История бесконечности потенциально бесконечна, но фактически, увы и ах, эта статья будет последней в нашем цикле. Кстати, предыдущее предложение звучало бы смешнее на английском (...but actually). Но я пишу её не на языке Ньютона и Шекспира, а на языке Колмогорова и Есенина, так что придётся читателю довольствоваться лишь потенциальным каламбуром.
В компьютерных RPG часто бывает три концовки: добрая, злая и true ending. В данном случае реальная жизнь повторяет за геймдевом, и в истории бесконечности все эти сюжетные ветки также присутствуют. Под катом я расскажу, в чём их смысл и какие персонажи класса «математик» прошли игру «Жизнь» с этими концовками.
Добрая ветка: конец бесконечности
Катсцена с флешбеком
Учитывая все проблемы, связанные с бесконечностью, в математической вселенной логично считать её вселенским злом. А добрая концовка — это победа над злом. Поэтому вернёмся немного назад, в начало XX века, и поговорим подробнее о программе Гильберта.
В основе идей Гильберта лежала некая система убеждений под названием «финитизм». Я говорю «система убеждений», потому что финитизм не был строго формализованной теорией — скорее соображениями о том, как должна выглядеть строгая теория. Гильберт считал, что хорошие математические утверждения не должны оперировать актуальной бесконечностью. Потенциальная бесконечность допустима: например, мы можем можем построить аксиоматику натуральных чисел, взяв нуль и функцию «+1». Функцию «+1» можно применить сколько угодно раз (потенциальная бесконечность), но всё в порядке, пока мы ничего не говорим обо «всех натуральных числах» (актуальная бесконечность)... А вот утверждение «для каждого числа N существует число N+1» уже незаконно, в смысле — не финитно. Это не значит, что оно неверно (мы‑то понимаем, что оно верно). Просто в строгом математическом языке, согласно Гильберту, не должно быть слов «для каждого N», если мы не можем явно перечислить все эти N.
Впрочем, Гильберт вовсе не хотел уничтожить современную ему не‑финитную математику и заставить всех упражняться в громоздком и невыразительном финитном языке. Напротив, Гильберт хотел спасти математику. Он надеялся финитными средствами доказать её непротиворечивость: дескать, пусть мы и оперируем бесконечностями, но мы можем доказать, что имеем право это делать, не используя никаких бесконечностей.
Именно эту программу и разрушил Гёдель своей теоремой о неполноте. Возьмём, например, арифметику Пеано. Это одна из самых простых математических теорий. Но, несмотря на свою простоту, она уже не финитна: в ней можно говорить «для каждого N». Гильберт мечтал доказать её непротиворечивость с помощью более простой, финитной теории. А Гёдель доказал, что для этого нужна более сложная теория. Чтобы строго обосновать бесконечность, нужна бесконечность побольше.
Старый добрый ультрафинитизм
Гёдель доказал, что Гильберт хотел слишком многого. Однако кое‑кто пришёл к парадоксальному выводу, что Гильберт хотел слишком малого. Проблем с теоремой о неполноте не случилось бы, если бы вопрос бесконечности был решён по‑настоящему радикально: запретом даже потенциальной бесконечности. Такая идеология получила название «ультрафинитизм», и её дедушкой стал совершенно не случайно упомянутый во вступительном абзаце великий русский поэт Сергей Есенин.
Нет, Есенин не был тайным математиком. Однако он был отцом. А вот его внебрачный сын, Александр Есенин‑Вольпин, был математиком и отцом ультрафинитизма. Вот такая вот генеалогия.
Есенин‑Вольпин во всём исходил из соображений крайнего скептицизма.
Применительно к математике это означает сомнение не только в бесконечности, но даже и в существовании очень больших конечных чисел. Например, что такое число пять — это легко понять, посмотрев на свою пятерню. А вот что такое пресловутый гугол? Это число больше, чем количество атомов во Вселенной — то есть в принципе, физически нельзя посмотреть на что‑то и воскликнуть — о, тут целый гугол этих штук! А раз так — правомерно ли пользоваться этим числом? Число ли это вообще?
