{\nu}=\frac{b_0\cdot y_0}{a_{\nu}\cdot x_0}.$

Уравнения, обеспечивающие заданное расположение полюсов и заданную добротность системы с последовательной коррекцией, запишутся в виде:

$\sum_{j=0}^{k-l}a_{ij}\cdot x_j+\sum_{j=0}^{l-1}b_{ij}\cdot y_j=-a_{ij}, \ \ i=0,..,r-1, \ \ D_\nu\cdot a_\nu\cdot y_0. \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.12)}$

Алгоритм 6. Решение уравнений синтеза (5.12). Исходные данные: полиномы и степеней и , степени и неизвестных полиномов и , полином степени , добротность , порядок астатизма .

1. Вычислить коэффициенты полиномов (5.9) по формулам (5.11). Полиномы вычисляем для а – для .

2. Сформировать и решить систему линейных алгебраических уравнений (5.12) относительно коэффициентов полиномов , и добротности .

Алгоритм реализован в процедуре polysyn2 ПО SimInTech. Пример использования этой процедуры для решения задачи синтеза приведен в разделе 8 (пример 5). Алгоритм реализован также в системе Mathcad в виде программного модуля polysyn2.

6. Схемы реализации регуляторов с обратной связью по выходу

Пусть в результате синтеза последовательного корректирующего устройства для объекта (неизменяемой части) с ПФ получен регулятор с ПФ . Простейшая схема, реализующая такой регулятор, была рассмотрена в предыдущем разделе и показана на рис. 1. Она имеет ПФ разомкнутой системы

$W_p(s)=\frac{B(s)\cdot Y(s)}{A(s)\cdot X(s)}$

и характеристический полином

$P(s)=A(s)\cdot X(s)+B(s)\cdot Y(s). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{6.1}$

Для дальнейшего изложения нам удобно принять полиномы, входящие в (6.1), в виде

$A(s)=s^{\nu}+a_{\nu+1}\cdot s^{\nu+1}+..+a_n\cdot s^n, B(s)=b_0+b_1\cdot s+\cdots+b_m\cdot s^m, \ \ \ \mathbf{(6.2a)}$ $X(s)=1+x_1\cdot s+\cdots+x_k\cdot s^k, Y(s)=y_o+y_1\cdot s+\cdots y_l\cdot s^l, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.2б)}$

где $\nu$ – сумма порядков астатизма объекта и регулятора, а полиномы и содержат только коэффициенты регулятора, подлежащие определению. Схема на рис. 1 имеет порядок астатизма n и добротность $D_n=b_o\cdot y_0$ . Обозначим эту схему через S0. Такую схему будем считать базовой, и на ее основе построим другие схемы с таким же характеристическим полиномом, но другими числителями ПФ.

Допустим теперь, что для формирования управляющего сигнала , наряду с сигналом ошибки , может быть использована выходная переменная . В общем случае такая система имеет структуру, показанную на рис. 2. Другие возможные варианты приводятся к такому виду путем структурных преобразований. Эта схема (по сравнению со схемой на рис. 1) обладает дополнительной структурной степенью свободы, что позволяет добиться высокой точности при малой чувствительности к изменению параметров объекта. Благодаря этому схемы такого типа широко применяются при проектировании высокоточных следящих систем.

Рисунок. 2. Схема САУ с управлением по сигналу ошибки и выходному сигналу

Чтобы схема на рис. 2 имела такой же характеристический полином, как и схема на рис.1, должно выполняться равенство $[K_1(s)+K_2(s)]\cdot K_3(s)=K(s)$ . Рассмотрим возможные варианты построения схем, для которых выполняется это равенство.

Простейший вариант получим, приняв $K_1(s)=k, \ K_2(s)=1-k, \ K_3(s)=K(s)$ . Полученная схема (обозначим ее S1) показана на рис. 3а, а на рис. 3б приведена эквивалентная схема. ПФ разомкнутой системы получаем в виде:

$W_p(s)=\frac{k\cdot B(s)\cdot Y(s)}{A(s)\cdot X(s)+(1-k)\cdot B(s)\cdot Y(s)}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.3)}$

Такая система обладает астатизмом только в том случае, когда знаменатель в (6.3) равен 0 при , откуда $k=1+a_0/(b_0\cdot y_0)$ . Таким способом можно построить астатическую систему при статическом объекте и статическом регуляторе, т. е. при $a_0\ne0$ . Но при этом малейшие изменения параметров объекта могут привести к потере астатизма всей системы, поэтому для построения астатической системы следует использовать другие схемы. Если же объект (или регулятор) астатический, то при постоянном задающем воздействии получаем на выходе $u=k\cdot g$ . При получаем схему S0, которая сохраняет свойства астатизма объекта и регулятора.

В схеме с последовательной коррекцией добротность системы однозначно определяется заданным расположением полюсов. Однако возможны и другие схемы построения регуляторов, в которых при заданном расположении полюсов добротность может принимать разные значения. Рассмотрим такие схемы.

Схема, которую обозначим через S2, показана на рис. 4. Здесь ПФ и выбраны так, что их сумма равна:

$\frac{Y(s)}{\alpha(s)\cdot X(s)},$

где полином $\alpha(s)$ входит в в виде сомножителя (в частном случае $\alpha(s)=1$ ). Например, если задать:

$K_1(s)=\frac{k_0+\gamma\cdot k_1\cdot s}{s}, \ K_2(s)=\frac{(1-\gamma)\cdot k_1+k_2\cdot s}{1+x_1\cdot s}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.4)}$

то из условия

$K_1(s)+K_2(s)=\frac{(y_0+y_1\cdot s+y_2\cdot s^2)}{s\cdot(1+x_1\cdot s)}$

получаем $k_0=y_0, \ k_1 =y_1-k_0\cdot x_1, \ k_2=y_2-\gamma\cdot k_1\cdot x_1$ . Если объект статический, то в (6.2a), а схема имеет 1-й порядок астатизма и добротность по скорости:

$D_1=\frac{k_0\cdot b_0}{1+(1-\gamma)\cdot k_1\cdot b_0}.$

Параметр $\gamma$ никак не влияет на расположение полюсов, но позволяет варьировать добротность и некоторые другие характеристики системы. При $\gamma=1$ добротность такая же, как и в схеме S0. При уменьшении $\gamma$ (от 1 до 0) добротность снижается, но повышается запас устойчивости по фазе и уменьшается перерегулирование. Если объект имеет 1-й порядок астатизма $\nu=2$ и $\gamma =1$ , то система имеет 2-й порядок астатизма и добротность по ускорению

$D_2=\frac{k_0\cdot b_0}{1+k_2\cdot b_0}.$

При построении регуляторов часто используют производную выходной переменной, которая может быть доступна для непосредственного измерения. Рассмотрим построение таких систем с 1‑м порядком астатизма по схеме S2. Пусть объект имеет 1-й порядок астатизма, тогда принимаем

$K_1(s)=\frac{\tilde{Y}(s)}{X(s)}, \ \deg\tilde{Y}(s)=\deg X(s), \ \ K_2(s)=k_2\cdot s,\\ K_1(s)+K_2(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}, \ \ \deg Y(s)=\deg X(s)+1.$

Решив уравнение синтеза (5.6), получим и , а используя обозначения (6.2), получаем параметры ПФ и по формулам:

$k_2=\frac{y_{k+1}}{x_k}, \ \tilde{Y}(s)=Y(s)-k_2\cdot s\cdot X(s).$

Добротность по скорость полученной системы:

$D_1=\frac{k_1\cdot b_0}{1+k_2\cdot b_0}, \ \ k_1=K_1(0).$

В рассмотренных примерах ПФ и имеют разные знаменатели. Но можно представить ПФ регулятора и в виде суммы двух ПФ с одинаковым знаменателем. Примем , $K_2(s)=Y_2(s)/X(s), \ \ Y_1(s)+Y_2(s)=Y(s).$ Такой регулятор можно реализовать в виде схемы на рис. 4, но это не будет оптимальным решением, поскольку приведет к необоснованному повышению порядка регулятора (при этом как полюсы, так и нули замкнутой системы будут содержать корни полинома ). Однако можно реализовать этот регулятор, если представить его ПФ в виде вектора-строки

$K(s)=\frac{[Y_1(s),Y_2(s)]}{X(s)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5)}$

и использовать наблюдаемую каноническую форму уравнений состояния.