Добрая ветка: финал
Казалось бы, у Есенина‑Вольпина очень логичный взгляд на вещи. Нам не должны быть интересны утверждения о числах, которые настолько велики, что на практике никогда нам не понадобятся. И бухгалтеру, и программисту, и инженеру — всем, кроме математиков‑теоретиков, по факту достаточно очень ограниченного диапазона чисел. Так почему бы не построить реалистичную математику, которая работает в этом диапазоне и не изобретает континуумы?
И всё же по каким‑то парадоксальным причинам реалистичную математику так и не построили. У Есенина‑Вольпина были последователи, и всё же ультрафинитизм так и остался на уровне заявлений, программ, меморандумов. Плодотворной математической теории их него так и получилось.
Похоже, для того, чтобы считать 2 + 2 на калькуляторе в смартфоне, по каким‑то непонятным причинам всё же необходима бесконечность. И потому математик, играющий «за добро», в конце игры натыкается на непреодолимую стену.
Злая ветка: триумф бесконечности
У зла нет стандартов
Пока одни математики пытались замести бесконечность веником под половик, другие вспоминали старые добрые деньки, когда Ньютон и Лейбниц, беря производные и интегралы, запросто оперировали инфинитезималями. Конечно, потом оказалось, что так нельзя, что этот подход не аксиоматичен и ведёт к ошибкам. Но вдруг существует строгая аксиоматическая теория, в которой можно будет взять бесконечно малое приращение функции и не получить по пальцам линейкой? Как оказалось, такая теория действительно возможна. И в середине XX века на её основе был создан нестандартный анализ
Если точнее, нестандартных анализов есть несколько, и основаны они на разных теориях. Но самым мейнстримным считается нестандартный анализ А. Робинсона, поэтому в дальнейшем будем говорить о нём. Разбор всех существующих нестандартных анализов потянул бы на целую кандидатскую диссертацию по истории математики.
Гипердействительность
В нестандартном анализе Робинсона вместо привычного нам множества действительных чисел R используются множество гипердействительных чисел *R. Рассмотрим вкратце, как они устроены.
Во‑первых, действительные числа входят в гипердействительные. Мы их не выкидываем, только дополняем.
Во‑вторых, существуют инфинитезимали, бесконечно малые — числа, которые меньше по модулю, чем любое действительное число, но при этом не равны нулю.
В‑третьих, у любого действительного числа есть монада — совокупность гипердействительных чисел, которые бесконечно мало отличаются от него. Монада нуля — бесконечно малые числа. Монада единицы — те же бесконечно малые числа, но ещё плюс один. И так далее.
В‑четвёртых, есть бесконечно большие числа. Если разделить единицу на бесконечно малое число, получим бесконечно большое. И наоборот. На нуль по‑прежнему делить нельзя!
В‑пятых, если мы рассмотрим какую‑нибудь монаду «под микроскопом», увеличив её в бесконечное число раз, то увидим, что она повторяет структуру «большой» гипердействительной числовой прямой. Какие‑то бесконечно малые после умножения на бесконечность станут обычными действительными числами. Какие‑то — останутся бесконечно малыми (то есть они изначально были бесконечно малы по сравнению с теми, первыми бесконечно малыми). Окажется, что у каждого бесконечно малого есть своя «микромонада».
И наоборот, если мы сожмём гипердействительную прямую в бесконечное число раз, то множество R превратится в монаду нуля, а из бесконечно больших некоторые станут конечными, заместив R собой.
Что нам стоит *R построить
Разумеется, пока нет строгой теории, всё описанное выше — это некая «математическая фантастика». Прежде чем пользоваться гипердействительными числами, нужно доказать, что их действительно возможно построить, что это не приведёт к противоречиям, и (крайне желательно) — что результаты, полученные в этом «гипердействительном анализе», применимы к нормальным числам и реальному миру.