Схема с таким регулятором представлена на рис. 5, обозначим ее через S3. ПФ разомкнутой системы для такой схемы выражается формулой

$W_p(s)=\frac{B(s)\cdot Y_1(s)}{A(s)\cdot X(s)+B(s)\cdot Y_2(s)}.$

Такой регулятор часто называют двухпараметрическим [23] (в отличие от однопараметрического регулятора на рис. 1).

Обозначим:

$Y_1(s)=y_{10}+y_{11}\cdot s+\cdots+y_{1l}\cdot s^l, \ \\ Y_2(s)=Y(s)-Y_1(s)=y_{20}+y_{21}\cdot s+\cdots+y_{2l}\cdot s^l \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.6)}$

При принятых обозначениях (6.2), (6.6) схема S3 будет иметь порядок астатизма $\nu$ , если $y_{2i}=0$ при $i<\nu$ . А добротность в этом случае равна

$D_\nu=\frac{b_0\cdot y_{l0}}{1+b_0\cdot y_{2\nu}}$

и при заданном расположении полюсов может быть изменена путем изменения $y_{2\nu}$ .

Приведем уравнения состояния, реализующие ПФ (6.5). Чтобы не путаться с обозначениями переменных и коэффициентов, примем обозначения коэффициентов в виде

$X(s)=d_0+d_{1s}+\cdots+d_k\cdot s^k, \ \ Y_i(s)=n_{i0}$

Тогда уравнения состояния, реализующие ПФ регулятора в схеме на рис. 5, запишутся в виде

$\begin{align} \dot{x_1} &=-d_0\cdot u _n+n_{10}\cdot e-n_{20}\cdot y, \\ \dot{x_2}&= x_1-d_1\cdot u+n_{11}\cdot e-n_{21}\cdot y, \\ &\cdots\\ \dot{x_k}&=x_{k-1}-d_{k-1}\cdot u+n_{1,k-1}\cdot e-n_{2,k-1}\cdot y, \\ u&=\frac{x_k+n_{1k}\cdot e-n_{2k}\cdot y}{d_k} \end{align} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7)}$

(при реализации этих уравнений сначала вычисляем u, а затем производные).

7. Синтез динамического регулятора с обратной связью по наблюдаемым переменным

Рассмотрим объект, имеющий единственный вход u и m доступных для измерения выходов $z=[z_1,\cdots,z_m]^T$ z = [z₁, …, z_m]^T, один из которых является управляемым. Поскольку нас интересует только расположение полюсов, можно принять все внешние воздействия нулевыми. Примем уравнения замкнутой системы в операторной форме в виде $u =-\mathbf{K}(x)\cdot \mathbf{z}, \ \ \mathbf{z=\mathbf{G}}(s)\cdot u$ u = –K(s)z, z = G(s)u, где

$\mathbf{K}(s)=\frac{Y_1(s),\cdots,Y_m(s)}{X(s)}, \ \ \mathbf{G}(s)=\frac{[B_1(s),\cdots,B_m(s)]^T}{A(s)}$

- векторные передаточные функции регулятора и объекта,

- полиномы.

Характеристический полином замкнутой системы равен

$P(s)=A(s)\cdot X(s)+B_1(s)\cdot Y_1(s)+\cdots+B_m(s)\cdot Y_m(s).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.1)}$

Пусть – полином степени , корнями которого являются назначаемые полюсы. Условие наличия у полинома (7.1) заданных корней запишется в виде:

$[A(s)\cdot X(s)+B_1(s)\cdot Y_1(s)+\cdots+ B_m(s)\cdot Y_m(s)]\ \ mod \ \ C(s)=0. \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.2)}$

Обозначим через и $y_{qj}$ соответствующие коэффициенты полиномов и при . Пусть – степень полинома , а – степень полинома . Тогда уравнение (7.2) можно переписать в виде