Построение гипердействительных чисел Робинсоном можно описать так: как обычные числа строятся из цифр, так мы будем строить гипердействительные числа, используя в качестве «цифр» обычные действительные числа. Каждое действительное число состоит из одной «цифры» — самого себя. Бесконечно малые состоят из нуля «перед запятой» и каких‑то ненулевых «цифр после запятой». Бесконечно большие имеют «ненулевые цифры» в «старших разрядах».
С такими записями можно обращаться примерно так же, как обычные числа можно складывать, умножать и делить в столбик. Например, для обычных чисел справедливо равенство: 1 / 10 = 0.1. Точно так же для гипердействительных чисел единица, делённая на бесконечно большое (с «цифрой в старшем разряде»), даст бесконечно малое («с цифрой после запятой»).
На самом деле всё несколько сложнее, и подобное определение, данное «в лоб» может привести к парадоксам. Поэтому чтобы построить гипердействительные числа строго, нужна пара семестров математической логики и страшные слова вроде «ультрафильтр» и «теорема Лося» (нет, последнее не шутка). Но так или иначе, их строгое построение возможно.
Что случилось в Вегасе, остаётся в Вегасе
Самое крутое в нестандартном анализе Робинсона — это принцип переноса. По сути он говорит, что если мы доказали в нестандартном анализе какое‑то утверждение, в формулировке которого не используются никакие «нестандартные» слова (ни про что не говорится, что оно бесконечно малое, бесконечно большое, принадлежит монаде и т. п.)‑ то это утверждение верно и в обычном математическом анализе. Нестандартности, использованные в процессе доказательства, не мешают получить корректный стандартный результат — можно как бы «забыть», что мы их использовали.
Однако чтобы обосновать принцип переноса, нужна ещё пара семестров математической логики. Робинсон использует аппарат теории моделей — строит гипердействительные числа как нестандартную модель действительных чисел, основанных не теории множеств ZFC. А затем, грубо говоря, заявляет — модели разные, но теория одна и та же. Если утверждение верно в одной из моделей, но не специфично для неё по формулировке — то оно верно не просто в модели, но в теории вообще.
Злая ветка: финал
Итак, нестандартный анализ был создан и строго обоснован. Он прикольный, удобный, лаконичный. Казалось бы, сам Бог велел учить его в вузах вместо обычного матана.
Почему же этого не происходит?
В этом виновата совокупность факторов. Во‑первых, нестандартный анализ нестандартен. Непривычен. Пришлось бы целиком перестраивать уже отработанную учебную программу. А преподаватели матана — это обычно не юные бунтари, а зрелые консерваторы. Работает — не трогай.
Во‑вторых, преподавание «обычного» мат.анализа удобно строить по заветам Евклида — от аксиом к теоремам, от фундамента к вершинам. Обоснование же нестандартного анализа требует углубленных знаний в области мат. логики. Чтобы студент к концу первого семестра успел научиться дифференцировать, придётся слишком многое принять на веру.
Ну и наконец, язык эпсилон‑дельта — это своего рода «математическая муштра». Он вырабатывает привычку к сложным и строгим рассуждениям — привычку, которая математику рано или поздно обязательно понадобится, какими бы красивыми и мощными абстракциями он до этого ни пользовался.
Нельзя сказать, что нестандартный анализ оказался совсем бесполезен. С его помощью выводят некоторые отдельные результаты, которые было бы совсем громоздко получать классическим путём. Однако всемирной революции он так и не совершил. Поэтому математики, получившие «злую концовку», в итоге преуспели не намного сильнее, чем ультрафинитисты..
True ending: перемирие с бесконечностью
«Истинная концовка» в RPG — это всегда компромисс. Но не механический компромисс, когда дракон съедает полпринцессы, а рыцарь уносит оставшуюся половину. True ending — это компромисс нетривиальный, творческий, динамический. И вариантов такого компромисса оказалось много. В этой статье мы рассмотрим три из них.