$\sum_{j=0}^kA_j(s)\cdot x_j+\sum_{j=0}^{l_1}B_{1j}(s)\cdot y_{1j}+\cdots+\sum_{j=0}^{l_m}B_{mj}(s)\cdot y_{mj}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(7.3)}$

где $A_j(s)=s^j\cdot A(s) \ mod \ C(s)$ , $B_{qj}(s)=s^j\cdot B_q(s) \ mod \ C(s)$ Обзначив:

$A_j(s)=\sum_{i=0}^{r-1}a_{ij}\cdot s^i, \ \ B_{qj}(s)=\sum_{i=0}^{r-1}b_{qij}\cdot s^i,$

получим из уравнения (7.3) систему линейных алгебраических уравнений

$\sum_{j=0}^ka_{ij}\cdot x_j+\sum_{j=0}^{l_1}b_{1ij}\cdot y_{1j}+\cdots+\sum_{j=0}^{l_m}b_{mij}\cdot y_{mj}=0, \ \ i=0,\cdots, r-1, \ \ \ \ \mathbf{(7.4)}$

Чтобы система (7.4) не была однородной, примем или . В этом случае получаем систему из уравнений, содержащую $k+l_1+\cdots+l_m+ m$ неизвестных. Дальнейшие действия сводятся к анализу и решению полученной системы линейных алгебраических уравнений.

Третья, заключительная часть, с разбором примеров и демо примерами здесь...

Ну и по традиции видео задачи в котором демонстрируется как, методы интегрирования Ленонида Марковича Скворцова, позволяет увеличеть точность расчета на 6 порядков, по сравнению с общепринятыми:

Литература

1. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

2. Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы) // Автоматика и телемеханика. 1977. № 3. С. 5–50.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.

4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

5. Воронов В. С. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Изв. АН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 49–54.

6. Икрамов Х. Д. О размещении полюсов линейных стационарных систем // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1993. Вып. 9. C. 237–291.

7. Карташов Б. А., Шабаев Е. А., Козлов О. С., Щекатуров А. М. Среда динамического моделирования технических систем SimInTech. М.: ДМК Пресс, 2017. 424с.

8. Каханер Д., Моулер К. Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

9. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Исследование и проектирование автоматических систем с помощью программного комплекса "МВТУ" // Информационные технологии. 2006. №8. C. 9–15.

10. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез робастных регуляторов минимального порядка // Наука и образование (электронный научно-технический журнал). 2013. № 2. URL: http://engineering-science.ru/doc/533324.html.

11. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез простых робастных регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2015. № 9. С. 102–114.

12. Крутько П. Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. !986. № 1. С. 125–133.

13. Крутько П. Д., Максимов А. И., Скворцов Л. М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. 306 с.

14. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

15. Литвинов Н. Д. Метод расположения корней характеристического полинома, обеспечивающий заданные степень устойчивости и колебательность системы // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 53–61.

16. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 287 с.

17. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

18. Скворцов Л. М. Синтез закона управления по заданным полюсам и нулям передаточной функции // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № 6. С. 149–153.

19. Скворцов Л. М. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 6. С. 54–59.

20. Скворцов Л. М. Расположение полюсов при синтезе модального регулятора // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 6. С. 226–229.

21. Скворцов Л. М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. №4. С. 10–13.

22. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

23. Chen C. T. Linear system theory and design. New York: Oxford University Press, 1999. 334 p.

24. Kailath T. Linear Systems. New Jersey: Prentice-Hall, 1980. 682 p.<o:p></o:p>

25. Naslin P. Polynomes normaux et critere algebrique d'amortissement // Automatisme. 1963. V. 8. № 6. P. 215–233.

26. Saad Y. Projection and Deflation Methods for Partial Pole Assignment in Linear State Feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1988. V. 33. № 3. P. 290–297.

Теги:

Хабы:

Полиномиальные корневые методы синтеза САУ ч.2

3. Синтез одномерной системы с обратной связью по состоянию

4. Синтез системы с обратной связью по наблюдаемым переменным

5. Синтез одномерной системы с обратной связью по выходу

6. Схемы реализации регуляторов с обратной связью по выходу

7. Синтез динамического регулятора с обратной связью по наблюдаемым переменным

Литература

Публикации

Истории

Работа

Ближайшие события