Генцен: удар Гёделю исподтишка
Гильберт никогда не формулировал в виде строгой теории, что конкретно он понимает под финитизмом. Но его последователи сходятся во мнении, что самая сильная теория, которую можно считать финитной — это примитивно‑рекурсивная арифметика (далее ПРА).Она более слабая, чем арифметика Пеано, и не позволяет формулировать утверждения о бесконечных множествах чисел, которые так смущали Гильберта. В ПРА любое утверждение равносильно некоторому вычислению, и сказать, что объект существует — то же самое, что построить его.
В 1936 году немецкий математик Герхард Генцен с помощью ПРА доказал непротиворечивость арифметики Пеано, осуществив тем самым мечту Гильберта о финитном обосновании математики. «Разве это не противоречит теореме Гёделя о неполноте?» — спросит внимательный читатель. И действительно, противоречило бы, если бы не одно «но»: Генцен слегка расширил ПРА, добавив туда… трансфинитную индукцию.
Да, вы не ослышались. Для «финитного» обоснования арифметики Генцен использовал ординальные числа Кантора. Причём не какую‑нибудь жалкую «первую бесконечность» ω, а сразу целый ε — первую бесконечность, которую нельзя выразить с помощью арифметических действий с ω. Возникает резонный вопрос: как ему хватило наглости называть такое доказательство финитным?
Генцен воспользовался хитрой, почти юридической уловкой. Даже если ординальные числа бесконечны, все счётные ординалы можно записать с помощью конечных последовательностей символов. Например, число ω — больше любого натурального числа, но его запись имеет длину в один символ. И Генцен с помощью ПРА производил вычисления не над ординальными числами, а над их записями.
Схема его доказательства была следующей:
Все утверждения в арифметике Пеано можно пронумеровать ординалами меньше ε.
Если в арифметике Пеано существует противоречивое утверждение, то можно с помощью хитрой примитивно‑рекурсивной функции переформулировать его так, что новой формулировке будет соответствовать ординал меньше, чем предыдущий
Несмотря на то, что ординальные числа бесконечны, нельзя построить бесконечную убывающую последовательность ординалов, начиная от заданного.
Однако пункт 3 противоречит пункту 2. Согласно пункту 2, можно сколько угодно переформулировать противоречивое утверждение, бесконечно уменьшая соответствующий ему ординал.
Таким образом, мы приходим к противоречию и делаем вывод, что противоречивое утверждение в арифметике Пеано не может существовать.
На пункте 3 остановимся подробнее. поскольку это интересное свойство ординальных чисел. Казалось бы, например, раз ω — это бесконечность, то от единицы до ω можно считать бесконечно. А если так, то и обратный отсчёт будет бесконечным. Но на самом деле так не работает. По определению ω — это наименьший бесконечный ординал, и у него нет строго предыдущего, некоего бесконечного ω-1. Если мы начнём обратный отсчёт с ω, то следующим мы должны будем назвать какое‑нибудь конечное число N. А после этого мы максимум за N шагов досчитаем до нуля. С ординалами побольше, вроде ω², можно провести похожее рассуждение. Получается парадоксальная конструкция: бесконечная лестница, по которой вы всегда спуститесь за конечное количество шагов (хотя, возможно, некоторые шаги будут через бесконечное количество ступенек).
Возвращаясь к Генцену: как нетрудно предположить, математическое сообщество приняло его доказательство со смешанными чувствами. Кого‑то его аргументация убедила, кого‑то не очень. В итоге он как бы осуществил мечту Гильбета, но как бы и не совсем.
Крейзель: допрос бесконечности с пристрастием
Как уже говорилось выше, математическая бесконечность — это странный, но парадоксально эффективный способ формулировать утверждения, которые потом применяются к нормальным конечным числам. Однажды австрийский математик Георг Крейзель задумался: а что, если в утверждениях, связанном с бесконечностью, на самом подразумевается нечто финитное, просто в странной формулировке? И он начал искать это нечто, названное им «финитным ядром». А точнее — стал искать способы искать это нечто.
Оказалось, что во многих случаях доказательство не‑финитного утверждения («во множестве натуральных чисел есть хотя бы одно такое, что…») можно преобразовать в доказательство финитного утверждения («среди первых N натуральных чисел есть хотя бы одно такое, что…»). И даже если доказательство использует всякую неконструктивную муру типа аксиомы выбора, с помощью этого преобразования можно вытянуть из него конкретную численную оценку.
Так Крейзель стал основоположником направления, которое сейчас называется proof mining.
В каком‑то смысле он пришёл к тому, чего хотел достичь Есенин‑Вольпин — только с другой стороны. Вместо того, чтобы создавать новую математику, основанную на крайнем скепсисе, он научился с помощью скепсиса выбивать из старой математики проверяемые, вычислимые признания.
Фридман: вывернуть бесконечность наизнанку
Традиционная математика идёт от аксиом к теоремам. Никто не начинает с теоремы и не придумывает аксиомы, при которых она верна. По крайней мере, никто так не делал до 1974 года. В том году американский математик Харви Фридман выступил с докладом, который положил начало так называемой «реверсивной математике».
Фридман и его последователи стали анализировать различные классические теоремы, без которых современный математик не может (или не хочет) представить себе жизни. Для каждой из этих теорем они ставили вопрос: в какой максимально слабой математической теории можно доказать эту теорему? Оказалось, что далеко не везде нужна арифметика Пеано. Часто можно обойтись намного более слабыми арифметиками, такими как арифметика элементарных функций (EFA).
Фридману принадлежит так называемая «великая гипотеза Фридмана»: почти все утверждения о конечных объектах, которые представляют реальный интерес для людей, можно доказать в очень слабых арифметиках вроде EFA. Оговорка «представляют реальный интерес» в этой гипотезе присутствует потому, что контрпримеры для неё легко построить искусственно. Однако если не пытаться быть адвокатом дьявола и сосредоточиться на реальных задачах, то окажется, что вся мощь арифметики Пеано нужна очень редко.
Реверсивная математика окончательно отвергает платоновский идеализм. Нет никаких «идеальных чисел», которые существуют где‑то в мире эйдосов независимо от того, что о них думают. Есть только соглашения между математиками и последствия этих соглашений.
С этой мыслью перекликается знаменитый, но сложный для понимания парадокс Сколема. Он основан на утверждении из теории моделей: если у теории есть бесконечная модель, то у неё есть счётная модель. Даже если в теории говорится о существовании континуума (бесконечного множества, которое больше, чем множество натуральных чисел), то модель этой теории всё равно можно построить на натуральных числах, и континуум окажется подмножеством натуральных чисел. Его элементы нельзя будет пересчитать изнутри модели, поскольку она будет построена так, чтобы запретить этот пересчёт. Однако снаружи «континуум» окажется счётным.
В каком‑то смысле парадокс Сколема говорит о том, что бесконечность относительна. То, насколько она бесконечна — вопрос призмы, через которую мы на неё смотрим.
The true ending is no ending
Если история математики что‑то и предсказывает, то только то, что историю математики невозможно предсказать — её можно лишь творить. Бесконечность — это чудотворный парадокс, лежащий в основании математики. Бессмысленная, контринтуитивная, ненужная — и при этом бесконечно плодотворная. Каждый раз, когда бесконечность ставила математиков в тупик, математике это шло лишь на пользу. Ведь когда у тебя пытливый ум, тупик — это не ответ, а вопрос с миллионом ответов. Вопрос, который можно решать в обход или напролом, игнорируя, выворачивая на изнанку, поднимаясь на мета‑уровень, или ещё каким‑то способом, который в 2025 году ещё не изобрели.
Судя по всему, история бесконечности закончится только вместе с историей человечества. А вот серия статей на этом заканчивается. Но если вы действительно заинтересовались вопросом, то можете совершить предельный переход: от научпопа на Хабре — к серьёзным математическим статьям. А там кто знает, возможно, четвёртую часть напишете именно вы.